1.2.2直角三角形　课件　2024—2025学年北师大版数学八年级下册

保定市新秀学校 第一章 三角形的证明 1.2.2 直角三角形 1 探究：直角三角形全等的判定 想一想：（1）两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗? 这是一个假命题, 只要举一个反例即可. 如图: A B C A′ B′ C′ A′ B′ C′ ) ) ) (1) (2) (3) 由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等; 由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等; 因此, 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 探究新知 做一做：已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. 已知：如图，线段 a，c（a＜c），直角α. 求作：Rt△ABC，使∠C =∠α，BC=a，AB = c. a c α 探究新知 （2）如果其中一组等边的所对的角是直角, 那么这两个三角形全等吗？ （1）作∠MCN =∠α= 90°. M C N （2）在射线CM上截取CB=a. M C N B 小明的作法如下： 探究新知 （3）以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点 A. M C N B A （4）连接AB，得到Rt△ABC. M C N B A 探究新知 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： A B C A′ B′ C′ 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). AB=A′B′, BC=B′C′, →尝试利用所学知识证明该定理 探究新知 已知：如图,在 △ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：在△ABC中，∵∠C=90°， ∴BC2=AB2–AC2. 同理，B′C′2 =A′B′2–A′C′2. ∴ . ∴△ABC ≌△A′B′C′（SSS）. A C B A′ C′ B′ 在△ABC和△A′B′C′中， 探究新知 例1 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系? 典型例题 解：根据题意，可知 ∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF,AC=DF, ∴Rt△BAC ≌ Rt△EDF (HL). ∴∠B=∠DEF（全等三角形的对应角相等）. ∵∠DEF+∠F=90°（直角三角形的两锐角互余）， ∴∠B+∠F=90°. 在 Rt△BAC 和Rt△EDF 中 BC=EF, AC=DF . 例2 .如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C=∠D= 90° AB=BA, AC=BD . 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. A B D C 证明两个三角形全等，一般情况下是已知两个条件去找第三个全等条件，有以下几种情况： (4)已知一边及其对角，只能找任意一角． 判定定理 直角三角形 全等的判定 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（HL） 在直角三角形中 前提条件 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 小结 1.如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是（　D） A.AE＝DF B.∠A＝∠D C.∠B＝∠C D.AB＝DC D 2.如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　C　） A.145° B.130° C.110° D.70° C 随堂练习 3.如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的 延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】图中与△ABC全等的三角形有△BAD、△CDA、△DCB和△DCE. D 随堂练习 4.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 证明： ∵AD，AF是△ABC和△ABE的高， ∴ ∠D=∠F=90° 在Rt△ADC和Rt△AFE中 ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. AC=AE, AD=AF . 在Rt△ADC和Rt△AFE中 ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF. 即BC＝BE. AB=AB, AD=AF . 随堂练习 5.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF. （1）求证： Rt△ABE≌Rt△CBF. 证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE＝90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)． 随堂练习 AE＝CF AB＝CB （2）若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数. （2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°. ∵∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°， 由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝15°， ∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°. 随堂练习 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，PQ＝AB＝10，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动.若以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等，则AP的长为 　6或8　⁠. 6或8　 随堂练习 $$