1.4.1角平分线　课件　2024—2025学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 1.4 角平分线（第一课时） 1 学习目标 1. 经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。 2. 证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力． 3.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决简单问题. 素养目标 回顾旧知 我们曾经学过与角平分线相关的哪些知识？ 角平分线的定义 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线就叫这个角的角平分线. 角平分线的性质定理 你能尝试证明这一性质吗？ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 探究新知 探究一:证明“角平分线上的点到角两边的距离相等” 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 探究新知 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∵ ∠1 =∠2，OP = OP， ∴△PDO ≌△PEO（AAS）. ∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）. 明确结论 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线的性质定理 结论 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）距离（垂直）. B A D O P E C 定理的作用： 证明线段相等. 几何语言： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE. PD⊥OA,PE⊥OB， 前提有三个，必须写完整，不能少了任何一个. （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 应用提升 例1.如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 . 3 探究新知 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 它是真命题吗？ 探究二： 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 你能说出这个定理的逆命题吗？ 角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点． 条件 结论 怎样调整就是真命题了？ 探究新知 猜想: 你能尝试证明这一猜想吗？ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 探究新知 证明：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证：OP平分∠AOB. 探究新知 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证：OP平分∠AOB. 证明： ∴OP平分∠AOB. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， ∵PD⊥OA,PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠1=∠2 明确结论 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 角平分线的判定定理 结论 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. B A D O P E C 定理的作用： 判断点是否在角平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC) 归纳总结 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 应用提升 例2.如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，且DE = DF，求 DE 的长. 拓展提升 例3.已知：如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． ∴点P即为所求 连接CD，作CD的垂直平分线MN 作∠AOB的平分线OE E M N 总结提升 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 判定定理 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 EVCapture4.1.8软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn EVCapture4.1.8软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$