精品解析：宁夏银川市西夏区银川市第二十四中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年第二学期八年级数学期中考试试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 若，则下列各项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，据此作答，即可解题． 【详解】解：， ， 则一定成立的是， 故选：A． 3. 下列因式分解中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，根据分解因式的方法求解即可．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等，据此进行分析解答即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、不能进行因式分解，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 对下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式性质：分子和分母同时除以或乘上同一个数（不为0），分式的值不变，据此逐项分析，即可作答． 【详解】A. ，不正确； B. ，不正确； C. ，不正确； D. ，正确． 故选：D． 5. 已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点P在第四象限可得横坐标为正，纵坐标为负，由此列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第四象限， ∴a-1＞0且-a＜0， 解得：a＞1， 把解集在数轴上表示为： 故选A. 【点睛】本题考查象限内点的坐标的特点，熟练掌握每个象限内点的坐标的特点是解题关键. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 用反证法证明“”时，应假设 B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C. 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 D. 边长为3，6的等腰三角形的周长为15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反证法，逆命题和真命题，三角形三边关系，等腰三角形．根据反证法，三角形三边关系，等腰三角形以及逆命题和真命题的定义求解即可． 【详解】A. 用反证法证明“”时，应假设，正确； B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题，正确； C. 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，不正确； D. 边长为3，6的等腰三角形的周长为15，正确． 故选：C． 7. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转角的求解，由旋转可知：，求出即可求解； 【详解】解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， 故选：A 8. 在平面直角坐标系中，正三角形的顶点B的坐标为点A在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为5，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作AD⊥OB于点D，利用含30度角的直角三角形的性质、勾股定理求得A的坐标是，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据平移的性质即可求解． 【详解】解：过点A作AD⊥OB于点D， ∵是等边三角形，点B的坐标为，， ∴， ∴， ∴A的坐标是， 设直线的解析式为， 把代入得：， ∴直线的解析式为， ∴的坐标为， ∴点A向右平移3个单位，向上平移个单位得到， ∴的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、平移的性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 用简便方法计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式将原式转化为两数差与两数和的乘积． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 已知是完全平方式，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：代数式是一个完全平方式， 即， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 11. 已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义和分式的值为零的条件，熟练掌握是解题的关键． 根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得，从而得到a，b的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵分式，当时，分式没有意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为零， ∴， ∴， ∴． 12. 某服装店老板将一件进价为60元的衣服，标价为80元，现打折销售，若不考虑税收等其它成本，则该老板至多打______折才能不亏本. 【答案】七五 【解析】 【分析】设打x折，由题意不等关系：标价×打折≥进价，由此可得不等式80×≥60，再解不等式即可． 【详解】解：设打x折，由题意得： 80×≥60 解得：x≥7.5， 因此最多打七五折. 故答案为七五 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出不等式． 13. 如图，在中，．以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点D，E，分别以点D，E为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点P．若，则的度数为__________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的作法、三角形内角和定理，三角形的外角性质，先求出，进而求出，再根据三角形内角和，代入数值，求出结论． 【详解】解：依题意，是的角平分线， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 解得， 即， 故答案为：． 14. 不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 先解得，利用同大取大得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：， 解①，得， ∴， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，将等腰直角ABC沿BC方向平移得到A1B1C1．若BC＝3，△ABC与A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】设B1C=2x，根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，列得×x×2x=2，解得x，即可求出答案 【详解】解：设B1C=2x， 根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形， 则B1C边上的高为x， ∴×x×2x=2，解得x=（舍去负值）， ∴B1C=2， ∴BB1=BC-B1C=． 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求斜边长． 三、解答题（共72分） 16. 因式分解： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）直接提取公因式的方法求解即可； （2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可； （3）先提取公因数，再利用完全平方公式的方法继续分解即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集. 【详解】解： 由①得，， ∴， 解得：， 由②得，， ∴， ∴， 解得：， 不等式组的解集为：. 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在边长为1个单位长度的网格中，各顶点都在格点上，已知点A的坐标为．按要求完成下列各题： （1）将先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出平移后的，并直接写出，，的坐标； （2）若与关于原点成中心对称，请画出； （3）能否由经旋转得到？若可以，请在图中标出旋转中心点P；若不能，请说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求作， ，，的坐标分别为，， （2）如图所示； （3）可以，旋转中心P的坐标为，旋转角为 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平移作图，旋转的性质，中心对称的性质，掌握平移的性质和旋转的性质是解题的关键． （1）分别作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接即可． （2）先找到对称中心的坐标，再分别作出A，B，C的对应点，再顺次连接即可． （3）对应点连线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 解：∵分别向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点，，， ∴点，，的坐标分别为，，； 【小问2详解】 解：∵与关于原点成中心对称，， ∴， 【小问3详解】 解：将绕某点旋转一定角度可以得到，连接对应点的连线交点，得旋转中心P，如图， 旋转中心P的坐标为，旋转角为． 20. 如图，已知，，． （1）尺规作图，作边的垂直平分线，交于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，点D即为所求； （2）． 【解析】 【分析】本题考查中垂线作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角． （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，在线段上方和下方各交于一点，连接两个交点得到的直线，交于点D，交于点E，即为边的垂直平分线； （2）得到，进而得到，利用，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21. 某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元． （1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种型号的跳绳共100根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元 （2）当购买A型跳绳75只，B型跳绳25只时，最省钱 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的数量关系是解题关键． （1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，根据2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元列方程组求解即可； （2）设购进A型跳绳m根，总费用为W元，根据总费用等于两种跳绳的费用列出函数解析式，再根据A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍求出m的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元， 根据题意，得：， 解得：， 答：一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元； 【小问2详解】 解：设购进A型跳绳m根，总费用为W元， 根据题意，得：， ∵， ∴W随m的增大而减小， 又∵， 解得：， 而m为正整数， ∴当时，， 此时， 答：当购买A型跳绳75只，B型跳绳25只时，最省钱． 22. 如图，在中，，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点P，作直线． （1）求证：垂直平分； （2）若，，计算的长． 【答案】（1） 证明：∵直线分别为的垂线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点A，P都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理；利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，利用线段垂直平分线的判定即可证明； （2）由勾股定理求出，利用面积关系求得，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点D， 在中，，， 由勾股定理得：； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，一次函数图象与y轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）计算四边形的面积． （3）下列说法正确的有______（填序号）； ①关于x的不等式的解集是；②关于x的方程的解是； ③关于x的不等式的解集是． 【答案】（1） （2） （3）②③ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，三角形面积公式，是解题的关键． （1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）设交y轴于点D，求出，得，由求出，得，根据，，得； （3）观察图象，利用数形结合，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数图象经过点和， ∴， 解得， ∴一次函数； 【小问2详解】 解：设交y轴于点D， 当时，， ∴， ∴， ∵中，时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：观察图象， ①关于x的不等式的解集是， 说法不正确； ②关于x的方程的解是， 说法正确； ③关于x的不等式的解集是， 说法正确． 综上，正确的说法是②③； 故答案为：②③ 24. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，在纸片绕点A旋转过程中，当恰好平分时，与相交于点M，则______． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的角平分线的延长线上时，延长交于点F，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出所有满足条件的的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）1；（2）；（3）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． （2）过点M作于点N，根据题意证明是等腰直角三角形，设，则，勾股定理求得，得出，即可求解； （3）证明，分两种情况讨论，①当，②，分别画出图形，根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：（1）∵，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：1． （2）解：如图所示，过点M作于点N， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）∵，，， ∴， ∴，， ①当时， ∵， ∴A、D、C共线， 当D在上时，，如图， ∴的面积为； 如图所示，当D在的延长线上，， ∴的面积为； ②如图所示，当， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为． 综上所述，所有满足条件的的面积为或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期八年级数学期中考试试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 用反证法证明“”时，应假设 B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C. 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 D. 边长为3，6的等腰三角形的周长为15 7. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，正三角形的顶点B的坐标为点A在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为5，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 用简便方法计算：_____． 10. 已知是完全平方式，则m的值是______． 11. 已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为______． 12. 某服装店老板将一件进价为60元的衣服，标价为80元，现打折销售，若不考虑税收等其它成本，则该老板至多打______折才能不亏本. 13. 如图，在中，．以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点D，E，分别以点D，E为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点P．若，则的度数为__________． 14. 不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 15. 如图，将等腰直角ABC沿BC方向平移得到A1B1C1．若BC＝3，△ABC与A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1＝_______． 三、解答题（共72分） 16. 因式分解： （1） （2） （3） 17. 解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在边长为1个单位长度的网格中，各顶点都在格点上，已知点A的坐标为．按要求完成下列各题： （1）将先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出平移后的，并直接写出，，的坐标； （2）若与关于原点成中心对称，请画出； （3）能否由经旋转得到？若可以，请在图中标出旋转中心点P；若不能，请说明理由． 20. 如图，已知，，． （1）尺规作图，作边的垂直平分线，交于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结，若，求的度数． 21. 某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元． （1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种型号的跳绳共100根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 22. 如图，在中，，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点P，作直线． （1）求证：垂直平分； （2）若，，计算的长． 23. 如图，一次函数图象与y轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）计算四边形的面积． （3）下列说法正确的有______（填序号）； ①关于x的不等式的解集是；②关于x的方程的解是； ③关于x的不等式的解集是． 24. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，在纸片绕点A旋转过程中，当恰好平分时，与相交于点M，则______． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的角平分线的延长线上时，延长交于点F，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出所有满足条件的的面积；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $