海南省海南中学2024-2025学年高三第八次月考数学试题

1 海南中学 2025 届高三年级第 8 次月考数学试题 时间：120 分钟 满分：150 分 第Ⅰ卷（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 已知集合    2,1,1,2,082| 2  BxxxA ，则 BA （ ） A. { 2, 1,1}  B. { 1,1,2} C. { 2, 1}  D. {1,2} 2. 已知向量 (1,0), ( ,2)a b x    ，若 ( 2 )a b a     ，则实数 x （ ） A. 1 B. 1 C. 12 D. 1 2  3. 若复数 z满足 2 2 3iz z   ，则 2025iz  （ ） A. 2 i B. 2 i  C. 1 2i D. 1 2i  4. 已知 ,  是两个不重合的平面， ,m n是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若 / / ,m n n  ，则 / /m  B. 若 / / , / / ,m m n     ，则 //m n C. 若 ,m m   ，则 / /  D. 若 , ,  m n    ，则m n 5. 2025 年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于 2 月 18 日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、 丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地 方，每个地方至少去 1 人，则不同的安排方法有（ ） A. 120 种 B. 150 种 C. 180 种 D. 300 种 6.已知点 F 是双曲线 2 2 1 9 yx   的左焦点，点 P是双曲线上在第一象限内的一点，点Q是双曲线渐近线上 的动点，则 PF PQ 的最小值为（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 7.记 nS 为数列 na 的前 n项和，若 3 22 , n Sa S n       为等比数列，则 9 4 a a （ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 8.已知 ( ) exf x x  和  ( ) ln exg x x ，若实数 ,  满足 ( ) ( ) 0f g   ，则 的最小值为（ ） A. -e B. -1 C. 1 e  D. 2 1 e  2 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分．在每个小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得零分． 9.下列说法正确的是（ ） A.已知一组数据为 1，8，2，10，5，3，7，9，6，4，则它的第 70 百分位数为 7 B.若一组数据 1 2, , , nx x x   的方差为0，则所有数据  1,2,ix i n  都相同 C.在对两个分类变量进行 2 独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检 验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变（参考公式： ))()()(( )( 22 dbcadcba bcadn    ） D.已知一组样本点的经验回归方程为  4y x a  ，若其中两个样本点  , 4p 和  5,q 的残差相等，则 4 24p q  10.设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1＝10，且当 n＝5或 6时，Sn取得最大值，则( ) A.{an}的公差为 2 B.S4＝S7 C.数列{|an|}的前 10 项和为 50 D.当 n≤2 025 时，{an}与数列{3m＋10}(m∈N *)共有 671 项互为相反数 11.已知 xxxf 2sinsin2)(  ，则（ ） A. ( )f x 的图象关于直线 π 2 x   对称 B. ( )f x 在区间 3π ,2π 2       上先增后减 C. ( )f x 的值域为 3 32, 2       D. ( )f x 在区间[0,10π]上有 11 个零点 第 II 卷（非选择题 共 92分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分． 12.已知圆 2 2: 4 0C x y mx    上存在两点关于直线 3 0x y   对称，则圆C的半径为________. 13.已知某圆台的体积为  239 ，其上底面和下底面的面积分别为 3 ， 6 ，且该圆台两个底面的圆周 都在球O的球面上，则球O的表面积为______________. 14.已知函数 3( ) 2 2 1f x x x   ，若过点  1,0 的两条互相垂直的直线分别与 ( )f x 的图象交于另外的点 ,A C 和 ,B D，且四边形 ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为________． 3 四．解答题：本题共 5 个小题，共 77分. 15.（本小题满分 13 分） 已知 ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c， sin sin sin sin b C a b c A B C      ． （1）求A； （2）若 2 2 3sin 4 3sinb c B C   ，求 ABC 周长的最大值． 16.（本小题满分 15 分） 已知  1,0A  ， B为圆 2 2: ( 1) 8C x y   上的动点，线段 AB的垂直平分线交 BC于 P点． （1）求 P点轨迹 E的方程； （2）若过点A的直线 l交轨迹E于M ， N 两点，求 CMN 面积的最大值． 17.（本小题满分 15 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的所有顶点均在同一个球的球面上，且 4AB AD  ， BC CD ， PB 平面 PAD． （1）证明：平面 PAB 平面 ABCD； （2）当四棱锥 P ABCD 的体积最大时，求直线 PC与平面 PBD所成角的正弦值． 4 18.（本小题满分 17 分） 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量 X，定义其 累积分布函数为 F x = P X ≤ x ．已知某系统由一个电源和并联的 A，B，C三个元件组成，在电源电压正 常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． （1）已知电源电压 X（单位：V）服从正态分布 N 40,4 ，且 X的累积分布函数为 F x ，求 F 44 − F 38 的值． （2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量 T（单位：小时） 表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 G t = 0, t < 0, 1 − 1 4t , t ≥ 0. ①设t1 > t2 > 0，证明：P T > t1|T > t2 = P T > t1 − t2 ； ②元件 A,B,C 的使用寿命均服从指数分布模型且累积分布函数为 G t ，已知在某时刻 0t 元件 A发生故障，B 和 C 正常工作，求接下来 1 小时内系统正常运行的概率． 附：若随机变量�服从正态分布� �, �2 ，则� � − � ≤ � = 0.6827，� � − � ≤ 2� = 0.9545，� � − � ≤ 3� = 0.9973． 19．（本小题满分 17 分） 已知函数   2 1ln 2 f x ax x x   . (1)当 0a  时，求曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程； (2)当 1x  时，不等式   0f x  恒成立，求实数 a的取值范围； (3)证明：     *1 1 1ln 2 1 1 3 3 5 2 1 2 1 n n n n           N 第 1 页 共 9 页 海南中学 2025 届高三年级第 8 次月考数学试题卷 时间：120 分钟 满分：150 分 第Ⅰ卷（选择题 共 58分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 已知集合    2,1,1,2,082| 2  BxxxA ，则 BA （ ） A. { 2, 1,1}  B. { 1,1,2} C. { 2, 1}  D. {1,2} 【答案】B 【详解】由题意得， { 2 4}A x x   ∣ ，所以 { 1,1,2} A B ．故选：B. 2. 已知向量 (1,0), ( ,2)a b x    ，若 ( 2 )a b a     ，则实数 x （ ） A. 1 B. 1 C. 12 D. 1 2  【答案】C 【详解】由题意得， 2 (1,0) 2( ,2) (1 2 , 4)a b x x        ， 因为 ( 2 )a b a     ，所以1 2 0x  ，解得 1 2 x  ，故选:C. 3. 若复数 z满足 2 2 3iz z   ，则 2025iz  （ ） A. 2 i B. 2 i  C. 1 2i D. 1 2i  【答案】D 【详解】设 i( , )z x y x y  R ，则 i, 2 i 2 2 i 3 i 2 3iz x y z z x y x y x y             ， 则 20252, 1, 2 i, i ( 2 i) i 1 2ix y z z                ．故选：D. 4. 已知 ,  是两个不重合的平面， ,m n是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若 / / ,m n n  ，则 / /m  B. 若 / / , / / ,m m n     ，则 //m n C. 若 ,m m   ，则 / /  D. 若 , ,  m n    ，则m n 【答案】A 【详解】对于 A项，若 / / ,m n n  ，则 / /m  或m  ．对于 B，C，D项，显然成立，故选:A. 5. 2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于 2月 18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、 丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地 方，每个地方至少去 1人，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 【答案】B 第 2 页 共 9 页 【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为 1,1,3或 1,2,2． 当各组人数为 1,1,3时，共有 1 1 3 35 4 3 32 2 C C C A 60 A   种安排方法；当各组人数为 1,2,2时，共有 2 2 1 35 3 1 32 2 C C C A 90 A   种安排方法，所以不同的安排方法有60 90 150  种．故选:B. 6.已知点 F 是双曲线 2 2 1 9 yx   的左焦点，点 P是双曲线上在第一象限内的一点，点Q是双曲线渐近线上 的动点，则 PF PQ 的最小值为（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】B 【详解】设右焦点为  10,0G ，又由对称性，不妨设Q在渐近线 3 0x y  上. 根据双曲线的定义可得 2 2PF PQ PG PQ GQ      ，当且仅当 , ,P G Q三点共线时取等号. 又当GQ与渐近线垂直时取最小值，为 2 2 3 10 3 3 1 GQ    ，故 PF PQ 最小值为 5.故选：B 7. 记 nS 为数列 na 的前 n项和，若 3 22 , n Sa S n       为等比数列，则 9 4 a a （ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 【答案】A 【详解】 nS n        为等比数列， n S n       的首项为 1a ，第二项为 22 S ，第三项为 3 2 3 2 2 2 2 3 3 3 S S a S S S    ， nS n      的公比为 1 12, 2 , n nS na    当 2n  时， 21 1( 1) 2 n n n na S S n a       ，显然当 1n  时也符 合， 7 2 9 1 1 2 4 1 (9 1) 2( 1) 2 , 64 (4 1) 2 n n a aa n a a a            ．故选：A. 8. 已知 ( ) exf x x  和  ( ) ln exg x x ，若实数 ,  满足 ( ) ( ) 0f g   ，则 的最小值为（ ） A. -e B. -1 C. 1 e  D. 2 1 e  【答案】C【详解】因为 ( ) e e ln e , ( ) lnx x xf x x g x x x      ， 所以  ( ) e ln e , e e ln ef g         ，而 ( ) ( ) 0f g   ， 故  ( ) e ( )f g g   ，又 ( ) lng x x x  在定义域上单调递增，则 e  ， 于是 e  ．设 ( ) eh   ，则 ( ) ( 1)eh     ，当 ( , 1)   时， ( ) 0h   ， ( )h  单调递减， 第 3 页 共 9 页 当 ( 1, )   时， ( ) 0, ( )h h   单调递增，所以 min 1( ) ( 1) e h h     ．故选：C. 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分． 9. 下列说法正确的是（ ） A.已知一组数据为 1，8，2，10，5，3，7，9，6，4，则它的第 70 百分位数为 7 B.若一组数据 1 2, , , nx x x   的方差为0，则所有数据  1,2,ix i n  都相同 C.在对两个分类变量进行 2 独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检 验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变（参考公式： ))()()(( )( 22 dbcadcba bcadn    ） D.已知一组样本点的经验回归方程为  4y x a  ，若其中两个样本点  , 4p 和  5,q 的残差相等，则 4 24p q  【答案】BD 10.设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1＝10，且当 n＝5或 6时，Sn取得最大值，则( ) A.{an}的公差为 2 B.S4＝S7 C.数列{|an|}的前 10项和为 50 D.当 n≤2 025时，{an}与数列{3m＋10}(m∈N*)共有 671项互为相反数 答案：BCD 解析：由当 n＝5或 6时，Sn取得最大值知 a6＝0因为 a1＝10，所以公差 d＝－2， 所以 an＝10－2(n－1)＝－2n＋12，Sn＝ n(10－2n＋12) 2 ＝－n2＋11n， 所以 S4＝－16＋44＝28，S7＝－49＋77＝28，所以 A不正确、B 正确；记{|an|}的前 10 项和为 T10， 因为 an＝－2n＋12，当 an＝－2n＋12≥0 时，解得 n≤6， 当 an＝－2n＋12<0 时，解得 n>6，所以 T10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＋|a10| ＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10， 因为 Sn＝－n 2 ＋11n，所以 S10＝10，所以 T10＝2×30－10＝50，故 C正确； 记 bm＝3m＋10，因为 an＝－2n＋12，n≤2025， 所以 a2 025＝－4038，所以当 n≤2025 时，an≥－4038， 由 an＝－2n＋12 可知 an为偶数，若 bm与 an互为相反数，则 bm≤4038，且 bm为偶数， 由 bm＝3m＋10，所以 bm－10 为偶数，即 3m 为偶数，即 m 为偶数，即 3m≤4028，即 m≤ 4028 3 ，且 m 为偶数， 所以 m≤1342，且为偶数，故这样的 m有 671 个，故 D 错误. 11. 已知 xxxf 2sinsin2)(  ，则（ ） A. ( )f x 的图象关于直线 π 2 x   对称 B. ( )f x 在区间 3π ,2π 2       上先增后减 第 4 页 共 9 页 C. ( )f x 的值域为 3 32, 2       D. ( )f x 在区间[0,10π]上有 11 个零点 【答案】ACD 【解析】【详解】 ( ) 2sin | sin 2 |f x x x  ， 因为 ( π ) 2sin( π ) | sin( 2π 2 ) | 2sin | sin2 | ( )f x x x x x f x           ， 所以 ( )f x 关于直线 π 2 x   对称，故 A正确； 显然 ( 2π) 2sin( 2π) | sin(2 4π) | 2sin | sin2 | ( )f x x x x x f x        ， 所以 2π是函数 ( )f x 的周期，所以 ( )f x 在区间 3π ,2π 2       上的单调性与在区间 π ,0 2      上的单调性相同， 设 π ,0 2 x       ，则 ( ) 2sin sin 2f x x x  ，求导得 2( ) 2cos 2cos2 4cos 2cos 2 2(cos 1)(2cos 1) 0f x x x x x x x            ， 故 ( )f x 在区间 π ,0 2      上单调递增，故 B错误； 由 ( )f x 关于 π 2 x   对称及2π是函数 ( )f x 的周期知，只需考查 , 2 2 π πx      时 ( )f x 的值域， 因为 π 2 0 2, (0) 0 0 0 2 f f             ， ( )f x 在区间 π ,0 2      上单调递增， 故当 π ,0 2 x      时， 2 ( ) 0f x   ．当 π0, 2 x      时， ( ) 2sin sin 2f x x x  ， 求导得 ( ) 2cos 2cos2 2(2cos 1)(cos 1)f x x x x x      ， 所以 ( )f x 在区间 π0, 3       上单调递增，在区间 π π, 3 2       上单调递减， 故当 π0, 2 x      时， π 3 30 ( ) 3 2 f x f        ，故 C正确； 易知 ( )f x 在区间[0,10π]上，零点分别为0,π,2π, ,9π,10π ，故 D正确．故选：ACD. 第 II卷（非选择题 共 92分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 第 5 页 共 9 页 12. 已知圆 2 2: 4 0C x y mx    上存在两点关于直线 3 0x y   对称，则圆C的半径为________. 【答案】 13 【详解】因为圆上存在两点关于直线 3 0x y   对称，所以直线 3 0x y   过圆心 ,0 2 m      ， 从而 3 0 2 m   ，解得 6m  ，则圆C的方程为 2 2( 3) 13x y   ，故圆C的半径为 13． 故答案为： 13 13.已知某圆台的体积为  239 ，其上底面和下底面的面积分别为 3 ， 6 ，且该圆台两个底面的圆周 都在球O的球面上，则球O的表面积为______________. 【答案】28π 14. 已知函数 3( ) 2 2 1f x x x   ，若过点(0,1)的两条互相垂直的直线分别与 ( )f x 的图象交于另外的点 ,A C 和 ,B D，且四边形 ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为______________． 【答案】 2 【解析】 ( ) ( ) 2,f x f x    函数 ( )f x 的图象关于点(0,1)中心对称， 不妨设直线 AC的方程为 1( 0)y kx k   ，由 3 2 2 1 1x x kx    ，得 3 (2 2 ) 0x k x   ， 解得 0x  或 2 2x k  或 2 2x k   ，则 2| | 2 1 2 2AC k k    ， 同理可得 2 1 1| | 2 1 2 2BD k k     ，由 2 2| | | |AC BD ，得 3 23 2 1 1 12 2 0k k k k k k           ， 即 2 2 1 1 1 1 11 2 2 0k k k k k k k k k k                          ，即 2 2 1 11 1 2 2 0k k k k           ， 即 21 12 2 2 0k k k k                ，令 1t k k   ，则 2 12 2 2 0, 2,t t t k k         这两条直线 的斜率之和为 2 ．故答案为： 2 四．解答题：本题共 5个小题，共 77分. 15. （本小题满分 13 分） 已知 ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，且 sin sin sin sin b C a b c A B C      ． 第 6 页 共 9 页 （1）求A； （2）若 2 2 3sin 4 3sinb c B C   ，求 ABC 周长的最大值． 【答案】（1） π 3 （2）9 【小问 1详解】由正弦定理及 sin sin sin sin b C a b c A B C      ，得 bc a b c a b c      ，  2 2 2 2 2( )( ) ( ) 2bc a b c a b c a b c bc b c a             ， 2 2 2 2 2 2 1, cos 2 2          b c ab c a bc A bc ， π(0, π), 3 A A  Q ． 【小问 2详解】设 ABC 的外接圆半径为 R，由 2 2 3sin 4 3sin  b c B C 及正弦定理， 得 2 sin 4 sin 2 3sin 4 3sin  R B R C B C ， π3, 2 3sin 2 3 sin 3 3 R a A       ． 由余弦定理得， 2 2 2 2 2 2 23 1( ) 3 ( ) ( ) ( ) 4 4 a b c bc b c bc b c b c b c            ， 2( ) 36b c   ，当且仅当 3 b c 时取等号， 6b c   ， ABC 周长的最大值为 9． 16. （本小题满分 15 分） 已知  1,0A  ， B为圆 2 2: ( 1) 8C x y   上的动点，线段 AB的垂直平分线交 BC于 P点． （1）求 P点轨迹 E的方程；（2）若过点A的直线 l交轨迹 E于M ， N 两点，求 CMN 面积的最大值． 【答案】（1） 2 2 1 2 x y  （2） 2． 【小问 1详解】由已知得圆C的圆心坐标为  1,0C ，半径 2 2r  ， 又 P在 AB的垂直平分线上，所以 PA PB ，又 r PB PC  ，则 2 2PA PC  ， 所以 P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，设 P的轨迹E的方程为 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     ，则      1 222 c a ，      1 2 b a ，所以 P的轨迹 E的方程为 2 2 1 2 x y  ． 【小问 2详解】由已知可得直线 l斜率不为 0，则可设 l的方程为 1x my  ， 设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ，由 2 2 1 1 2 x my x y       ，  2 22 2 1 0m y my    ， 第 7 页 共 9 页 则由韦达定理得 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 my y m y y m          ，所以  2Δ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 2CMN S AC y y y y y y y y             22 2 222 2 8 14 4 22 2 mm mm m      ， 令  2 1 1t m t   ，即     2 2 22 8 1 8 8 8 21( 1) 42 2 CMN m tS tm t t          △ ， 当且仅当 1t t  ， 1t  ， 0m  时取得等号，即 CMNS 的最大值为 2． 17.（本小题满分 15 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的所有顶点均在同一个球的球面上，且 4AB AD  ， BC CD ，PB 平面 PAD． （1）证明：平面PAB 平面 ABCD； （2）当四棱锥 P ABCD 的体积最大时，求直线 PC与平面 PBD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 2 3 【解析】【小问 1详解】由题意知四边形 ABCD存在外接圆，故 πBAD BCD   ， 而 BC CD ，即 π 2 BCD  ，所以 π 2 BAD  ，故 AB AD ，由PB 平面 PAD，AD 平面 PAD， 可得 PB AD ，而 AB PB B  ， AB 平面 PAB， PB 平面 PAB，故 AD 平面 PAB， 又因为 AD 平面 ABCD，故平面 PAB 平面 ABCD． 【小问 2详解】如图，过点 P作 PH AB ，垂足为 H ， 由（1）平面PAB 平面 ABCD，又平面PAB平面 ABCD AB ， PH 平面 PAB， 所以 PH 平面 ABCD．设四边形 ABCD的面积为S， 则四棱锥 P ABCD 的体积  1 1 3 3 ABD BCD V PH S PH S S       ， 因为 4AB AD  ， AB AD ，所以 8ABDS △ ， 因为 PB 平面 PAD，PA平面 PAD， 所以 PB PA ，则点 P在以 AB为直径的圆上，当 PA PB 时，PH最大，最大值为 2 2 AB  ． 因为 BC CD ，所以点C在以 BD为直径的圆上，且 2 2 4 2BD AB AD   ， 当 4BC CD  时， BCDS△ 最大，最大值为8，此时底面 ABCD是正方形．四棱锥 P ABCD 体积取最大 值，以 A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为 x，y轴，过点 A且与平面 ABCD垂直的直线为 z轴，建立 第 8 页 共 9 页 空间直角坐标系，如图．可知  4,0,0B ，  0,4,0D ，  2,0,2P ，  4,4,0C ． 所以  2,0, 2PB    ，  4,4,0BD    ，  2,4, 2PC    ．设平面 PBD的法向量为  , ,n x y z ，则 2 2 0 4 4 0 PB n x z BD n x y                ，取 1x  ，则 1y  ， 1z  ，所以  1,1,1n   为平面 PBD的法向量，设直线 PC与 平面 PBD所成的角为， 2 4 2 2sin 33 4 16 4 n PC n PC             ． 所以直线 PC与平面 PBD所成角的正弦值为 2 3 . 18.（本小题满分 17 分） 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量 X，定义其 累积分布函数为 F x = P X ≤ x ．已知某系统由一个电源和并联的 A，B，C三个元件组成，在电源电压正 常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． （1）已知电源电压 X（单位：V）服从正态分布 N 40,4 ，且 X的累积分布函数为 F x ，求 F 44 − F 38 的值． （2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量 T（单位：小时） 表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 G t = 0, t < 0, 1 − 1 4t , t ≥ 0. ①设t1 > t2 > 0，证明：P T > t1|T > t2 = P T > t1 − t2 ； ②元件 A,B,C 的使用寿命均服从指数分布模型且累积分布函数为 G t ，已知在某时刻 0t 元件 A发生故障，B 和 C 正常工作，求接下来 1 小时内系统正常运行的概率． 附：若随机变量�服从正态分布� �, �2 ，则� � − � ≤ � = 0.6827，� � − � ≤ 2� = 0.9545，� � − � ≤ 3� = 0.9973． 【答案】(1)0.8186 （2）①证明见解析 ② 7 16 【详解】（1）由题设，得� 38 ≤ � ≤ 42 = 0.6827，� 36 ≤ � ≤ 44 = 0.9545， � 44 − � 38 = � � ≤ 44 − � � ≤ 38 = � 40 < � ≤ 44 + � 38 < � ≤ 40 = 1 2 × 0.6827 + 0.9545 = 0.8186． （2）①由题设，得� � > �1|� > �2 = �[ �>�1 ∩ �>�2 ] � �>�2 = � �>�1 � �>�2 = 1−� �≤�1 1−� �≤�2 = 1−� �1 1−� �2 = 4 −�1 4−�2 = 4�2−�1， � � > �1 − �2 = 1 − � � ≤ �1 − �2 = 1 − � �1 − �2 = 4�2−�1.所以� � > �1|� > �2 = � � > �1 − �2 ． ②由①，得     4 111)1(11)1()|1( 0000  GTPTPttTPtTtTP 所以接下来 1 小时内元件 B，C正常工作的概率均为 1 4 ，为使接下来 1小时内系统仍正常工作，元件 B，C 必 须至少有一个正常工作，因此所求概率为 1 − 1 − 1 4 2 = 7 16 ． 19.（本小题满分 17 分） 第 9 页 共 9 页 已知函数   2 1ln 2 f x ax x x   . (1)当 0a  时，求曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程； (2)当 1x  时，不等式   0f x  恒成立，求实数 a的取值范围； (3) 证明：            Nn nn n 1212 1 53 1 31 112ln . 19．(1) 1 0 2 x y   (2) 1 , 2    (3)证明见解析 【详解】（1）当 0a  时，   1ln 2 f x x x   ， 0x  ，   11 2 f   ，则   1 lnf x x    ，所以  1 1f    ， 所以曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程为  1 1 2 y x         ，即 1 0 2 x y   ； （2）因为 1x  ，   2 1ln 0 2 f x ax x x    恒成立，所以 2 ln 1 2 xa x x   恒成立. 令    2 ln 1 1 2 xg x x x x    ，则   2 3 3 1 ln 1 ln 1x x x xg x x x x       ， 令    ln 1 1h x x x x x    ，则   ln 0h x x    且不恒为 0， 即   ln 1h x x x x   在 1, 上单调递减，则    1 0h x h  ，所以当  1,x   时，   0g x  且不恒为 0， 所以  g x 在区间 1, 上单调递减，故    max 11 2 g x g  ，所以 1 2 a  ， 综上，实数 a的取值范围为 1 , 2    ； （3）取 1 2 a  ，由（2）得当 1x  时，   21 1ln 0 2 2 f x x x x    ，所以 12lnx x x   . 取  *2 1 12 1 nx n n      N ，则有    2 1 2 1 1 22ln 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n            ， 即    1ln 2 1 ln 2 1 2 1 2 1 n n n n       ， 所以 1ln 3 ln 1 1 3    ， 1ln 5 ln 3 3 5    ，   ，    1ln 2 1 ln 2 1 2 1 2 1 n n n n       ， 将上述式子相加得            Nn nn n 1212 1 53 1 31 112ln ，得证.