第12讲 正比例函数【8个必考点】（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学下册必考点分类集训系列（人教版）

第12讲 正比例函数【8个必考点】 【人教版】 【知识点1 正比例函数的定义】 1 【必考点1 判断正比例函数的个数】 1 【必考点2 根据正比例函数的定义求参】 2 【知识点2 正比例函数的图象与性质】 2 【必考点3 正比例函数的图象】 3 【必考点4 正比例函数的性质】 4 【必考点5 由正比例函数的增减性比较大小】 5 【必考点6 由正比例函数的增减性求参】 6 【知识点3 确定正比例函数的解析式】 6 【必考点7 求正比例函数的解析式】 6 【必考点8 正比例函数与几何图形】 7 【知识点1 正比例函数的定义】 1.正比例函数的定义： 一般地，形如 y=kx（k为常数且k≠0） 的函数叫做正比例函数。其中，k叫做 比例系数 。 剖析：①自变量系数（比例系数）不能为 0 。 ②自变量次数一定是 1 。 ③正比例函数解析式中，自变量后面为 0 。 【必考点1 判断正比例函数的个数】 【例1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y；③y；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列函数（1）y＝πx；（2）y＝﹣2x+1；（3）；（4）y＝x2﹣1；（5）y＝kx（k为常数）中，正比例函数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列函数：①；②y＝kx；③y＝（k2+1）x；④；⑤y＝2x﹣3．其中y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】有函数： ①；②；③；④y＝2x﹣3；⑤y＝2x2；⑥y＝3（2﹣x）． 其中正比例函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【必考点2 根据正比例函数的定义求参】 【例1】若关于x的函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 【变式1】已知函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【变式2】函数y＝（m﹣n+1）x|n﹣1|+n﹣2是正比例函数，则m，n应满足的条件是（　　） A．m≠﹣1，且n＝0 B．m≠1，且n＝0 C．m≠﹣1，且n＝2 D．m≠1，且n＝2 【变式3】已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+n﹣4是正比例函数，则m+n＝　 　 ． 【知识点2 正比例函数的图象与性质】 1.正比例函数的图像与性质： k的取值 大致图像 经过象限 y随x的变化情况 k＞0 一、三 y随x的增大而 增大 k<0 二、四 y随x的增大而 减小 正比例函数的图像是必经过 原点 的一条直线。在画正比例函数图像时，还需确定除原点外的另一个点即可。 【必考点3 正比例函数的图象】 【例1】正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A． B． C．﹣1 D． 【变式1】函数y＝mx（m＞0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在下列各图象中，表示函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式3】当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x，则在同一平面直角坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【变式4】已知三个函数的解析式分别为，y2＝x，y3＝2x． （1）如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； （2）仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 【必考点4 正比例函数的性质】 【例1】关于函数，下列结论中正确的是（　　） A．函数的图象必经过点（1，3） B．函数的图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有y＞0 【变式1】对于函数y＝k2x（k是常数，k≠0）的图象，下列说法不正确的是（　　） A．是一条直线 B．过点（，k） C．经过一，三象限或二，四象限 D．y随着x的增大而增大 【变式2】已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则（　　） A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 D．无论x如何变化，y不变 【变式3】已知正比例函数y＝（2m+4）x．求： （1）m为何值时，函数图象经过第一、第三象限； （2）m为何值时，y随x的增大而减小； （3）m为何值时，点（1，3）在该函数图象上． 【必考点5 由正比例函数的增减性比较大小】 【例1】已知点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 【变式1】若正比例函数y＝﹣kx的图象经过第一、第三象限，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）都在函数y＝（k﹣2）x的图象上，且x1＞x3＞x2，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＞y2＞y1 【变式2】如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【变式3】若y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，如果点A（m，a）和点B（﹣m，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（　　） A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．a≥b 【必考点6 由正比例函数的增减性求参】 【例1】已知正比例函数y＝（k+2）x（其中k为常数，且k≠﹣2），如果y的值随x的值增大而增大，那么下列k的值中，不可能的是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 【变式1】已知正比例函数y＝（2m﹣1）x的图象上两点A（a1，b1），B（a2，b2），当a1＜a2时，有b1＞b2，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m＜2 D．m＞0 【变式2】对于正比例函数y＝kx，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，则k的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣0.5 【变式3】已知函数y＝mx﹣3x+5，要使函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　 　 ． 【知识点3 确定正比例函数的解析式】 1.待定系数法求函数解析式 ①设：设 正比例 函数解析式y=kx（k≠0）。 ②带：把已知点带入函数解析式中，得到关于未知系数的方程。 ③解方程：解步骤②中得到的方程，得到比例系数的值。 ④反带：将求得的比例系数带入函数解析式即可 【必考点7 求正比例函数的解析式】 【例1】如图，正比例函数图象经过点A，则该函数的解析式为 　 　 ． 【例2】已知正比例函数图象上的点到x轴的距离与到y轴距离的比为2：3，则函数的解析式为 　 　 ． 【变式1】在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过点（m，4），且y随x的增大而减小，求该正比例函数的表达式． 【变式2】点A（1，3）与B（﹣2，b） 在同一个正比例函数的图象上． （1）求b的值； （2）点C（2，5）在此函数图象上吗？为什么？ 【变式3】已知y与x+1成正比例，且x＝2时，y＝﹣6． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，2）在函数的图象上，求a的值． 【例4】已知两个正比例函数y1＝k1x与y2＝k2x，当x＝2时，y1+y2＝﹣1；当x＝3时，y1﹣y2＝12． （1）求这两个正比例函数的解析式； （2）当x＝4时，求的值． 【必考点8 正比例函数与几何图形】 【例1】已知正比例函数y＝4x的图象上有一点P（x，y），点A（6，0），O为坐标原点，且△APO的面积为12，求点P的坐标． 【例2】已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】已知正比例函数y＝x和y＝3x，过点A（2，0）作x轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交于B，C两点，求△OBC的面积（O为坐标原点）． 【变式2】如图，点B的坐标为（﹣2，0），AB垂直x轴于点B，交直线l于点A，如果△ABO的面积为3，求直线l的解析式． 【变式3】如图，点B、C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，点A、D分别是x轴上的两点，四边形ABCD是正方形，求k值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 正比例函数【8个必考点】 【人教版】 【知识点1 正比例函数的定义】 1 【必考点1 判断正比例函数的个数】 2 【必考点2 根据正比例函数的定义求参】 3 【知识点2 正比例函数的图象与性质】 4 【必考点3 正比例函数的图象】 5 【必考点4 正比例函数的性质】 8 【必考点5 由正比例函数的增减性比较大小】 9 【必考点6 由正比例函数的增减性求参】 11 【知识点3 确定正比例函数的解析式】 12 【必考点7 求正比例函数的解析式】 13 【必考点8 正比例函数与几何图形】 15 【知识点1 正比例函数的定义】 1.正比例函数的定义： 一般地，形如 y=kx（k为常数且k≠0） 的函数叫做正比例函数。其中，k叫做 比例系数 。 剖析：①自变量系数（比例系数）不能为 0 。 ②自变量次数一定是 1 。 ③正比例函数解析式中，自变量后面为 0 。 【必考点1 判断正比例函数的个数】 【例1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y；③y；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k为常数且k≠0），逐一判断即可解答． 【解答】解：已知函数：①y＝2x﹣1；②y；③y；④y＝2x2， 其中属于正比例函数的有：②，只有1个， 故选：A． 【变式1】下列函数（1）y＝πx；（2）y＝﹣2x+1；（3）；（4）y＝x2﹣1；（5）y＝kx（k为常数）中，正比例函数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正比例函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）y＝πx是正比例函数，符合题意； （2）y＝2x+1，是一次函数，不是正比例函数，不符合题意； （3）不是正比例函数，不符合题意； （4）y＝x2﹣1不是正比例函数，不符合题意； （5）y＝kx（k是常数），当k＝0时，不是函数，不符合题意； 所以是正比例函数的个数有1个， 故选：A． 【变式2】下列函数：①；②y＝kx；③y＝（k2+1）x；④；⑤y＝2x﹣3．其中y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】形如y＝kx（k≠0），这样的函数是正比例函数，根据定义逐一分析即可． 【解答】解：是正比例函数，符合题意； 当k≠0时，y＝kx是正比例函数，不符合题意； y＝（k2+1）x是一次函数，符合题意； 不是正比例函数，不符合题意； y＝2x﹣3不是正比例函数．不符合题意； 故是正比例函数的有①③，共2个， 故选：B． 【变式3】有函数： ①；②；③；④y＝2x﹣3；⑤y＝2x2；⑥y＝3（2﹣x）． 其中正比例函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据用x表示成y的函数后，若符合y＝kx（k≠0）的形式，是正比例函数解答即可． 【解答】解：①yx是正比例函数；②y不是正比例函数；③y是正比例函数；④y＝2x﹣3不是正比例函数；⑤y＝2x2不是正比例函数；⑥y＝3（2﹣x）不是正比例函数． 故选：B． 【必考点2 根据正比例函数的定义求参】 【例1】若关于x的函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 【分析】根据正比例函数的定义解答即可． 【解答】解：∵关于x的函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数， ∴m﹣1≠0，m2﹣1＝0， ∴m＝﹣1， 故选：B． 【变式1】已知函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【分析】根据正比例函数的定义，正比例函数的性质，可得答案． 【解答】解：由题意，得 m2﹣3＝1，且m+1＜0， 解得m＝﹣2， 故选：B． 【变式2】函数y＝（m﹣n+1）x|n﹣1|+n﹣2是正比例函数，则m，n应满足的条件是（　　） A．m≠﹣1，且n＝0 B．m≠1，且n＝0 C．m≠﹣1，且n＝2 D．m≠1，且n＝2 【分析】根据正比例函数的定义（形如y＝kx的函数是正比例函数，其中k为常数且k≠0）解决此题． 【解答】解：由题意得，m﹣n+1≠0、n﹣2＝0且|n﹣1|＝1． ∴n＝2． ∴m≠1． 故选：D． 【变式3】已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+n﹣4是正比例函数，则m+n＝　 　 ． 【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k为常数且k≠0），可得|m|﹣1＝1且m﹣2≠0，n﹣4＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： |m|﹣1＝1且m﹣2≠0，n﹣4＝0， ∴m＝±2且m≠2，n＝4， ∴m＝﹣2，n＝4， ∴m+n＝﹣2+4＝2， 故答案为：2． 【知识点2 正比例函数的图象与性质】 1.正比例函数的图像与性质： k的取值 大致图像 经过象限 y随x的变化情况 k＞0 一、三 y随x的增大而 增大 k<0 二、四 y随x的增大而 减小 正比例函数的图像是必经过 原点 的一条直线。在画正比例函数图像时，还需确定除原点外的另一个点即可。 【必考点3 正比例函数的图象】 【例1】正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A． B． C．﹣1 D． 【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论． 【解答】解：由图象知，函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∴k的值可能是， 故选：A． 【变式1】函数y＝mx（m＞0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据m＞0，可知直线经过一三象限，即可判断． 【解答】解：∵m＞0， ∴直线经过一三象限， 故选：A． 【变式2】在下列各图象中，表示函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】一条经过原点的直线．由y＝kx（k＞0）的图象经过一、三象限可得答案． 【解答】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限． ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 【变式3】当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x，则在同一平面直角坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用正比例函数图象的性质结合自变量的取值范围得出符合题意的图象． 【解答】解：∵当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x， ∴此时图象则第一象限， ∵当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x， ∴此时图象则第二象限， 故选：C． 【变式4】已知三个函数的解析式分别为，y2＝x，y3＝2x． （1）如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； （2）仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 【分析】（1）根据题意画出三个正比例函数的图象，即可求解； （2）根据正比例函数的性质结合图象写出3条函数的图象特征即可求解． 【解答】解：（1）列表如下， x … 0 1 … y1 … 0 … y2 … 0 1 … y3 … 0 2 … 三个函数的大致图象，如图所示， （2）性质1，三个函数的函数值y都随着x的增大而增大； 性质2，三个函数的图象都经过（0，0）； 性质3，三个函数的图象都经过一、三象限， 【必考点4 正比例函数的性质】 【例1】关于函数，下列结论中正确的是（　　） A．函数的图象必经过点（1，3） B．函数的图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有y＞0 【分析】当x＝1时，y；由k＞0，函数的图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当x＜0，时，y＜0． 【解答】解：A、函数的图象必经过点（1，），故A错误； B、∵k＞0，∴函数的图象经过第一、三象限，故B错误； C、∵k＞0，∴y随x的增大而增大，故C正确； D、当x＜0时，y＜0，故D错误； 故选：C． 【变式1】对于函数y＝k2x（k是常数，k≠0）的图象，下列说法不正确的是（　　） A．是一条直线 B．过点（，k） C．经过一，三象限或二，四象限 D．y随着x的增大而增大 【分析】先判断出函数y＝k2x（k是常数，k≠0）图象的形状，再根据函数图象的性质进行逐一分析解答，解答． 【解答】解：数y＝k2x（k是常数，k≠0）符合正比例函数的形式． A、正确，函数的图象是一条直线； B、正确，函数的图象过点（，k）； C、错误，∵k是常数，k≠0，∴k2＞0，∴函数的图象经过1，3象限； D、正确，是增函数，故y随着x的增大而增大． 故选：C． 【变式2】已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则（　　） A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 D．无论x如何变化，y不变 【分析】根据正比例函数图象的性质进行解答． 【解答】解：根据图象经过第二、四象限，知k＜0，则y随x的增大而减小． 故选：A． 【变式3】已知正比例函数y＝（2m+4）x．求： （1）m为何值时，函数图象经过第一、第三象限； （2）m为何值时，y随x的增大而减小； （3）m为何值时，点（1，3）在该函数图象上． 【分析】（1）根据函数图象经过一、三象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）根据y随x的增大而减小列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （3）直接把点（1，3）代入正比例函数y＝（2m+4）x，求出m的值即可． 【解答】解：（1）∵函数图象经过一、三象， ∴2m+4＞0，解得m＞﹣2； （2）∵y随x的增大而减小， ∴2m+4＜0，解得m＜﹣2； （3）∵点（1，3）在该函数图象上， （4）∴2m+4＝3，解得m． 【必考点5 由正比例函数的增减性比较大小】 【例1】已知点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 【分析】由k0，利用正比例函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合﹣2＞﹣5，即可得出y1＜y2． 【解答】解：∵k0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，且﹣2＞﹣5， ∴y1＜y2． 故选：A． 【变式1】若正比例函数y＝﹣kx的图象经过第一、第三象限，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）都在函数y＝（k﹣2）x的图象上，且x1＞x3＞x2，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＞y2＞y1 【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，可得k﹣2＜0，根据正比例函数的性质得到y1＜y3＜y2，得到答案． 【解答】解：∵正比例函数y＝﹣kx的图象经过第一、第三象限， ∴﹣k＞0， ∴k＜0， ∴k﹣2＜0， ∴函数y＝（k﹣2）x图象经过第二、四象限． ∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）都在函数y＝（k﹣2）x的图象上，且x1＞x3＞x2， ∴y1＜y3＜y2． 故选：C． 【变式2】如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【分析】根据正比例函数的性质，可以判断a、b、c的正负情况，再根据图象越陡，|k|越大，即可判断a、b、c的大小情况． 【解答】解：由图象可得， a＜0＜c＜b， 故选：D． 【变式3】若y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，如果点A（m，a）和点B（﹣m，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（　　） A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．a≥b 【分析】利用正比例函数的定义可求出m值，进而可得出正比例函数解析式，由k＝﹣4＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合m＜﹣m，即可得出a＞b． 【解答】解：∵y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数， ∴， ∴m＝﹣2， ∴正比例函数的解析式为y＝﹣4x． ∵k＝﹣4＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（m，a）和点B（﹣m，b）在该函数的图象上，且m＜﹣m， ∴a＞b． 故选：B． 【必考点6 由正比例函数的增减性求参】 【例1】已知正比例函数y＝（k+2）x（其中k为常数，且k≠﹣2），如果y的值随x的值增大而增大，那么下列k的值中，不可能的是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 【分析】根据正比例函数的定义得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝（k+2）x（其中k为常数，且k≠﹣2）中，y的值随x的值增大而增大， ∴k+2＞0， 解得k＞﹣2， ∵﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜2， ∴k不可能是﹣3． 故选：A． 【变式1】已知正比例函数y＝（2m﹣1）x的图象上两点A（a1，b1），B（a2，b2），当a1＜a2时，有b1＞b2，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m＜2 D．m＞0 【分析】根据正比例函数图象的增减性解答． 【解答】解：∵正比例函数y＝（2m﹣1）x的图象上两点A（a1，b1），B（a2，b2），当a1＜a2时，有b1＞b2， ∴2m﹣1＜0， 解得m． 故选：A． 【变式2】对于正比例函数y＝kx，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，则k的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣0.5 【分析】由于自变量x增加2，y的值减小6，则y﹣6＝k（x+2），然后把y＝kx代入可求出k的值． 【解答】解：根据题意得y﹣6＝k（x+2）， 即y﹣6＝kx+2k， 而y＝kx， 所以kx﹣6＝kx+2k 2k＝﹣6 解得：k＝﹣3． 故选：C． 【变式3】已知函数y＝mx﹣3x+5，要使函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　 　 ． 【分析】先根据一次函数的增减性得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵函数y＝mx﹣3x+5的图象是y随x的增大而减小， ∴m﹣3＜0， 解得，m＜3． 故答案为：m＜3． 【知识点3 确定正比例函数的解析式】 1.待定系数法求函数解析式 ①设：设 正比例 函数解析式y=kx（k≠0）。 ②带：把已知点带入函数解析式中，得到关于未知系数的方程。 ③解方程：解步骤②中得到的方程，得到比例系数的值。 ④反带：将求得的比例系数带入函数解析式即可 【必考点7 求正比例函数的解析式】 【例1】如图，正比例函数图象经过点A，则该函数的解析式为 　 　 ． 【分析】设该正比例函数的解析式为y＝kx，然后结合图象可知，该函数图象过点A（2，4），由此可利用方程求出k的值，进而解决问题． 【解答】解：设该正比例函数的解析式为y＝kx， 由图象可知，该函数图象过点A（2，4）， ∴2＝k， 即该正比例函数的解析式为y＝2x． 故答案为：y＝2x． 【例2】已知正比例函数图象上的点到x轴的距离与到y轴距离的比为2：3，则函数的解析式为 　 　 ． 【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，根据题意，正比例函数图象上的点的坐标可设为（3a，2a）或（3a，﹣2a），然后把它们分别代入y＝kx可计算出对应的k的值，从而可确定正比例函数解析式． 【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx， ∵正比例函数图象上的点到x轴的距离与到y轴距离的比为2：3， ∴正比例函数图象上的点的坐标可设为（3a，2a）或（3a，﹣2a）， ∴k•3a＝2a或k•3a＝﹣2a ∴k或， ∴正比例函数解析式为yx或yx． 故答案为yx或yx． 【变式1】在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过点（m，4），且y随x的增大而减小，求该正比例函数的表达式． 【分析】利用待定系数法求出m，再结合函数的性质即可解决问题． 【解答】解：∵y＝mx（m是常数，m≠0）的图象经过点（m，4）， ∴m2＝4， ∴m＝±2， ∵y的值随x值的增大而减小， ∴m＜0， ∴m＝﹣2， ∴该正比例函数的表达式为y＝﹣2x． 【变式2】点A（1，3）与B（﹣2，b） 在同一个正比例函数的图象上． （1）求b的值； （2）点C（2，5）在此函数图象上吗？为什么？ 【分析】（1）把A（1，3）代入y＝kx得正比例函数的解析式为y＝3x，把B（﹣2，b）代入y＝3x得b＝﹣6； （2）在y＝3x中，令x＝2得y＝6，即知点C（2，5）不在这个函数的图象上． 【解答】解：（1）设正比例函数的解析式为y＝kx， 把A（1，3）代入y＝kx得：k＝3， ∴正比例函数的解析式为y＝3x， 把B（﹣2，b）代入y＝3x得： 3×（﹣2）＝b， 解得b＝﹣6； （2）点C（2，5）不在这个函数的图象上，理由如下： 在y＝3x中，令x＝2得y＝6， ∴点C（2，5）不在这个函数的图象上． 【变式3】已知y与x+1成正比例，且x＝2时，y＝﹣6． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，2）在函数的图象上，求a的值． 【分析】（1）由于y与x+1成正比例，则可设y＝k（x+1）＝kx+k，然后把x＝2，y＝﹣6代入可得到关于k的方程，求出k即可得到y与x之间的函数关系式； （2）把（a，2）代入（1）的关系式中得到关于a的方程，然后解方程即可求出a的值． 【解答】解：设y＝k（x+1） （1）把x＝2，y＝﹣6代入y＝k（x+1）得﹣6＝k（2+1） 解得k＝﹣2 ∴y＝﹣2（x+1） 即y＝﹣2x﹣2 （2）∵点（a，2）在函数y＝﹣2x﹣2的图象上． ∴2＝﹣2a﹣2 解得a＝﹣2 【例4】已知两个正比例函数y1＝k1x与y2＝k2x，当x＝2时，y1+y2＝﹣1；当x＝3时，y1﹣y2＝12． （1）求这两个正比例函数的解析式； （2）当x＝4时，求的值． 【分析】（1）利用题意列方程组，然后解方程组求出k1与k2的值，从而得到两个正比例函数的解析式； （2）先计算出自变量为4时所对应的两个函数值，然后计算的值． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得， 所以两正比例函数的解析式分别为y1x，y2x； （2）当x＝4时，y1x＝7，y2x＝﹣9， 所以． 【必考点8 正比例函数与几何图形】 【例1】已知正比例函数y＝4x的图象上有一点P（x，y），点A（6，0），O为坐标原点，且△APO的面积为12，求点P的坐标． 【分析】根据正比例函数的解析式设P（x，4x），然后根据S△AOP＝12，利用三角形的面积公式列出方程，求出x的值即可． 【解答】解：∵点P在正比例函数y＝4x的图象上， ∴设P（x，4x）， ∵点A的坐标为（6，0）， ∴OA＝6， ∴S△AOP6×|4x|＝12， 解得x＝1或x＝﹣1． ∴P（1，4）或（﹣1，﹣4）． 【例2】已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得OP＝5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3 ∴点A的纵坐标为﹣2，点A的坐标为（3，﹣2）， ∵正比例函数y＝kx经过点A， ∴3k＝﹣2解得k， ∴正比例函数的解析式是yx； （2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2）， ∴OP＝5， ∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）． 【变式1】已知正比例函数y＝x和y＝3x，过点A（2，0）作x轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交于B，C两点，求△OBC的面积（O为坐标原点）． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C点的坐标，进而可求出BC的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出△OBC的面积． 【解答】解：如图， ∵正比例函数y＝x和y＝3x，过点A（2，0）作x轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交于B，C两点， 当x＝2时，y＝1×2＝2， ∴点B的坐标为（2，2）； 当x＝2时，y＝3×2＝6， ∴点C的坐标为（2，6）． ∴BC＝6﹣2＝4． 又∵点A的坐标为（2，0）， ∴OA＝2， ∴S△OBCOA•BC2×4＝4． 【变式2】如图，点B的坐标为（﹣2，0），AB垂直x轴于点B，交直线l于点A，如果△ABO的面积为3，求直线l的解析式． 【分析】三角形AOB面积等于OB与AB乘积的一半，根据OB与已知面积求出AB的长，确定出A坐标，设直线l解析式为y＝kx，将A坐标代入求出k的值，即可确定出直线l解析式． 【解答】解：∵S△AOBOB•AB＝3，即2×AB＝3， ∴AB＝3，即A（﹣2，﹣3）， 设直线l解析式为y＝kx， 将A坐标代入得：﹣3＝﹣2k，即k＝1.5， 则直线l解析式为y＝1.5x． 【变式3】如图，点B、C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，点A、D分别是x轴上的两点，四边形ABCD是正方形，求k值． 【分析】设正方形的边长为a，根据正方形的性质分别表示出B，C两点的坐标，再将C的坐标代入函数中从而可求得k的值． 【解答】解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a， 把点B代入直线y＝2x的解析式，设点B的坐标为（，a），则点C的坐标为（a，a）， 把点C的坐标代入y＝kx中得，a＝k（a）， 解得k． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$