专题01 整式的乘法（考题猜想，9大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（湘教版2024）

专题01 整式的乘法（9大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 利用幂的运算性质进行混合运算 · 题型二 幂的运算性质的逆用（易错） · 题型三 整式的乘法（易错） · 题型四 整式乘法中的“不含”问题 · 题型五 利用整式乘法解决几何图形问题 （高频） · 题型六 整式乘法的规律探究题（重点） · 题型七 利用乘法公式变形（易错） · 题型八 利用乘法公式化简求值（高频） · 题型九 新定义问题（难点） 题型一 利用幂的运算性质进行混合运算 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，故该选项符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，，进行计算，即可． 【详解】解：A、，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，错误，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握计算公式是解题的关键． 直接利用同底数幂的乘法计算公式求解． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型二 幂的运算性质的逆用 5．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）已知，则的值为（    ） A．10 B．20 C．40 D．50 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算，将变形为，即可求解． 【详解】解：， 故选B． 6．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知，，求的值为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，根据代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：40． 7．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）若 ，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，根据同底数幂的乘法，幂的乘方得到，进而代入数据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 8．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）若，则 ． 【答案】18 【分析】此题考查了同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先得到，然后根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：18． 9．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方计算法则得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 题型三 整式的乘法 10．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“+”写成“-”，得到的结果为．则（    ） A．7 B．9 C．13 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式．根据题意可知，再根据多项式乘以多项式的计算法则去括号得到，则，由此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．根据多项式乘多项式展开即可得到b的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，分别用多项式的第一项乘以另一个多项式的每一项，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了幂的运算法则和单项式乘以单项式，先进行幂的运算，再进行单项式的乘法即可． 【详解】解： ． 14．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）计算． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】解： ． 15．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的运算法则运算即可． 【详解】解：原式 ． 16．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题：，由于小马抄错了的符号，得到的结果为；由于小虎漏抄了第一个多项式中的系数，得到的结果为． (1)求出，的值； (2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组； （1）由于小马抄错了的符号，进行运算可得，由小虎漏抄了第一个多项式中的系数，进行运算可得，即可求解； （2）将，的值代入，按多项式乘以多项式法则进行运算，即可求解； 掌握多项式乘以多项式法则，能根据题意得到，是解题的关键． 【详解】（1）解： 由于小马抄错了的符号，得到的结果为： ； ①， 小虎漏抄了第一个多项式中的系数， 得到的结果为， ②， 由①②解得； 故，； （2）解：由（1）得 ； 故这道整式乘法题的正确结果为． 17．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了幂的运算法则和单项式乘以单项式，先进行幂的运算，再进行单项式的乘法即可． 【详解】解： ． 18．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）计算． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】解： ． 19．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的运算法则运算即可． 【详解】解：原式 ． 题型四 整式乘法中的“不含”问题 20．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若的展开式中不含和项，则，的值为 ． 【答案】3, 【分析】本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，解方程组，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键．根据题意，得，结合展开式中不含和项，得，解方程组即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∵展开式中不含和项， ∴， 解得． 故答案为：3, ． 21．（22-23七年级下·湖南郴州·期末）已知计算的结果中不含x的一次项，则a的值是 ． 【答案】 【分析】将按多项式乘以多项式法则化简后，不含x的一次项就是使得其系数为，即可求解． 【详解】解：原式 ， 因为结果中不含x的一次项， 所以， 解得：， 故答案：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，多项式中不含某一项的条件，理解多项式中不含某一项的条件是解题的关键． 题型五 利用整式乘法解决几何图形问题 22．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）【阅读理解】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 例如：教材在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差”，即，利用了如图①的图形表示它的几何意义：深色阴影部分面积为，也可转化成一个一边长为，另一边长为的长方形，其阴影部分面积为，由于阴影部分面积相同，因此有． 【类比探究】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形．（如图③ （1）观察图③请你写出，，之间的等量关系： ； 【解决问题】 （2）若 ，直接写出代数式的值，并求的值； 【拓展应用】 （3）已知，为实数，，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）2 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图③中各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系即可； （2）根据等式的性质将的两边都除以即可得到的值；再根据代入计算即可； （3）设，，则，，由题意可得，，由代入计算即可． 【详解】解：（1）图③中大正方形的边长为，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个空白的小长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2），，两边都除以得， ， ； （3）设，，则，， ，， ． 23．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的等量关系解决下面的问题； ①若，，求的值； ②若，求的值； ③拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）用两种方式表示出大正方形的面积即可得到答案； （2）①根据完全平方公式化简再代数求值； ②根据完全平方公式化简求值； ③根据完全平方公式化简求值； 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， 小长方形的长为b，宽为a， 大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即关系式为：． （2）① ，， ， ② ， ， ， ； ③设，， ∴， ， 又 ， ． 24．（23-24八年级上·湖南永州·期末）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零． 例如：①，我们可以得：， 所以． ②若，求的值． 解：因为， 所以（我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式） 所以， 所以， 所以． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ． (2)已知，求的值． (3)已知是长方形的长和宽，且满足，求长方形的周长． 【答案】(1)2；0 (2) (3)10 【分析】此题考查完全平方公式的应用，以及偶次方的非负性质的应用． （1）利用完全平方公式变形把等式化成几个非负数相加得零的形式即可； （2）利用完全平方公式变形把等式化成几个非负数相加得零的形式即可求出x、y的值，然后代入求值． （3）同（2）根据完全平方公式求出a，b的值，然后根据长方形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是：2；0； （2）∵， ∴． ∴． ∴ ． ∴． ∴； （3）∵， ∴ ∴ ∴ ∴，   ∴，， ∴长方形的周长为： 25．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）某校举办数学开放日活动，创新学习小组的同学用两种边长分别为和的正方形摆放出三种图形，，其中图1非重叠部分(阴影)面积为，在图1中大正方形的右上角再摆放一个边长为的小正方形(如图2)，两个小正方形重叠部分(阴影)面积为． (1)用含，的代数式分别表示，； (2)若，，求的值； (3)图③中阴影部分的面积，请找出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形求值； （1）可以看作两个正方形的面积差，即，是长为，宽为的长方形的面积，即； （2）将，变形为，再代入计算即可； （3）根据（2）得到，由图3可得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：可以看作两个正方形的面积差，即， 是长为，宽为的长方形的面积， 即； （2），， ； （3）解：∵， ∴ 26．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，． (1)根据以上变形填空： ①已知，，则______； ②已知，，则______； (2)若x满足，求代数式的值； (3)如图，已知数轴上从左到右依次有点A、B、C三点，它们表示的数分别是m、9、11．以为边在数轴上方作正方形，以为边在数轴上方作正方形，延长交于点P．若正方形与正方形面积的和为96，求长方形的面积． 【答案】(1)①17；②2024 (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． （1）根据完全平方公式求解即可；根据，即可求解； （2）设，，则，，根据计算即可； （3）正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，则有，设，，则，，利用求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴； （2）解：设，， 则，， ； （3）解：由题意得，正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为， 则有， 设，， 则，， 所以长方形的面积为：． 27．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．解：，，即．又，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)两个正方形、如图摆放，面积和为，，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方式的转换运算和集合运用； （1）由得，代入计算，即可求解； （2） ，代入计算，即可求解； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由已知条件得，，同理可求，由，可求得，从而可求得，由 ，即可求解； 掌握、、、、之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得：； （2）解： 当，时， 原式 ； （3）解：设大正方形的边长为，正方形的边长为， ， ， ①， ， ， 解得：， ， ， ②， 由①②解得：， ． 题型六 整式乘法的规律探究题 28．（2024·湖南长沙·三模）我圆宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：     … 请你猜想的展开式中所有系数的和是（    ）    A．2018 B．512 C．128 D．256 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有等式，得到的展开式中所有系数的和为，进行求解即可． 【详解】解：由题可知：的展开式中所有系数的和为； 展开式中所有系数的和为； 展开式中所有系数的和为； ∴的展开式为； ∴的展开式中所有系数的和是； 故选D． 29．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是 ． 【答案】2022 【分析】根据资料提示确定展开式中与1的指数关系，再确定系数的关系，由此即可求解． 【详解】解：根据材料提示可知，展开后，其中的指数从2022逐次递减直到次数为，1的指数从逐次递增直到次数为2022， ∴， ∴含项的系数是2022， 故答案为：2022． 【点睛】本题主要考查定义新运算，数字规律，理解题目中数字规律，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 30．（2025·湖南湘西·一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了通过观察、分析、 归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．根据图形中的规律即可求出的展开式中第二项的系数． 【详解】解：∵的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为； ∴的第二项系数为； ∴第二项系数为， 故答案为：． 31．（23-24八年级上·湖南永州·期末）设是从1，0，这三个数取值的一组数，若，，则中为0的个数是 ． 【答案】22 【分析】本题考查了数字类变化规律、利用完全平方公式进行计算，由题意结合完全平方公式得出，设有个，个，个，则，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 设有个，个，个， ， ， 中为0的个数为22个， 故答案为：22． 32．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第四行的四个数，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有______项，请写出它的展开式______； (2)的展开式共有______项，系数和为______； (3)利用上面的规律计算： 【答案】(1)6， (2)， (3)1 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究，完全平方公式的应用，正确理解“杨辉三角”的规律是求解本题的关键． （1）根据图中规律，写出的展开式即可； （2）根据前三个展开式中的项数，求出前几个的系数和，找到规律，进行求解即可． （3）根据材料的逆运算可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ； 故答案为：6，； （2）解：∵，有项； ，有项； ，有项； ∴的展开式中有个项； ∵，展开式的系数和为：； ，展开式的系数和为：； ，展开式的系数和为：； ∴，展开式的系数和为：． 故答案为：，； （3） ∵ ∴原式. 题型七 利用乘法公式变形 33．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若，，则的值为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式展开，将和的值代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴ ∵，， ∴ ， 故选：B． 34．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若满足，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式即可得出答案，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， 得：， 故答案为：． 35．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）已知，则的值等于 【答案】2 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．取已知条件中的两个等式的差，结合完全平方公式即可得到，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 解得：． 故答案为：2． 36．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为， 所以； 根据上面的解题思路与方法，解答：若，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，换元思想的应用；设，则，，由完全平方公式的变形形式即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为：13． 题型八 利用乘法公式化简求值 37．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）已知，将下面代数式先化简，再求值： ． 【答案】，8 【分析】本题考查的是整式的混合运算，主要考查了乘法公式、多项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点． 先用完全平方公式、平方差公式和多项式乘以多项式的运算法则将代数式化简，然后将a的值代入计算可得代数式的值． 【详解】解：原式 ， 将代入，原式 ． 38．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，根据完全平方公式和平方差公式先去括号，然后合并同类项把原式化简，最后把x、y的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 39．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】本题考查了整式的化简求值，关键是掌握平方差公式，完全平方公式． 先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式对式子进行化简，再将，代入即可求解． 【详解】解： ， 当时， 原式． 40．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查的是整式的混合运算－化简求值．利用乘法公式对式子进行化简，再将代入，即可求解． 【详解】解： ， 当时， 原式． 41．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知代数式：． (1)化简这个代数式； (2)若，求原代数式的值． 【答案】(1)； (2)13． 【分析】本题考查整式的化简和代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用完全平方公式和平方差公式的运算去括号，再合并同类项即可； （2）利变形得到，进而得到原代数式的值，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ． 42．（23-24七年级下·湖南永州·期末）化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．根据整式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】 ， 当时，原式 题型九 新定义问题 43．（22-23七年级上·湖南长沙·期末）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的附属系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的附属多项式． (1)关于的二次多项式的附属系数对为_________； (2)有序实数对的附属多项式与有序实数对的附属多项式的差中不含一次项，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义先表示出两个多项式，再根据题意进行计算即可． 【详解】（1）根据题意可得，多项式的附属系数对为， 故答案为：； （2）根据题意得，有序实数对所对应的多项式为， 有序实数对所对应的多项式为， ∵两个多项式的差中不含一次项， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义的表示和多项式的运算，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 44．（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 【答案】(1)2；6 (2)6 【分析】（）对多项式进行配方，即可求出关于对称，求出的对称轴，由关于对称，即可求解； （）对多项式进行配方，根据新定义判定，然后代入求值即可； 本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键． 【详解】（1）解：由， 则是关于对称， 由，关于对称， 由题意得， 故答案为：，； （2）由， ∵关于的多项式关于对称， ∴， ∵当时，多项式的值为， ∴，解得， ∴关于的多项式为， ∴当时，． 45．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．已知关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，求代数式的最小值． 【答案】43 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、求代数式值等知识点，准确理解新定义是解题的关键． 先根据“对消多项式”和“对消值”的概念求得、，，进然后再对所求代数式进行配方变形求解即可． 【详解】解∵和， ∴， ∵C与D互为“对消多项式”且“对消值”为t， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴ ． 答：代数式的最小值是43． $$专题01 整式的乘法（9大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 利用幂的运算性质进行混合运算 · 题型二 幂的运算性质的逆用（易错） · 题型三 整式的乘法（易错） · 题型四 整式乘法中的“不含”问题 · 题型五 利用整式乘法解决几何图形问题 （高频） · 题型六 整式乘法的规律探究题（重点） · 题型七 利用乘法公式变形（易错） · 题型八 利用乘法公式化简求值（高频） · 题型九 新定义问题（难点） 题型一 利用幂的运算性质进行混合运算 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）计算： ． 4．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末） ． 题型二 幂的运算性质的逆用 5．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）已知，则的值为（    ） A．10 B．20 C．40 D．50 6．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知，，求的值为 ． 7．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）若 ，，则 ． 8．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）若，则 ． 9．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）若，则 ． 题型三 整式的乘法 10．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“+”写成“-”，得到的结果为．则（    ） A．7 B．9 C．13 D．15 11．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）若，则 ． 12．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）化简： ． 13．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 14．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）计算． 15．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 16．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题：，由于小马抄错了的符号，得到的结果为；由于小虎漏抄了第一个多项式中的系数，得到的结果为． (1)求出，的值； (2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 17．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 18．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）计算． 19．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 题型四 整式乘法中的“不含”问题 20．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若的展开式中不含和项，则，的值为 ． 21．（22-23七年级下·湖南郴州·期末）已知计算的结果中不含x的一次项，则a的值是 ． 题型五 利用整式乘法解决几何图形问题 22．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）【阅读理解】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 例如：教材在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差”，即，利用了如图①的图形表示它的几何意义：深色阴影部分面积为，也可转化成一个一边长为，另一边长为的长方形，其阴影部分面积为，由于阴影部分面积相同，因此有． 【类比探究】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形．（如图③ （1）观察图③请你写出，，之间的等量关系： ； 【解决问题】 （2）若 ，直接写出代数式的值，并求的值； 【拓展应用】 （3） 已知，为实数，，求的值． 23．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的等量关系解决下面的问题； ①若，，求的值； ②若，求的值； ③拓展应用：若，求的值． 24．（23-24八年级上·湖南永州·期末）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零． 例如：①，我们可以得：， 所以． ②若，求的值． 解：因为， 所以（我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式） 所以， 所以， 所以． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ． (2)已知，求的值． (3)已知是长方形的长和宽，且满足，求长方形的周长． 25．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）某校举办数学开放日活动，创新学习小组的同学用两种边长分别为和的正方形摆放出三种图形，，其中图1非重叠部分(阴影)面积为，在图1中大正方形的右上角再摆放一个边长为的小正方形(如图2)，两个小正方形重叠部分(阴影)面积为． (1)用含，的代数式分别表示，； (2)若，，求的值； (3)图③中阴影部分的面积，请找出，，之间的数量关系，并说明理由． 26．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，． (1)根据以上变形填空： ①已知，，则______； ②已知，，则______； (2)若x满足，求代数式的值； (3)如图，已知数轴上从左到右依次有点A、B、C三点，它们表示的数分别是m、9、11．以为边在数轴上方作正方形，以为边在数轴上方作正方形，延长交于点P．若正方形与正方形面积的和为96，求长方形的面积． 27．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．解：，，即．又，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)两个正方形、如图摆放，面积和为，，求图中阴影部分面积． 题型六 整式乘法的规律探究题 28．（2024·湖南长沙·三模）我圆宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：     … 请你猜想的展开式中所有系数的和是（    ）    A．2018 B．512 C．128 D．256 29．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是 ． 30．（2025·湖南湘西·一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为 ． 31．（23-24八年级上·湖南永州·期末）设是从1，0，这三个数取值的一组数，若，，则中为0的个数是 ． 32．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第四行的四个数，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有______项，请写出它的展开式______； (2)的展开式共有______项，系数和为______； (3)利用上面的规律计算： 题型七 利用乘法公式变形 33．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若，，则的值为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 34．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若满足，则 ． 35．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）已知，则的值等于 36．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为， 所以； 根据上面的解题思路与方法，解答：若，则 ． 题型八 利用乘法公式化简求值 37．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）已知，将下面代数式先化简，再求值： ． 38．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 39．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 40．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）先化简，再求值：，其中． 41．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知代数式：． (1)化简这个代数式； (2)若，求原代数式的值． 42．（23-24七年级下·湖南永州·期末）化简，再求值：，其中． 题型九 新定义问题 43．（22-23七年级上·湖南长沙·期末）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的附属系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的附属多项式． (1)关于的二次多项式的附属系数对为_________； (2)有序实数对的附属多项式与有序实数对的附属多项式的差中不含一次项，求的值． 44．（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 45．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．已知关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，求代数式的最小值． $$