1.1.4等腰三角形　课件　2024—2025学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 1.1.4 等腰三角形 新秀学校 八年级数学组 1 1.等腰三角形的性质？判定？ 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形. A B C 一、复习回顾 推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合. (三线合一) 性质定理 等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为 等边对等角. 2.等边三角形的性质？判定？ （1）.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ （2）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？ 等边三角形的三个角都相等，都等于60° 是轴对称图形，有3条对称轴 具有等腰三角形的所有性质。 一般性质 特殊性质 （一）一般三角形 （1）以“边”判定: 三边都相等的三角形叫等边三角形；(定义法) （2）以“角”判定: 猜想： 三个角都相等的三角形是等边三角形. C A B 二、新知探究1：等边三角形的 判定 探究活动 A B C 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. ∵ ∠A= ∠ B, ∴ AC=BC. ∵ ∠ B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC.（定义关键） 证明： 猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形. 证明： 总结归纳 三个角都相等的三角形是等腰三角形. 等边三角形的判定定理1： 在△ABC中， ∵ ∠A =∠B=∠C, 应用格式： ∴AB=AC=BC(等角对等边). A C B （二）等腰三角形 的等腰三角形是等边三角形. （1）当顶角为60°时，两个底角各为60°. （2）当底角为60°时，顶角为60°. C A B 猜想：有一个内角等于60° 探究活动 证明： 的等腰三角形是等边三角形. A B C 已知： 若AB=AC ，∠A= 60°. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °. ∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°. ∴∠A= ∠ B=∠C. ∴AB=AC=BC. 证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(等边对等角)， ∴∠A=60°(三角形内角和定理)． ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．求证:△ABC是等边三角形． A C B 60° 有一个角是60° 总结归纳 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 等边三角形的判定定理2： 在△ABC中， ∵ ∠A =60°, AB=AC 应用格式： ∴AB=AC=BC(等角对等边). A C B 在△ABC中， ∵ ∠B =60°或∠C =60°, AB=AC ∴AB=AC=BC(等角对等边). 例题讲解(应用) A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 【例1】如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. 变式练习 变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. A C B D E 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形. 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°. ∵ AD=AE, ∴ △ADE是等腰三角形 ∴ △ADE是等边三角形. 又∵ ∠A=60°. 探究活动2 操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？ 30° 30° 你能说出所拼成的三角形的形状吗？ 猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 30° 30° 30° 30° 30° 猜想:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半. 含30°角的直角三角形的性质 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°. 求证：BC= AB. A 30° B C 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 猜想验证 30° 30° 猜想:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半. ∵ ∠ACB=90°, (已知) ∴∠ACD=90°，(平角意义) 在△ABC与△ADC中， BC=DC，（作图） 　∠ACB=∠ACD，（已证） AC=AC，（公共边） ∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AD=AB ∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知) ∴∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形，(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形) ∴BC= BD= AB． (等式性质) 30° A B C D 证明: 延长BC至D，使CD=BC，连接AD， 定理：在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言： 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°． ∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半) A B C 30° 推论： 归纳总结 A B C D 如图，已知Rt△ABC中∠ACB=90°，BC= AB。 求证：∠BAC=30° 证明：延长BC至D,使CD=BC ∴AB=BD 连接AD, ∵AC垂直平分BD ∴ AB=AD 则AB=BD=AD， ∴△ABD是等边三角形。 即∠B=60° 则∠BAC=30° 讨论，更正，点拨（4分钟） “在直角三角形中, 如果有一条直角边等于斜边的一半.那么这条直角边所对的锐角等于300。” 是真命题吗？试证明之。 知识拓展 解：∵　DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°， ∴　BC = AB，DE = AD．　 又　AD = AB， ∴　DE = AD =1.85（m） ．　　 ∴　BC =3.7（m）．　 答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．　　 例2.如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？ A B C D E 例题讲解 例题讲解 C B A D 如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB=15°, CD是腰AB 上的高，求CD的长. 解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知) ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°， ∵∠ADC=90°，∴CD= AC=a． （在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半） 例3：求证：如果等腰三角形的底角为150，那么腰上的高是腰长的一半。 一、等边三角形的判定: 定义：三边都相等的三角形是等边三角形. 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 二、特殊的直角三角形的性质 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 逆定理:在直角三角形中, 如果有一条直角边等于斜 边的一半.那么这条直角边所对的锐角等于300。 三、小结 3.房梁的一部分如图2所示,其中BC⊥AC,∠A=30°,AB=7.4m,点D是AB的中点,DE⊥AC,垂足为E.BC= ,DE= . 3.7m 1.85m 2、如图1,等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 则腰上的高是 . A B D 150 150 2a 2a a B E C D A 300 1、Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ） A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm C 4、 若等腰三角形一腰上的高是腰长的一半， 则其顶角的度数为 . 30°或150° 图1 图2 C 自学检测 ：（7分钟） 随堂练习 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A =300，CD⊥AB，BD=1，则AD= 。 4 2. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D是BC的中点，DE⊥AC，则AE∶EC= 。 1:3 随堂练习 3. 如图所示，△ABC为等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，若△ABC的周长为36cm，求AD的长. $$