专题03 一元一次不等式（组）（考题猜想，12大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（湘教版2024）

专题03 一元一次不等式（组）（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 不等式的基本性质的应用（易错） · 题型二 一元一次不等式的定义 · 题型三 求一元一次不等式的解集 · 题型四 在数轴上表示不等式的解集 · 题型五 求一元一次不等式的整数解 · 题型六 利用一元一次不等式解决实际问题（重点） · 题型七 求不等式组的解集（易错） · 题型八 求一元一次不等式组的整数解（易错） · 题型九 由不等式组解集的情况求参数（易错） · 题型十 不等式组和方程组的综合（高频） · 题型十一 利用一元一次不等式组解决实际问题（重点） · 题型十二 不等式的新定义问题（难点） 题型一 不等式的基本性质的应用 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如果，那么下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质1解答B，再根据不等式的基本性质2解答C，然后根据不等式的基本性质3解答D，最后根据不等式的基本性质解答A即可． 【详解】解：由，根据不等式的基本性质1，两边都减去1，得，所以B不正确； 由，根据不等式的基本性质2，两边都乘以5，得，所以C正确； 由，根据不等式的基本性质3，两边都除以，得，所以D不正确； 当，可知，但是，所以A不正确． 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，由不等式两边同时乘以（除以）同一个负数不等号方向改变；不等式两边同时加上（减去）同一个数不等号方向不变；逐项验证即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，可知，故原结论错误，不符合题意； B、由，可知，故原结论错误，不符合题意； C、由可知，故原结论正确，符合题意； D、由，可知，则，故原结论错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； 当时，，故选项D符合题意； 故选D． 4．（2025·湖南长沙·一模）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 (填，，，，) 卡片编号 两数的和 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键． 由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论． 【详解】解：设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，， 则，，，，， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， 所以，且， 所以卡片上的数最大， 故答案为：． 题型二 一元一次不等式的定义 5．（23-24八年级上·湖南·期末）下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．熟练掌握含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义进行判断作答即可． 【详解】A中不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； B中是一元一次不等式，故符合题意； C中中含有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； D中未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，故不符合题意． 故选：B． 6．（22-23八年级上·湖南永州·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．没有含未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； B．含有两个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； C．是一元一次不等式，故本选项符合题意； D．不是整式的不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式． 题型三 求一元一次不等式的解集 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如果关于x的不等式 的解集为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式的解集求参数的范围，根据不等式的解集结合不等式的性质，可得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式 的解集为， ∴， ∴； 故选：B． 8．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案，熟记一元一次不等式的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）不等式的解集是 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握求解方法是解题的关键；按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查求不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型四 在数轴上表示不等式的解集 11．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， 表示在数轴上为： ． 故选：D． 12．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示”是解答此题的关键． 先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ， 不等式的解集在数轴上表示为：    故选：C． 13．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的解集，解题的关键是熟练掌握数轴得表示方法． 根据不等式的解集在数轴上表示方法求解即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：向右画；向左画，在表示解集时要用实心圆点表示；要用空心圆点表示． 【详解】解：数轴所表示的不等式的解集是， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）解不等式：，并把其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式的解集成为解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 在数轴上表示如下： 题型五 求一元一次不等式的整数解 15．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）不等式的正整数解有（   ）个 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解答本题的关键是掌握好解一元一次不等式的一般步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1．注意系数化为1时，若未知数系数为负，不等号的方向要改变．先去分母，再移项，系数化为1，即可得到不等式的解集，从而得到正整数解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， ∴不等式的正整数解有，，，共3个； 故选A 16．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）不等式的最小整数解为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先算出不等式的解集是，结合最小整数解这个条件，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 则不等式的最小整数解为， 故答案为：2 17．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大整数解，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解： 移项得：， 系数化为1得：， ∴原不等式的最大整数解是， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）不等式的最小整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式、确定最大整数解等知识点，正确求解不等式是解题的关键．先解不等式求出不等式的解集，然后确定最大整数解即可得答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， ∴不等式的最小整数解为， 故答案为： 题型六 利用一元一次不等式解决实际问题 19．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，与神舟十八号乘组完成在轨轮换，再次创下我国载人航天的新纪录，为进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校开展“航空航天”知识竞赛，一共25道题，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于60分得奖，则至少应选对 道题才能得奖． 【答案】19 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键． 根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解∶设应选对道题才能得奖， 根据题意得∶， 解得∶， ∵为整数， ∴的最小值为19， ∴至少应选对19道题才能得奖， 故答案为∶19． 20．（24-25八年级上·湖南常德·期末）某业主用货款万元购进一台机器，生产印有巴黎奥运会吉祥物的水杯，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的．若每天能生产、销售2000个产品，问至少几天能够赚回这台机器的贷款． 【答案】至少5天能够赚回这台机器的贷款． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据不等关系列出不等式是解题的关键．设x天能够赚回这台机器的贷款，根据赚回这台机器的贷款需要万元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：设x天能够赚回这台机器的贷款，根据题意得： ， 解得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为5， 答：至少5天能够赚回这台机器的贷款． 21．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）某中学在运动会前夕准备购买篮球、足球作为奖品．若购买3个篮球和2个足球共花费520元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元． (1)请问：购买一个篮球，一个足球各需多少元? (2)今年学校计划购买这种篮球和足球共20个，恰逢商场正在开展促销活动，篮球打八折，足球打七五折，若此次购买两种球的总费用不超过1600元，则最多可购买多少个篮球? 【答案】(1)购买一个篮球需要120元，一个足球需80元； (2)篮球最多可以购买11个． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是根据等量关系列出方程，利用总费用作为不等关系列出不等式求解． （1）设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据购买3个篮球和2个足球共花费520元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元列出方程组解答即可； （2）设购买a个篮球，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：设购买一个篮球需要元，一个足球需元； 可得方程组：， 解得：， 答：购买一个篮球需要120元，一个足球需80元； （2）解：设购买篮球个，则购买足球个， 可列不等式：， 解得：， 答：篮球最多可以购买11个． 22．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分． (1)若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？ (2)若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 【答案】(1)22道 (2)24道 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和不等式． （1）设小明一共答对了x道题，则答错了道题，根据总得分答对题目数答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”，根据题意列出不等式，并求解即可． 【详解】（1）解：设小明一共答对了x道题，则答错了道题， 由题意可得：， 解得， 答：小明一共答对了22道题； （2）解：设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”， 由题意可得：， 解得， 答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“学党史小达人”． 23．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）“靖州杨梅”——湖南省靖州县特产，全国农产品地理标志．靖州杨梅已有上千年的栽培史，以色泽呈乌、酸甜适度、果大核小、品质优良、营养丰富而著称．《靖州乡土志》诗云：“木洞杨梅尤擅名，申园梨栗亦争鸣，百钱且得论摊买，恨不移根植上京．”目前，靖州杨梅主要分为台梅和乌梅两种．某水果商为了解靖州杨梅的市场销售情况，购进台梅和乌梅两种进行试销．在试销中，水果商将两种杨梅搭配销售，若购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元． (1)求台梅和乌梅每千克各多少元？ (2)一顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，要求台梅尽量多，他最多能购买台梅多少千克？ 【答案】(1)台梅每千克36元，乌梅每千克16元 (2)50千克 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设台梅每千克x元，乌梅每千克y元，购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元人民币，再建立方程组即可； （2）设最多能购买台梅千克，，根据顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，再建立不等式即可． 【详解】（1）解：设台梅每千克x元，乌梅每千克y元，则 ，     解得：， 答：台梅每千克36元，乌梅每千克16元； （2）设最多能购买台梅千克，则 ， ∴， 解得：， 答：最多能购买台梅50千克． 题型七 求不等式组的解集 24．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式： ， 解不等式： ， 在数轴上表示为： 不等式组的解集为． 25．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组， （1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解：     数轴表示如下： （2）解： 解①得：，         解②得， 不等式组的解为：． 26．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为_______． 【答案】(1) (2) (3)图见解析 (4) 【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集； （3）定方向，定边界，在数轴上表示出不等式的解集即可； （4）根据数轴，确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ， ∴； 故答案为：； （2） ∴； 故答案为：； （3）数轴表示解集，如图：    （4）由数轴可知：不等式组的解集为：； 故答案为：． 27．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】此题考查了解不等式组和在数轴上表示解集；先求出每个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式①得：           解不等式②得： 不等式组的解集在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为 1. 28．（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 29．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和不等式的解集在数轴上表示，先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可得到答案． 【详解】解：解不等式①得：，   解不等式②得：，   在数轴上表示如图所示： ， ∴不等式组的解集为． 题型八 求一元一次不等式组的整数解 30．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，首先解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有3个整数解即可确定整数解，从而得到a的范围． 【详解】解：不等式组的解集是． 又∵不等式组有3个整数解， ∴整数解是0，1，2． ∴， 故选：C． 31．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）解不等式组，并写出所有的整数解． 【答案】，所有的整数解为 【分析】本题考查解不等式组，不等式的整数解．先分别求出各不等式的解集，取它们的公共部分即得不等式组的解集，进而得到其整数解． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴所有的整数解为． 32．（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的整数解为0和1 【分析】先分别解出两个不等式的解集，并表示在数轴上，找到公共解集，再解出其中的整数解即可．本题考查解一元一次不等式组的整数解、将不等式组的解集表示在数轴上等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 在数轴上表示不等式①，②的解集： 所以不等式组的解集是， 不等式组的整数解为0和1 题型九 由不等式组解集的情况求参数 33．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是根据不等式组的公共解集，求参数的取值范围，分别求两个不等式的解集，根据公共解集的取法：同小取小是解决此题的关键． 【详解】解：解，得， 解得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 故选：C． 34．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）若不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是不等式组的解集，掌握不等式组的解集是解题的关键．化简不等式组得，根据不等式组的解集为，即可得出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①： ， ， ， ， ， 不等式组的解集为， ， 故选：D． 35．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握运算解法是解题的关键． 由不等式组的解集为，  则列出关于的不等式， 然后求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为，   ∴， 解这个不等式得， 故选：． 题型十 不等式组和方程组的综合 36．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）根据，再化简绝对值即可； （3）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程组得：， 方程组中为非正数，为负数， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∴, ∴ ； （3）解：， ∴， 要使不等式的解集为， 必须， 解得：， ，为整数， ， 所以当为时，不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组，化简绝对值等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 37．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）若关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x、y满足方程，求a的值； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法得出用含有的式子a表示，代入，求出的值即可， （2）用含有的式子表示， ，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：， 解得：， 代入得：， 解得：， 故的值为， （2）把，代入得：， 解得：， 故的取值范围为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于的一元一次方程，（2）根据不等量关系列出关于的一元一次不等式． 题型十一 利用一元一次不等式组解决实际问题 38．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）一幢学生宿舍楼有一些空宿舍，现有一批学生要入住．若每间住4人，则有20人无法入住，若每间住8人，则有一间房还剩余一些空床位，求空宿舍的间数和这批学生的人数．若设空宿舍有间，则根据题意可列一元一次不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组的应用，设空宿舍有间，则学生人数为，根据若每间住人，则有1间房还剩余一些空床位．列出不等式组，求解即可. 【详解】解：设空宿舍有间，则学生人数为，根据题意得， 故答案为：． 39．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键： （1）将数字代入计算结合大于输出即可得到答案； （2）根据第三次输出列不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，第一次运算：， ∵若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算：， 结果大于，则输出此结果； （2）解：∵已知运算进行了三次后停止， ∴第二运算结果不大于， ∴                                   解得： ， ∴． 40．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元． (1)求型、型设备每台各是多少万元； (2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？ 【答案】(1)型设备每台万元，型设备每台万元 (2)一共有种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用； （1）设型设备万元台，型设备万元台，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设型设备购买台，则购买型设备台，根据题意列出不等式组，求得整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设型设备万元台，型设备万元台， 依题意得： 解得 答：型设备每台万元，型设备每台万元． （2）设型设备购买台，则购买型设备台， 依题意得： 解得：， 又因为为正整数，所以的取值为，， 答：一共有种购买方案． 41．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个种徽章需元；购买4个A种徽章和5个种徽章需元． (1)每个A种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进A、两种徽章共个，已知购进的A种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过元，那么购进A种徽章的个数是多少？ 【答案】(1)每个A种徽章的价格为元，每个B种徽章的价格为元 (2)购进A种徽章的个数是 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式组应用，理解题意并列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购进个A种徽章，则购进个种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格分别为元； （2）解：设购进个A种徽章，则购进个种徽章， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A种徽章的个数是． 42．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元 (2)见解析 (3)学校在第二次购买活动中最多需要元资金 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设A种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球单价比种足球多花元”可得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球不小于个”可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论； （3）分析第二次购买时，、种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 依题意得：，解得：． 答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元． （2）解：设第二次购买种足球个，则购买种足球个， 依题意得：， 解得：． 故这次学校购买足球有五种方案： 方案一：购买A种足球个，B种足球个； 方案二：购买A种足球个，B种足球个； 方案三：购买A种足球个，B种足球个． 方案四：购买A种足球个，B种足球个． 方案五：购买A种足球个，B种足球个． （3）解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为(元)，B种足球单价为(元)， ∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多． ∴(元)． 答：学校在第二次购买活动中最多需要元资金． 题型十二 不等式的新定义问题 43．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“包含方程”．例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程 是不等式组 的“包含方程”．请根据约定，解答下列问题． (1)在一元一次方程；；中，不等式组 的“包含方程”是 （填序号）； (2)若关于 x 的方程 是不等式组 的“包含方程”，求k 的取值范围； (3)若关于x 的方程 是关于 x 的不等式组 的“包含方程”，且此时该不等式组恰好有7个整数解，试求 m 的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3)． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判定即可； （2）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于的方程组，求解即可； （3）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于的方程组，可求得的一个取值范围；再根据不等式组有7个整数解求得的另一个取值范围，再求取值范围的公共部分即可得到最终的取值范围． 本题考查一元一次不等式组和一元一次方程的解，理解题中的“包含方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程①得，；解方程②得，；解方程③得，； 解不等式组得，． 由此可知不等式组的“包含方程”是②③， 故填：②③； （2）解：解方程得，解不等式组得， 由题意可知：， 解得； （3）解方程得， 解不等式组得， 关于的方程是关于的不等式组的“包含方程”， ，解得， 不等式组恰好有7个整数解， ，解得， 综上，的取值范围为． 44．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）不妨约定：关于的二元一次方程， 若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；②______．③______； (2)若关于的“开心”方程组的解为，求的值． (3)关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，求的值，并求此“开心方程组”的解． 【答案】(1)①不是；②是；③不是； (2)有． (3)． 【分析】本题主要考查二元一次方程组： （1）根据“开心”方程的定义求解即可； （2）解方程组得，代入原方程组得，求出； （3）根据“开心”方程的定义将方程组整理为，解得，由求得，得到代入原方程可求解， 【详解】（1）解：对于方程，， ∵, ∴方程不是开心方程； 对于方程，， ∵ ∴方程是开心方程； 对于方程，，所以，方程不是开心方程； 故答案为：不是，是，不是 （2）解：由题意可知：， 解得：， 将代回原方程组得： 由①＋②得：， ∵， ∴有． （3）解：由题可知： 化简可得：． 解得， ∵， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴或2 根据新定义，所以舍去1，则 ∴， 代入原方程得：， 消去y化简可得； ∵， 所以：“开心方程组”的解为． 45．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2) (3)存在， 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 46．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”． (1)在不等式①，②，③中，与不等式互为“友好不等式”的是________；（填序号） (2)若关于的不等式与不是“友好不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）根据“友好不等式”的定义即可求解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“友好不等式”的定义可得，解不等式即可求解； （3）分两种情况讨论根据“友好不等式”的定义得到含a的不等式，解得即可． 【详解】（1）解：①的解集为，②，③的解集为， 不等式和没有公共解，故①不是不等式的“友好不等式”； 不等式不等式和有公共解，故②是不等式的“友好不等式”； 不等式不等式和有公共解，故③是不等式的“友好不等式”； 故答案为：②③； （2）解不等式可得， 解不等式得， ∵关于x的不等式不是的“友好不等式”， ∴， 解得， 故m的取值范围是； （3）解不等式，得到；解不等式，得到 ①当时，即时，依题意有，即，故； ②当时，即时，始终符合题意，故； 综上，a的取值范围为或． 47．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”. (1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； (3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围. 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，正确理解“完美解”的含义，是解答本题的关键． （1）根据“完美解”的定义代入计算即可判断； （2）将上述两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）根据题意可得，即可得，，问题随之得解． 【详解】（1）解：由，得：， ①，则方程的解不是不等式①的“完美解”； ②，则方程的解是不等式②的“完美解”； （2）解：， 将上述两个方程相加可得：， 即有， ∵是方程组与不等式的一组“完美解”， ∴， 解得：， （3）解：根据题意有：， 解得：，， ∴， 即的取值范围为：． $$专题03 一元一次不等式（组）（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 不等式的基本性质的应用（易错） · 题型二 一元一次不等式的定义 · 题型三 求一元一次不等式的解集 · 题型四 在数轴上表示不等式的解集 · 题型五 求一元一次不等式的整数解 · 题型六 利用一元一次不等式解决实际问题（重点） · 题型七 求不等式组的解集（易错） · 题型八 求一元一次不等式组的整数解（易错） · 题型九 由不等式组解集的情况求参数（易错） · 题型十 不等式组和方程组的综合（高频） · 题型十一 利用一元一次不等式组解决实际问题（重点） · 题型十二 不等式的新定义问题（难点） 题型一 不等式的基本性质的应用 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如果，那么下列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·一模）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 (填，，，，) 卡片编号 两数的和 题型二 一元一次不等式的定义 5．（23-24八年级上·湖南·期末）下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·湖南永州·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 题型三 求一元一次不等式的解集 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如果关于x的不等式 的解集为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）不等式的解集是 ． 9．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）不等式的解集是 10．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）解不等式：． 题型四 在数轴上表示不等式的解集 11．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   13．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为 ． 14．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）解不等式：，并把其解集在数轴上表示出来． 题型五 求一元一次不等式的整数解 15．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）不等式的正整数解有（   ）个 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 16．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）不等式的最小整数解为 ． 17．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）不等式的最大整数解是 ． 18．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）不等式的最小整数解为 ． 题型六 利用一元一次不等式解决实际问题 19．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，与神舟十八号乘组完成在轨轮换，再次创下我国载人航天的新纪录，为进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校开展“航空航天”知识竞赛，一共25道题，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于60分得奖，则至少应选对 道题才能得奖． 20．（24-25八年级上·湖南常德·期末）某业主用货款万元购进一台机器，生产印有巴黎奥运会吉祥物的水杯，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的．若每天能生产、销售2000个产品，问至少几天能够赚回这台机器的贷款． 21．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）某中学在运动会前夕准备购买篮球、足球作为奖品．若购买3个篮球和2个足球共花费520元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元． (1)请问：购买一个篮球，一个足球各需多少元? (2)今年学校计划购买这种篮球和足球共20个，恰逢商场正在开展促销活动，篮球打八折，足球打七五折，若此次购买两种球的总费用不超过1600元，则最多可购买多少个篮球? 22．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分． (1)若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？ (2)若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 23．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）“靖州杨梅”——湖南省靖州县特产，全国农产品地理标志．靖州杨梅已有上千年的栽培史，以色泽呈乌、酸甜适度、果大核小、品质优良、营养丰富而著称．《靖州乡土志》诗云：“木洞杨梅尤擅名，申园梨栗亦争鸣，百钱且得论摊买，恨不移根植上京．”目前，靖州杨梅主要分为台梅和乌梅两种．某水果商为了解靖州杨梅的市场销售情况，购进台梅和乌梅两种进行试销．在试销中，水果商将两种杨梅搭配销售，若购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元． (1)求台梅和乌梅每千克各多少元？ (2)一顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，要求台梅尽量多，他最多能购买台梅多少千克？ 题型七 求不等式组的解集 24．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 25．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： 26．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为_______． 27．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 28．（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 29．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 题型八 求一元一次不等式组的整数解 30．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）解不等式组，并写出所有的整数解． 32．（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组并写出它的整数解． 题型九 由不等式组解集的情况求参数 33．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）若不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十 不等式组和方程组的综合 36．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 37．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）若关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x、y满足方程，求a的值； (2)若，求a的取值范围． 题型十一 利用一元一次不等式组解决实际问题 38．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）一幢学生宿舍楼有一些空宿舍，现有一批学生要入住．若每间住4人，则有20人无法入住，若每间住8人，则有一间房还剩余一些空床位，求空宿舍的间数和这批学生的人数．若设空宿舍有间，则根据题意可列一元一次不等式组为 ． 39．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 40．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元． (1)求型、型设备每台各是多少万元； (2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？ 41．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个种徽章需元；购买4个A种徽章和5个种徽章需元． (1)每个A种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进A、两种徽章共个，已知购进的A种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过元，那么购进A种徽章的个数是多少？ 42．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 题型十二 不等式的新定义问题 43．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“包含方程”．例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程 是不等式组 的“包含方程”．请根据约定，解答下列问题． (1)在一元一次方程；；中，不等式组 的“包含方程”是 （填序号）； (2)若关于 x 的方程 是不等式组 的“包含方程”，求k 的取值范围； (3)若关于x 的方程 是关于 x 的不等式组 的“包含方程”，且此时该不等式组恰好有7个整数解，试求 m 的取值范围． 44．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）不妨约定：关于的二元一次方程， 若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；②______．③______； (2)若关于的“开心”方程组的解为，求的值． (3)关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，求的值，并求此“开心方程组”的解． 45．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 46．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”． (1)在不等式①，②，③中，与不等式互为“友好不等式”的是________；（填序号） (2)若关于的不等式与不是“友好不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围． 47．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”. (1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； (3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围. $$