第13讲 一次函数【11个必考点】（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学下册必考点分类集训系列（人教版）

第13讲 一次函数【11个必考点】 【人教版】 【知识点1 一次函数的定义】 2 【必考点1 一次函数的定义】 2 【知识点2 一次函数的图象和性质】 3 【必考点2 确定系数判断一次函数的图象】 4 【必考点3 两个一次函数图象的判断】 6 【必考点4 一次函数的性质】 10 【必考点5 利用一次函数的增减性比较大小】 13 【必考点6 根据一次函数的增减性求参数范围】 14 【必考点7 画一次函数的图象】 17 【知识点3 一次函数图象的平移】 23 【必考点8 一次函数图象的平移】 24 【知识点4 待定系数法求一次函数解析式】 25 【必考点9 待定系数法求一次函数解析式】 26 【必考点10 用平移法确定一次函数解析式】 28 【必考点11 由几何条件求一次函数解析式】 30 【知识点1 一次函数的定义】 一般地，形如 y=kx+b（k，b是常数且k≠0）的函数是一次函数。 注意：一次函数的结构中，k ≠ 0，自变量系数为 1 。b为任意实数。当b的值等于 0 时，一次函数变成正比例函数。 【必考点1 一次函数的定义】 【例1】函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此判断即可． 【解答】解：①当k≠0，y＝kx+b才是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数； 故是一次函数的有②④，共2个， 故选：B． 【例2】要使y＝（m﹣2）x|m﹣1|+3是关于x的一次函数，则m＝　 　 ． 【分析】根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，即可得出m的值． 【解答】解：根据一次函数的定义可得：m﹣2≠0，|m﹣1|＝1， 由|m﹣1|＝1，解得：m＝0或2， 又m﹣2≠0，m≠2， ∴m＝0． 故答案为：0． 【变式1】下列函数（1）y＝πx；（2）y＝﹣2x+1；（3）；（4）y＝x2﹣1；（5）y＝kx+b（k，b是常数）中，一次函数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】一般地，形如y＝kx+b（k为常数，k≠0）的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义分析即可． 【解答】解：（1）y＝πx是一次函数； （2）y＝﹣2x+1是一次函数； （3）自变量的次数不是1，不是一次函数； （4）y＝x2﹣1自变量的次数不是1，不是一次函数； （5）y＝kx+b（k，b是常数）当k≠0时，是一次函数， （1）（2）是一次函数，共2个， 故选：B． 【变式2】给出下列函数：①x+y＝0；②y＝x+2；③y+3＝3（x+1）；④y＝2x2+1；⑤y2；⑥y＝kx+3．其中y一定是x的一次函数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【解答】解：①x+y＝0，y＝﹣x符合一次函数的定义， ②y＝x﹣2 符合一次函数的定义， ③y+3＝3（x﹣1）符合一次函数的定义， ④y＝2x2+1 不符合一次函数的定义， ⑤y2不符合一次函数的定义， ⑥y＝kx+3不符合一次函数的定义， 故选：B． 【变式3】若关于x的函数是一次函数，则m的值为 　　 ． 【分析】根据一次函数的定义即可作答． 【解答】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴且m， ∴m． 故答案为：． 【知识点2 一次函数的图象和性质】 1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,因此,画一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两点画直线就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b. 2.一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b),当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小. 3.一次函数图象经过的象限 【必考点2 确定系数判断一次函数的图象】 【例1】若点（m，n）在第二象限，则一次函数y＝nx+m﹣n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点（m，n）在第二象限，可得m＜0，n＞0，利用一次函数的图象与性质的关系即可得出答案． 【解答】解：∵点（m，n）在第二象限， ∴m＜0，n＞0， ∴m﹣n＜0， ∴一次函数y＝nx+m﹣n图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 【变式1】一次函数y＝mx﹣m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y＝mx﹣m的图象经过第一、三、四象限或一、二、四象限，此题得解． 【解答】解：由A选项：由一次函数经过第一、三象限，则m＞0，则﹣m＜0，故图象经过第一、三、四象限， C选项图象经过原点，则m＝0，不合题意； 由D选项一次函数经过第二、四象限，则m＜0，则﹣m＞0，故图象经过第一、二、四象限，故只有选项B符合题意． 故选：B． 【变式2】若式子（k﹣2）0有意义，则一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据式子（k﹣2）0有意义，可以求得k的取值范围，然后即可得k﹣2和2﹣k的正负，从而可以一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象经过的象限． 【解答】解：∵式子（k﹣2）0有意义， ∴， 解得k＞2， ∴k﹣2＞0，2﹣k＜0， ∴一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 【变式3】已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小， ∴k＜0， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限； ∵kb＜0， ∴b＞0， ∴图象与y轴的交点在x轴上方， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 【必考点3 两个一次函数图象的判断】 【例1】两个y关于x的一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确． 【解答】解：A、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＞0，y＝bx+a也要经过第一、三象限，所以A选项不符合题意； B、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＜0，y＝bx+a经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方，所以B选项符合题意； C、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＞0，y＝bx+a也要经过第一、三象限，所以C选项不符合题意； D、对于y＝ax+b，当a＜0，图象经过第二、四象限，若b＞0，则y＝bx+a经过第一、三象限，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【例2】一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得kb的符号，从而判断y＝kbx的图象是否正确，进而比较可得答案． 【解答】解：A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0，则kb＜0；由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，故此选项符合题意； B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】正比例函数y＝2kx和一次函数y＝kx的大致草图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【解答】解：A、∵正比例函数y＝2kx图象经过第一、三象限，则k＞0．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项错误； B、∵正比例函数y＝2kx图象经过第一、三象限，则k＞0．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项正确； C、∵正比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误； D、∵正比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误； 故选：B． 【变式2】若kb＜0，b﹣k＞0，函数y＝kx+b与y＝bx+k在同一坐标系中的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据kb＜0，b﹣k＞0，可以得到k、b的正负情况，从而可以得到函数y＝kx+b与y＝bx+k的图象经过哪几个象限． 【解答】解：∵kb＜0， ∴k、b异号， ∵b﹣k＞0， ∴b＞0，k＜0， ∴函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，函数y＝bx+k的图象经过第一、三、四象限， 故选：D． 【变式3】直线l1：y＝kx﹣b（k，b为常数且k，b≠0）和直线l2：（k，b为常数且k，b≠0）在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据直线l1经过的象限，得出k和b的符号，然后再判断直线l2的k和b的符号是否与直线l1一致，据此即可得出答案． 【解答】解：A．直线l1：y＝kx﹣b中，k＞0，b＜0，l2：中，b＞0，不一致，故本选项不符合题意； B．直线l1：y＝kx﹣b中，k＞0，b＜0，l2：中，b＜0，则k＞0，一致，故本选项符合题意； C．直线l1：y＝kx﹣b中，k＜0，b＞0，l2：中，b＜0，不一致，故本选项不符合题意； D．直线l1：y＝kx﹣b中，k＜0，b＞0，l2：中，b＜0，不一致，故本选项不符合题意． 故选：B． 【必考点4 一次函数的性质】 【例1】关于一次函数y＝﹣4x+8，下列结论不正确的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．图象与y轴的交点坐标是（0，8） C．图象经过第一、二、四象限 D．图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0） 【分析】A．由k＝﹣4＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小； B．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝﹣4x+8的图象与y轴的交点是（0，8）； C．由k＝﹣4＜0，b＝8＞0，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数y＝﹣4x+8的图象经过第一、二、四象限； D．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝﹣4x+8的图象与x轴的交点是（2，0）． 【解答】解：A．∵k＝﹣4＜0， ∴y随x的增大而减小，选项A不符合题意； B．当x＝0时，y＝﹣4×0+8＝8， ∴一次函数y＝﹣4x+8的图象与y轴的交点是（0，8），选项B不符合题意； C．∵k＝﹣4＜0，b＝8＞0， ∴一次函数y＝﹣4x+8的图象经过第一、二、四象限，选项C不符合题意； D．当y＝0时，﹣4x+8＝0， 解得：x＝2， ∴一次函数y＝﹣4x+8的图象与x轴的交点坐标是（2，0），选项D符合题意． 故选：D． 【例2】已知一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）． （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴下方？ （3）m为何值时，直线位于第二、三、四象限？ 【分析】（1）根据一次函数的性质得出不等式4m+1＜0，求出不等式的解集即可； （2）根据一次函数的性质得出不等式﹣（m+1）＜0，求出不等式的解集即可； （3）根据一次函数的性质得出不等式4m+1＜0和﹣（m+1）＜0，求出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）， ∵y随x的增大而减小， ∴4m+1＜0， 解得：m， 答：当m时，y随x的增大而减小． （2）一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）， ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴﹣（m+1）＜0， 解得：m＞﹣1，且m， 答：当m＞﹣1且m时，直线与y轴的交点在x轴下方． （3）一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）， ∵直线位于第二、三、四象限， ∴4m+1＜0且﹣（m+1）＜0， 解得：﹣1＜m， 答：当：﹣1＜m时，直线位于第二、三、四象限． 【变式1】下列四个选项中，不符合直线yx﹣3的性质与特征的是（　　） A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大 C．与x轴交于点（﹣2，0） D．与y轴交于点（0，﹣3） 【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出直线yx﹣3经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，可判断A，B；令y＝0，求得y＝6，令x＝0，求得y＝﹣3，即可得出直线与x轴的交点为（6，0），与y轴的交点为（0，﹣3），可判断C，D． 【解答】解：A．∵k0，b＝﹣3＜0， ∴直线yx﹣3经过第一、三、四象限，故选项A不符合题意； B．∵k0， ∴y随x的增大而增大，故选项B不符合题意； C．∵当y＝0时，yx﹣3＝0， 解得：x＝6， ∴与x轴交于点（6，0），故选项C符合题意； D．∵当x＝0时，yx﹣3＝﹣3， ∴函数图象与y轴交于点（0，﹣3），故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式2】在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而增大，则它的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而增大，可知2m﹣1＞0，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【解答】解：∵在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而增大， ∴2m﹣1＞0， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 【变式3】一次函数y＝mx+m+1的图象一定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】将一次函数的解析式变形，可以写出当x＝﹣1时，y＝1，从而可以得到该函数图象一定经过的象限． 【解答】解：一次函数y＝mx+m+1＝m（x+1）+1， ∴当x＝﹣1时，y＝1， ∴该函数图象一定过点（﹣1，1）， ∴该函数一定经过第二象限 故选：B． 【变式4】已知函数y＝（2m+3）x+m﹣1， （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，求m的值； （3）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值； （4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围． 【分析】（1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解； （2）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，即b＝﹣3； （3）两条直线平行，即k值相等； （4）直线y＝kx+b中，y随x的增大而减小说明k＜0． 【解答】解：（1）把（0，0）代入，得：m﹣1＝0，m＝1； （2）根据截距的定义，得：m﹣1＝﹣3，m＝﹣2； （3）根据题意，得2m+3＝1，m＝﹣1； （4）根据y随x的增大而减小说明k＜0．即2m+3＜0，． 【必考点5 利用一次函数的增减性比较大小】 【例1】已知关于x的一次函数y＝（k2+3）x﹣2的图象经过点A（2，m）、B（﹣3，n），则m，n的大小关系为（　　） A．m≥n B．m≤n C．m＞n D．m＜n 【分析】利用偶次方的非负性可得出k2+3＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结合2＞﹣3即可得出m＞n． 【解答】解：∵k2≥0， ∴k2+3＞0， ∴y随x的增大而增大． 又∵2＞﹣3， ∴m＞n． 故选：C． 【变式1】若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜1＜3，即可得出y1＞y3＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，且﹣2＜1＜3， ∴y1＞y3＞y2． 故选：C． 【变式2】已知点P（m，y1），点Q（m+3，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，则下列正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2 【分析】利用一次函数的性质解答即可． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0， ∴函数y＝﹣2x+3的值随x的增大而减小， ∵m＜m+3， ∴y1＞y2， 故选：A． 【变式3】点（﹣t﹣1，y1），（﹣t﹣3，y2）在一次函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法确定 【分析】根据解析式得到y随x增大而减小，再由﹣t﹣1＞﹣t﹣3，即可得到答案． 【解答】解：由题意得，， ∴y随x增大而减小， ∵点（﹣t﹣1，y1），（﹣t﹣3，y2）在一次函数的图象上，且﹣t﹣1＞﹣t﹣3， ∴y1＜y2， 故选：A． 【必考点6 根据一次函数的增减性求参数范围】 【例1】已知一次函数y＝（3m﹣5）x+2﹣m（m为正整数）的函数y随x的增大而减小，当y＞0时，x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据一次函数的增减性和m为正整数求出m的值，然后求出与x轴的交点即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（3m﹣5）x+2﹣m（m为正整数）的函数y随x的增大而减小， ∴3m﹣5＜0， ∴， ∵m为正整数， ∴m＝1， ∴y＝﹣2x+1． 当y＝0时，0＝﹣2x+1， ∴， ∵y随x的增大而减小， ∴当y＞0时，x的取值范围为． 故选：B． 【例2】若点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2，则k的值可能是（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝3 【分析】由当x1＜x2时y1＞y2，利用一次函数的性质可得出k﹣1＜0，解之即可得出k的取值范围，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2， 即y随x的增大而减小， ∴k﹣1＜0， ∴k＜1， ∴k的值可能是0． 故选：A． 【变式1】若A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝ax+x﹣2图象上的不同的两点，记m＝（x1﹣x2）（ y1﹣y2），则当m＜0时，a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1 【分析】根据一次函数的性质知，当k＜0时，判断出y随x的增大而减小． 【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝ax+x﹣2＝（a+1）x﹣2图象上的不同的两点，m＝（x1﹣x2）（ y1﹣y2）＜0， ∴该函数图象是y随x的增大而减小， ∴a+1＜0， 解得 a＜﹣1． 故选：C． 【变式2】已知点A（m，y1）和点B（m+1，y2）在一次函数y＝（t﹣1）x+1的图象上，且y1＜y2，则常数t的值可能是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3 【分析】由题意可知一次函数的函数值y随x的增大而增大，进而得到t﹣1＞0，最后求得t的取值范围选出答案． 【解答】解：由题意得，一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∴t﹣1＞0， ∴t＞1， 故选：D． 【变式3】A（x1，y1）、B（x2，y2）是直线y＝（m﹣2）x+5图象上相异的两点，若，则m的取值范围（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2 【分析】根据题意，可得出y随x的增大而增大，结合一次函数的性质，可得出m﹣2＞0，解之可得出m的取值范围． 【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是直线y＝（m﹣2）x+5图象上相异的两点，且， ∴（x1﹣x2）与（y1﹣y2）同号， ∴y随x的增大而增大， ∴m﹣2＞0， 解得：m＞2． 故选：A． 【变式4】若一次函数y＝（2﹣2k）x﹣k的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 　 ． 【分析】由一次函数y＝（2﹣2k）x﹣k （k≠0）的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限可得出k的范围． 【解答】解：∵一次函数y＝（2﹣2k）x﹣k 的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限， ∴2﹣2k＞0，﹣k≤0， 解得0≤k＜1， 故答案为：0≤k＜1． 【必考点7 画一次函数的图象】 【例1】已知一次函数． （1）自变量x的取值范围是 　 　 ； （2）将下面列表表示的部分数值补充完整； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 　 　 1.5 　 　 … （3）在图中画出该函数的图象； （4）该图象与x轴的交点坐标是 　 　 ． 【分析】（1）根据一次函数的性质可得出自变量的取值范围． （2）求一次函数的函数值并补充表格即可． （3）利用描点法画出一次函数即可． （4）另y＝0，求出x的值，即可得出该图象与x轴的交点坐标． 【解答】解：（1）一次函数自变量x的取值范围是全体实数． 故答案为：全体实数； （2）当x＝﹣1时，， 当x＝0时，， 当x＝2时，， 列表补充完整如下： x …… ﹣2 ﹣1 0 1 2 …… y …… 3 2.5 2 1.5 2 …… （3）该函数的图象如下： （4）另y＝0，则， 解得：x＝4， 故该图象与x轴的交点坐标是（4.0）． 故答案为：（4，0）． 【例2】萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数y＝|x﹣2|﹣2的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 k … （1）直接填空：k＝　 　 ； （2）描点并正确地画出该函数图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为 　 　 ； ②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，写出该图象的两条性质：　 　 ． 【分析】（1）把x＝1代入函数关系式进行计算即可； （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）①观察图形可知（﹣2，﹣2）是该函数图象的最低点，即可解答， ②观察图象可从该图象的对称性，增减性解答即可． 【解答】解：（1）当x＝5时，y＝|5﹣2|﹣2＝1， ∴k＝1， 故答案为：1； （2）描点、连线画出该函数图象如图； （3）①根据函数图象可得，该函数的最小值为：﹣2； ②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，写出该图象的两条性质： 第一条：图象关于直线x＝2对称； 第二条：当x＞2时，y随着x的增大而增大． 【变式1】用“列表﹣描点﹣连线”的方法画出函数y＝2x+1的图象． （1）列表：下表是y与x的几组对应值，请补充完整． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣3 　 　 3 　 … （2）描点连线：在平面直角坐标系中，将各点进行描点、连线，画出函数y＝2x+1的图象． 【分析】（1）将表格中x的值代入函数解析式，求出相应的y的值即可； （2）在坐标系中描点连线即可． 【解答】解：（1）补充表格如下．y＝2x+1 x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣3 ﹣1 1 3 5 … （2）描点，连线，函数图象如图所示； 【变式2】绘制函数图象并回答问题． （1）画出函数y＝|x﹣1|的图象； x 　 　 　 　 　 　 　 　 　 y 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）画图步骤：①列表；②　 　 ；③　 　 ； （3）当　 　 时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大． 【分析】（1）取符合函数表示的9组值进行作答即可； （2）根据画图步骤进行作答即可； （3）观察图象即可作答． 【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝5， 当x＝﹣3时，y＝4， 当x＝﹣2时，y＝3， 当x＝﹣1时，y＝2， 当x＝0时，y＝1， 当x＝1时，y＝0， 当x＝2时，y＝1， 当x＝3时，y＝2， 当x＝4时，y＝3， 当x＝5时，y＝4， 图象见下图： 故答案为：﹣4；﹣3；﹣2；﹣1；0；1；2；3；4；5；5；4；3；2；1；0；1；2；3；4． （2）画图步骤：①列表、②描点、③连线． 故答案为：描点；连线． （3）当x＞1时，y随x的增大而增大． 故答案为：x＞1． 【变式3】综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？ 请结合一次函数的学习经验探究函数y＝2|x+1|﹣3的图象． （1）列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 m ﹣1 ﹣3 ﹣1 n 3 … 表格中m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：　 　 ； 结论2：　 　 ． 【分析】（1）将x＝﹣3，x＝1代入解析式求出m、n值即可； （2）画出函数图象即可； （3）根据图像，写出两个性质即可． 【解答】解：（1）将x＝﹣3，x＝（1分）别代入y＝2|x+1|﹣3得： m＝2|﹣3+1|﹣3，n＝2|1+1|﹣3， 解得：m＝1，n＝1． 故答案为：1；1； （2）如图， （3）根据题意得：（答案不唯一） 结论1：函数y＝2|x+1|﹣3有最小值，最小值为y＝﹣3； 结论2：函数y＝2|x+1|﹣3的图象关于直线x＝﹣1对称． 【知识点3 一次函数图象的平移】 1.一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位。左加右减。 ①若函数y=kx+b向左平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x+a）+b 。 ②若函数y=kx+b向右平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x-a）+b 。 2.一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位。上加下减。 ①若函数y=kx+b向上平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b+a 。 ②若函数y=kx+b向下平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b-a 。 【必考点8 一次函数图象的平移】 【例1】将直线l1：y＝﹣2x+1平移后，得到直线l2：y＝﹣2x+3，则下列平移作法正确的是（　　） A．将l1向下平移2个单位长度 B．将l1向下平移4个单位长度 C．将l1向右平移1个单位长度 D．将l1向右平移2个单位长度 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行计算即可． 【解答】解：将直线y＝﹣2x+1向上平移2个单位后得到直线y＝﹣2x+3，故A、B错误； y＝﹣2x+1向右平移1个单位长度为y＝﹣2（x﹣1）+1＝﹣2x+2+1＝﹣2x+3，即y＝﹣2x+3，故C正确，D错误． 故选：C． 【例2】若直线y＝2x﹣1向下平移2个单位长度后经过点（2，m），则m的值为（　　） A．1 B．7 C．10 D．﹣2 【分析】先根据平移规律求出直线y＝2x﹣1向下平移2个单位长度后的直线解析式，再把点（2，m）代入，即可求出m的值． 【解答】解：直线y＝2x﹣1向下平移2个单位长度后得到直线y＝2x﹣3， 把点（2，m）代入，得m＝4﹣3＝1． 故选：A． 【变式1】已知直线l1：y＝3x+1平移之后的直线为l2：y＝3x﹣3，则下面平移方式正确的是（　　） A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可． 【解答】解：∵直线l1：y＝3x+1平移之后的直线为l2：y＝3x﹣3， ∴设直线y＝3x+1平移a个单位后得到直线y＝3x﹣3， ∴3（x+a）+1＝3x﹣3， 解得a． ∴C符合题意． 故选：C． 【变式2】将直线y＝kx+b向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到直线y＝2x，则（　　） A．k＝2，b＝﹣8 B．k＝﹣2，b＝2 C．k＝1，b＝﹣4 D．k＝2，b＝4 【分析】根据直线y＝kx+b向左平移2个单位，变为y＝（k+2）x+b，再向上平移4个单位，变为y＝k（x+2）+b+4，然后结合得到直线y＝2x，即可解出k和b的值． 【解答】解：直线y＝kx+b向左平移2个单位，变为y＝（k+2）x+b， 再向上平移4个单位，变为y＝k（x+2）+b+4， ∵得到直线y＝2x， ∴k＝2，2k+b+4＝0， ∴k＝2，b＝﹣8， 故选：A． 【变式3】在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+1向上平移m（m＞0）个单位长度，再向左平移m个单位长度后，得到新的直线经过点（2，14），则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则及待定系数法进行解答即可． 【解答】解：平移后的直线解析式为y＝2（x+m）+1+m． 把（2，14）代入y＝2（x+m）+1+m得14＝2×（2+m）+1+m， 解得m＝3． 故选：C． 【知识点4 待定系数法求一次函数解析式】 待定系数法的步骤 （1）设：设所求一次函数的解析式为； （2）代：将图象上的点的横坐标、纵坐标分别代换，得到方程组 （3）解：解关于的值代入中，从而得到函数解析式 常见类型 （1）两点型：直接运用待定系数法求解； （2）平移型：由平移前后k不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知点坐标即可 【必考点9 待定系数法求一次函数解析式】 【例1】已知一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，则它的解析式是（　　） A．y＝3x+5 B．y＝﹣3x﹣5 C．y＝﹣3x+5 D．y＝3x﹣5 【分析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式得出答案． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5， ∴， 解得：， 故它的解析式是：y＝3x﹣5． 故选：D． 【例2】若一次函数y＝kx+b在y轴上的截距为﹣4且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则此一次函数解析式为 　 　 【分析】先根据截距可确定b的值，再有与两坐标轴所围的面积可求得与x轴的交点坐标（﹣2，0）或（2，0），利用待定系数法可求得一次函数的解析式． 【解答】解：函数与y轴的截距为﹣4，即b＝﹣4， 又函数与两坐标所围面积为4． 即4×|x|＝4， 解得x＝±2， ∴一次函数与x轴的交点为（﹣2，0）或（2，0）， ①当交点为（﹣2，0）时，代入函数解析式， 解得k＝﹣2， ∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4． ②当交点为（2，0）时，代入函数解析式， 解得k＝2， ∴一次函数解析式为y＝2x﹣4． 综上所述一次函数的解析式为y＝2x﹣4或y＝﹣2x﹣4． 【例3】已知y+1与x﹣2成正比例，且x＝1时，y＝3． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）请判断点P（2，1）是否在这条直线上，并说明理由． 【分析】（1）利用正比例函数的定义设y+1＝k（x﹣2），然后把已知对应的值代入求出k，从而得到y与x之间的函数关系式； （2）通过一次函数图象上的坐标特征进行判断． 【解答】解：（1）设y+1＝k（x﹣2）， 把x＝1，y＝3代入得3+1＝k（1﹣2）， 解得k＝﹣4， ∴y＝﹣4（x﹣2）﹣1＝﹣4x+7， 即y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+7； （2）当x＝2时，y＝﹣4×2+7＝﹣1， ∴点（2，1）不在该函数的图象上． 【变式1】一次函数y＝kx+b（k≠0，b为常数）的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 1 2a 2a+3 … 则该一次函数的表达式为（　　） A．y＝x+1 B．y＝2x+1 C．y＝3x+1 D．y＝4x+1 【分析】把表中的三组对应值分别代入y＝kx+b得到方程组，然后解方程组即可． 【解答】解：根据题意得， 解得， 所以一次函数解析式为y＝3x+1． 故选：C． 【变式2】已知直线y＝kx+b经过A（5，0），且这条直线与坐标轴所围成的三角形面积为10，则直线y＝kx+b的解析式为　 　 ． 【分析】先根据三角形面积公式求出b＝4或﹣4，然后分类：当b＝4，则y＝kx+4，把（5，0）代入求出对应k的值；当b＝﹣4，则y＝kx﹣4，把（5，0）代入求出对应k的值． 【解答】解：当x＝0时，y＝b，则直线与y轴的交点坐标为（0，b）， 根据题意得5×|b|＝10， 解得b＝4或b＝﹣4， 当b＝4，则y＝kx+4，把（5，0）代入得5k+4＝0，解得k； 当b＝﹣4，则y＝kx﹣4，把（5，0）代入得5k﹣4＝0，解得k； 所以直线的解析式为yx+4或yx﹣4． 故答案为：yx+4或yx﹣4． 【变式3】已知y与3x﹣2成正比例，且当x＝2时，y＝8． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知点P（a+2，b）在此函数图象上，求代数式10﹣6a+b的值． 【分析】（1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征解答后得到﹣6a+b＝8，再整体代入所求代数式求值即可． 【解答】解：（1）根据题意设y＝k（3x﹣2）， ∵当x＝2时，y＝8． ∴8＝4k．解得k＝2， ∴y与x的函数关系式为：y＝6x﹣4； （2）∵点P（a+2，b）在函数图象上， ∴b＝6（a+2）﹣4，整理得﹣6a+b＝8， ∴10﹣6a+b＝10+8＝18． 【必考点10 用平移法确定一次函数解析式】 【例1】已知直线l经过（2，0）和（0，﹣3），把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线l′，则直线l′的解析式为 　 　 ． 【分析】设直线l的表达式为y＝kx+b（k≠0），将（2，0）和（0，﹣3）分别代入y＝kx+b（k≠0）中，求出直线l的表达式，进而得出答案． 【解答】解：设直线l的表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（2，0）和（0，﹣3）分别代入y＝kx+b（k≠0）中， 即， 解得：， 则直线l的表达式为yx﹣3， ∵直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线l′， ∴直线l′的表达式为y（x+2）﹣3﹣1， 即直线l′的表达式为yx﹣1． 故答案为：yx﹣1． 【变式1】一次函数向上平移a个单位后，经过点（﹣3，2a），则平移后的解析式为 　 　 ． 【分析】利用平移的规律求得平移后的直线解析式，点点（﹣3，2a）代入得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：一次函数向上平移a个单位后得到yx+2+a， ∵经过点（﹣3，2a）， ∴2a＝1+2+a， ∴a＝3， ∴平移后的解析式为yx+5． 故答案为：yx+5． 【变式2】将直线y＝﹣2x向下平移后得到直线l，若直线l经过点（a，b），且2a+b＝﹣3，则直线l的解析式为　 　 ． 【分析】先根据平移的性质，得到直线l的解析式为y＝﹣2x﹣m，再将点（a，b）代入，得到m＝﹣（2a+b），进而求出m＝3，即可得到直线l的解析式． 【解答】解：设直线y＝﹣2x向下平移m个单位后得到直线l， ∴直线l的解析式为y＝﹣2x﹣m， ∵直线l经过点（a，b）， ∴﹣2a﹣m＝b， ∴m＝﹣（2a+b）， ∵2a+b＝﹣3， ∴m＝3， ∴直线l的解析式为y＝﹣2x﹣3． 故答案为：y＝﹣2x﹣3． 【变式3】在直角坐标xOy中，直线l1与y＝2x﹣3平行，且经过点（0，5），将直线l1向上平移3个单位，得到直线l2 （1）求这两条直线的解析式； （2）如果直线l2与x轴、y轴分别交于点A，B，求△AOB的面积． 【分析】（1）根据平移可知k＝2，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据l2解析式求出A，B两点坐标，然后求出面积即可． 【解答】解：（1）∵l1与y＝2x﹣3平行， 设直线l1的解析式为：y＝2x+b， 把点（0，5）代入得：b＝5， ∴直线l1的解析式为：y＝2x+5， ∴直线l1向上平移3个单位，得到直线l2的解析式为：y＝2x+5+3＝2x+8， （2）解：令y＝0，则2x+8＝0， 解得：x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， 当x＝0时，y＝8， ∴B（0，8） ∴． 【必考点11 由几何条件求一次函数解析式】 【例1】如图，把含45°角的直角三角板放置在平面直角坐标系的第二象限中，其中A（﹣2，0），B（0，1），求直线BC的表达式． 【分析】过C作CD⊥x轴于点D，则可证得△AOB≌△CDA，可求得CD和OD的长，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式． 【解答】解：如图，过C作CD⊥x轴于点D， ∵∠CAB＝90°， ∴∠DAC+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠DAC＝∠ABO， 在△AOB和△CDA中， ， ∴△AOB≌△CDA（AAS）， ∵A（﹣2，0），B（0，1）， ∴AD＝BO＝1，CD＝AO＝2， ∴C（﹣3，2）， 设直线BC解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线BC解析式为yx+1． 【变式1】如图，已知等腰直角△ABC的顶点B，C分别在x、y轴上，∠ABC＝90°，点B的坐标是（﹣1，0），C的坐标是（0，3），则直线AC的函数关系式为 　 　 ． 【分析】过A点坐标AD⊥x轴于D点，如图，先证明△ABD≌△BCO得到AD＝OB＝1，BD＝CO＝3，再写出A（﹣4，1），然后利用待定系数法求直线AC的解析式． 【解答】解：过A点坐标AD⊥x轴于D点，如图， ∵B（﹣1，0），C（0，3）， ∴OB＝1，OC＝3， ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°， ∴AB＝BC， ∵∠ABD+∠OBC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°， ∴∠ABD＝∠BCO， 在△ABD和△BCO中， ， ∴△ABD≌△BCO（AAS）， ∴AD＝OB＝1，BD＝CO＝3， ∴A（﹣4，1）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣4，1），C（0，3）分别代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为yx+3． 故答案为：yx+3． 【变式2】已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣5，0），B（3，0），C（0，3），当过点C的直线l将△ABC分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为 　 ． 【分析】根据题意，先求出线段AB的中点坐标，再利用待定系数法求出直线l的解析式即可． 【解答】解：线段AB的中点坐标为（﹣1，0）， 设直线l的解析式为y＝kx+b， ， 解得， ∴直线l的解析式为：y＝3x+3． 故答案为：y＝3x+3． 【变式3】如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（﹣3，﹣2），C（4，0），D（0，4），当过点A的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 　 ． 【分析】根据题意，先求得直线CD的解析式，得到直线上一点E，使E点的纵坐标为1，则使直线AE，即直线l一部分四边形ABCD的面积，再利用待定系数法，求AE的解析式即可． 【解答】解：设直线CD为：y＝kx+b， ∵C（4，0），D（0，4）两点在直线CD上， ∴， 解得：， ∴直线CD：y＝﹣x+4， ∴当y＝1时，x＝3， ∴E（3，1）， 连接AE， ∵△ADE的面积＝△ACD的面积﹣△ACE的面积， ∴△ADE的面积（6+4）×4（6+4）×1＝15， ∵四边形ABCE的面积＝△ABC的面积+△ACE的面积， ∴四边形ABCE的面积（6+4）×2（6+4）×1＝15， ∴四边形ABCE的面积＝△ADE的面积， ∵A（﹣6，0），E（3，1）， 设直线AE为：y＝mx+n， ∴， ∴， ∴AE：y， 故答案为：y． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 一次函数【11个必考点】 【人教版】 【知识点1 一次函数的定义】 1 【必考点1 一次函数的定义】 1 【知识点2 一次函数的图象和性质】 2 【必考点2 确定系数判断一次函数的图象】 2 【必考点3 两个一次函数图象的判断】 3 【必考点4 一次函数的性质】 5 【必考点5 利用一次函数的增减性比较大小】 6 【必考点6 根据一次函数的增减性求参数范围】 6 【必考点7 画一次函数的图象】 7 【知识点3 一次函数图象的平移】 10 【必考点8 一次函数图象的平移】 10 【知识点4 待定系数法求一次函数解析式】 11 【必考点9 待定系数法求一次函数解析式】 11 【必考点10 用平移法确定一次函数解析式】 12 【必考点11 由几何条件求一次函数解析式】 12 【知识点1 一次函数的定义】 一般地，形如 y=kx+b（k，b是常数且k≠0）的函数是一次函数。 注意：一次函数的结构中，k ≠ 0，自变量系数为 1 。b为任意实数。当b的值等于 0 时，一次函数变成正比例函数。 【必考点1 一次函数的定义】 【例1】函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】要使y＝（m﹣2）x|m﹣1|+3是关于x的一次函数，则m＝　 　 ． 【变式1】下列函数（1）y＝πx；（2）y＝﹣2x+1；（3）；（4）y＝x2﹣1；（5）y＝kx+b（k，b是常数）中，一次函数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】给出下列函数：①x+y＝0；②y＝x+2；③y+3＝3（x+1）；④y＝2x2+1；⑤y2；⑥y＝kx+3．其中y一定是x的一次函数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】若关于x的函数是一次函数，则m的值为 　　 ． 【知识点2 一次函数的图象和性质】 1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,因此,画一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两点画直线就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b. 2.一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b),当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小. 3.一次函数图象经过的象限 【必考点2 确定系数判断一次函数的图象】 【例1】若点（m，n）在第二象限，则一次函数y＝nx+m﹣n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】一次函数y＝mx﹣m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若式子（k﹣2）0有意义，则一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【必考点3 两个一次函数图象的判断】 【例1】两个y关于x的一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【例2】一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【变式1】正比例函数y＝2kx和一次函数y＝kx的大致草图是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若kb＜0，b﹣k＞0，函数y＝kx+b与y＝bx+k在同一坐标系中的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式3】直线l1：y＝kx﹣b（k，b为常数且k，b≠0）和直线l2：（k，b为常数且k，b≠0）在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【必考点4 一次函数的性质】 【例1】关于一次函数y＝﹣4x+8，下列结论不正确的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．图象与y轴的交点坐标是（0，8） C．图象经过第一、二、四象限 D．图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0） 【例2】已知一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）． （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴下方？ （3）m为何值时，直线位于第二、三、四象限？ 【变式1】下列四个选项中，不符合直线yx﹣3的性质与特征的是（　　） A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大 C．与x轴交于点（﹣2，0） D．与y轴交于点（0，﹣3） 【变式2】在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而增大，则它的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】一次函数y＝mx+m+1的图象一定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4】已知函数y＝（2m+3）x+m﹣1， （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，求m的值； （3）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值； （4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围． 【必考点5 利用一次函数的增减性比较大小】 【例1】已知关于x的一次函数y＝（k2+3）x﹣2的图象经过点A（2，m）、B（﹣3，n），则m，n的大小关系为（　　） A．m≥n B．m≤n C．m＞n D．m＜n 【变式1】若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【变式2】已知点P（m，y1），点Q（m+3，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，则下列正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2 【变式3】点（﹣t﹣1，y1），（﹣t﹣3，y2）在一次函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法确定 【必考点6 根据一次函数的增减性求参数范围】 【例1】已知一次函数y＝（3m﹣5）x+2﹣m（m为正整数）的函数y随x的增大而减小，当y＞0时，x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【例2】若点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2，则k的值可能是（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝3 【变式1】若A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝ax+x﹣2图象上的不同的两点，记m＝（x1﹣x2）（ y1﹣y2），则当m＜0时，a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1 【变式2】已知点A（m，y1）和点B（m+1，y2）在一次函数y＝（t﹣1）x+1的图象上，且y1＜y2，则常数t的值可能是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3 【变式3】A（x1，y1）、B（x2，y2）是直线y＝（m﹣2）x+5图象上相异的两点，若，则m的取值范围（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2 【变式4】若一次函数y＝（2﹣2k）x﹣k的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 　 ． 【必考点7 画一次函数的图象】 【例1】已知一次函数． （1）自变量x的取值范围是 　 　 ； （2）将下面列表表示的部分数值补充完整； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 　 　 1.5 　 　 … （3）在图中画出该函数的图象； （4）该图象与x轴的交点坐标是 　 　 ． 【例2】萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数y＝|x﹣2|﹣2的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 k … （1）直接填空：k＝　 　 ； （2）描点并正确地画出该函数图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为 　 　 ； ②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，写出该图象的两条性质：　 　 ． 【变式1】用“列表﹣描点﹣连线”的方法画出函数y＝2x+1的图象． （1）列表：下表是y与x的几组对应值，请补充完整． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣3 　 　 3 　 … （2）描点连线：在平面直角坐标系中，将各点进行描点、连线，画出函数y＝2x+1的图象． 【变式2】绘制函数图象并回答问题． （1）画出函数y＝|x﹣1|的图象； x 　 　 　 　 　 　 　 　 　 y 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）画图步骤：①列表；②　 　 ；③　 　 ； （3）当　 　 时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大． 【变式3】综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？ 请结合一次函数的学习经验探究函数y＝2|x+1|﹣3的图象． （1）列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 m ﹣1 ﹣3 ﹣1 n 3 … 表格中m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：　 　 ； 结论2：　 　 ． 【知识点3 一次函数图象的平移】 1.一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位。左加右减。 ①若函数y=kx+b向左平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x+a）+b 。 ②若函数y=kx+b向右平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x-a）+b 。 2.一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位。上加下减。 ①若函数y=kx+b向上平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b+a 。 ②若函数y=kx+b向下平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b-a 。 【必考点8 一次函数图象的平移】 【例1】将直线l1：y＝﹣2x+1平移后，得到直线l2：y＝﹣2x+3，则下列平移作法正确的是（　　） A．将l1向下平移2个单位长度 B．将l1向下平移4个单位长度 C．将l1向右平移1个单位长度 D．将l1向右平移2个单位长度 【例2】若直线y＝2x﹣1向下平移2个单位长度后经过点（2，m），则m的值为（　　） A．1 B．7 C．10 D．﹣2 【变式1】已知直线l1：y＝3x+1平移之后的直线为l2：y＝3x﹣3，则下面平移方式正确的是（　　） A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【变式2】将直线y＝kx+b向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到直线y＝2x，则（　　） A．k＝2，b＝﹣8 B．k＝﹣2，b＝2 C．k＝1，b＝﹣4 D．k＝2，b＝4 【变式3】在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+1向上平移m（m＞0）个单位长度，再向左平移m个单位长度后，得到新的直线经过点（2，14），则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点4 待定系数法求一次函数解析式】 待定系数法的步骤 （1）设：设所求一次函数的解析式为； （2）代：将图象上的点的横坐标、纵坐标分别代换，得到方程组 （3）解：解关于的值代入中，从而得到函数解析式 常见类型 （1）两点型：直接运用待定系数法求解； （2）平移型：由平移前后k不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知点坐标即可 【必考点9 待定系数法求一次函数解析式】 【例1】已知一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，则它的解析式是（　　） A．y＝3x+5 B．y＝﹣3x﹣5 C．y＝﹣3x+5 D．y＝3x﹣5 【例2】若一次函数y＝kx+b在y轴上的截距为﹣4且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则此一次函数解析式为 　 　 【例3】已知y+1与x﹣2成正比例，且x＝1时，y＝3． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）请判断点P（2，1）是否在这条直线上，并说明理由． 【变式1】一次函数y＝kx+b（k≠0，b为常数）的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 1 2a 2a+3 … 则该一次函数的表达式为（　　） A．y＝x+1 B．y＝2x+1 C．y＝3x+1 D．y＝4x+1 【变式2】已知直线y＝kx+b经过A（5，0），且这条直线与坐标轴所围成的三角形面积为10，则直线y＝kx+b的解析式为　 　 ． 【变式3】已知y与3x﹣2成正比例，且当x＝2时，y＝8． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知点P（a+2，b）在此函数图象上，求代数式10﹣6a+b的值． 【必考点10 用平移法确定一次函数解析式】 【例1】已知直线l经过（2，0）和（0，﹣3），把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线l′，则直线l′的解析式为 　 　 ． 【变式1】一次函数向上平移a个单位后，经过点（﹣3，2a），则平移后的解析式为 　 　 ． 【变式2】将直线y＝﹣2x向下平移后得到直线l，若直线l经过点（a，b），且2a+b＝﹣3，则直线l的解析式为　 　 ． 【变式3】在直角坐标xOy中，直线l1与y＝2x﹣3平行，且经过点（0，5），将直线l1向上平移3个单位，得到直线l2 （1）求这两条直线的解析式； （2）如果直线l2与x轴、y轴分别交于点A，B，求△AOB的面积． 【必考点11 由几何条件求一次函数解析式】 【例1】如图，把含45°角的直角三角板放置在平面直角坐标系的第二象限中，其中A（﹣2，0），B（0，1），求直线BC的表达式． 【变式1】如图，已知等腰直角△ABC的顶点B，C分别在x、y轴上，∠ABC＝90°，点B的坐标是（﹣1，0），C的坐标是（0，3），则直线AC的函数关系式为 　 　 ． 【变式2】已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣5，0），B（3，0），C（0，3），当过点C的直线l将△ABC分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为 　 ． 【变式3】如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（﹣3，﹣2），C（4，0），D（0，4），当过点A的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 　 ． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 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