专题02 线段的垂直平分线与角平分线（五大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题02 线段的垂直平分线与角平分线 题型概览 题型01线段垂直平分线的性质 题型02线段垂直平分线的判定 题型03角平分线的性质 题型04角平分线的判定 题型05线段垂直平分线与角平分线的尺规作图 ( 题型01 )线段垂直平分线的性质 1．（2023·24八年级下·云南楚雄·期末）如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2023·24八年级下·云南玉溪·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于E，D两点，的周长为9，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 3．（2023·24八年级下·山东济南·期末）在中，，的垂直平分线交于点，，则等于（　　） A． B． C．3 D．6 4．（2023·24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为 ． 5．（2023·24八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在等腰中，平分，点C在的垂直平分线上．若的周长为，则的长为 ． 6．（2023·24八年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 7．（2023·24八年级下·四川广元·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为 ． 8．（2023·24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的长． 9．（2023·24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，、是上两点，且，，、分别平分、，、交于点，求证：点到的三个顶点的距离相等． ( 题型0 2 )线段垂直平分线的判定 10．（2023·24八年级下·吉林白城·期末）已知：C，D是线段外的两点，且，．求证：直线垂直平分线段． 11．（2023·24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 12．（2023·24八年级下·吉林四平·期末）如图，已知：，点是内一点，，，点是延长线上一点，在线段上截取，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 13．（2023·24八年级下·河北承德·期末）如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E． (1)求证：垂直平分线段； (2)若，，求的长． 14．（2023·24八年级下·四川达州·期末）如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 15．（2023·24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，平分，于点E，于点F，连接交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求线段的长． ( 题型0 3 )角平分线的性质 16．（2023·24八年级下·广东清远·期末）如图，的平分线上一点P 到 的距离为5，，垂足为点E，则（    ） A． B． C． D． 17．（2023·24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，是它的角平分线，，，，则 （     ） A． B． C． D． 18．（2023·24八年级下·广东韶关·期末）如图，在中，，平分，，D到的距离是 ． 19．（2023·24八年级下·吉林长春·期末）如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ． 20．（2023·24八年级下·甘肃武威·期末）如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：． 21．（2023·24八年级下·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（2023·24八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． (1)求证：； (2)请你判断与之间的数量关系，并说明理由． ( 题型0 4 )角平分线的判定 23．（2023·24八年级下·辽宁大连·期末）如图，将两个完全相同含角的三角尺与按图示位置摆放，这两个三角尺直角边所在直线交于点，连接并延长，射线就是的角平分线，判断的依据是（　　） A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 24．（2023·24八年级下·吉林长春·期末）将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连结并延长．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．（2023·24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的高线，点是上一点，连接，当点到的距离等于时，，则 ． 26．（2023·24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ． 27．（2023·24八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，点E在上，作于点D，若，求证：D为的中点．    28．（2023·24八年级下·河北张家口·期末）如图，和是等腰直角三角形，连接、，相交于． (1)试判断线段与线段的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (2)连接，求证：平分． 29．（2023·24八年级下·河北廊坊·期末）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，． (1)求证：； (2)求证：点O在的平分线上． 30．（2023·24八年级下·吉林白山·期末）如图，中，，点分别在边上，，．    (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． ( 题型0 5 ) 线段垂直平分线与角平分线的尺规作图 31．（2023·24八年级下·浙江温州·期末）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（   ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 32．（2023·24八年级下·浙江宁波·期末）如图所示，已知，用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 33．（2023·24八年级下·河北邢台·期末）在的正方形网格中，点、、均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边上的高．现有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（   ） 方案Ⅰ   ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，； ②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接，交边于点，即为所求 方案Ⅱ   ①取图中小正方形的顶点； ②连接交边于点．则即为所求．- A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 34．（2023·24八年级下·四川凉山·期末）如图，在中，，利用尺规作图在，上分别截取，，使，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G，若，，，则 ． 35．（2023·24八年级下·新疆阿勒泰·期末）如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写作法，保留作图痕迹，在图上标出泵站所修的位置点P） 36．（2023·24八年级下·福建漳州·期末）如图，已知点，在直线的同侧，，，垂足分别为、F． (1)在直线上求作一点，使；（要求：用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，连接、，若，求证：． 37．（2023·24八年级下·广西河池·期末） 如图，在垂线上求作一点P，使点P到射线和的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程） 38．（2023·24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，于D点． (1)尺规作图：过点B作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则线段与的关系如何？说明理由． 一、单选题 1．（2023·24八年级下·辽宁大连·期末）在△ABC中，边，的垂直平分线相交于P点，若，则是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·24八年级下·四川南充·期末）如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论： ；；直线垂直平分；直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（2023·海南省直辖县级单位·二模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交边于点E．若，则的长为（   ） ​ A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2023·24八年级下·陕西西安·期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，若，，则的面积为（   ）    A．15 B．20 C．30 D．80 二、填空题 6．（2023·24八年级下·北京·期末）在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是 ． 7．（2023·24八年级下·湖南长沙·期末）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 8．（2023·24八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为平分，若，则的长为 ．   9．（2023·24八年级下·四川凉山·期末）如图所示，在中，，平分，垂直平分，如果，，那么 ． 10．（2023·24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，平分交于点D，点E，F分别是，上的动点，若，，则的最小值是 ． 三、解答题 11．（2023·24八年级下·广东清远·期末）如图，在 中，， (1)按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线 交于点D，连接； (2)按要求完成的图形中若，求出的度数． 12．（2023·24八年级下·湖北恩施·期末）如图，已知，，点为的中点，．求证：平分，平分． 13．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）如图所示，中，于点，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证： (2)若的周长为，，求的长． 14．（2023·24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，． (1)求证：． (2)连接，求证：垂直平分． (3)若，，求的长． 15．（2024·湖北恩施·三模）如图，在中，，，点D在上，连接，为的高． (1)尺规作图：作的角平分线交于点F； (2)在（1）的条件下，若，求证． 16．（2023·24八年级下·上海金山·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 线段的垂直平分线与角平分线 题型概览 题型01线段垂直平分线的性质 题型02线段垂直平分线的判定 题型03角平分线的性质 题型04角平分线的判定 题型05线段垂直平分线与角平分线的尺规作图 ( 题型01 )线段垂直平分线的性质 1．（2023·24八年级下·云南楚雄·期末）如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【详解】解：因为垂直平分，， 所以， 因为， 所以， 解得. 故选：C. 2．（2023·24八年级下·云南玉溪·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于E，D两点，的周长为9，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【详解】解：∵垂直平分， ∴，即, ∵的周长为9， ∴， ∴，即， ∴的周长． 故选：C． 3．（2023·24八年级下·山东济南·期末）在中，，的垂直平分线交于点，，则等于（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）， 故选：C ． 4．（2023·24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：，，， ， ， ， 垂直平分， ． 故答案为： ． 5．（2023·24八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在等腰中，平分，点C在的垂直平分线上．若的周长为，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵平分， ∴， ∴的周长， ∴， ∵点C在的垂直平分线上． ∴， ∴， 故答案为： 6．（2023·24八年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 【答案】 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边对等角，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握含度角的直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 7．（2023·24八年级下·四川广元·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为 ． 【答案】8 【详解】解：如图所示，连接， ∵，为边上的中点， ∴，， ∴，且， ∴， ∵腰的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴当点三点共线时，值最小，此时的周长最短，最短为， 故答案为：8 ． 8．（2023·24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的长． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴的周长为：， ∴． 9．（2023·24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，、是上两点，且，，、分别平分、，、交于点，求证：点到的三个顶点的距离相等． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，连接，设与相交于点，与相交于点， ∵， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， 同理可得， ∴， 即点到的三个顶点的距离相等． ( 题型0 2 )线段垂直平分线的判定 10．（2023·24八年级下·吉林白城·期末）已知：C，D是线段外的两点，且，．求证：直线垂直平分线段． 【答案】证明见解析 【详解】证明：C，D是线段外的两点，且，， C，D是线段的垂直平分线上， 两点确定一条直线， 直线垂直平分线段． 11．（2023·24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【详解】证明：，， ， 点D在边的垂直平分线上． 12．（2023·24八年级下·吉林四平·期末）如图，已知：，点是内一点，，，点是延长线上一点，在线段上截取，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：如下图，延长交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，且， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 13．（2023·24八年级下·河北承德·期末）如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E． (1)求证：垂直平分线段； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【详解】（1）证明：∵等边三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分线段； （2）解：∵等边三角形， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质是解题的关键． 14．（2023·24八年级下·四川达州·期末）如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵，则 ∴， ∴； （2）∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴垂直平分． 15．（2023·24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，平分，于点E，于点F，连接交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵平分，于点E，于点F， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵， ∴垂直平分； （2）∵垂直平分； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ( 题型0 3 )角平分线的性质 16．（2023·24八年级下·广东清远·期末）如图，的平分线上一点P 到 的距离为5，，垂足为点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是的平分线，且， ∴即为角平分线上的点到角的一边距离， ∵的平分线上一点P 到 的距离为5， ∴， 故选：B． 17．（2023·24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，是它的角平分线，，，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是的角平分线，设的边上的高与的上的高分别为 ∴， ∴与的面积之比 故选：B． 18．（2023·24八年级下·广东韶关·期末）如图，在中，，平分，，D到的距离是 ． 【答案】3 【详解】解：作于E，如图， 又，平分， ， 故答案为：3． 19．（2023·24八年级下·吉林长春·期末）如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】9 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，垂足为， ， 是线段的垂直平分线， ， 的面积． 故答案为：9． 20．（2023·24八年级下·甘肃武威·期末）如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【详解】解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21．（2023·24八年级下·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（2023·24八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． (1)求证：； (2)请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 在和中， ， ， ， ∵， ∴． ( 题型0 4 )角平分线的判定 23．（2023·24八年级下·辽宁大连·期末）如图，将两个完全相同含角的三角尺与按图示位置摆放，这两个三角尺直角边所在直线交于点，连接并延长，射线就是的角平分线，判断的依据是（　　） A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】B 【详解】解：由题意可知，本题判断射线就是的角平分线的依据是“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”， 故选：B． 24．（2023·24八年级下·吉林长春·期末）将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连结并延长．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：两把长方形直尺的宽度相同， 点到射线、的距离相等， 射线是的平分线， ， ， ， 故选：C． 25．（2023·24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的高线，点是上一点，连接，当点到的距离等于时，，则 ． 【答案】32 【详解】解：∵是边上的高线，， ∴， 如图：过E作，垂足为F， ∵点到的距离等于， ∴， ∵是边上的高线，， ∴是的角平分线，即． 故答案为：32． 26．（2023·24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ． 【答案】 【详解】解：过点E分别作，，，垂足分别为H，F，G， ∵的平分线与的平分线相交于点E， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（2023·24八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，点E在上，作于点D，若，求证：D为的中点．    【答案】见解析 【详解】证明：如图，    ∵，，， ∴， 又∵在中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即D为的中点． 28．（2023·24八年级下·河北张家口·期末）如图，和是等腰直角三角形，连接、，相交于． (1)试判断线段与线段的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)数量关系：；位置关系：．理由见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）数量关系：；位置关系：．理由如下： 解：证明：设与相交于点N， ∵和是等腰直角三角形， ∴，，， 则，即， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：数量关系：；位置关系：． （2）如图，作于，于，        ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴平分． 29．（2023·24八年级下·河北廊坊·期末）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，． (1)求证：； (2)求证：点O在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：由（1）可知，． ∵， ∴， ∴， ∴点O在的平分线上． 30．（2023·24八年级下·吉林白山·期末）如图，中，，点分别在边上，，．    (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，    ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， 平分； （2）解：， 理由如下： 由（1）知，平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． ( 题型0 5 ) 线段垂直平分线与角平分线的尺规作图 31．（2023·24八年级下·浙江温州·期末）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（   ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【详解】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角任意两条平分线的交点，共三处． 综上，可选择的点有四处． 故选：D． 32．（2023·24八年级下·浙江宁波·期末）如图所示，已知，用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，点在线段上， ， 在线段垂直平分线上， 结合选项可知，A选项的作图为线段垂直平分线，符合题意， 故选：A． 33．（2023·24八年级下·河北邢台·期末）在的正方形网格中，点、、均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边上的高．现有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（   ） 方案Ⅰ   ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，； ②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接，交边于点，即为所求 方案Ⅱ   ①取图中小正方形的顶点； ②连接交边于点．则即为所求．- A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【详解】解：方案I是过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，故方案I可行， 如图，有网格特性可知，, ∴, ∴ ∵, ∴, ∴ 故方案II可行， 故选：C． 【点睛】本题考查了基本作图思想，掌握网格线的特征和过直线外一点作已知直线的垂线的基本做法是解题的关键． 34．（2023·24八年级下·四川凉山·期末）如图，在中，，利用尺规作图在，上分别截取，，使，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G，若，，，则 ． 【答案】5 【详解】解：过点作于点， 由作图可得，为的平分线， ， ， ∵，， ∴， ∵， ∴的面积为． 故答案为：5． 35．（2023·24八年级下·新疆阿勒泰·期末）如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写作法，保留作图痕迹，在图上标出泵站所修的位置点P） 【答案】见解析 【详解】如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P， 此时的值最小，因此泵站修在P点可使所用的输气管线最短． 36．（2023·24八年级下·福建漳州·期末）如图，已知点，在直线的同侧，，，垂足分别为、F． (1)在直线上求作一点，使；（要求：用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，连接、，若，求证：． 【答案】(1)作图见详解； (2)证明见详解． 【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，交直线l于点，点即为所求． （2）证明：， ∴， ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 37．（2023·24八年级下·广西河池·期末） 如图，在垂线上求作一点P，使点P到射线和的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程） 【答案】见解析 【详解】解：如图，点P即为所求． 38．（2023·24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，于D点． (1)尺规作图：过点B作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则线段与的关系如何？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【详解】（1）如图所示，即为所求 （2）（2）， 理由如下：延长交于点 平分， ∴， ， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握角平分线的作图步骤是解答本题的关键． 一、单选题 1．（2023·24八年级下·辽宁大连·期末）在△ABC中，边，的垂直平分线相交于P点，若，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵点P是，的垂直平分线的交点， ， ，，， 设， ∴， ∵， ∴ ∴， 即 故选：C． 2．（2023·24八年级下·四川南充·期末）如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论： ；；直线垂直平分；直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：和关于直线对称， ，故正确， 和关于直线对称，点与点关于直线对称的对称点， ，故正确； 和关于直线对称， 线段被直线垂直平分， 直线垂直平分，故正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故错误， 正确的有， 故选：A． 3．（2023·24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接、， 平分， ， 又， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， 平分，， 又∵， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又∵是的垂直平分线， ∴点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ， ， ， 故选：A． 4．（2023·海南省直辖县级单位·二模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交边于点E．若，则的长为（   ） ​ A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：如图：设交于D，连接， 由作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 5．（2023·24八年级下·陕西西安·期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，若，，则的面积为（   ）    A．15 B．20 C．30 D．80 【答案】A 【详解】解：过点P作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，和分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．（2023·24八年级下·北京·期末）在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：∵是的角平分线， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2023·24八年级下·湖南长沙·期末）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】13 【详解】解：如图： 连接交于点M， ∵等腰的底边长为6，点D为边的中点， ∴， ∵是腰的垂直平分线，连接， ∴， 此时的周长为：， ∵的长为3固定， ∴根据两点之间线段最短，的周长最小． ∵， ， ∴， ∴． 故答案为：13． 8．（2023·24八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为平分，若，则的长为 ．   【答案】2 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， 故答案为：2． 9．（2023·24八年级下·四川凉山·期末）如图所示，在中，，平分，垂直平分，如果，，那么 ． 【答案】5 【详解】解：∵，平分，垂直平分，， ∴， ∴． 故答案为：5． 10．（2023·24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，平分交于点D，点E，F分别是，上的动点，若，，则的最小值是 ． 【答案】6 【详解】解：如图，过作于，交于，过作于， ∵是角平分线， ∴， ∴， 此时最小， ，， ∴， ∴最小值为6． 故答案为：． 三、解答题 11．（2023·24八年级下·广东清远·期末）如图，在 中，， (1)按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线 交于点D，连接； (2)按要求完成的图形中若，求出的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）解：如图， （2）解：由题中作图方法知道为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（2023·24八年级下·湖北恩施·期末）如图，已知，，点为的中点，．求证：平分，平分． 【答案】证明见解析． 【详解】如图，延长，交于点， ∵， ∴，， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴，平分， ∴， ∴平分． 13．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）如图所示，中，于点，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证： (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明: ∵垂直平分, ∴, ∵, ∴, ∴； （2）∵的周长为, ∴, ∵, ∴, ∵, ． 14．（2023·24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，． (1)求证：． (2)连接，求证：垂直平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵于点E， ∴， 又平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （3）解：设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 15．（2024·湖北恩施·三模）如图，在中，，，点D在上，连接，为的高． (1)尺规作图：作的角平分线交于点F； (2)在（1）的条件下，若，求证． 【答案】(1)图见解析； (2)证明见解析． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求； （2）证明：∵，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵为的高． ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴　． 【点睛】本题考查尺规基本作图-作已知角的平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 16．（2023·24八年级下·上海金山·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）作，垂足为点    平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） （等量代换） （2），（已知） ，（垂直的意义） 在和中， （全等三角形对应角相等） 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$