专题03 一元一次不等式（组）（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材湘教版

清单03 一元一次不等式（组）（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 不等式的定义 用不等号(>,<,>,<,≠)连接而成的式子叫作不等式. 代数式、等式、不等式的区别 (1)代数式:用运算符号把数字与字母连起来的式子; (2)等式:用“=”连接代数式,表示相等关系的式子; (3)不等式:用不等号连接代数式,表示不等关系的式子. 清单02 列不等式 1.列不等式表示不等关系的步骤: (1)审题,分清数量的大小关系 (2)列出相应的代数式,用表示不等关系的符号列出不等式. 3. 不等式与方程的区别 (1) 从定义上来看,不等式是表示不等关系的式子，而方程是含有未知数的等式; (2)从符号上来看,不等式是用“>”“<”“>”“<”或“≠”连接而成的式子,而方程是用“=”来连接两边的式子; (3)从是否含有未知数上来看,不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数,而方程则必须含有未知数. 清单03 不等式的基本性质 基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号的方向不变,即若a>b,则a±c>b±c. 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若a>b,c>0,则ac>bc,a>b， 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即若a>b,c<0,则ac<bc, 清单04 不等式的解与解集 不等式的解:满足一个不等式的未知数的个值,称为这个不等式的一个解 不等式的解集:一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集. 解不等式;求一个不等式的解集的过程。 清单05 一元一次不等式的解法 定义:含有一个未知数,且含有未知数的项的次数是1的不等式,称为一元一次不等式. 解法:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 清单06 一元一次不等式的应用 由实际问题中的不等关系列出不等式,就能把实际问题转化为数学问题,通过解不等式可以得到实际问题的答案。 列一元一次不等式解应用题 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的一个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 清单07 一元一次不等式组的解法 (1)定义:把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来,就组成了一个一元一次不等式组; (2)解集:几个一元一次不等式解集的公共部分,叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集; (3)解不等式组:求不等式组的解集的过程,叫作解不等式组. 常见情形:已知 a<b. 清单08 一元一次不等式组的应用 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的两个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式组,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 【考点题型一】不等式的意义（） 【例1】如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（     ）    A． B． C． D． 【变式1-1】2023年2月5日某市气象台播报该市2月5日气温是，这表示该市当天的最低气温是 ，最高气温是 ．设该市当天某一时刻气温为，则关于t的不等关系是 ． 【变式1-2】有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤．其中，属于不等式是 （填序号）． 【变式1-3】用不等式表示下列数量之间的关系： (1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于2000元； (2)长为，宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积； (3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间，这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位． 【考点题型二】不等式的基本性质的应用（） 【例2】已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式2-2】在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．请比较大小： 1（用“”、“”或“”填空） 【变式2-3】无论x为何值，是否一定有？请说明理由． 【考点题型三】求一元一次不等式的解集（） 【例3】不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】不等式的解集为 ． 【变式3-2】解不等式：． 【变式3-3】解不等式：． 【考点题型四】在数轴上表示不等式的解集（） 【例4】在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【考点题型五】求一元一次不等式的整数解（） 【例5】不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】不等式的最小整数解是（   ） A． B． C．0 D．1 【变式5-2】不等式的非负整数解有 个． 【变式5-3】点在数轴上的位置如图所示，设点对应的数为，若，则符合条件的的整数值为 ． 【考点题型六】求一元一次不等式的最值（） 【例6】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【变式6-1】李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【变式6-2】不等式的最小整数解是 【变式6-3】已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ． 【考点题型七】一元一次不等式的实际应用（） 【例7】某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价30元，羽毛球每只定价5元．该店还制定了两种优惠方法： ①买一副球拍赠送一只羽毛球； ②按总价的付款． 某人计划购买4副球拍，只羽毛球（）， 此人通过计算发现：用方法①所需费用不超过方法②，那么此人最多买了 只羽毛球． 【变式7-1】2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神州十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．某航模商店购进A、两种航空模型进行销售，已知购进种航空模型和种航空模型各1个共65元，购进A种航空模型2个和种航空模型1个共需90元． (1)求A、两种航空模型进价分别多少元； (2)某商店计划购买、两种航空模型共80个，若、两种航空模型的售价分别是40元和50元，要使获得的利润不低于1100元，请问至少购买种航空模型多少个？ 【变式7-2】为提升学生对人工智能的了解，激发学生对科技的探索热情，某学校计划采购两种人工智能学习套件．已知购买套套件和套套件共需元，购买套套件和套套件共需元． (1)求两种人工智能学习套件的单价； (2)该校计划购买两种人工智能学习套件共套，总费用不超过元，那么至少可购买种人工智能学习套件多少套？ 【变式7-3】山西老陈醋已经有3000年的生产历史，被誉为“天下第一醋”．某专卖店欲销售度和度的陈醋共2000桶，其零售价如下表所示，若能全部售出，且总销售收入不低于88000元，则该专卖店最少售出度的陈醋多少桶？ 类别 单价 度 40元/桶 度 48元/桶 【变式7-4】某商家销售两款盲盒．已知购进4个款盲盒的费用与购进5个款盲盒的花费相同，每个款盲盒的进价比每个款盲盒的进价多20元． (1)每个款盲盒和每个款盲盒的进价分别是多少元？ (2)根据网上预定的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进A，B两款盲盒共200个，求最多可以购进款盲盒的个数． 【考点题型八】一元一次不等式组的定义（） 【例8】下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式8-2】我们把两个（或两个以上）的 ，就组成了一个一元一次不等式组． 【考点题型九】求不等式组的解集（） 【例9】一元一次不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】解不等式组 【变式9-3】解不等式组：． 【考点题型十】求一元一次不等式组的整数解（） 【例10】不等式组的整数解共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-1】若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 【变式10-2】如果不等式组的所有整数解之和为12，那么m的取值范围是 ． 【变式10-3】解不等式组，并写出所有整数解． 【考点题型十一】由不等式组解集的情况求参数（） 【例11】若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】若不等式组的解集是，则 ． 【变式11-3】已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 【考点题型十二】不等式组与方程组的综合应用（） 【例12】关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式12-2】已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式12-3】已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)当取（1）中最大负整数值时，求的值． 【考点题型十三】一元一次不等式组的实际应用（） 【例13】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A、B两种型号的电器的销售单价； (2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【变式13-2】某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【变式13-3】2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【变式13-4】.某工厂为了提高生产效率，计划对甲、乙两种型号机器进行改造，根据预算，改造2个甲种型号机器比3个乙种型号机器多需资金1万元，改造3个甲种型号机器和1个乙种型号机器共需资金18万元． (1)改造1个甲种型号机器和1个乙种型号机器所需资金分别是多少万元？ (2)已知改造1个甲种型号机器的时间是3天，改造1个乙种型号机器的时间是2天，该工厂计划改造甲、乙两种型号机器共16个，改造资金最多能投入68万元，要求改造时间不少于40天，请问有几种改造方案？哪种方案工厂投入资金最少，最少是多少？ 【考点题型十四】 不等式的新定义问题（） 【例14】高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：；．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0、1、2．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）． 【变式14-1】对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则 ． 【变式14-2】在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【变式14-3】我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如： (1)求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解都是（1）中不等式的解，求的取值范围． (3)若关于的不等式组有解，求的取值范围． 【变式14-4】定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 一、单选题 1．下列式子中，①；②；③；④；⑤；⑥．不等式的有(　　)． A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 2．若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．不等式x－5＞4x－1的最大整数解是(      ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 4．已知关于x的方程2x+4=m﹣x的解为负数，则m的取值范围是 A． B． C．m＜4 D．m＞4 5．已知，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，那么（    ） A．m一定是正数 B．m是0或负数 C．m是非负数 D．m一定是负数 7．足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了14场比赛，得分不低于20分，那么该队至少胜了几场（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 8．关于x的不等式，其中，则其解集为 ． 9．不等式组的所有整数解的和是 ． 10．不等式 (x－m)＞3－m的解集为x＞1，则m的值为 . 11．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ． 12．不等式组的解集是，那么的取值范围是 ． 13．若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 14．有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3公顷或乙种蔬菜2公顷，已知甲种蔬菜每公顷可收入0.5万元，乙种蔬菜每公顷可收入0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则至多安排 人种甲种蔬菜． 15．某商品进价是1000元，售价为1500元．为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于5%，则商店最多降 元出售商品． 三、解答题 16．解下列不等式，并将解集用数轴表示出来： (1)； (2)． 17．解下列不等式组： (1) (2) ． 18．如果关于x的方程的解大于关于x的方程的解，求a的取值范围． 19．阅读下面解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 所以 ．③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 20．为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？ 21．某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同种商品40件，如果商店销售这些商品时，每件定价为x元，则会获得不少于12%的利润，用不等式表示以上问题中的不等关系，并把这个不等式变形为“x≥a”或“x≤a”的形式． 22．某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元.，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利120元． （1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 一元一次不等式（组）（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 不等式的定义 用不等号(>,<,>,<,≠)连接而成的式子叫作不等式. 代数式、等式、不等式的区别 (1)代数式:用运算符号把数字与字母连起来的式子; (2)等式:用“=”连接代数式,表示相等关系的式子; (3)不等式:用不等号连接代数式,表示不等关系的式子. 清单02 列不等式 1.列不等式表示不等关系的步骤: (1)审题,分清数量的大小关系 (2)列出相应的代数式,用表示不等关系的符号列出不等式. 3. 不等式与方程的区别 (1) 从定义上来看,不等式是表示不等关系的式子，而方程是含有未知数的等式; (2)从符号上来看,不等式是用“>”“<”“>”“<”或“≠”连接而成的式子,而方程是用“=”来连接两边的式子; (3)从是否含有未知数上来看,不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数,而方程则必须含有未知数. 清单03 不等式的基本性质 基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号的方向不变,即若a>b,则a±c>b±c. 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若a>b,c>0,则ac>bc,a>b， 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即若a>b,c<0,则ac<bc, 清单04 不等式的解与解集 不等式的解:满足一个不等式的未知数的个值,称为这个不等式的一个解 不等式的解集:一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集. 解不等式;求一个不等式的解集的过程。 清单05 一元一次不等式的解法 定义:含有一个未知数,且含有未知数的项的次数是1的不等式,称为一元一次不等式. 解法:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 清单06 一元一次不等式的应用 由实际问题中的不等关系列出不等式,就能把实际问题转化为数学问题,通过解不等式可以得到实际问题的答案。 列一元一次不等式解应用题 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的一个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 清单07 一元一次不等式组的解法 (1)定义:把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来,就组成了一个一元一次不等式组; (2)解集:几个一元一次不等式解集的公共部分,叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集; (3)解不等式组:求不等式组的解集的过程,叫作解不等式组. 常见情形:已知 a<b. 清单08 一元一次不等式组的应用 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的两个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式组,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 【考点题型一】不等式的意义（） 【例1】如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式的知识，明确题意是解答本题的关键． 根据不超过指的是小于等于，直接列不等式即可作答． 【详解】解：∵汽车的最高时速不得超过，某汽车的时速为，且该汽车没有超速， ∴， 故选：B． 【变式1-1】2023年2月5日某市气象台播报该市2月5日气温是，这表示该市当天的最低气温是 ，最高气温是 ．设该市当天某一时刻气温为，则关于t的不等关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列不等式，掌握列不等式的方法是解题的关键．利用最低气温和最高气温即可表示出气温的变化范围． 【详解】解：，这表示该市当天的最低气温是 ，最高气温是 ．设该市当天某一时刻气温为，则关于t的不等关系是． 故答案为：；；． 【变式1-2】有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤．其中，属于不等式是 （填序号）． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查不等式的判断，根据用不等号连接的式子叫做不等式，进行判断即可． 【详解】解：①；②；③；④；⑤中①②⑤是不等式，③是等式，④是代数式； 故答案为：①②⑤． 【变式1-3】用不等式表示下列数量之间的关系： (1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于2000元； (2)长为，宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积； (3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间，这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题重点考查根据实际问题列不等关系 （1）根据题意直接列出不等式即可． （2）根据长方形以及正方形的面积列出不等式即可． （3）根据总座位数为，以及有一些人没有座位即人数大于座位上列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： （2）解：根据题意可知： （3）解：根据题意可知： 【考点题型二】不等式的基本性质的应用（） 【例2】已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质．根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，选项A错误，不符合题意； 同理：，即， ∴，选项B错误，不符合题意； ∴，， ∴，，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-1】已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，不等式的性质，根据等式的变形代入计算，然后逐项判断解题即可． 【详解】解：A.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意； B.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意； C.由，，则可得到，结论正确，不符合题意； D.由可得，则，当时，，即，原结论错误，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．请比较大小： 1（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，不等式的性质，由可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式2-3】无论x为何值，是否一定有？请说明理由． 【答案】一定有，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，因为，再根据不等式的两边加上同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即可得结论． 【详解】解：无论x为何值，一定有， 理由如下： ∵， ∴， ∴无论x为何值，一定有． 【考点题型三】求一元一次不等式的解集（） 【例3】不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 解不等式得到，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式3-1】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据“去括号，移项，合并同类项，系数化为1”求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式3-3】解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 根据一元一次不等式的解法即可得． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故不等式的解集为． 【考点题型四】在数轴上表示不等式的解集（） 【例4】在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，注意表示时空心点和实心圈的区别：不带等号用空心圈，带等号用实心点．先求出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 该不等式的解集在数轴上表示为： 故选：A． 【变式4-1】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解本题的关键．求出不等式的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得：， 将不等式解集表示在数轴上如下： 故选：B． 【变式4-2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 在数轴上表示为： ， 故选：B． 【变式4-3】解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查求不等式的解集，将解集表示在数轴上，先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 把不等式的解集在数轴上表示如下： 【考点题型五】求一元一次不等式的整数解（） 【例5】不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查求一元一次不等式的正整数解．正确的求出不等式的解集，是解题的关键．先求出不等式的解集，再确定正整数解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的正整数解为：，2，共2个； 故选：B． 【变式5-1】不等式的最小整数解是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查求不等式的整数解，先根据移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在解集范围内确定不等式的整数解即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得：， ∴不等式的最小整数解是， 故选：B． 【变式5-2】不等式的非负整数解有 个． 【答案】4 【分析】此题考查了求不等式的非负整数解．先解不等式求出不等式的解集，再找出非负整数解即可． 【详解】解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的非负整数解是，共4个． 故答案为：4． 【变式5-3】点在数轴上的位置如图所示，设点对应的数为，若，则符合条件的的整数值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解集，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用的取值范围推出的取值范围，从而推出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴符合条件的整数值为：； 故答案为：． 【考点题型六】求一元一次不等式的最值（） 【例6】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 【变式6-1】李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【答案】(1)这个算式的值为 (2)被遮挡的数的最小值为 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题关键． （1）将直接代入算式即可求解； （2）设被遮挡的数为，根据题意得，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：若被手遮挡的数是，则， 这个算式的值为． （2）解：设被遮挡的数为， 由题意得：， 解得：， 被遮挡的数的最小值为． 【变式6-2】不等式的最小整数解是 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先求出不等式的解集，再写出其最小整数解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ， 所以不等式的最小整数解是． 故答案为：． 【变式6-3】已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】把当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出的范围即可． 【详解】解：方程， 解得：， ∵关于的方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关键． 【考点题型七】一元一次不等式的实际应用（） 【例7】某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价30元，羽毛球每只定价5元．该店还制定了两种优惠方法： ①买一副球拍赠送一只羽毛球； ②按总价的付款． 某人计划购买4副球拍，只羽毛球（）， 此人通过计算发现：用方法①所需费用不超过方法②，那么此人最多买了 只羽毛球． 【答案】16 【分析】根据题意列式分别求出两种优惠办法分别付的钱，再结合方法①所需费用不超过方法②，得，解得，即可作答．本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：方法①需要付款：（元）； 方法②需要付款：（元）． ∵方法①所需费用不超过方法②， ∴， 解得， 那么此人最多买了16只羽毛球． 故答案为：16． 【变式7-1】2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神州十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．某航模商店购进A、两种航空模型进行销售，已知购进种航空模型和种航空模型各1个共65元，购进A种航空模型2个和种航空模型1个共需90元． (1)求A、两种航空模型进价分别多少元； (2)某商店计划购买、两种航空模型共80个，若、两种航空模型的售价分别是40元和50元，要使获得的利润不低于1100元，请问至少购买种航空模型多少个？ 【答案】(1)种航空模型进价为25元，种航空模型进价为40元 (2)至少购买种航空模型60个 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解题的关键． （1）设A种航天飞船模型每件的进价为x元，B种航天飞船模型每件的进价为y元，根据购进种航空模型和种航空模型各1个共65元，购进A种航空模型2个和种航空模型1个共需90元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买种航模个，根据利润不低于1100元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种航空模型进价为元/个，种航空模型进价为元/个． 依题意可得， 解得， 答：A种航空模型进价为25元，种航空模型进价为40元． （2）解：设购买A种航模个，由题意可得： 解得， 答：至少购买A种航空模型60个． 【变式7-2】为提升学生对人工智能的了解，激发学生对科技的探索热情，某学校计划采购两种人工智能学习套件．已知购买套套件和套套件共需元，购买套套件和套套件共需元． (1)求两种人工智能学习套件的单价； (2)该校计划购买两种人工智能学习套件共套，总费用不超过元，那么至少可购买种人工智能学习套件多少套？ 【答案】(1)种人工智能套件的单价是元，种人工智能套件的单价是元； (2)至少可购买种人工智能套件套． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （）设种人工智能套件的单价是元，种人工智能套件的单价是元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）设购买种人工智能套件套，则购买种人工智能套件套，根据题意列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：设种人工智能套件的单价是元，种人工智能套件的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：种人工智能套件的单价是元，种人工智能套件的单价是元； （2）解：设购买种人工智能套件套，则购买种人工智能套件套， 根据题意得：， 解得：， ∴的最小值为，       答：至少可购买种人工智能套件套． 【变式7-3】山西老陈醋已经有3000年的生产历史，被誉为“天下第一醋”．某专卖店欲销售度和度的陈醋共2000桶，其零售价如下表所示，若能全部售出，且总销售收入不低于88000元，则该专卖店最少售出度的陈醋多少桶？ 类别 单价 度 40元/桶 度 48元/桶 【答案】该专卖店最少售出度的陈醋1000桶 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设该专卖店售出度的陈醋桶，则售出度的陈醋桶，根据全部售出，且总销售收入不低于88000元建立不等式，解不等式，求出的最小正整数解即可得． 【详解】解：设该专卖店售出度的陈醋桶，则售出度的陈醋桶， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为1000， 答：该专卖店最少售出度的陈醋1000桶． 【变式7-4】某商家销售两款盲盒．已知购进4个款盲盒的费用与购进5个款盲盒的花费相同，每个款盲盒的进价比每个款盲盒的进价多20元． (1)每个款盲盒和每个款盲盒的进价分别是多少元？ (2)根据网上预定的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进A，B两款盲盒共200个，求最多可以购进款盲盒的个数． 【答案】(1)每个A款盲盒进价100元，每个B款盲盒进价80元； (2)最多购买A款盲盒50个． 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用． （1）根据题意，设每个B款盲盒的进价是x元，则每个A款盲盒的进价是元，根据题意列出一元一次方程即可得到答案； （2）设购买A款盲盒m个，则购买B款盲盒个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个B款盲盒的进价是x元，则每个A款盲盒的进价是元． 由题意可得， 解得， 则． 即每个A款盲盒进价100元，每个B款盲盒进价80元； （2）解：设购买A款盲盒m个，则购买B款盲盒个． ， 解得， 因为m为整数，所以m最大为50， 即最多购买A款盲盒50个． 【考点题型八】一元一次不等式组的定义（） 【例8】下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不符合一元一次不等式组定义； B、符合一元一次不等式组的定义； C、含有等式，不符合一元一次不等式组定义； D、含有等式，且有两个未知数，不符合一元一次不等式组定义； 故选：B． 【变式8-1】现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【变式8-2】我们把两个（或两个以上）的 ，就组成了一个一元一次不等式组． 【答案】一元一次不等式合在一起 【分析】本题考查了一元一次不等式组的概念，直接根据一元一次不等式组的定义解答． 【详解】解：把两个（或两个以上）的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 故空中填：一元一次不等式合在一起． 【考点题型九】求不等式组的解集（） 【例9】一元一次不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 【变式9-1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键，分别解不等式组中的两个不等式，把它们解集在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：； 解不等式得：， ∴， 在数轴上表示为：， 故选：B． 【变式9-2】解不等式组 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 原不等式组的解集为：． 【变式9-3】解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组．运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的方法解不等式组． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 【考点题型十】求一元一次不等式组的整数解（） 【例10】不等式组的整数解共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解得知识点，首先确定不等式组的解集，然后在解集范围内找出符合条件的整数解有几个．注意各个不等式的解集的公式部分就是这个不等式组的解集，再找出在这范围内的整数． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 故不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，共3个， 故选：C． 【变式10-1】若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围，正确得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵关于x的不等式组有2个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】如果不等式组的所有整数解之和为12，那么m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了不等式组的整数解问题，正确求出不等式组的解集是解题的关键．根据题意，解不等式组得到，结合不等式组的所有整数解之和为12，分①整数解为5，4，3；②整数解为5，4，3，2，1，0，，两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解之和为12，， 中含有的整数解为5，4，3或5，4，3，2，1，0，，， 当中含有的整数解为5，4，3，则； 当中含有的整数解为5，4，3，2，1，0，，，则； 综上所述，m的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式10-3】解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】，所有整数解为，，，， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而写出所有整数解即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组所有整数解为，，，，． 【考点题型十一】由不等式组解集的情况求参数（） 【例11】若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查已知不等式组的解集，求字母的取值范围，根据不等式组的解集得到，求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故选：C 【变式11-1】如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的求法，已知不等式解集反过来求m的范围． 先用含有m的代数式把原不等式组的解集表示出来，由题意不等式的解集为，再根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出m的范围． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， 根据已知条件，不等式组解集是， 根据“同大取大”原则． 故选：A． 【变式11-2】若不等式组的解集是，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别表示不等式组的解集，根据已知解集确定出与的值，即可求出原式的值． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 由不等式组的解集为，得到， 解得：，， 则原式， 故答案为：． 【变式11-3】已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键． 先求出不等式组的解集，然后根据不等式组无解得出a的取值范围． 【详解】解： 解得 ∵关于的不等式组无解 ∴． 故答案为：． 【考点题型十二】不等式组与方程组的综合应用（） 【例12】关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 【变式12-1】已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是求出．先解方程组得出，再根据为正数，为非负数判断①，把代入可判断②，将代入可判断③． 【详解】解：由得， 为正数，为非负数， ， ，故①错误； 当时，，， ，故②正确； 当时，，， 此时，故③正确， 正确的有②③， 故选：B． 【变式12-2】已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为非负数得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于的方程组的解都为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 【变式12-3】已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)当取（1）中最大负整数值时，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先解二元一次方程组用m表示出x、y，再根据得到关于m的不等式，解不等式即可； （2）根据（1）所求得到m的值，即可得到答案． 【详解】（1）解： 用②－①得：，解得， 把代入到②得：，解得， ∵， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∵m取最大负整数， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，代数式求值，熟知相关计算方法是解题的关键． 【考点题型十三】一元一次不等式组的实际应用（） 【例13】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 【变式13-1】某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A、B两种型号的电器的销售单价； (2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元 (2)能；方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键． （1）设A、B两种型号的电器的销售单价分别为x元、y元，根据题意列出二元一次方程进行计算即可； （2）设采购A种型电器a台，则采购B种型号电器台，列出不等式组进行计算即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元； （2）解：能； 设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台， ， 解得：， ∵a为整数， 或． 方案有两种： 方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台； 方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台． 【变式13-2】某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】(1)A型50元，B型100元； (2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 【变式13-3】2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【变式13-4】.某工厂为了提高生产效率，计划对甲、乙两种型号机器进行改造，根据预算，改造2个甲种型号机器比3个乙种型号机器多需资金1万元，改造3个甲种型号机器和1个乙种型号机器共需资金18万元． (1)改造1个甲种型号机器和1个乙种型号机器所需资金分别是多少万元？ (2)已知改造1个甲种型号机器的时间是3天，改造1个乙种型号机器的时间是2天，该工厂计划改造甲、乙两种型号机器共16个，改造资金最多能投入68万元，要求改造时间不少于40天，请问有几种改造方案？哪种方案工厂投入资金最少，最少是多少？ 【答案】(1)改造1个甲种型号机器需要5万元，改造1个乙种型号机器需要3万元 (2) 共有3种改造方案：方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器；方案2：改造9个甲种型号机器和7个乙种型号机器；方案3：改造10个甲种型号机器和6个乙种型号机器．其中方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器投入资金最少，最少资金是64万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程组和不等式组是解题的关键． （1）设改造1个甲种型号机器需要x万元，改造1个乙种型号机器需要y万元，根据改造2个甲种型号机器比3个乙种型号机器多需资金1万元，改造3个甲种型号机器和1个乙种型号机器共需资金18万元建立方程组求解即可； （2）设改造m个甲种型号机器，则改造个乙种型号机器，根据改造资金最多能投入68万元，要求改造时间不少于40天建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设改造1个甲种型号机器需要x万元，改造1个乙种型号机器需要y万元， 由题意得 解得， 答：改造1个甲种型号机器需要5万元，改造1个乙种型号机器需要3万元． （2）解：设改造m个甲种型号机器，则改造个乙种型号机器， 由题意得 解得． ∵m为正整数， ∴， ∴共有3种改造方案： 方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器； 方案2：改造9个甲种型号机器和7个乙种型号机器； 方案3：改造10个甲种型号机器和6个乙种型号机器． 方案1所需费用为（万元）； 方案2所需费用为（万元）； 方案3所需费用为（万元）． ∵， ∴方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器投入资金最少，最少资金是64万元． 【考点题型十四】 不等式的新定义问题（） 【例14】高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：；．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0、1、2．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】① 【分析】本题考查了一元一次不等式组和有理数的混合运算、新定义，解题的关键是明确表示不超过的最大整数． 根据表示不超过的最大整数来进行求解． 【详解】解：①，故此项正确； ②错误，例如：，，； ③若，则，所以，故此项错误； ④当时，，， 分类讨论： 当时，，， ，或，或； 当时，，， ，或，或； ∴或，故此项错误． 综上所述，错误的有②③④． 故答案为：①． 【变式14-1】对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了新定义、解一元一次不等式组和一元一次不等式，正确列出不等式和不等式组是关键．根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴ 解得， ∵关于的不等式的最大整数解为， ∴ 解得 ∵为最大整数， ∴； 故答案为： 【变式14-2】在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 【变式14-3】我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如： (1)求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解都是（1）中不等式的解，求的取值范围． (3)若关于的不等式组有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运算法则，得，再解出，即可作答． （2）根据运算法则，得，再解出，再结合关于的不等式的解都是（1）中不等式的解，得，即可作答． （3）先根据运算法则，得，再解出和，因为关于的不等式组有解，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于的不等式的解都是（1）中不等式的解， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 则由得； 由得， ∴， ∴， ∴， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∴． 【变式14-4】定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”． 故答案为：③． （2）解：解方程组得：， ∴， ∵方程组的解是不等式组的梦想解， ∴， ∴， ∴m的整数解为． 一、单选题 1．下列式子中，①；②；③；④；⑤；⑥．不等式的有(　　)． A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义：用不等号连接而成的式子，即可作出判断． 【详解】解：不等式有：③；④；⑤；⑥，共4个． 故选B． 【点睛】本题考查了不等式的识别，掌握不等式的定义是关键． 2．若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故本选项不符合题意； B．∵，∴，故本选项符合题意； C．∵，∴，故本选项不符合题意； D．∵，∴，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键． 3．不等式x－5＞4x－1的最大整数解是(      ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】求出不等式的解集即可求得最大整数解． 【详解】解：解不等式可得，即，所以最大整数解为-2． 故选A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式及其整数解，正确求得不等式的解集是关键． 4．已知关于x的方程2x+4=m﹣x的解为负数，则m的取值范围是 A． B． C．m＜4 D．m＞4 【答案】C 【详解】试题分析：解2x+4=m﹣x得，． ∵方程的解为负数，∴＜0，解得m＜4． 故选C． 5．已知，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化“1”即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是不等式的解法，熟练的解一元一次不等式是解本题的关键． 6．已知，那么（    ） A．m一定是正数 B．m是0或负数 C．m是非负数 D．m一定是负数 【答案】D 【分析】先移项，再合并，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选D 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的解法步骤是解本题的关键． 7．足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了14场比赛，得分不低于20分，那么该队至少胜了几场（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意设胜了场，平了场，负了场，根据不低于20分，列方程与不等式求解即可． 【详解】解：设这个队胜了场，平了场，负了场， ；， ∴， ∴， 当时，， ∴该队至少胜了3场； 故选A 【点睛】本题考查的是不等式的应用，三元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系列方程与不等式是解本题的关键． 二、填空题 8．关于x的不等式，其中，则其解集为 ． 【答案】 【分析】先判断，再根据不等式的性质解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是不等式的解法，熟练的利用不等式的性质解不等式是解本题的关键． 9．不等式组的所有整数解的和是 ． 【答案】6 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，然后从解集中找出所有的整数相加即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：x≤3, ∴不等式组的解集是：， ∴其中的整数有：0,1,2,3， ∴0+1+2+3=6． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了解不等式组，不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 10．不等式 (x－m)＞3－m的解集为x＞1，则m的值为 . 【答案】4 【详解】试题分析：去分母得，x﹣m＞3（3﹣m）， 去括号得，x﹣m＞9﹣3m， 移项，合并同类项得，x＞9﹣2m． ∵此不等式的解集为x＞1， ∴9﹣2m=1，解得m=4． 11．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可求得答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 12．不等式组的解集是，那么的取值范围是 ． 【答案】m≤4 【详解】试题解析： 由①得：x>4.当x>m时的解集是x>4，根据同大取大，所以 故答案为 13．若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】a＞－1 【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知得出关于a的不等式，求出即可． 【详解】∵由得x≥－a； 由得x＜1． ∴ ∴－a≤x＜1． ∵原不等式组有解， ∴－a＜1，即a＞－1． ∴a的取值范围是a＞－1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式组的解集，解一元一次不等式组的应用，解此题关键是能得出关于a的不等式． 14．有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3公顷或乙种蔬菜2公顷，已知甲种蔬菜每公顷可收入0.5万元，乙种蔬菜每公顷可收入0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则至多安排 人种甲种蔬菜． 【答案】4 【分析】设最多安排x人种甲种蔬菜，根据有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3公顷或乙种蔬菜2公顷，已知甲种蔬菜每公顷可收入0.5万元，乙种蔬菜每公顷可收入0.8万元，若要使收入不低于15.6万元，可列不等式求解． 【详解】解：设安排x人种甲种蔬菜， 3x×0.5+2（10﹣x）×0.8≥15.6， 解得：x≤4． 所以最多安排4人． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，关键设出种植甲的人数，以总收入作为不等量关系列不等式求解． 15．某商品进价是1000元，售价为1500元．为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于5%，则商店最多降 元出售商品． 【答案】450 【分析】设商店降x%出售商品，根据“进价是1000元，售价是1500元，利润率不低于5%”即可列不等式求解. 【详解】解：设商店降x%出售商品，由题意得 ≥1000×（1+5%） 解得x≥30 则商店最多降30%出售商品． ∴商店最多降元出售商品． 故答案为：450． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．解题的关键是读懂题意，找到不等关系，正确列不等式求解. 三、解答题 16．解下列不等式，并将解集用数轴表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析； (2)，数轴见解析 【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示：    （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示：    【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 17．解下列不等式组： (1) (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： 由①得， 则②得， ∴不等式组的解集为； （2）， 由①得， 则②得， ∴， ∴． ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握解一元一次不等式组是方法与步骤是解本题的关键． 18．如果关于x的方程的解大于关于x的方程的解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】先求出两个方程的解，然后列出不等式，求解不等式即可． 【详解】解：解方程，得：x＝． 解方程，得：x＝． 由题意得： 解得：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程，解答本题的关键是掌握不等式的性质． 19．阅读下面解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 所以 ．③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)②； (2)错误地运用了不等式的基本性质3 (3)见解析 【分析】（1）由不等式的性质可得第②步开始出现错误； （2）由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变可得错误原因； （3）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误； （2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质的应用，熟记不等式的基本性质是解本题的关键． 20．为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？ 【答案】7 【分析】设购买球拍个，由已知可知，乒乓球共买20个，单价为1.5元每个，而球拍为每个22元，总金额不超过200元， 列出不等式求解即可． 【详解】解：设购买球拍个，依题意得： ， 解之得：， 由于取整数，故的最大值为7． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式求解是解题的关键． 21．某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同种商品40件，如果商店销售这些商品时，每件定价为x元，则会获得不少于12%的利润，用不等式表示以上问题中的不等关系，并把这个不等式变形为“x≥a”或“x≤a”的形式． 【答案】x≥14.56． 【分析】关系式为：总售价-总进价＞总进价×12%，把相关数值代入化简即可． 【详解】解：由题意得 (10＋40)x－(15×10＋12.5×40)≥(15×10＋12.5×40)×12%， ∴x≥14.56． 【点睛】考查一元一次不等式的应用，得到利润的不等式是解决本题的关键；用到的知识点为：利润率×成本=利润． 22．某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元.，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利120元． （1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？ 【答案】（1）A型号计算器售价为42元，B型号计算器售价为56元；（2）最少需要购进A型号计算器30台． 【分析】（1）首先设A种型号计算器的销售价格是x元，A种型号计算器的销售价格是y元，根据题意可等量关系：①5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；②销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可． 【详解】解：（1）设A型号计算器售价为元，B型号计算器售价为元 由题意可得: 解得: 答：A型号计算器售价为42元，B型号计算器售价为56元． （2）设购进A型号计算器台，则B型号计算器（70-a）台 由题意可得： 30a+40（70-a）≤2500 解得：a≥30 答：最少需要购进A型号计算器30台． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解答此题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程；还考查了不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$