专题02 实数（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材湘教版

清单02 实数（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 平方根 平方根:如果有一个数r,使得,那么我们把r叫作a的一个平方根,也叫作二次方根. 注意:(1)负数没有平方根,0的平方根是0;(2)一般地,如果r是正数a 的一个平方根那么a的平方根有且只有两个:r与-r. 清单02 算术平方根 算术平方根:正数a的正平方根叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”. 注意:“正数”和“正平方根”,即算术平方根具有双重非负性. 清单03 无理数的概念 无理数:无限不循环小数叫作无理数. 清单04 立方根的求法 立方根:如果一个数b,使得,那么将b叫作a的一个立方根.a的立方根记作,读作“立方根号a”(或“三次根号a”). 开立方:求一个数的立方根的运算,叫作开立方. 清单05 立方根的应用 求立方根的两种方法(1)定义法:求一个数a的立方根通常用主方运算,先找出立方等于a的数,写出立方 式,再由立方式写出a的立方根的值;(2)借助计算器:直接利用计算器求一个数a 的立方根. 清单06 实数的概念及分类 概念:有理数和无理数统称为实数. 分类:(1)按定义分: (2) 按性质分:正实数、零、负实数, 清单07 实数与数轴 关系:实数和数轴上的点一一对应. 含义:(1)每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示; (2) 数轴上的每一个点都可以表示唯一的一个实数. 清单08 实数的运算 (1) 有关数、式、方程(组)的性质、法则、运算顺序和解法,对于实数仍然成立; (2)有理数的运算律在实数中仍然适用. 【考点题型一】求平方根、算术平方根（） 【例1】若，，则的值为（   ） A． B．6 C． D．8 【变式1-1】一个数的算术平方根为，则这个数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】 ． 【变式1-3】已知某正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【考点题型二】已知一个数的平方根，求这个数（） 【变式2-1】若一个数的平方根为和，则a的值为 ，这个数为 ． 【变式2-2】如果一个正数两个不同的平方根是与，那么这个正数是 ． 【变式2-3】一个正数的两个平方根分别为与，则 ． 【考点题型三】无理数的概念及大小估算（） 【例3】下列实数是无理数的是（    ） A． B． C．5 D． 【变式3-1】下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】估算的值在正整数（    ） A．1和2之间 B．1和3之间 C．3和4之间 D．5和6之间 【变式3-3】有一块面积为的长方形土地，若它的长与宽的比为，则宽在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式3-4】已知为整数，且，则的值为 ． 【考点题型四】平方根的实际应用（） 【例4】如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系． (1)当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（参考数据：） (2)当所花时间为秒时，求此时细线的长度． 【变式4-1】为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 【变式4-2】在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【考点题型五】求一个数的立方根（） 【例5】的立方根是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】下列各数中，立方根不等于它本身的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式5-2】已知，则的值为 ． 【考点题型六】已知一个数的立方根，求这个数（） 【例6】已知，则的值为（   ） A．9 B． C． D．3 【变式6-1】已知a的立方根为，则a的值为 ． 【变式6-2】如果的立方等于27，那么的算术平方根是 ． 【变式6-3】已知，则的平方根为 ． 【考点题型七】立方根的实际应用（） 【例7】如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C． D． 【变式7-1】如图，该几何体由8个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】将长为，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入一个正方体贮水池净化，这些废水正好灌满这个正方体贮水池．求该正方体贮水池的棱长． 【变式7-3】一个底面半径为的圆柱体玻璃杯装满水，杯的高度为，现将这杯水全部倒入一正方体容器中，正好占正方体容器容积的（玻璃杯及容器的厚度可以不计），求正方体容器的棱长． 【考点题型八】算术平方根和立方根的综合应用（） 【例8】已知，求的平方根． 【变式8-1】己知和是某正数 m 的两个平方根，的立方根为2 (1)求a，b  的值； (2)求m 的值 ． 【变式8-2】已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的立方根． 【变式8-3】已知正数的两个不同平方根分别是和，且的立方根为2． (1)求和正数及的值； (2)求的平方根． 【考点题型九】实数性质的应用（） 【例9】已知与互为相反数，求的平方根． 【变式9-1】.已知实数，满足，求的值． 【变式9-2】我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． (1)如果，其中、为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 【变式9-3】一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)化简：． 【考点题型十】实数与数轴的综合运用（） 【例10】如图，数轴上点A，B表示的数分别是和2，点C表示的数为x．已知点C在数轴的负半轴上，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等． (1)请求出数x的值． (2)化简：． 【变式10-1】如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1． (1)图中正方形ABCD的面积为________，它的边长为________ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值， (3)若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答： ①点P表示的数为________ ②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2025重合？ 【变式10-2】已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)如图，在数轴上表示实数的点是______． 【变式10-3】【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积______，边长______． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)以小正方形的边长作为1个单位画数轴，将图②中点放在数1处，以为圆心，为半径画圆，与数轴交于点，直接写出点表示的数． 【考点题型十一】实数的混合运算（） 【例11】计算： (1)； (2)． 【变式11-1】计算：． 【变式11-2】计算：． 【变式11-3】计算：． 【变式11-4】小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2． (1)①实数25经过一次变换所得的数是_______； ②实数25经过一次B变换所得的数是_______； (2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______； (3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由． 【考点题型十二】实数大小的比较（） 【例12】实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（   ） A．a B．b C．c D．d 【变式12-1】比大小： 2． 【变式12-2】若，，则a b．（请用“”“”或“”表示） 【变式12-3】把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为．比较大小： （填“”“”或“”） 【考点题型十三】新定义下的实数运算（） 【例13】数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“Q运算”，得．下列说法正确的个数是（   ） ①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，则； ②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式； ③对4，5，6，7，，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式13-1】对于非零的两个实数，规定．若，则的值为（   ） A． B．13 C．5 D． 【变式13-2】若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是： ． 【变式13-3】.如果两个整式、满足关系：（为整数），则称为的级式．例如：，，为的三级式． (1)若，，且为的级式，则________，_________． (2)若为完全平方式，为的级式且，求代数式的值． 【变式13-4】若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，因为，所以5是一个“完美数”． (1)请你再写一个大于10且小于20的“完美数”______； (2)已知M是一个“完美数”，且（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为______． 【考点题型十四】 与实数相关的规律问题（） 【例14】已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【变式14-1】如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 【变式14-3】观察： ①， ②___________________， ③___________________， …… 探究： （1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； （2）请直接写出第④个等式； 拓展： （3）按照你发现的规律，写出第n个等式． 57．观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； (2)用含的式子表示出第个等式：___________； (3)计算：． 【变式14-4】设，，，…，依此规律，解答下列问题． （1） ； （2）计算的值为 ． 一、单选题 1．25的平方根是（ ） A．±5 B．5 C．–5 D．625 2．在下列各数：…、、、、、、…中，无理数的个数是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（ ） A．无理数的相反数还是无理数 B．无限不循环小数都是无理数 C．正数、负数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应 4．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．－2与 B．－2与 C．－2与 D．与2 5．满足的整数是（      ） A．，，，，， B．，，，， C．，，，，， D．，，， 6．当的值为最小值时，a的取值为（    ） A． B．0 C． D．1 7．一个正偶数的算术平方根是，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 8．是的平方根，是64的立方根，则＝（　   ） A．3 B．7 C．3，7 D．1，7 9．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|－|c－b|的结果是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 10．平方等于本身的数是 ,立方等于本身的数是 . 11．125的立方根是 ．的算术平方根是 ． 12．若，则x+y+z= ． 13．比较下列实数的大小① ；② ． 14． ；若，则 ，若，则 ． 15．的相反数是 ，的倒数是 ，的平方根是 ． 16．已知实数，，在数轴上对应的点在原点两旁，且，那么 ． 17．如图，“以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以数轴的原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点”，该图说明数轴上的点并不都表示 ． 三、解答题 18．计算题：   （1） （2）． 19．求下列各式中的x的值 (1)4＝25 (2)． 20．已知，、互为倒数，、互为相反数，求的值. 21．一个数的两个平方根分别是a＋3和2a－15，试求这个数． 22．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求－的值. 23．已知，是实数，且与互为相反数，求实数的倒数． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 实数（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 平方根 平方根:如果有一个数r,使得,那么我们把r叫作a的一个平方根,也叫作二次方根. 注意:(1)负数没有平方根,0的平方根是0;(2)一般地,如果r是正数a 的一个平方根那么a的平方根有且只有两个:r与-r. 清单02 算术平方根 算术平方根:正数a的正平方根叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”. 注意:“正数”和“正平方根”,即算术平方根具有双重非负性. 清单03 无理数的概念 无理数:无限不循环小数叫作无理数. 清单04 立方根的求法 立方根:如果一个数b,使得,那么将b叫作a的一个立方根.a的立方根记作,读作“立方根号a”(或“三次根号a”). 开立方:求一个数的立方根的运算,叫作开立方. 清单05 立方根的应用 求立方根的两种方法(1)定义法:求一个数a的立方根通常用主方运算,先找出立方等于a的数,写出立方 式,再由立方式写出a的立方根的值;(2)借助计算器:直接利用计算器求一个数a 的立方根. 清单06 实数的概念及分类 概念:有理数和无理数统称为实数. 分类:(1)按定义分: (2) 按性质分:正实数、零、负实数, 清单07 实数与数轴 关系:实数和数轴上的点一一对应. 含义:(1)每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示; (2) 数轴上的每一个点都可以表示唯一的一个实数. 清单08 实数的运算 (1) 有关数、式、方程(组)的性质、法则、运算顺序和解法,对于实数仍然成立; (2)有理数的运算律在实数中仍然适用. 【考点题型一】求平方根、算术平方根（） 【例1】若，，则的值为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式及平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式展开，再将值代入计算，然后求平方根即可得出答案． 【详解】解： ，， ， ， 故选C． 【变式1-1】一个数的算术平方根为，则这个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵一个数的算术平方根是， ∴这个数是． 故选：C． 【变式1-2】 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是算术平方根，解答本题的关键是掌握算术平方根的求法．根据算术平方根的求法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】已知某正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，先根据正数的平方根有两个，互为相反数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根为和， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴这个正数是， 故选：D 【考点题型二】已知一个数的平方根，求这个数（） 【变式2-1】若一个数的平方根为和，则a的值为 ，这个数为 ． 【答案】 5 225 【分析】本题考查了平方根的定义．根据一个正数的平方根互为相反数，可得出的值，再代入即可得出这个数．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 【详解】解：∵一个数的平方根是和， ∴， 解得， 把代入， ， 故这个数为225， 故答案为：5，225． 【变式2-2】如果一个正数两个不同的平方根是与，那么这个正数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用；解题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．根据一个正数的平方根互为相反数可得出a的值，代入后即可得出这个正数． 【详解】由题意得， 解得：， 则这个正数为：， 故答案为：． 【变式2-3】一个正数的两个平方根分别为与，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要查了平方根的性质，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】解：∵正数的两个平方根分别为与， ∴， 解得：． 故答案为：3． 【考点题型三】无理数的概念及大小估算（） 【例3】下列实数是无理数的是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的概念，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，即可求解． 【详解】解：，，是有理数，是无理数， 故选：D． 【变式3-1】下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义、算术平方根，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．根据无理数的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、是有理数，不属于无理数，不符合题意； B、属于无理数，符合题意； C、，6是有理数，不属于无理数，不符合题意； D、是有理数，不属于无理数，不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】估算的值在正整数（    ） A．1和2之间 B．1和3之间 C．3和4之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算即可解答． 【详解】解：， ， 估算的值在正整数3和4之间． 故选：C． 【变式3-3】有一块面积为的长方形土地，若它的长与宽的比为，则宽在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键． 设长为，则宽为，根据题意可得：，从而可得，进而可得宽为米，然后再估算出的值的范围，即可解答． 【详解】解：设长为，则宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴宽为米， ， 而， ， ∴宽约为之间， 故选：D． 【变式3-4】已知为整数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用完全平方数即可估算解答． 【详解】解：，为整数， ， 故答案为：． 【考点题型四】平方根的实际应用（） 【例4】如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系． (1)当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（参考数据：） (2)当所花时间为秒时，求此时细线的长度． 【答案】(1)小重物来回摆动一次所用的时间约为1.47秒 (2)此时细线的长度是22.5米 【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键． （1）直接把代入关系式，即可求出t的值． （2）直接把代入关系式，即可求出l的值． 【详解】（1）解：已知，当时， 答：小重物来回摆动一次所用的时间约为1.47秒． （2）解：当时， 答：此时细线的长度是22.5米． 【变式4-1】为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 【答案】(1)长方形相框的长为，宽为． (2)小明不能将拼图放入这个相框中，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形拼图的边长． （1）设长方形相框的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出正方形拼图的边长，然后与相框的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形相框的长为，宽为， 由题意得， ， ． 答：长方形相框的长为，宽为． （2）解；面积为的正方形拼图的边长是， ， ， ，即相框的宽小于正方形拼图的边长， 小明不能将拼图放入这个相框中． 【变式4-2】在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1) (2) (3)够用 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，实数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用开平方求解即可； （3）比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为， （2）解：由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为， 所以， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， （3）解：， ∴， ∴铁丝够用． 【考点题型五】求一个数的立方根（） 【例5】的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 的立方根是． 故选：A． 【变式5-1】下列各数中，立方根不等于它本身的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，解题的关键是熟知立方根的概念以及立方根等于它本身的只有，，．根据立方根的概念即可判断． 【详解】解：立方根等于它本身的是，，， 的立方根是， 故选：D． 【变式5-2】已知，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了立方根的计算，掌握立方根的性质是关键． 根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，列式求解即可． 【详解】解：，即一个数的立方根等于它本身， ∴当时， 解得，； 当时， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 【考点题型六】已知一个数的立方根，求这个数（） 【例6】已知，则的值为（   ） A．9 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知一个数的立方根求这个数，根据立方根的定义得出，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A 【变式6-1】已知a的立方根为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了已知一个数的立方根，求这个数，根据a的立方根为，可得：，据此求出a的值是多少即可． 【详解】解∵a的立方根为， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】如果的立方等于27，那么的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与算术平方根的概念．利用立方根的概念，解出x的值，再利用算术平方根的概念即可解得． 【详解】解：∵ ∴ ∴的算术平方根是 故答案为：． 【变式6-3】已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根的定义得出，进而求平方根即可． 【详解】解：， ， ， 的平方根为． 故答案为：． 【考点题型七】立方根的实际应用（） 【例7】如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论．掌握立方根的意义是解题的关键． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又∵， ∴棱长应变为原来的倍． 故选：A． 【变式7-1】如图，该几何体由8个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握正方形的体积公式是解题的关键． 根据题意，计算出每一个小正方体的体积，直接开立方即可得到每个小正方体的棱长． 【详解】解：由条件可知：每一个小正方体的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故选：A． 【变式7-2】将长为，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入一个正方体贮水池净化，这些废水正好灌满这个正方体贮水池．求该正方体贮水池的棱长． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法的应用，科学记数法，解此题的关键是要知道正方体贮水池的容积等于长方体废水池的容积，而正方体的容积等于棱长的立方，逆用积的乘方运算性质可得棱长． 【详解】根据题意可知，正方体贮水池的容积长方体废水池的容积 ， 又因为正方体贮水池的棱长的立方等于它的容积， 所以这个正方体贮水池的棱长是． 【变式7-3】一个底面半径为的圆柱体玻璃杯装满水，杯的高度为，现将这杯水全部倒入一正方体容器中，正好占正方体容器容积的（玻璃杯及容器的厚度可以不计），求正方体容器的棱长． 【答案】这个正方体容器的棱长为 【分析】此题主要考查了立方根，正确把握圆柱体以及正方体的体积公式应用是解题关键．直接利用圆柱体体积求法以及正方体体积求法进而得出等式求出答案． 【详解】解：设正方体容器的棱长为，根据题意可得： ， 解得：， 答：这个正方体容器的棱长为． 【考点题型八】算术平方根和立方根的综合应用（） 【例8】已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，立方根和平方根，代数式求值，解题关键是掌握当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据平方和绝对值的非负性，求出，，再代入计算求出，即可得到平方根． 【详解】解：， ，， ，， ， 的平方根是． 【变式8-1】己 知和是某正数 m 的两个平方根，的立方根为2 (1)求a，b  的值； (2)求m 的值 ． 【答案】(1)a 的值为 1 ，b 的值为 4 (2)m 的值为 9 【分析】本题考查的是平方根与立方根的含义，求解一个数的平方根； （1）根据平方根与立方根的含义可得，再进一步求解即可； （2）先计算，再由平方根的含义可得答案． 【详解】（1） ∵和是某正数 m 的两个平方根，的立方根为 2 ∴ 解得： ∴a 的值为 1 ，b 的值为 4； （2）∵， ∴， ∴m 的值为 9． 【变式8-2】已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根、立方根、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的定义得到，根据立方根的定义得到，即可求解； （2）根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得：， 的立方根是， ， 解得：， 综上所述，，． （2）解：， ， 的立方根为3． 【变式8-3】已知正数的两个不同平方根分别是和，且的立方根为2． (1)求和正数及的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、一元一次方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）由题意得，和互为相反数，列出方程解出的值，得出和的值，得出正数的值，再利用立方根的定义求出的值即可； （2）由（1）得，，计算出的值，再利用平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：正数的两个不同平方根分别是和， 和互为相反数， ， 解得：， ，， 正数的两个不同平方根分别是和5， ， 的立方根为2， ， 解得：， 综上所述，，，． （2）解：由（1）得，，， ， 的平方根为． 【考点题型九】实数性质的应用（） 【例9】已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根的含义，求解一个数的平方根，相反数的含义，先由相反数的定义可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得， ∴． ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 【变式9-1】.已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，解题的关键是求出、的值．根据非负数的性质求出、的值，再代入中求解即可． 【详解】解：实数，满足， ，， ，， ． 【变式9-2】我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． (1)如果，其中、为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）利用材料中的规定列出，的方程，解方程即可得出结论； （2）利用材料中的规定列出，的方程，解方程求得，的值，再利用平方根的意义解答即可． 【详解】（1）解： ， ， ，， 解得：，， 故答案为：，； （2） ， ， 即， ， ， 的算术平方根为． 【变式9-3】一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)化简：． 【答案】(1)，； (2)7 【分析】本题考查了实数的性质，平方根，熟练掌握平方根和绝对值的性质是解题的关键． （1）一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，由此列出，即可求出a和x的值； （2）把a、x的值代入，根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）由题意，得， 解得， ∴； （2）∵， ∴ ． 【考点题型十】实数与数轴的综合运用（） 【例10】如图，数轴上点A，B表示的数分别是和2，点C表示的数为x．已知点C在数轴的负半轴上，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等． (1)请求出数x的值． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． （1）根据，利用数轴上两点间的距离公式列出关于x的方程，即可求得x的值； （2）根据（1）中x的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是和2， ∴， 由已知得， ∵点C在数轴的负半轴上， ∴； （2）解：∵， ∴． 【变式10-1】如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1． (1)图中正方形ABCD的面积为________，它的边长为________ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值， (3)若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答： ①点P表示的数为________ ②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2025重合？ 【答案】(1)10， (2) (3)①；②不存在 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算， （2）利用无理数估算的方法即可求得和；将和代入计算即可； （3）①根据点表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，②判断是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论． 本题考查实数与数轴，算术平方根，正方形的面积，无理数的估算．掌握等面积法是解决（1）的关键，（2）中需注意小数部分原数整数部分． 【详解】（1）解：正方形的面积为； 正方形的边长为； 故答案为： （2）解： ， ， ∴， ； （3）解：①点A表示的数为1，正方形的边长为， 点表示的数为：； ②不存在． 理由：假设存在正整数，则， ， ， n为正整数， 为有理数，而为无理数， 上式等号不成立．即不存在正整数． 【变式10-2】已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)如图，在数轴上表示实数的点是______． 【答案】(1)a的值为3，x的值为16； (2) 【分析】本题考查了平方根的概念及无理数的估算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得，，求解即可； （2）先代入表示出的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可． 【详解】（1）一个正数x的两个平方根分别是和， ，， 解得， 所以，a的值为3，x的值为16； （2）， ， ， ，即， ∴在数轴上表示实数的点是， 故答案为：． 【变式10-3】【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积______，边长______． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)以小正方形的边长作为1个单位画数轴，将图②中点放在数1处，以为圆心，为半径画圆，与数轴交于点，直接写出点表示的数． 【答案】(1)5； (2)图见解析 (3)或 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，熟练掌握算术平方根的几何意义是解题的关键． （1）利用割补法求出正方形的面积，再进行开平方运算即可得到边长； （2）根据边长为的格点正方形可知其面积为8，得到减去的四个直角三角形的面积都为2，即可得到直角三角形的两条直角边长均为2，从而得到答案； （3）根据题意分情况讨论，当点在的右侧时，利用，即可求得答案；当点在的左侧时，利用，即可求得答案． 【详解】（1）解：由图形可得， ， ， 故答案为：5；． （2）解：画边长为的格点正方形， 该正方形的面积为8， 网格由16个小正方形组成，即面积为16， 同（1）可知，减去的四个直角三角形的面积都为2， 即该直角三角形的两条直角边长均为2， 故图形如图所示即为所求， （3）解：以小正方形的边长作为1个单位画数轴，将点放在数1处， ， 由（1）可知， 以为圆心，为半径画圆，与数轴交于点， 当点在的右侧时，， 即点表示的数为； 当点在的左侧时，， 即点表示的数为； 综上，点表示的数为或． 【考点题型十一】实数的混合运算（） 【例11】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． （1）先利用乘法分配律和绝对值的性质化简，再算加减； （2）先根据算术平方根和立方根的意义化简，再算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式11-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根、绝对值、立方根的性质化简，再加减即可． 【详解】解： ． 【变式11-2】计算：． 【答案】7 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方和开方，再算乘法，后算加减． 【详解】 解： ． 【变式11-3】计算：． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的混合运算、立方根、算术平方根，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．根据立方根、算术平方根、乘法分配律、绝对值的性质化简，再加减即可． 【详解】解： ． 【变式11-4】小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2． (1)①实数25经过一次变换所得的数是_______； ②实数25经过一次B变换所得的数是_______； (2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______； (3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)①4；②2 (2)1，511 (3)存在，x的值为4或9 【分析】本题考查了实数的运算，涉及算术平方根，立方根，无理数的估算． （1）①根据题意，列式进行计算即可；②根据题意，列式进行计算即可； （2）根据立方根的定义列式求解即可； （3）根据题意，列出x的方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 故答案为：4； ②， ， 不超过的最大整数为2， 故答案为：2； （2）解：根据题意得：， ，且m是整数， m的最小值是1；最大值是； 故答案为：1，511； （3）解：存在，x的值为4或9， ，， 当时，即， ， 当时，， ， ∴当时，， 当时，， ， 所以当时，， 当时，的最小值为，的最小值为3， ， 不存在x值使得， x的值为4或9时，成立． 【考点题型十二】实数大小的比较（） 【例12】实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数大小的比较方法，首先根据数轴的特征，以及绝对值的含义和性质，判断出实数a，b，c，d的绝对值的取值范围，然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最大的是哪个数即可． 【详解】解：根据图示，可得，，，， 所以这四个数中，绝对值最大的是d. 故选：D． 【变式12-1】比大小： 2． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，立方根的定义，根据进行比较即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式12-2】若，，则a b．（请用“”“”或“”表示） 【答案】 【分析】本题考查平方差公式变形，比较实数大小等．根据题意可得，再利用作差法即可比较两个数的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-3】把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为．比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了用求差法比较实数的大小，因为，其中，所以可得：，从而可得：． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为： ． 【考点题型十三】新定义下的实数运算（） 【例13】数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“Q运算”，得．下列说法正确的个数是（   ） ①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，则； ②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式； ③对4，5，6，7，，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键．①根据“Q运算”的运算方法进行运算，即可判定；②首先根据“Q运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定；③先分析得出为使两两差绝对值最小，则q应位于不含q的数列的中位数附近时运算结果最小，根据中位数即可判断． 【详解】解：①对n，，1进行“Q运算”的结果是8， 则， ， 当时，， 解得：； 当时，，方程无解； 当时，， 解得：； 故或2，则①错误； ②对a，b，c，c进行“Q运算”，， 当，， 当，， 当，， 当，， 当，， 当，， 化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故②正确； ③若对4，5，6，7，，2025，进行“Q运算”，该数列共2022项，插入q后共2023项， 为使两两差绝对值最小，则q应位于原数列的中位数附近，原数列中位数为， 则当时，运算结果最小，故③错误； 故选：B 【变式13-1】对于非零的两个实数，规定．若，则的值为（   ） A． B．13 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，理解题意，明确算法是解决本题的关键．首先根据规定，若，可得，，解得，的值，据此即可解答． 【详解】解：规定，若， ， 解方程组得，， ， 故选：C． 【变式13-2】若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是： ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键．直接根据“如意数”的概念进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴与是关于6的“如意数”． 故答案为：． 【变式13-3】.如果两个整式、满足关系：（为整数），则称为的级式．例如：，，为的三级式． (1)若，，且为的级式，则________，_________． (2)若为完全平方式，为的级式且，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了新定义，完全平方式，理解新定义是解答关键． （1）根据为的级式得到即可求解； （2）根据完全平方式得到，分两种情况，利用为的级式来求解． 【详解】（1）解： ，，且为的级式， ， 即， ， ， ，． （2）解：为完全平方式， ． 为的级式 当时，，即， ， 当时，， 即， ． 综上，的值为或． 【变式13-4】若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，因为，所以5是一个“完美数”． (1)请你再写一个大于10且小于20的“完美数”______； (2)已知M是一个“完美数”，且（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为______． 【答案】(1)13或18 (2)36 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）根据题意可得，则可推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∴满足题意的数为13或18； 故答案为：13或18； （2）解： ， ∵x，y是两个任意整数，且M是一个“完美数”， ∴是一个完全平方式， ∴． 故答案为：36； 【考点题型十四】 与实数相关的规律问题（） 【例14】已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， ……， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式14-1】如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 【变式14-2】先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，掌握题干规律是解答本题的关键． （1）观察所给的几个等式直接写出第④个等式即可； （2）观察所给的几个等式的规律直接写出第n个等式即可； （3）根据（2）中规律化简即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③ 根据以上规律可得第④个等式是：． （2）解：根据以上规律可得第n个等式是：． （3）解： ． 【变式14-3】观察： ①， ②___________________， ③___________________， …… 探究： （1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； （2）请直接写出第④个等式； 拓展： （3）按照你发现的规律，写出第n个等式． 【答案】（1）1，，2，，3；（2）；（3） 【分析】本题考查出指数运算、规律归纳，解题的关键是提取，将左边幂运算简化为右边指数形式，得出通项规律． 探究：（1）观察前三个等式的结构，左边为连续两个2的幂相减（如），通过提取公因数化简，发现右边结果为，补充缺失的指数项即可； （2）根据规律，第④个等式对应，即左边为，化简后右边为． 拓展：通过前几项的指数变化规律，归纳出第个等式为，体现从具体到一般的数学归纳能力． 【详解】解：探究：（1）1，，2，，3， （2）； 拓展：（3）第n个式子：． 57．观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； (2)用含的式子表示出第个等式：___________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，实数的简便计算，找出分数的分母与n的关系是解题关键． （1）根据分数的分母变化规律即可解答； （2）根据分数的分母变化规律即可解答； （3）根据前后两项相加后抵消的规律，利用（2）的结论计算求值即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：由上规律可得，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【变式14-4】设，，，…，依此规律，解答下列问题． （1） ； （2）计算的值为 ． 【答案】 （或） 【分析】本题考查了数字规律探索以及算术平方根的运算，解题的关键是找出的规律表达式．先通过观察已知的的表达式，找出的一般规律，再根据规律分别计算的值以及的值． 【详解】（1）解：； 可得规律． 当时，； （2）解：由可得： 其中1有10个， ． 故答案为：；（或）． 一、单选题 1．25的平方根是（ ） A．±5 B．5 C．–5 D．625 【答案】A 【详解】试题分析：∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 故选A． 考点：平方根． 2．在下列各数：…、、、、、、…中，无理数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】无理数是指无限不循环小数，根据判断即可． 【详解】解： ，，， ，…是有理数， …，是无理数，共个， 故选A 【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 3．下列说法错误的是（ ） A．无理数的相反数还是无理数 B．无限不循环小数都是无理数 C．正数、负数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】C 【分析】根据实数的定义和分类进行分析判断． 【详解】、无理数的相反数还是无理数，如：的相反数是也是无理数，的相反数也是无理数，原说法正确，不符合题意； 、无理数就是无限不循环小数，原说法正确，不符合题意； 、正有理数、负有理数和统称为有理数，原说法错误，符合题意； 、实数与数轴上的点一一对应，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查实数的定义和分类，属于基础题型． 4．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．－2与 B．－2与 C．－2与 D．与2 【答案】C 【分析】根据相反数的定义，绝对值，算术平方根，立方根来进行判断即可． 【详解】解：由相反数的定义可知， A．-2与2是互为相反数，-2与不是互为相反数，故此选项不符合题意； B．因为，-2与2互为相反数，与-2不是互为相反数，故此选项不符合题意； C．因为，-2与2互为相反数，故此选项符合题意； D．因为，2与-2互为相反数，所以与2不是互为相反数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相反数，绝对值，算术平方根，立方根，理解“只有符号不同的两个数是互为相反数”是正确判断的关键． 5．满足的整数是（      ） A．，，，，， B．，，，， C．，，，，， D．，，， 【答案】D 【分析】估算出，，即可求解． 【详解】解：∵ ，， ∴，， ∴， ∵整数满足， ∴ ，且为整数， ∴ 整数是，，，． 故选：D 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，确定，是解题的关键． 6．当的值为最小值时，a的取值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据算术平方根的非负性求解即可． 【详解】解：∵≥0， ∴当4a+1=0时，取得最小值，此时a=， 故选：C． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性、解一元一次方程，会利用算术平方根的非负性求最值是解答的关键． 7．一个正偶数的算术平方根是，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据算术平方根的概念先求得这个正偶数为，再根据算术平方根的定义即可求得与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根． 【详解】解：∵一个正偶数的算术平方根是m， ∴这个正偶数为， ∴与这个正偶数相邻的下一个正偶数为+2， ∴与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是． 故选C． 【点睛】此题主要考查算术平方根的定义及其应用，比较简单． 8．是的平方根，是64的立方根，则＝（　   ） A．3 B．7 C．3，7 D．1，7 【答案】D 【分析】根据平方根和立方根的性质求解即可； 【详解】∵是的平方根，y是64的立方根， ∴＝±3，＝4则＝3＋4＝7或＝－3＋4＝1； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的性质，准确计算是解题的关键． 9．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|－|c－b|的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先从数轴上a、b、c的位置关系可知:c＜a＜0;b＞0且|c|＞|b| ,接着可得a＋b＞0,c－b＜0然后即可化简|a＋b|－|c－b|可得结果. 【详解】从数轴上a、b、c的位置关系可知:c＜a＜0;b＞0且|c|＞|b|, 故a＋b＞0,c－b＜0,即有|a＋b－|c－b|＝ a＋b＋c－b＝ a＋c，所以答案选D. 【点睛】此题主要考查了利用数轴比较两个的大小和化简绝对值，解本题的要点在于知道数轴的特点:从原点向右为正数,向左为负数,以及实数与数轴上的点的对应关系. 二、填空题 10．平方等于本身的数是 ,立方等于本身的数是 . 【答案】 0和1 0和±1 【详解】平方根等于它本身的数是0和1；立方根等于它本身的数是0和±1 . 故答案为0和1；0和±1. 11．125的立方根是 ．的算术平方根是 ． 【答案】 5 2 【分析】根据立方根及算术平方根可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴125的立方根是5，的算术平方根是2； 故答案为5；2． 【点睛】本题主要考查立方根及算术平方根，熟练掌握立方根及算术平方根是解题的关键． 12．若，则x+y+z= ． 【答案】6 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ ∴x-1=0，y-2=0，z-3=0， ∴x=1，y=2，z=3． ∴x+y+z=1+2+3=6． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 13．比较下列实数的大小① ；② ． 【答案】 < > 【分析】①根据负数的比较方法先比较绝对值的大小，再根据实数大小比较分析即可； ②先比较，的大小关系，再比较，即可． 【详解】解：①∵ ， ∴ ， 故答案为：<； ②∵ ， ∴ ， 即． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 14． ；若，则 ，若，则 ． 【答案】 【分析】根据实数的大小比较，化简绝对值进行分析即可 【详解】解： ； 若，则， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，绝对值的意义，掌握化简绝对值是解题的关键． 15．的相反数是 ，的倒数是 ，的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，相反数的定义，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根以及平方根计算即可． 【详解】的相反数是， ∵   ， ∴   的倒数是， ∵   ， ∴   的平方根是． 故答案为：，， 【点睛】本题考查了绝对值的意义，相反数的定义，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根以及平方根，掌握绝对值的意义，相反数的定义，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根以及平方根是解题的关键． 16．已知实数，，在数轴上对应的点在原点两旁，且，那么 ． 【答案】1 【分析】先根据数轴的特点求出a+b的值，再根据0指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵实数a，b，在数轴上对应的点在原点两旁，且|a|=|b|， ∴a+b=0， ∴aa+b=a0=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等是解答此题的关键． 17．如图，“以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以数轴的原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点”，该图说明数轴上的点并不都表示 ． 【答案】有理数 【分析】先根据勾股定理求出OC的长，根据OC=OA即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵四边形是边长为的正方形， ∴， ∴， ∵是无理数， ∴该图说明数轴上的点并不都表示有理数． 故答案为：有理数． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 三、解答题 18．计算题：   （1） （2）． 【答案】（1）-3；（2）11 【分析】（1）根据有理数的乘方，求一数的立方根和算术平方根进行计算； （2）根据求一数的立方根和算术平方根，化简绝对值，进行实数的混合运算． 【详解】解：（1）原式； （2）． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，求一数的立方根和算术平方根，掌握实数的运算法则是解题的关键． 19．求下列各式中的x的值 (1)4＝25 (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根解方程即可； （2）根据立方根解方程即可． 【详解】（1）4＝25 （2） 【点睛】本题考查了利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 20．已知，、互为倒数，、互为相反数，求的值. 【答案】0. 【详解】试题分析：利用已知倒数，相反数关系代入求值. 试题解析：由题意得a=1,c+d=0, 所以=-1+1=0. 故答案为0. 21．一个数的两个平方根分别是a＋3和2a－15，试求这个数． 【答案】49. 【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是3a+2和a+14， ∴（a+3）+（2a﹣15）=0， a=4， a+3=4+3=7． 7的平方是49． ∴这个数是49． 22．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求－的值. 【答案】－1 【详解】分析：根据题意可得a+b=0，cd=1，由a+b=0可得a2-b2=（a+b）（a-b）=0，再代入式子进行计算即可． 详解：∵a、b互为相反数， ∴a+b=0，a2-b2=0 ∵c、d互为倒数， ∴cd=1， ∴a2-b2=（a+b）（a-b）=0， ∴原式=0-=-1． 点睛：此题主要考查了实数的运算，关键是掌握相反数之和为0，倒数之积等于1． 23．已知，是实数，且与互为相反数，求实数的倒数． 【答案】2 【分析】根据平方的非负性以及算术平方根的非负性，列出关于的方程组，进而求得的值，再求得代数式的值． 【详解】解：∵   与互为相反数， ∴   ， ∴   ， 解得， 所以，， 所以，实数的倒数． 【点睛】本题考查了平方的非负性以及算术平方根的非负性，解二元一次方程组，负整指数幂，求得的值是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$