1.1.3等腰三角形的判定及反证法课件　2024—2025学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 1.1.3 等腰三角形 新秀学校 八年级数学组 1 等腰三角形的判定及反证法 复习回顾 1、等腰三角形是怎样定义的？ 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。 等腰三角形是轴对称图形。 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（也称为“三线合一”）. 定理 等腰三角形的两个底角相等 （简述为“等边对等角”） 。 2、等腰三角形有哪些性质？ D A B C 既是性质又是判定 探究新知 我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？ 性质：等腰三角形的两个底角相等（简述为“等边对等角”） 两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 等腰三角形的判定 A B C D 1 2 已知：如图，在ΔABC中，∠B=∠C。 求证：AB=AC 你还有其他证法吗? 证明: 作∠BAC的平分线AD 则∠1=∠2 在△BAD和△CAD中 ∠B=∠C ∠1=∠2 AD=AD （公共边） ∴ AB= AC （全等三角形的对应边相等） ∴ △BAD ≌ △CAD （AAS） 猜想：两个角相等的三角形是等腰三角形 探究新知 探究新知 有两个角相等的三角形是等腰三角形. (简称“等角对等边”). 等腰三角形的判定定理： 在△ABC中 ∵∠B=∠C, 几何语言： ∴AB=AC(等角对等边). A C B 总结归纳 探究新知 A B C D 2 1 ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC （等角对等边）. 错，因为不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图,下列推理正确吗? 探究新知 例1 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. A B C D E 证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA, ∴△ABD≌△DCA(SSS), ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）, ∴AE=DE(等角对等边）, ∴ △AED是等腰三角形. 探究新知 反证法 想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC. A B C 探究新知 C A B 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时, AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C, 但已知条件是∠B≠∠C. “∠B=∠C”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC. 小明是这样想的: 你能理解他的推理过程吗? 探究新知 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 总结归纳 用反证法证题的一般步骤 1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; 3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 探究新知 已知：△ABC． 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角． 例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾，则∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角． 随堂练习 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角， AD∥BC 且∠1 =∠2． 求证：AB = AC． A B C D E 1 2 证明： ∵ AD∥BC ， ∴∠1 = ∠B，∠2 = ∠C， 又∵∠1 = ∠2， ∴∠B = ∠C， ∴AB = AC. 习题1.3 探究新知 已知五个正数的和等于1.用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于 随堂练习2 $$