专题03 一元一次不等式与不等式组（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题03 一元一次不等式与不等式组 题型概览 题型01不等式的基本性质 题型02一元一次不等式（组）的解集 题型03一元一次不等式（组）的整数解 题型04特殊不等式的解法 题型05一元一次不等式与一次函数 题型06根据不等式（组）的解集、整数解确定参数 题型07不等式组和方程组相结合问题 题型08一元一次不等式（组）的实际应用 题型09新定义问题 ( 题型01 )不等式的基本性质 1．（2023·24八年级下·四川成都·期末）如果，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·24八年级下·广西百色·期末）若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，则下列各式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·24八年级下·山东济宁·期末）下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·湖南·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2023·24八年级下·广东汕头·期末）已知，，若，则x与y的大小关系为（       ） A． B． C． D．不能确定 7．（2023·24八年级下·全国·期末）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可以组成 个真命题． ( 题型0 2 )一元一次不等式（组）的解集 8．（2023·24六年级上·山东泰安·期末）数轴上A，B，C三点依次从左向右排列，表示的数分别为，和1，则可能是（    ） A． B． C．0 D．1 9．（2023·24八年级下·全国·期末）若点在第二象限，则的取值范围是 ． 10．（2023·24八年级下·四川内江·期末）已知x、y满足，且，设，那么k的取值范围是 ． 11．（2023·24八年级下·广西河池·期末）解不等式并把它的解集在数轴上表示出来：． 12．（2023·24八年级下·浙江金华·期末）小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的期末过程． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 两边都除以，得．⑤ 13．（2023·24八年级下·河南南阳·期末）（1）解方程：； （2）阅读下面解不等式的过程，完成任务： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第一步去分母的依据是 　　　 ； 第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　　 ；直接写出原不等式的正确解集是 　　　　 ； 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出条建议． 14．（2023·24八年级下·陕西西安·阶段练习）解不等式组． 15．（2023·24八年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． ( 题型0 3 )一元一次不等式（组）的整数解 16．（2023·24八年级下·湖南衡阳·期末）不等式的最大整数解是 ． 17．（2023·24八年级下·浙江·阶段练习）写出一个满足不等式的正整数的值： ． 18．（2023·24八年级下·全国·期末）的自然数解有 个． 19．（2023·24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的非负整数解是 ． 20．（2023·24八年级下·山东烟台·期末）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值． 21．（2023·24八年级下·四川眉山·期末）解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． ( 题型0 4 )特殊不等式的解法 22．（2023·24八年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求期末下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：∵，∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为_______； (2)试解一元二次不等式； (3)试解不等式． 23．（2023·24八年级下·四川达州·期末）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． ( 题型0 5 )一元一次不等式与一次函数 24．（2023·24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 25．（2023·24八年级下·浙江金华·期末）一次函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 26．（2023·24八年级下·江苏泰州·期末）如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 27．（2023·24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 28．（2023·24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数（a，b为常数）与正比例函数（k为常数）的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 29．（2023·24八年级下·安徽淮南·期末）如图，已知直线分别与，轴交于点，，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 30．（2023·24八年级下·安徽宣城·期末）如图，观察函数图象，当的取值范围是 时，． ( 题型0 6 )根据不等式（组）的解集、整数解确定参数 31．（2023·24八年级下·广东汕头 期末）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（2023·24八年级下·安徽黄山·期末）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（2023·24八年级下·贵州铜仁·期末）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 34．（2023·24八年级下·四川眉山·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 35．（2023·24八年级下·四川成都·期末）若关于x的不等式组在实数范围内有解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．（2023·24八年级下·山东威海·期末）若关于x的不等式组解集为，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 37．（2023·24八年级下·浙江宁波·期末）关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是 ． 38．（2023·24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于x，y方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，是否存在整数a，使不等式的解集为．若存在，求a的值；若不存在，说明理由． 39．（2023·24八年级下·山东东营·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，求整数m的值． ( 题型0 7 )不等式组和方程组相结合问题 40．（2023·24八年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（2023·24八年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 42．（2023·24八年级下·江苏徐州·期末）已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 43．（2023·24八年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 44．（2023·24八年级下·河南商丘·期末）已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？ ( 题型0 8 )一元一次不等式（组）的实际应用 45．（2023·24八年级下·广西梧州·期末）把一批书分给若干名同学，如果每人分3本，那么剩余6本；如果前面的同学每人分5本，那么最后一人就分不到3本，则这批书共有 本． 46．（2023·24八年级下·山东济宁·期末）医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理4名病人，则有20名病人没人护理，如果每名护士护理8名病人，有一名护士护理的病人多于1人不足8人，这个医院安排了几名护士护理病人？ 47．（2023·24八年级下·吉林长春·期末）某汽车租赁公司有甲、乙两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示，已知在这20辆客车都坐满的情况下，一共可以载客920人， 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 40 50 日租金(元/辆) 500 600 (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划向此汽车租赁公司租用甲、乙两种型号的客车共10辆，接送八年级师生参加社会实践活动，已知该中学预算租车的总费用不超过5500元，那么租车的方案共有多少种？ 48．（2023·24八年级下·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 49．（2023·24八年级下·安徽池州·期末）为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 50．（2023·24八年级下·黑龙江绥化·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件个共需要元，求m、n的值． (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共个，且投入资金不少于元又不多于元，设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？ 51．（2023·24八年级下·浙江·阶段练习）某文具店准备用1000元购进甲、乙两种笔，甲种笔每支10元，乙种笔每支5元．考虑到顾客的需求，文具店购进的乙种笔的数量不少于甲种笔数量的6倍，且甲种笔不少于20支．设购进甲种笔支，购进乙种笔支． (1)写出关于的函数表达式． (2)通过列不等式求出该文具店共有几种进货方案． (3)若文具店销售每支甲种笔可获利润3元，销售每支乙种笔可获利润2元，在所有进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 52．（2023·24八年级下·福建泉州·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 53．（2023·24八年级下·河南信阳·期末）某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． ( 题型0 9 ) 新定义问题 54．（2023·24八年级下·浙江金华·期末）对于实数，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 55．（2023·24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）对x，y定义一种新的运算，规定，如，若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是 ． 56．（2023·24八年级下·江苏淮安·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算：，其中，等式右边是通常的加减运算．如：．若关于x的不等式组恰有3个整数解，求t的取值范围． 57．（2023·24八年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 58．（2023·24八年级下·北京房山·期末）对x，y定义一种新的运算T，规定：，其中．例如：，． (1)计算：______（用含a的代数式表示）； (2)若，关于x的不等式组恰有4个整数解，求m的取值范围； (3)若，求a的值． 一、单选题 1．（2023·24八年级下·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都大于一次函数的值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·24八年级下·广东深圳·期末）如图，一次函数与的图象交于点，下列结论正确的是（） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解为 3．（2023·24八年级下·全国·期末）已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 4．（2023·24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知三个实数，满足．当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·24八年级下·重庆·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 6．（2023·24八年级下·福建三明·期末）我们把对非负数“四舍五入”到个位的值记为，例如，，…下列结论中：①；②；③；④满足的非负数只有三个．其中结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2023·24八年级下·全国·期末）已知三个非负数a、b、c，满足，，c的最大值为m，最小值为n，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2023·24八年级下·河南新乡·期末）已知甲，乙两个长方形，它们的边长如图（为正整数），甲，乙的面积分别为．若满足条件的整数有且只有2个，则的值为 ． 9．（2023·24八年级下·浙江宁波·阶段练习）关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a的取值范围为 ． 10．（2023·24八年级下·全国·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ． 11．（2023·24八年级下·四川宜宾·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，用m的取值范围为 ． 三、期末题 12．（2023·24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数与的图象相交于点A，与x轴分别交于点B，C． (1)求点A的坐标； (2)结合图象，直接写出当时x的取值范围． 13．（2023·24八年级下·湖南长沙·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 14．（2023·24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，． (1)求该函数的表达式； (2)若一次函数的图象与一次函数的图象交于点． 当时，直接写出关于的不等式的解集； 若点在第二象限，则的取值范围是 ． 15．（2023·24八年级下·全国·期末）我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 16．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”． ①只要其中存在两个代数式的和大于第三个代数式； ②满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数． 例如：若三个代数式、和构成关于的不等式满足且解集为，则称，和构成“和谐不等式”． (1)判断代数式，，是否构成“和谐不等式”？请说明理由． (2)若，，构成“和谐不等式”，则______； (3)若，，构成“和谐不等式”，求关于的一元一次不等式组的解集． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次不等式与不等式组 题型概览 题型01不等式的基本性质 题型02一元一次不等式（组）的解集 题型03一元一次不等式（组）的整数解 题型04特殊不等式的解法 题型05一元一次不等式与一次函数 题型06根据不等式（组）的解集、整数解确定参数 题型07不等式组和方程组相结合问题 题型08一元一次不等式（组）的实际应用 题型09新定义问题 ( 题型01 )不等式的基本性质 1．（2023·24八年级下·四川成都·期末）如果，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A． ∵，∴，故不符合题意；     B． ∵，∴，故不符合题意；     C． ∵，∴，故符合题意；     D． ∵，∴，故符合题意； 故选C． 2．（2023·24八年级下·广西百色·期末）若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴，故选项A正确； 当，时，符合，但，，故选项B、C错误； 当，时，符合，但，故选项D错误， 故选：A． 3．（2023·24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，则下列各式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、∵， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴， 即，该选项正确，不合题意； 、∵， 当时，；当时，， ∴不一定成立，该选项错误，符合题意； 故选：． 4．（2023·24八年级下·山东济宁·期末）下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：（1）只有当时，才能由，推出，不符合题意； （2）只有当时，才能由，推出，不符合题意； （3）由可以推出，符合题意； （4）只有当时，才能由，推出推出，不符合题意； 故选：A。 5．（2024·湖南·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从题图中得出，，， 所以，，，， 故选项B、C、D错误，选项A正确， 故选：A． 6．（2023·24八年级下·广东汕头·期末）已知，，若，则x与y的大小关系为（       ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．（2023·24八年级下·全国·期末）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可以组成 个真命题． 【答案】3 【详解】解：命题①，如果，那么， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴该命题是真命题； 命题②，如果那么， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； 命题③，如果，，那么， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴该命题为真命题； 综上分析可知：可以组成3个真命题． 故答案为：3． ( 题型0 2 )一元一次不等式（组）的解集 8．（2023·24六年级上·山东泰安·期末）数轴上A，B，C三点依次从左向右排列，表示的数分别为，和1，则可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】因为A，B，C三点依次从左向右排列，所以且． 解不等式：得， 解不等式：解得， 综上，的取值范围是， 对照选项，只有D选项的1在范围内， 故选：D． 9．（2023·24八年级下·全国·期末）若点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：点在第二象限， ， ． 故答案为：． 10．（2023·24八年级下·四川内江·期末）已知x、y满足，且，设，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， ，解得， 又， ， 当时，； 当时，， ， 故答案为：． 11．（2023·24八年级下·广西河池·期末）解不等式并把它的解集在数轴上表示出来：． 【答案】，见解析 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 数轴表示如下所示： 12．（2023·24八年级下·浙江金华·期末）小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 两边都除以，得．⑤ 【答案】①，过程见解析 【详解】解：去分母时，常数项2没有乘以最小公倍数出现错误；故首次出现错误的是步骤①；正确的解答过程如下： 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以，得． 13．（2023·24八年级下·河南南阳·期末）（1）解方程：； （2）阅读下面解不等式的过程，完成任务： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第一步去分母的依据是 　　　 ； 第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　　 ；直接写出原不等式的正确解集是 　　　　 ； 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出条建议． 【答案】（1）；（）不等式的性质；一，去分母时，没有添括号，导致符号出错，；去分母时注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时要注意符号的变化（合理准确即可） 【详解】解：（） 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （）去分母的依据是：不等式的性质； 故答案为：不等式的性质； 第一步出现错误，错误的原因是去分母时，没有添括号，导致符号出错， ； 故答案为：一，去分母时，没有添括号，导致符号出错，； 去分母时注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时要注意符号的变化（答案不唯一）． 14．（2023·24八年级下·陕西西安·阶段练习）解不等式组． 【答案】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集是． 15．（2023·24八年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】数轴见解析， 【详解】解：， 解不等式： ， 解不等式： ， 在数轴上表示为： 不等式组的解集为． ( 题型0 3 )一元一次不等式（组）的整数解 16．（2023·24八年级下·湖南衡阳·期末）不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【详解】解： 移项得：， 系数化为1得：， ∴原不等式的最大整数解是， 故答案为：． 17．（2023·24八年级下·浙江·阶段练习）写出一个满足不等式的正整数的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴该不等式的正整数解为：， 故答案为：（答案不唯一）． 18．（2023·24八年级下·全国·期末）的自然数解有 个． 【答案】5 【详解】解：由不等式得， ∴的自然数解有4，3，2，1，0共5个． 故答案为：5． 19．（2023·24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的非负整数解是 ． 【答案】3，2，1，0 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； ∴不等式组的非负整数解为：3，2，1，0； 故答案为：3，2，1，0． 20．（2023·24八年级下·山东烟台·期末）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值． 【答案】 【详解】解：， 解得， ∴不等式的最小整数解是， ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴把代入得，， 解得， 把代入得，． 21．（2023·24八年级下·四川眉山·期末）解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 【答案】，数轴见解析，不等式组的整数解为0，1，2，3 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： 不等式组的整数解为0，1，2，3． ( 题型0 4 )特殊不等式的解法 22．（2023·24八年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：∵，∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为_______； (2)试解一元二次不等式； (3)试解不等式． 【答案】(1)或 (2)一元二次不等式的解集为0＜x＜5 (3)的解集为1＜x＜4 【详解】（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0 ∴ 或 解得：x＞3或x＜-3． 故答案为：或 ； （2）∵， ∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ①     ② 解不等式组①，得0＜x＜5； 解不等式组②，无解， ∴的解集为0＜x＜5， 即一元二次不等式的解集为：0＜x＜5． （3）由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得 ①     ② 解不等式组①，得1＜x＜4； 解不等式组②，无解， ∴的解集为1＜x＜4． 【点睛】本题考查不等式组的解法，一元一次不等式组的应用．利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的符号法则． 23．（2023·24八年级下·四川达州·期末）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，， 可以写成, 解得：； 当时，， 可以写成, 解得：， 综上：不等式解集：或； （2）当时，， 可以写成， 解得； 当时，， 可以写成， 解得：无解， 综上：不等式解集：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算． ( 题型0 5 )一元一次不等式与一次函数 24．（2023·24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， 所以①正确； ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 所以②错误； ∵当时，， ∴关于x的方程的解为， 所以③正确； ∵当，直线在直线的下方， ∴时，． 所以④错误． 故答案为：C． 25．（2023·24八年级下·浙江金华·期末）一次函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解： 当，则， 解得：， ∴一次函数与轴的交点坐标为：；如图， ∴当时，，当时，， 一次函数的图象上有，两点， ∴当时，则， ∴，， ∴，故D不符合题意，C符合题意； 当时，则， ∴的符号不确定，， ∴A，B都不符合题意； 故选：C 26．（2023·24八年级下·江苏泰州·期末）如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【详解】解：A、当时，，故A错误，不符合题意； B、当时，，故B错误，不符合题意； C、当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意； D、当时，，正确，符合题意， 故选：D． 27．（2023·24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将点代入函数得：，解得， ∴， ∵关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方， ∴由函数图象可知，， 即关于的不等式的解集是， 故选：D． 28．（2023·24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数（a，b为常数）与正比例函数（k为常数）的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象不在直线的下方， 所以关于x的不等式的解集是． 故选：D． 29．（2023·24八年级下·安徽淮南·期末）如图，已知直线分别与，轴交于点，，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得：， ， 将点的坐标代入，得， 解得：； （2）解：由图象可知，当时，， 不等式的解集为． 30．（2023·24八年级下·安徽宣城·期末）如图，观察函数图象，当的取值范围是 时，． 【答案】 【详解】解：由函数图象可知，当时，的图象在的图象下方，即， 故答案为：． ( 题型0 6 )根据不等式（组）的解集、整数解确定参数 31．（2023·24八年级下·广东汕头 期末）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 故选：A． 32．（2023·24八年级下·安徽黄山·期末）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 解得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴． 故选：B 33．（2023·24八年级下·贵州铜仁·期末）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】D 【详解】解：由，得， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得：， ∵， ∴解①得， 解②得， ∴， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 即整数， ∵为正整数， ∴，或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：D． 34．（2023·24八年级下·四川眉山·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：B． 35．（2023·24八年级下·四川成都·期末）若关于x的不等式组在实数范围内有解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解， 解不等式①得：， 解不等式②得：． 因为关于x的不等式组在实数范围内有解， ∴，解得：． 故选：B． 36．（2023·24八年级下·山东威海·期末）若关于x的不等式组解集为，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 故选：A． 37．（2023·24八年级下·浙江宁波·期末）关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解： 解不等式①可得， 解不等式②可得， 由题意可知原不等式组有解， 原不等式组的解集为， 该不等式组恰好有三个整数解， 整数解为1，2，3， ． 故答案为：． 38．（2023·24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于x，y方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，是否存在整数a，使不等式的解集为．若存在，求a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)整数a的值为 【详解】（1）解： ， ①+②得， ， 则． ①﹣②得， ， 则， 所以原方程组的解为， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以a的取值范围是． （2）存在，整数a的值为． 因为不等式的解集为， 所以， 解得， 又因为， 所以， 所以整数a的值为． 39．（2023·24八年级下·山东东营·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，求整数m的值． 【答案】5 【详解】解：， ①②得，即， ①②得，即， 二元一次方程组解是正整数， ， 解得，， 或6， 时，，， 当时，不符合题意，舍去； ． 由不等式组得， 关于的不等式组有且仅有2个整数解， ， 解得，， 的值是5． ( 题型0 7 )不等式组和方程组相结合问题 40．（2023·24八年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， ∴， 故选：D． 41．（2023·24八年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 42．（2023·24八年级下·江苏徐州·期末）已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ，得：，故， 又由，则，得． （2）解： ，得：， 又由，得， 解得． 43．（2023·24八年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：解方程组得：， 方程组中为非正数，为负数， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∴, ∴ ； （3）解：， ∴， 要使不等式的解集为， 必须， 解得：， ，为整数， ， 所以当为时，不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组，化简绝对值等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 44．（2023·24八年级下·河南商丘·期末）已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？ 【答案】(1)； (2)和0． 【详解】（1）解：解方程组，得， 根据题意，得， 解得：； （2）解：∵， ∴， 而的解为知：， 解得. 结合（1）得，的取值范围是， 不等式的解为时，可以取整数值和0. ( 题型0 8 )一元一次不等式（组）的实际应用 45．（2023·24八年级下·广西梧州·期末）把一批书分给若干名同学，如果每人分3本，那么剩余6本；如果前面的同学每人分5本，那么最后一人就分不到3本，则这批书共有 本． 【答案】21 【详解】解：设共有x人，则这些书有本， 根据题意得： ，解得：， 又∵x为正整数， ∴， ∴， ∴这些书有21本． 故答案为：21． 46．（2023·24八年级下·山东济宁·期末）医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理4名病人，则有20名病人没人护理，如果每名护士护理8名病人，有一名护士护理的病人多于1人不足8人，这个医院安排了几名护士护理病人？ 【答案】这个医院安排了6名护士护理病人 【详解】解：设这个医院安排了x名护士护理病人， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴， 答：这个医院安排了6名护士护理病人． 47．（2023·24八年级下·吉林长春·期末）某汽车租赁公司有甲、乙两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示，已知在这20辆客车都坐满的情况下，一共可以载客920人， 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 40 50 日租金(元/辆) 500 600 (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划向此汽车租赁公司租用甲、乙两种型号的客车共10辆，接送八年级师生参加社会实践活动，已知该中学预算租车的总费用不超过5500元，那么租车的方案共有多少种？ 【答案】(1)甲型客车8辆，乙型客车12辆 (2)4种 【详解】（1）解：设甲种型号客车辆，则乙种型号客车辆， 解得： 所以 答：甲型客车8辆，乙型客车12辆； （2）解：设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆， ，为整数， ∴或6或7或8， 租车方案有4种． 48．（2023·24八年级下·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】(1)A型50元，B型100元； (2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 49．（2023·24八年级下·安徽池州·期末）为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨， 则总费用 整理得： ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 50．（2023·24八年级下·黑龙江绥化·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件个共需要元，求m、n的值． (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共个，且投入资金不少于元又不多于元，设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)共有3种购买方案：方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得： ， ∴，； （2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，则设购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为，，， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个． 51．（2023·24八年级下·浙江·阶段练习）某文具店准备用1000元购进甲、乙两种笔，甲种笔每支10元，乙种笔每支5元．考虑到顾客的需求，文具店购进的乙种笔的数量不少于甲种笔数量的6倍，且甲种笔不少于20支．设购进甲种笔支，购进乙种笔支． (1)写出关于的函数表达式． (2)通过列不等式求出该文具店共有几种进货方案． (3)若文具店销售每支甲种笔可获利润3元，销售每支乙种笔可获利润2元，在所有进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该文具店共有6种进货方案； (3)当购买甲钢笔20支，乙钢笔160支时获利最大，最大利润为380元． 【详解】（1）解：设购进甲种笔支，购进乙种笔支， ∴， 解得：； （2）解：由题意可得：， 解得：． ∵x，y为整数， ∴20，21，22，23，24，25共六种方案． 经检验符合题意． ∴该文具店共有6种进货方案． （3）解：设利润为W元，则， ∵W随着x的增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为（元）． 即当购买甲钢笔20支，乙钢笔160支时获利最大，最大利润为380元． 52．（2023·24八年级下·福建泉州·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 (2)共有5种购买方案，最低费用是8440元 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； （2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 53．（2023·24八年级下·河南信阳·期末）某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． 【答案】该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行． 【详解】解：该企业投入106万购买这两种设备不可行， 理由：设购买型污水处理设备台， ， 解得且， 该不等式组无解， ∴该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行． ( 题型0 9 ) 新定义问题 54．（2023·24八年级下·浙江金华·期末）对于实数，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为， 原不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． 55．（2023·24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）对x，y定义一种新的运算，规定，如，若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴原不等式组可以化为． ∴原不等式组的解集为． ∵原不等式组恰好有2个整数解， ∴． ∴． 56．（2023·24八年级下·江苏淮安·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算：，其中，等式右边是通常的加减运算．如：．若关于x的不等式组恰有3个整数解，求t的取值范围． 【答案】 【详解】解：由题意得：．即， ∴， ∵该不等式组恰有3个整数解，即整数解，8，9， ∴， 解得． 故t的取值范围是． 57．（2023·24八年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【详解】（1）解：方程①， 解得：， 方程②：， 解得：， 不等式组， 解得：， 在范围内， 方程②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：②； （2）方程， 解得：， 不等式组， 解得：， 由题意可得：， 解得：； （3）方程， 解得：， 方程， 解得：， ， 解得：， 和都在范围内， ， 解得：． 58．（2023·24八年级下·北京房山·期末）对x，y定义一种新的运算T，规定：，其中．例如：，． (1)计算：______（用含a的代数式表示）； (2)若，关于x的不等式组恰有4个整数解，求m的取值范围； (3)若，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴关于x的不等式组转化为：， 解得：， ∵不等式组恰有4个整数解， ∴，整数解为：1，2，3，4， ∴， ∴； （3）， 当时，则：，解得：（舍去）； 当时，则：，解得：； 当时，则：，解得：（舍去）； 故． 一、单选题 1．（2023·24八年级下·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都大于一次函数的值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当，则点在直线上， 当直线经过点时，， 解得：，此时，符合题意，如图： 当时，此时不符合题意，如图： 当时，此时符合题意，如图： 当时，直线与直线平行，符合题意，如图： 当时，直线与直线在右侧会相交，不符合题意， 综上：当时，时，对于x的每一个值，正比例函数的值都大于一次函数的值， 故选：C． 2．（2023·24八年级下·广东深圳·期末）如图，一次函数与的图象交于点，下列结论正确的是（） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解为 【答案】C 【详解】A．由图象可得直线与的图象交于点， ∴方程的解是，故A不符合题； B．由图象可知，不等式的解集是，不等 式的解集是，故B不符合题意； C．将代入得， 解得， ， 将代入得， 解得， ∴时，直线在轴下方且在直线上方， ∴的解集是，故C符合题意； D．方程组的解为，故D不符合题． 故选：C． 3．（2023·24八年级下·全国·期末）已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第一象限， ∴点在第二象限， ∴， 解得， 故选：D． 4．（2023·24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知三个实数，满足．当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得： 故选：B． 5．（2023·24八年级下·重庆·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵这个不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， ， ， ， ∵这个方程的解是非负整数， ∴满足条件的所有整数的值为3和5， ∴满足条件的所有整数的和为， 故选：A． 6．（2023·24八年级下·福建三明·期末）我们把对非负数“四舍五入”到个位的值记为，例如，，…下列结论中：①；②；③；④满足的非负数只有三个．其中结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①由题意得，故①正确； ②如当时，，，所以，故②错误； ③当为非负整数时，不影响“四舍五入”，故，故③正确； ④为整数， 设为整数，则， 解得：， ，共3个，故④正确； 综上可得正确的有3个． 故选：C． 7．（2023·24八年级下·全国·期末）已知三个非负数a、b、c，满足，，c的最大值为m，最小值为n，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，故排除C和D， 由题意，得，解得， ∵a、b、c均非负，∴， 解得， ∵c的最大值为m，最小值为n， ∴，， ∴， 故选：B． 二、填空题 8．（2023·24八年级下·河南新乡·期末）已知甲，乙两个长方形，它们的边长如图（为正整数），甲，乙的面积分别为．若满足条件的整数有且只有2个，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵满足条件的整数有且只有2个， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2023·24八年级下·浙江宁波·阶段练习）关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组仅有两个整数解， ∴， 故答案为： ． 10．（2023·24八年级下·全国·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ． 【答案】7 【详解】解：方程组的解为 ， ， ， 解得，， 解不等式组， 不等式①的解集是， 不等式②的解集是， ∵不等式组有解， ∴， 解得，， ， ∵a取整数， ， ∴符合条件的整数a有7个． 故答案为：7． 11．（2023·24八年级下·四川宜宾·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，用m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：方程组中第一个方程减第二个方程，得：， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 12．（2023·24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数与的图象相交于点A，与x轴分别交于点B，C． (1)求点A的坐标； (2)结合图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1)点A的坐标为 (2) 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得， 所以点A坐标为； （2）解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 13．（2023·24八年级下·湖南长沙·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元 (2)共有4种购买方案，最低费用是5780元 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得，． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； （2）解：设需购进甲种型号“文房四宝”套，则需购进乙种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又为正整数， 可以取26，27，28，29； 共有4种购买方案， 设总费用为元，则， ， 随着的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 答：共有4种购买方案，最低费用是5780元． 14．（2023·24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，． (1)求该函数的表达式； (2)若一次函数的图象与一次函数的图象交于点． 当时，直接写出关于的不等式的解集； 若点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】(1)一次函数的表达式为； (2)；． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：当时，把代入中， ∴ ∴， 把点代入中， ∴ ∴，即， ∴； 由（）得一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，解得：， ∴点， ∵点在第二象限， ∴，解得：， 故答案为：． 15．（2023·24八年级下·全国·期末）我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 【答案】(1)①，；②人； (2)13人进行水果采摘，17名工人加工罐头，利润最大，最大利润为元． 【详解】（1）解：①由题意得，加工罐头的工人为人，可以加工罐头千克， 故答案为：，； ②由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴采摘水果的工人至少人； （2）解：设总利润为w，则， ∵直接出售所获利润不超过总利润的， ∴，解得：， 由②得，则． 所以当时，w最大，（元）． 所以当13人进行水果采摘，17名工人加工罐头，利润最大，最大利润为元． 16．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”． ①只要其中存在两个代数式的和大于第三个代数式； ②满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数． 例如：若三个代数式、和构成关于的不等式满足且解集为，则称，和构成“和谐不等式”． (1)判断代数式，，是否构成“和谐不等式”？请说明理由． (2)若，，构成“和谐不等式”，则______； (3)若，，构成“和谐不等式”，求关于的一元一次不等式组的解集． 【答案】(1)构成“和谐不等式”，理由见解析 (2)或2 (3) 【详解】（1）解：构成“和谐不等式” 理由：∵的解集为， ∴代数式，，是构成“和谐不等式” （2）解：当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴不符合题意，舍去， 综上，m的值为或2； （3）解：当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴， 代入不等式组，得， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴， 代入不等式组，得， 解得， ∴不等式无解； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴（不符合题意，舍去）， 综上，. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$