专题01 整式的乘法（考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材湘教版

清单01 整式的乘法（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法:同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：(m,n都是正整数) 推广：(m,n,...,p都是正整数) 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。 2.同底数幂的乘法的逆运算: 清单02 幂的乘方 1.幂的乘方:底数不变，指数相乘. 即：(m,n都是正整数) 推广：(m,n,p都是正整数) 2.幂的乘方的逆运算:(m,n都是正整数) 清单03 积的乘方 1. 积的乘方:积的乘方等于乘法的积。即把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 即：(m都是正整数) 推广：(m都是正整数) 2. 积的乘方的逆运算:(m都是正整数) 清单04 单项式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘. 清单05 多项式的乘法 1.单项式乘多项式:单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式中的每一项，再把所有的积相加. 2.多项式乘多项式:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 方法总结：整式的乘法既满足交换律、结合律，又满足乘法对加法的分配律. 清单06 平方差公式 1.平方差公式 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 式子表示：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 2. 平方差公式的几何意义 如图：将边长为a的大正方形剪去一个边 长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪 开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼 成如右图。 可利用计算剩余面积的方式进行解释。 （1）左图的剩余面积为：a2－b2 。 （2）拼接后的面积为：(a＋b)(a－b) 。 结论：由于剪拼后的图形的面积相等，可以解释平方差公式的正确性。 清单07 完全平方公式 1.完全平方公式 文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。 式子表示： 2.完全平方公式的式子特点： ：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的平方的和加上这两项的 两倍。注意每一项都包含前面的符号。 巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。 3.完全平方公式的几何背景： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到： 。 4.完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴ 【考点题型一】幂的运算（） 【例1】有下列计算：①；②；③；④．其中，计算结果为的有（   ） A．①和③ B．①和② C．②和③ D．③和④ 【变式1-1】计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【考点题型二】幂的运算的逆运算（） 【例2】已知，则 ． 【变式2-1】已知，则的值为 ． 【变式2-2】已知，（m，n是正整数）．求： (1)； (2)． 【变式2-3】将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【考点题型三】幂的运算的应用--比较大小（） 【例3】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式3-1】已知，，比较，的大小关系是 （用“＜”连接） 【变式3-2】已知，则 （填“”“”或“”号） 【变式3-3】某同学在比较，的大小时，发现，都是的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题： 若，，试比较，的大小． 【考点题型四】整式的乘法（） 【例4】若，则 ． 【变式4-1】计算 ． 【变式4-2】已知，则的值是 ． 【变式4-3】先化简，再求值：，其中． 【变式4-4】计算题 (1)； (2)． 【考点题型五】乘法公式（） 【例5】已知．则 ． 【变式5-1】先化简，再求值：，其中． 【变式5-2】先化简、再求值：，其中，． 【变式5-3】先化简，再求值：，其中． 【考点题型六】解决不含某项问题（） 【例6】若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A．4 B．0 C．1 D．2 【变式6-1】.若的乘积中不含和x项，求m，n的值． 【变式6-2】当k为何值时，多项式与的乘积不含x的一次项？ 【变式6-3】已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值． 【考点题型七】解决与某个字母取值无关的问题（） 【例7】已知，，，且的值与无关，则 ． 【变式7-1】若对任意都成立，则 ． 【考点题型八】新定义问题（） 【例8】关于的多项式：，其中为正整数，，，…，为互不相等且不为零的整数．比如当时，．交换任意两项的系数，得到的新多项式称为原多项式的“衍生多项式”下列说法： ①共有15个不同的“衍生多项式”； ②若多项式，无论为何值时，； ③若多项式，． 其中正确的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式8-1】一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（     ） A．97 B．95 C．64 D．65 【变式8-2】定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 【变式8-3】新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 【考点题型九】规律问题（） 【例9】根据，，，，…的规律，则的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式9-1】有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，有同学得出了下列结论： （1）第二次操作后整式串为：，，3，，； （2）第二次操作后的整式串中，当时，所有整式的积不大于0； （3）第四次操作后整式串中共有15个整式； （4）第2025次操作后的整式串中，所有的整式的和为； 四个结论正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-2】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为 ． 【变式9-3】杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 【考点题型十】几何图形问题（） 【例10】如图，有类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张．若拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为 ． 【变式10-1】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为 ． 【变式10-2】综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 项目背景 数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到： 问题探究 提出问题 （1）由图2可以得到：_____________． 迁移应用 （2）利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，求的值． 拓展创新 （3）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式：（画出一种即可） 【变式10-3】小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． (1)通过计算小正方形面积，可推出，三者的等量关系式为：______； (2)利用（1）中的结论，当，时，______； (3)利用（1）中的结论，当时，求的值． 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若是完全平方式，则的值为（    ） A．16b2 B．4b2 C．±8b2 D．±16b2 3．下列各式能用平方差公式计算的是（　　　） A． B． C． D． 4．如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分前开，密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，根据图中的边长与面积能验证的结论是（　　） A． B． C． D． 6．已知，，，则a、b、c之间满足的等量关系是 A． B． C． D． 7．将202×198变形正确的是（　　） A．2002﹣4 B．2022﹣4 C．2002+2×200+4 D．2002﹣2×200+4 8．如果多项式x+1与x2-bx+c的乘积中既不含x2项，也不含x项，则b， c的值是（    ） A．b=c=1 B．b=c=-1 C．b=c=0 D．b=0,   c=1 9．无论，为何值，代数式的值总是（  ） A．非负数 B． C．正数 D．负数 10．在矩形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11． ． 12．已知，，求 ． 13．，，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为 ． 14．若 的展开式中不含和项，则的值为 ． 15．算式的计算结果的个位数字是 ． 16．图1中的长方形长为宽的3倍，将四个这样的长方形拼成图2中的大正方形．若中间小正方形的面积是，问图1中的长方形的面积是 ． 17．已知，则的值为 ． 18．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为21；若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积是 ． 三、解答题 19．计算： 20．计算： (1) (2) 21．简便运算：． 22．先化简，再求值． ，其中x，y满足． 23．计算： （1）根据已知求值： ①已知，求m的值． ②已知，，求的值． （2）求代数式的值，(其中,)． 24．已知将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x3和x2项．（m，n为常数） （1）求m、n的值； （2）在（1）的条件下求代数式的值 25．观察下图，回答下列问题： （1）用含，的代数式表示阴影部分的面积； （2）若，满足，求该阴影部分的面积. 26．阅读材料： 我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则，这也体现了数学中的“整体思想”，我们知道“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，在多项式的化简与求值时，通常把一个式子看成一个整体，这样使运算更简单，尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； 拓广探索： (3)已知，，，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 整式的乘法（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法:同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：(m,n都是正整数) 推广：(m,n,...,p都是正整数) 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。 2.同底数幂的乘法的逆运算: 清单02 幂的乘方 1.幂的乘方:底数不变，指数相乘. 即：(m,n都是正整数) 推广：(m,n,p都是正整数) 2.幂的乘方的逆运算:(m,n都是正整数) 清单03 积的乘方 1. 积的乘方:积的乘方等于乘法的积。即把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 即：(m都是正整数) 推广：(m都是正整数) 2. 积的乘方的逆运算:(m都是正整数) 清单04 单项式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘. 清单05 多项式的乘法 1.单项式乘多项式:单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式中的每一项，再把所有的积相加. 2.多项式乘多项式:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 方法总结：整式的乘法既满足交换律、结合律，又满足乘法对加法的分配律. 清单06 平方差公式 1.平方差公式 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 式子表示：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 2. 平方差公式的几何意义 如图：将边长为a的大正方形剪去一个边 长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪 开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼 成如右图。 可利用计算剩余面积的方式进行解释。 （1）左图的剩余面积为：a2－b2 。 （2）拼接后的面积为：(a＋b)(a－b) 。 结论：由于剪拼后的图形的面积相等，可以解释平方差公式的正确性。 清单07 完全平方公式 1.完全平方公式 文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。 式子表示： 2.完全平方公式的式子特点： ：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的平方的和加上这两项的 两倍。注意每一项都包含前面的符号。 巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。 3.完全平方公式的几何背景： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到： 。 4.完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴ 【考点题型一】幂的运算（） 【例1】有下列计算：①；②；③；④．其中，计算结果为的有（   ） A．①和③ B．①和② C．②和③ D．③和④ 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算，根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则对各选项计算后即可得出结果． 【详解】①，不符合题意； ②，符合题意； ③，符合题意； ④，不符合题意． 综上所述，计算结果为的有②和③． 故选：C． 【变式1-1】计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，将变形为，化简计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】此题考查了幂的乘方和幂的乘方，单项式乘以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算幂的乘方和幂的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可； （2）首先计算幂的乘方和幂的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【考点题型二】幂的运算的逆运算（） 【例2】已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算，将原式变形为，再根据同底幂的乘法法则计算，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 【变式2-1】已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，掌握“幂的运算的逆运算”是解本题的关键． 利用幂的乘方运算的逆运算，同底数幂的除法的逆运算把原式转化，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【变式2-2】已知，（m，n是正整数）．求： (1)； (2)． 【答案】(1)256 (2)68 【分析】本题考查了幂的运算的逆运算及同底数幂的乘法的逆运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算法则进行求解． （1）利用同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方的逆运算计算即可； （2）利用幂乘方的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）． 【变式2-3】将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 【考点题型三】幂的运算的应用--比较大小（） 【例3】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】此题考查了幂的乘方．此题难度不大，注意掌握公式的逆用是解此题的关键．由幂的乘方可得，结合，继而求得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】已知，，比较，的大小关系是 （用“＜”连接） 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，掌握幂的乘方逆用的运算性质是解题的关键． 根据幂的乘方的逆用进行变形，进而比较大小即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【变式3-2】已知，则 （填“”“”或“”号） 【答案】 【分析】本题主要考查了逆用幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则，是解题的关键．逆用幂的乘方得出，，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式3-3】某同学在比较，的大小时，发现，都是的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题： 若，，试比较，的大小． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，有理数大小比较，理解例题的解题方法是解题的关键．按照例题的解题方法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 【考点题型四】整式的乘法（） 【例4】若，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 【变式4-1】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法计算．根据题意利用多项式得乘法将式子分别乘开，再合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-2】已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则将等式左边展开，进行求出的值，进一步计算即可．熟练掌握多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4 【变式4-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式混合运算，根据单项式乘多项式运算法则进行计算，然后代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 【变式4-4】计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算乘法即可； （2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【考点题型五】乘法公式（） 【例5】已知．则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式的求值、完全平方公式，利用整体代入法求值是解题的关键．根据题意得到，利用完全平方公式化简式子，再整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：3． 【变式5-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则化简，然后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式5-2】先化简、再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先利用乘法公式与单项式乘以多项式计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 【变式5-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】，17 【分析】本题考查了整式的化简与求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．利用完全平方公式、平方差公式、整式的运算法则化简式子，再代值计算即可求解． 【详解】解： ， 代入，原式． 【考点题型六】解决不含某项问题（） 【例6】若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A．4 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 直接利用多项式乘法去括号，由不含一次项得出一次项系数为0，进而得出答案． 【详解】解： ， 与的乘积中不含的一次项， ， ， 故选D． 【变式6-1】.若的乘积中不含和x项，求m，n的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，理解多项式中不含某一项即此项系数之和为0是解题关键．去括号合并同类项，再根据乘积中不含和项，列等式，计算即可． 【详解】解： ． 因为乘积中不含和项，所以，且， 解得． 【变式6-2】当k为何值时，多项式与的乘积不含x的一次项？ 【答案】 【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，一次项的系数等于0列式求解即可． 【详解】解：， ∵不含x的一次项， ∴， 解得：． 【变式6-3】已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简原式，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：，          展开式中不含的一次项，且常数项是， ，， ； （2）解：原式，                     当时， 原式． 【考点题型七】解决与某个字母取值无关的问题（） 【例7】已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 【变式7-1】若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 【考点题型八】新定义问题（） 【例8】关于的多项式：，其中为正整数，，，…，为互不相等且不为零的整数．比如当时，．交换任意两项的系数，得到的新多项式称为原多项式的“衍生多项式”下列说法： ①共有15个不同的“衍生多项式”； ②若多项式，无论为何值时，； ③若多项式，． 其中正确的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，根据多项式的特点选取合适的的值是解题关键．先确定共有6个互不相等且不为零的系数，再根据“衍生多项式”的定义即可判断①正确；将代入多项式即可判断②正确；将和代入计算即可判断③正确． 【详解】解：∵，共有6个互不相等且不为零的系数， ∴交换任意两项的系数共有种， 则共有15个不同的“衍生多项式”，说法①正确； 令，则，说法②正确； 当时，， 当时，， 将上面两式相减得：， 则，说法③正确； 综上，正确的个数是3个， 故选：A． 【变式8-1】一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（     ） A．97 B．95 C．64 D．65 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握． 如果一个数是杨梅数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是杨梅数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“杨梅数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“杨梅数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是“杨梅数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“杨梅数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“杨梅数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“杨梅数”， 此后，每连续四个数中有三个“杨梅数”． ，， 64是第46个“杨梅数”， 65是第47个“杨梅数”． 故选∶D． 【变式8-2】定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平方差公式的应用以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：设正奇数为（为非负整数）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得：． 为非负整数， 、为正整数， 所有的正奇数都可以表示成两个正整数的平方差，即所有的正奇数都是“智慧数”， 故①正确； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【变式8-3】新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 【答案】32 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根已知条件和规定的运算得到，再利用规定的运算得到算式利用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：32． 【考点题型九】规律问题（） 【例9】根据，，，，…的规律，则的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查整式的规律探究、数字类规律探究，理解题意，找到变化规律是解答的关键． 根据前几个等式的变化规律得到第n个等式为，进而求解即可． 【详解】解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 第n个等式为， ∴ ， ∵，，，，，，，……， ∴的末位数是以2、4、8、6每四个一个循环， ∴的末位数是以1、3、7、5每四个一个循环， ∵， ∴即的末位数为3， 故选B． 【变式9-1】有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，有同学得出了下列结论： （1）第二次操作后整式串为：，，3，，； （2）第二次操作后的整式串中，当时，所有整式的积不大于0； （3）第四次操作后整式串中共有15个整式； （4）第2025次操作后的整式串中，所有的整式的和为； 四个结论正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减运算法则、整式的乘法运算法则等知识点，灵活运用运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算逐个判断即可． 【详解】解：∵第一次操作后的整式串为：，3，， ∴第二次操作后的整式串为：，，3，，，故（1）错误，不符合题意； ∴第二次操作后整式的积为：， ∵， ∴， ∴， ∴，故（2）正确，符合题意； ∵第二次操作后的整式串为：，，3，，， ∴第三次操作后的整式串个数为：， ∴第四次操作后的整式串个数为：，故（3）错误，不符合题意； 可知：第一次操作后整式的和为：，第二次操作后整式的和为：； ∵第二次操作后的整式串为：，，3，，， ∴第二次操作后的整式串为：，3，，，3，，，，， ∴第三次操作后整式的和为：； ∴第n次操作后的整式的和为：， 第2025次操作后的整式串中，所有的整式的和为，故（4）正确，符合题意， 故选：B． 【变式9-2】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了通过观察、分析、 归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．根据图形中的规律即可求出的展开式中第二项的系数． 【详解】解：∵的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为； ∴的第二项系数为； ∴第二项系数为， 故答案为：． 【变式9-3】杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的某项的系数的规律探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键． （1）利用题干表的系数对应写出展开式，即可求解三项； （2）利用题干表的系数对应写出展开式，找出系数为10的项即可； （3）先计算，，，再观察得到的前面两项，再利用前面两项的系数规律可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴第三项为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴系数为10的项为和， 故答案为：和； （3）解：，，，…， 观察可知：展开式的前两项为， ∴当时，含项的系数为． 【考点题型十】几何图形问题（） 【例10】如图，有类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张．若拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴需要类卡片的张数为7张， 故答案为：7． 【变式10-1】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算，直接利用完全平方公式变形计算即可．熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：13． 【变式10-2】综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 项目背景 数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到： 问题探究 提出问题 （1）由图2可以得到：_____________． 迁移应用 （2）利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，求的值． 拓展创新 （3）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式：（画出一种即可） 【答案】（1）；（2）13；（3）见解析 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是运用多项式乘多项式的计算法则计算． （1）由图2可以得，按照多项式乘多项式的计算法则计算； （2）根据图2所得的等式，得，因为，求出； （3）依照示例画出图形即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：             （2）由（1）可知：                  （3）如图． 【变式10-3】小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． (1)通过计算小正方形面积，可推出，三者的等量关系式为：______； (2)利用（1）中的结论，当，时，______； (3)利用（1）中的结论，当时，求的值． 【答案】(1) (2)20 (3)504 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，列出等式即可； （2）直接利用（1）中结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：小正方形的边长为：，大正方形的边长为， ∴小正方形的面积为； （2）由（1）可知： ∵，， ∴； （3）∵令，，则：， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵无法计算，错误，故A不合题意． ∵，无法计算，错误， ∴B不合题意． ∵， ∴C不合题意． ∵， ∴D合题意． 故选：D． 2．若是完全平方式，则的值为（    ） A．16b2 B．4b2 C．±8b2 D．±16b2 【答案】A 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．下列各式能用平方差公式计算的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，不合题意； B、，不能用平方差公式计算，不合题意； C、 ，能用平方差公式计算，符合题意； D、，不能用平方差公式计算，不合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 4．如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分前开，密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可． 【详解】解：该平行四边形的面积为； 故选C． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键． 5．如图所示，根据图中的边长与面积能验证的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件分别表示出两个阴影正方形的面积，然后求和验证即可． 【详解】解：图形中，较大正方形的面积为，小正方形的边长为b，因此面积为，整体正方形的边长为a，因此面积为， 由图形中各个部分面积之间的关系可得， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键． 6．已知，，，则a、b、c之间满足的等量关系是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用62=4×9，进而结合同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形得出答案． 【详解】∵62=4×9，5a=4，5b=6，5c=9，∴（5b）2=5a×5c=5a+c，∴2b=a+c． 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题的关键． 7．将202×198变形正确的是（　　） A．2002﹣4 B．2022﹣4 C．2002+2×200+4 D．2002﹣2×200+4 【答案】A 【分析】把202、198分别化成200+2、200﹣2，再利用平方差公式化简，判断出将202×198变形正确的是哪个即可． 【详解】解：202×198 ＝（200+2）×（200﹣2） ＝2002﹣4 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的运算问题，掌握平方差公式是解题的关键． 8．如果多项式x+1与x2-bx+c的乘积中既不含x2项，也不含x项，则b， c的值是（    ） A．b=c=1 B．b=c=-1 C．b=c=0 D．b=0,   c=1 【答案】A 【详解】∵， ∴由题意可得： ，解得： ， 即：. 故选A. 点睛：多项式中不含某个项，则说明该项的系数为0. 9．无论，为何值，代数式的值总是（  ） A．非负数 B． C．正数 D．负数 【答案】C 【分析】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案． 【详解】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1 ＝（a﹣1）2+（b+2）2+1， ∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0， ∴（a﹣1）2+（b+2）2+1＞0， 即原式的值总是正数． 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方式的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键． 10．在矩形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算进行化简得出结果． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是根据割补法表示阴影部分面积，以及掌握整式的运算法则． 二、填空题 11． ． 【答案】2b 【分析】根据单项式除单项式的运算法则解答． 【详解】解：∵2ab2ab=2b， ∴应填的单项式是2b， 故答案为：2b． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键． 12．已知，，求 ． 【答案】36 【分析】直接利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵xy=1，x2+y2=34， ∴， 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 13．，，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为 ． 【答案】 【分析】设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为，根据最大正方形的面积计算即可． 【详解】设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为： ∵， ∴ ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式与几何图形，利用数形结合思想表示图形的边长是解题的关键． 14．若 的展开式中不含和项，则的值为 ． 【答案】17 【分析】利用多项式乘以多项式计算法则展开，然后再合并同类项，进而可得、的值．不含二次项、三次项，说明二次项的系数与三次项的系数都为零，由此即可求出答案． 【详解】原式 ， ∵展开式中不含和项，∴ ， ， ∴ ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即合并同类项．最后根据不含哪项，则该项的系数为零，是解题的关键． 15．算式的计算结果的个位数字是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，数字类规律探索，将原式变形，再利用平方差公式依次计算，求得结果为，然后总结得出（为从1开始的自然数）的个位数字以，，，为一个循环组依次循环，进而可得答案，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 由，，，，， ∴的个位数字是，，，为一组， ∴，即有的个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：． 16．图1中的长方形长为宽的3倍，将四个这样的长方形拼成图2中的大正方形．若中间小正方形的面积是，问图1中的长方形的面积是 ． 【答案】 【分析】设长方形的长为x，宽为3x，根据图2可知，进而即可求解； 【详解】解：设长方形的长为x，宽为3x； 根据图2可知，， 解得：， 所以图1中的长方形的面积是： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列整式方程，根据题图列出方程是解题的关键． 17．已知，则的值为 ． 【答案】1025 【分析】先化简，再逆用幂的乘方，进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：1025． 【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，以及代数式求值．熟练掌握积的乘方，幂的乘方运算，是解题的关键． 18．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为21；若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积是 ． 【答案】45 【分析】由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解． 【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为， 图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图3阴影部分的面积可以表示为 ＝3+42 ， 故答案为：45． 【点睛】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键． 三、解答题 19．计算： 【答案】 【分析】根据整式的乘法公式进行计算即可. 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查整式的乘法计算,关键在于利用完全平方公式和平方差公式进行简便计算. 20．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方、幂的乘方及同底数幂的乘法可进行求解； （2）根据多项式乘多项式及单项式乘多项式可进行求解． 【详解】（1）解：原式= = =； （2）解：原式= =． 【点睛】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘多项式及多项式乘以多项式，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 21．简便运算：． 【答案】1 【分析】先将转化为，再利用平方差公式计算，最后去括号，进行加减即可求解． 【详解】解：       ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，理解平方差公式，将转化为平方差公式形式是解题关键． 22．先化简，再求值． ，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】先根据整式乘法运算法则计算化简，然后根据完全平方和绝对值的非负性求出x，y的值代入即可． 【详解】解： = = ∵ ∴， 解得：， 将，代入得 = = = 【点睛】本题考查了整式化简、完全平方公式、平方差公式、绝对值非负性、含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关计算法则是解题关键． 23．计算： （1）根据已知求值： ①已知，求m的值． ②已知，，求的值． （2）求代数式的值，(其中,)． 【答案】（1）①3；②20；（2）2. 【分析】（1）①运用幂的乘方，把底数都化为3的形式，结合同底数幂的乘法，列出关于m的方程求解 ②运用同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方进行计算即可 （2）先用平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类项，然后把a、b值代入即可 【详解】⑴解：①= ， 即 ， ∴1+2m+3m=16 解得：m=3 ② ⑵解：原式=，当a=1时，原式=2×12=2 【点睛】本题考查整式乘除中同底数幂乘法及逆运算和幂的乘方运算；乘法公式（平方差公式、完全平方公式）的运用 24．已知将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x3和x2项．（m，n为常数） （1）求m、n的值； （2）在（1）的条件下求代数式的值 【答案】（1）m=-4，n=-12；（2） 【分析】（1）先利用多项式乘法法则把多项式展开，由于展开后不含x3和x2项，则含x3和x2项的系数为0，列方程组可得结论； （2）先因式分解，再把m、n的值代入计算即可求解． 【详解】解：（1）（x3+mx+n）（x2-3x+4）， =x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n， =x5-3x4+（4+m）x3+（n-3m）x2+（4m-3n）x+4n， 由题意得：，解得：； （2）∵m=-4，n=-12， ∴ = = = = 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．观察下图，回答下列问题： （1）用含，的代数式表示阴影部分的面积； （2）若，满足，求该阴影部分的面积. 【答案】（1）；（2）105. 【分析】（1）用大矩形的面积减去空白矩形的面积即可. （2）利用非负数的性质求出m、n的值，然后代入（1）中的式子求值. 【详解】解：（1）观察图形可得，空白矩形的宽为 所以阴影部分面积 （2）∵，，且 ∴， 解得，， ∴ 【点睛】本题考查列代数式与代数式求值，采用面积差求阴影部分面积，利用非负数的性质得到m、n的值是解题的关键. 26．阅读材料： 我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则，这也体现了数学中的“整体思想”，我们知道“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，在多项式的化简与求值时，通常把一个式子看成一个整体，这样使运算更简单，尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； 拓广探索： (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）利用“整体思想”，把看成一个整体，然后合并 即可得到答案； （2）根据已知得到，再根据，即可求解； （3）先根据，，，得到，即可得到，再把去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：解：， ， , 故答案为：； （2）解：， ， ； （3）解：，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于能够熟练运用整体的思想进行求解． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$