专题01 等腰三角形与直角三角形（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题01 等腰三角形与直角三角形 题型概览 题型01根据等边对等角求解 题型02根据三线合一求解 题型03等腰三角形的判定与性质 题型04等边三角形的判定与性质 题型05含30度角的直角三角形 题型06直角三角形的两个锐角互余 题型07勾股定理的逆定理 题型08用HL证全等 题型09等腰三角形、直角三角形的存在性 ( 题型01 )根据等边对等角求解 1．（2023·24八年级下·河南安阳·期末）如图，在与中，点F在上，交于点D．，，，，则（　　）    A． B． C． D． 2．（2023·24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，直线分别与边，交于点D，E，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·24八年级下·四川凉山·期末）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2023·24八年级下·内蒙古兴安盟·期末）在中，，点在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·24八年级下·云南昭通·期末）如图，已知平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连接，则 °． 7．（2023·24八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，，平分，如果射线上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为 ． 8．（2023·24八年级下·四川眉山·期末）如图，，，，点D在AC边上．求证：． ( 题型0 2 )根据三线合一求解 9．（2023·24八年级下·北京东城·期末）如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（   ） A． B． C． D． 10．（2023·24八年级下·福建厦门·期末）对于运用等腰三角形“三线合一”性质定理的推理过程，下列合理的是（　　） A．∵，平分 B．∵，平分，， C．∵，平分，， D．∵，∴ 11．（2023·24八年级下·云南红河·期末）如图，、分别是的中线和角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·24八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，，是边上的高，点是的三等分点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 13．（2023·24八年级下·北京海淀·期末）如图，在中，，，则边上的高的长为（　　）    A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 14．（2023·24八年级下·福建三明·期末）如图，在中，于D，则的长为 ．    15．（2023·24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点D、E在的边上，，求证：． 16．（2023·24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，为线段 上一点， ，，， 平分 ． (1)求证：； (2)问： 与 的位置关系并证明． ( 题型0 3 )等腰三角形的判定与性质 17．（2023·安徽淮北·一模）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 18．（2023·24八年级下·天津和平·期末）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 19．（2023·24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，则 ． 20．（2023·24八年级下·西藏拉萨·期末）如下图，在中，点在上，点在上，，，与交于点，试判断的形状，并说明理由． 21．（2023·24八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，，，垂足分别是点、．求证：． 22．（2023·24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在中，，点D、E、F分别在，，边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 23．（2023·24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，，，分别以、为直角边向外作等腰直角和等腰直角． (1)求证：； (2)求的长． ( 题型0 4 )等边三角形的判定与性质 24．（2023·24八年级下·云南楚雄·期末）如图，在中，，，若的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 25．（2023·24八年级下·河南周口·期末）如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，求的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（2023·24八年级下·四川绵阳·期末）如图，已知点在内部，，，关于对称得到，，则的度数为 ． 27．（2023·24八年级下·江苏宿迁·期末）已知：如图1，点C为线段上一点，、都是等边三角形，交于点E，交于点F． (1)求证： (2)求证：为等边三角形 28．（2023·24八年级下·福建厦门·期末）如图，等边中，是内部的一条射线，且，点关于的对称点为，连接，，，其中、的延长线分别交射线于点，． (1)依题意补全图形； (2)请猜想此时与的数量关系，并进行证明； (3)用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 29．（2023·24八年级下·广东汕头·期末）如图，在中，，，点D是的中点，点E为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接．    (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 30．（2023·24八年级下·西藏昌都·期末）如图，已知六边形的每个内角都是，且，则这个六边形周长为（    ） A．31 B．36 C．32 D．29 31．（2023·24八年级下·重庆沙坪坝·期末）在等边中，点D，E分别在边、上，若，，过点E作，交的延长线于点F， (1)求证：是等边三角形， (2)求的长． ( 题型0 5 )含30度角的直角三角形 32．（2023·24八年级下·广东江门·期末）如图，在中，，是高，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 33．（2023·24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 34．（2023·24八年级下·四川资阳·期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离为 海里． 35．（2023·24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为（    ） A．秒 B．秒 C．或秒 D．或秒 36．（2023·24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为 ． 37．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，是高，，若，则 ． 38．（2023·24八年级下·湖北十堰·期末）如图所示，已知，点D在上，连接并延长交于点F．且过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，则 ． ( 题型0 6 )直角三角形的两个锐角互余 39．（2023·24八年级下·四川达州·期末）如图，直线的顶点A在直线n上，，若，则（   ） A． B． C． D． 40．（2023·24八年级下·广西玉林·期末）如图，，，，且，，三点在同一条直线上，连接，，则下列结论中错误的是(   )    A． B． C． D． 41．（2023·24八年级下·福建漳州·期末）如图，若，，，则的度数是 ． 42．（2023·24八年级下·上海松江·期末）如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 43．（2023·24八年级下·安徽合肥·期末）在中，，平分于点D，求的度数． 44．（2023·24八年级下·广东汕头·期末）如图，在中，，平分，，，求： (1)的度数； (2)的度数． ( 题型0 7 )勾股定理的逆定理 45．（2023·24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 46．（2023·24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西 方向上. 47．（2023·24八年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 48．（2023·24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，是边上的中线，，求的面积． 49．（2023·24八年级下·福建漳州·期末）漳州市在创建“全国文明城市”期间积极开展生态环境整治．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，求空地的面积．    50．（2023·24八年级下·四川遂宁·期末）2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 51．（2023·24八年级下·江苏盐城·期末）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间； (2)求岛在港的什么方向？ ( 题型0 8 )用HL证全等 52．（2023·24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，因为：，，垂足分别为、，且，所以与全等的理由是(    ) A． B． C． D． 53．（2023·24八年级下·云南昆明·期末）如图，要根据“HL”判定 ，则需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 54．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，，点D，E分别在边，上，，，若，，则四边形的面积是 ． 55．（2023·24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，一个直角三角形，，一条线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等． 56．（2023·24八年级下·云南曲靖·期末）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 57．（2023·24八年级下·云南楚雄·期末）如图，于点B，于点C，且，求证：． ( 题型0 9 )等腰三角形、直角三角形的存在性 58．（2023·24八年级下·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点，与y轴相交于点．    (1)求直线l的函数表达式； (2)在y轴上是否存在点M，使是等腰三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 59．（2023·24八年级下·吉林松原·期末）如图（1），在中，已知，于，点P、Q分别从、两点同时出发，其中点沿BC向终点运动，速度为：点沿向终点运动，速度为，设它们运动的时间为． (1)当______时，； (2)当时，求出使的值： (3)当时，是否存在，使是直角三角形？若存在，请求出的值，若不存在请说明理由． 60．（2023·24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于，B两点，且经过点． (1)求m的值； (2)若点A关于y轴的对称点，求的面积； (3)在x轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 61．（2023·24八年级下·福建泉州·期末）已知直线：（）与、轴分别交于点（，）、（，）．经过点的直线：与轴交于点． (1)求的值及直线的函数表达式； (2)已知点是线段上一点，连接，若::，求点的坐标； (3)在（2）的前提下，试探索：在直线上是否存在点，使得△是等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 62．（2023·24八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且a，b满足等式．    (1)求点B的坐标； (2)如图，动点C以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的正半轴方向运动，同时动点A以每秒3个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，连接、、．设运动的时间为t秒，在运动的过程中是否存在t值，使为以为斜边的等腰直角三角形．如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2023·24八年级下·北京丰台·期末）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·24八年级下·四川宜宾·期末）如图，在等腰中，，点D是线段上一点，过点D作交于点E，且，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2023·24八年级下·吉林辽源·期末）如图，在中，是的平分线，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·24八年级下·陕西西安·开学考试）如图，是等边的中线，作，交的延长线于点．若，则长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．（2023·24八年级下·山东临沂·阶段练习）已知：如图，在中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接． 以下四个结论：    ①；②；③； ④． 其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（2023·24八年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，于点，，，则的长度是 ． 7．（2023·24八年级下·四川成都·阶段练习）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则＝ ． 8．（2023·24八年级下·重庆·期末）如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 9．（2023·24八年级下·重庆·期末）如图，在中，，过点A作，连接，点E是边上一点，，过点D作于F，若，则 ． 10．（2023·24八年级下·四川成都·期末）如图，点D，点E，点F分别是的三边上的动点，若，，，则的最小值y与x的关系式为： ． 11．（2023·24八年级下·河南洛阳·期末）如图，点是内一点，，，点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，连接，分别交，于点，，连接，，下列结论：；当时，的周长为；；，其中正确的有 个． 三、解答题 12．（2023·24八年级下·安徽合肥·期末）如图，平面直角坐标系中，已知满足，点C在线段上，C横坐标为4，，且． (1)直接写出A、B、C的坐标； (2)求出点D的坐标． 13．（2023·24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，一次函数的图象分别于x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第一象限内作等腰直角，． (1)求过B、C两点的直线的函数解析式； (2)在x轴上取一点M，使是等腰三角形，直接写出符合条件的所有M的坐标． 14．（2023·24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，已知，在中，，以、为边向形外作等边三角形、等边三角形，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若，点为的中点，连接、、，请直接写出与全等的所有三角形． 15．（2023·24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C在格点上． (1)请在图中作出关于y轴对称的 (2)写出点，点C'的坐标，以为顶点的三角是________三角形； (3)点P在图中格点上，若是等腰三角形，则点P的个数是________． 16．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，P是内一点，且，，，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的度数． 17．（2023·24八年级下·浙江杭州·期末）如图，教室的墙上有一块正方形的磁性展板，展板上有两个磁吸．同学们以展板的中心为原点建立直角坐标系，磁吸A的坐标为，磁吸B的坐标为． (1)现要在展板上再放置两个磁吸C和D，使点C，D分别与点A，B关于y轴对称．画出点C，D的位置，并分别写出点C，D的坐标． (2)将A，B，C三点两两连接，判断的形状，说明理由． (3)在（1）的条件下，若要在直线的交点处放置磁吸E，求点E的坐标． 18．（2023·24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在中，，是平面内一点，，点在边所在直线上，，垂足是． (1)当点在线段上时，如图①，求证：； (2)当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，请猜想并直接写出线段，，的数量关系； (3)如图③，若，则 ． 2 / 13 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8．（2023·24八年级下·四川眉山·期末）如图，，，，点D在AC边上．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，   ∴， ∴， 在和中 ∴； ∴， ∴ ∴ ( 题型0 2 )根据三线合一求解 9．（2023·24八年级下·北京东城·期末）如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 10．（2023·24八年级下·福建厦门·期末）对于运用等腰三角形“三线合一”性质定理的推理过程，下列合理的是（　　） A．∵，平分 B．∵，平分，， C．∵，平分，， D．∵，∴ 【答案】C 【详解】解：是等腰三角形，平分， ，． 证明如下： 在等腰中，，平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故选：C． 11．（2023·24八年级下·云南红河·期末）如图，、分别是的中线和角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：B． 12．（2023·24八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，，是边上的高，点是的三等分点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵，是边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∵是边上的高，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 13．（2023·24八年级下·北京海淀·期末）如图，在中，，，则边上的高的长为（　　）    A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【答案】C 【详解】解：过作于点，如下图，    ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴的面积为， ∴，即， 解得． 故选：C． 【点睛】本通主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识，正确作出辅助线是解题关键． 14．（2023·24八年级下·福建三明·期末）如图，在中，于D，则的长为 ．    【答案】3 【详解】解：∵于D， ∴． 故答案为：3． 15．（2023·24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点D、E在的边上，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，过点A作C于P． ∵ ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（2023·24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，为线段 上一点， ，，， 平分 ． (1)求证：； (2)问： 与 的位置关系并证明． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【详解】（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴ ； （2），理由： ∵， ∴， 又∵平分， ∴． ( 题型0 3 )等腰三角形的判定与性质 17．（2023·安徽淮北·一模）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当线段最短时，， 在中，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 作于点H，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即点B的横坐标为， 把点B的横坐标代入，可得：， ∴． 故选：A． 18．（2023·24八年级下·天津和平·期末）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ， 以为圆心，的长为半径圆弧，交于点， ， ， ． 故选：B． 19．（2023·24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，则 ． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 20．（2023·24八年级下·西藏拉萨·期末）如下图，在中，点在上，点在上，，，与交于点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析， 【详解】是等腰三角形理由如下： 在与中， ∵（公共角），，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即 ∴， ∴是等腰三角形 21．（2023·24八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，，，垂足分别是点、．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（2023·24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在中，，点D、E、F分别在，，边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ，             ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ． 23．（2023·24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，，，分别以、为直角边向外作等腰直角和等腰直角． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ， ， ； （2）解：， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ． ( 题型0 4 )等边三角形的判定与性质 24．（2023·24八年级下·云南楚雄·期末）如图，在中，，，若的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长为， ∴， 故选：． 25．（2023·24八年级下·河南周口·期末）如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 26．（2023·24八年级下·四川绵阳·期末）如图，已知点在内部，，，关于对称得到，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图：连接、， ， ∵关于对称得到， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 27．（2023·24八年级下·江苏宿迁·期末）已知：如图1，点C为线段上一点，、都是等边三角形，交于点E，交于点F． (1)求证： (2)求证：为等边三角形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵、是等边三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等边三角形． 28．（2023·24八年级下·福建厦门·期末）如图，等边中，是内部的一条射线，且，点关于的对称点为，连接，，，其中、的延长线分别交射线于点，． (1)依题意补全图形； (2)请猜想此时与的数量关系，并进行证明； (3)用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2) (3)，证明见详解 【详解】（1）解：根据题意作图如下， 如图所示： （2）解：，理由如下， 点与点关于对称， 是的垂直平分线， ， 设， ， 是等边三角形， ，， ， ， 即 （3）解：结论： 在射线上截取使，连接， ，， ， ， ， 点与点关于对称， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， , ， 在和中， ， ， ， ； 29．（2023·24八年级下·广东汕头·期末）如图，在中，，，点D是的中点，点E为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接．    (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴，， 又∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等边三角形； （2）证明：由（1）可知为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， 即， 在和中， ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线．解题的关键是证明三角形全等． 30．（2023·24八年级下·西藏昌都·期末）如图，已知六边形的每个内角都是，且，则这个六边形周长为（    ） A．31 B．36 C．32 D．29 【答案】C 【详解】解：如图，延长并反向延长， ∵六边形ABCDEF的每个内角都是， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴六边形的周长． 故选：C． 31．（2023·24八年级下·重庆沙坪坝·期末）在等边中，点D，E分别在边、上，若，，过点E作，交的延长线于点F， (1)求证：是等边三角形， (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵是等边三角形，， ∴． 在中，， ∴， ∴． ( 题型0 5 )含30度角的直角三角形 32．（2023·24八年级下·广东江门·期末）如图，在中，，是高，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是高， ， 又， ， ， ， 在中，， 在中，． 故选：C ． 33．（2023·24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 34．（2023·24八年级下·四川资阳·期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离为 海里． 【答案】100 【详解】解：如图，作于E． 在中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵海里， ∴（海里）， 在中，∵， ∴（海里）， 故答案为：100． 35．（2023·24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为（    ） A．秒 B．秒 C．或秒 D．或秒 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， ∵为直角三角形，， ∴当时，则， ∴， 解得：， 当时，则， ∴， 解得：， 综上，当的值为秒或秒，为直角三角形， 故选：D． 36．（2023·24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】9 【详解】解：作点D关于直线的对称点F，过F作于E，交于P， 则此时的值最小， ，， ， ， 点D关于直线的对称点F， ， ， ， ， 故答案为：9． 37．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，是高，，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（2023·24八年级下·湖北十堰·期末）如图所示，已知，点D在上，连接并延长交于点F．且过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，则 ． 【答案】24 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24 ( 题型0 6 )直角三角形的两个锐角互余 39．（2023·24八年级下·四川达州·期末）如图，直线的顶点A在直线n上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴，     ∴， ∵， ∴． 故选：C． 40．（2023·24八年级下·广西玉林·期末）如图，，，，且，，三点在同一条直线上，连接，，则下列结论中错误的是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故项不符合题意； ∵根据题意可知，无法证明， 故项符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 41．（2023·24八年级下·福建漳州·期末）如图，若，，，则的度数是 ． 【答案】/40度 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 42．（2023·24八年级下·上海松江·期末）如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 【答案】58 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 43．（2023·24八年级下·安徽合肥·期末）在中，，平分于点D，求的度数． 【答案】 【详解】解：在中，， ． 平分 ， ． ， ． 44．（2023·24八年级下·广东汕头·期末）如图，在中，，平分，，，求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ( 题型0 7 )勾股定理的逆定理 45．（2023·24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积； 故选B． 46．（2023·24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西 方向上. 【答案】/52度 【详解】解：如图，过点C作 海里，海里，海里， ， ， ，， ， ， ∵， ， 岛在岛的北偏西方向上． 故答案为：． 47．（2023·24八年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 【答案】36 【详解】解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 48．（2023·24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，是边上的中线，，求的面积． 【答案】 【详解】解：为边上的中线，即为中点，且， ，即， 又，， ， ， ， ， 又为中点， ， 则． 49．（2023·24八年级下·福建漳州·期末）漳州市在创建“全国文明城市”期间积极开展生态环境整治．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，求空地的面积．    【答案】234 【详解】解：连接，   ，，， ， ，， ， 是直角三角形，且， 50．（2023·24八年级下·四川遂宁·期末）2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： ，，， ， 是直角三角形，且； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）解：如图所示，分别在上取一点E和F，当，时，正好影响港口， 在中，由勾股定理， 同理可得， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 51．（2023·24八年级下·江苏盐城·期末）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间； (2)求岛在港的什么方向？ 【答案】(1)从岛返回港所需的时间为小时； (2)岛在港的北偏西． 【详解】（1）由题意， 中，，得， ∴． ∴． ∴． 则（小时）， 答：从岛返回港所需的时间为小时； （2）∵，， ∴． ∴， ∴ ∴岛在港的北偏西． ( 题型0 8 )用HL证全等 52．（2023·24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，因为：，，垂足分别为、，且，所以与全等的理由是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ， 在和中 ， ． 故选：D． 53．（2023·24八年级下·云南昆明·期末）如图，要根据“HL”判定 ，则需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， ∵， ∴， ∴， 要根据“”证明，还要添加一个条件是． 故选：A． 54．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，，点D，E分别在边，上，，，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】48 【详解】解：过点D作，如图所示： ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：48． 55．（2023·24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，一个直角三角形，，一条线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等． 【答案】的中点或与点重合的 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴①当时，， ∵， ∴，即：当点运动到的中点时，； ②当，即：点与点重合时，； 综上：当点运动到的中点或与点重合的位置，与全等； 故答案为：的中点或与点重合的 56．（2023·24八年级下·云南曲靖·期末）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵与分别为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 57．（2023·24八年级下·云南楚雄·期末）如图，于点B，于点C，且，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ( 题型0 9 )等腰三角形、直角三角形的存在性 58．（2023·24八年级下·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点，与y轴相交于点．    (1)求直线l的函数表达式； (2)在y轴上是否存在点M，使是等腰三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线l的函数解析式为； (2)存在，点的坐标为或或或． 【详解】（1）解：把点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：存在，理由如下： ，， ， ①当时，点的坐标为； ②当时，， ， 点的坐标为； ③当时，， ， 点的坐标为或； 点的坐标为或或或． 59．（2023·24八年级下·吉林松原·期末）如图（1），在中，已知，于，点P、Q分别从、两点同时出发，其中点沿BC向终点运动，速度为：点沿向终点运动，速度为，设它们运动的时间为． (1)当______时，； (2)当时，求出使的值： (3)当时，是否存在，使是直角三角形？若存在，请求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值是 【详解】（1）解：（1）如图1，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴当时，， ∴，即，解得， 即当时，； 故答案为：； （2），点P在上，点Q在上，如图2， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，即，解得， 即当时，； （3）当时，点P在上，点Q在上，如图3，， ， ①当时，， ∵， ∴，即，解得(不合题意，舍去)， 当时，， 即，解得， 综上所述，使是直角三角形的x的值是． 60．（2023·24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于，B两点，且经过点． (1)求m的值； (2)若点A关于y轴的对称点，求的面积； (3)在x轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2； (2)4； (3)存在，点P的坐标为或或或． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于， ，解得， 一次函数， 一次函数的图象经过点． ； （2）解：点关于轴的对称点，， ， 一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点， 点坐标为， ， 点． ； （3）解：存在点，使为等腰三角形， 设， 点，， ， ， ， 当时， ，解得， 点的坐标为或； 当时， ，解得， 点的坐标为； 当时， ，解得或2（舍去）， 点的坐标为； 综上所述：点P的坐标为或或或． 61．（2023·24八年级下·福建泉州·期末）已知直线：（）与、轴分别交于点（，）、（，）．经过点的直线：与轴交于点． (1)求的值及直线的函数表达式； (2)已知点是线段上一点，连接，若::，求点的坐标； (3)在（2）的前提下，试探索：在直线上是否存在点，使得△是等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线的函数表达式为 (2)点的坐标为 (3)存在点使得△是等腰直角三角形，点的坐标为或 【详解】（1）∵直线过点(，)， ∴， ∵直线过点(，)、(，)， ∴    解得 ∴直线的函数表达式为； （2）如图，    由(1)得：直线的函数表达式为， 当时，， 解得 ， ∴(，)， ∴， ∴， ∵::， ∴， 设点的坐标为，则 ， 解得 ， 当时，， 即点的坐标为； （3）存在点，使得△是等腰直角三角形，理由如下： 在中，，， 由勾股定理，得 ， 在中，，， 由勾股定理，得 ， ∴， ∴， 过点作轴于点，则，，    设点、是符合条件的两个点，分别过点、作轴、轴于点、， ∵，， ∴当△≌△≌△时，，即△、 △是等腰直角三角形， ∵，， ∴； ∵，， ∴， 综上所述，存在点，使得△是等腰直角三角形，且点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何图形，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积问题与一次函数，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各基本知识是解题的关键． 62．（2023·24八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且a，b满足等式．    (1)求点B的坐标； (2)如图，动点C以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的正半轴方向运动，同时动点A以每秒3个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，连接、、．设运动的时间为t秒，在运动的过程中是否存在t值，使为以为斜边的等腰直角三角形．如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）解：， ， ，， ，， ； （2）解：存在， 如图，过点B作轴于点D， 设运动的时间为t秒， 由题意得：，， 为以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即当时，为以为斜边的等腰直角三角形．    【点睛】本题考查了非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 一、单选题 1．（2023·24八年级下·北京丰台·期末）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 2．（2023·24八年级下·四川宜宾·期末）如图，在等腰中，，点D是线段上一点，过点D作交于点E，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2023·24八年级下·吉林辽源·期末）如图，在中，是的平分线，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2023·24八年级下·陕西西安·开学考试）如图，是等边的中线，作，交的延长线于点．若，则长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：是等边三角形， ，， 是等边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．（2023·24八年级下·山东临沂·阶段练习）已知：如图，在中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接． 以下四个结论：    ①；②；③； ④． 其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中，， ∴， ∴，本结论正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，本结论正确； ③∵， ∴， ∴， 则，本结论正确； ④∵， ∴，本结论正确， 故正确的结论有4个， 故选：D． 二、填空题 6．（2023·24八年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，于点，，，则的长度是 ． 【答案】6 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：6． 7．（2023·24八年级下·四川成都·阶段练习）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则＝ ． 【答案】80 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：80． 8．（2023·24八年级下·重庆·期末）如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：设， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故答案为：． 9．（2023·24八年级下·重庆·期末）如图，在中，，过点A作，连接，点E是边上一点，，过点D作于F，若，则 ． 【答案】3 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10．（2023·24八年级下·四川成都·期末）如图，点D，点E，点F分别是的三边上的动点，若，，，则的最小值y与x的关系式为： ． 【答案】/ 【详解】解：∵，，， ∴． ∴． ∵点D，点E，点F分别是的三边上的动点，求的最小值y与x的关系式， ∴点D、E、F有两点重合在的某个顶点处． ①点D、F在点A处， ∵点A到的最小距离为， ∴点E在点B处． ∴． ②点D、E在点B处，作于点M． ∵点B到的最小距离为， ∴点F在点M处． ∴． ③点E、F在点C处， ∵点C到的最小距离为， ∴点D在点B处． ∴． ∵． ∴的最小值为． ∵． ∴． ∴的最小值y与x的关系式为：． 故答案为： 11．（2023·24八年级下·河南洛阳·期末）如图，点是内一点，，，点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，连接，分别交，于点，，连接，，下列结论：；当时，的周长为；；，其中正确的有 个． 【答案】 【详解】解：∵点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点， ∴，， ，， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，故正确； ∵，， ∴的周长， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是，故正确； 在中，， ∵， ∴，故正确； 在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∵，， ∴， 故正确， 综上可知：正确，共个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称性质，三角形的三边关系，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题 12．（2023·24八年级下·安徽合肥·期末）如图，平面直角坐标系中，已知满足，点C在线段上，C横坐标为4，，且． (1)直接写出A、B、C的坐标； (2)求出点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ 则， ∴， ∴， 作轴，轴，垂足分别为，则， ∵， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：由上知：， ， ， ， 在和中，， ， 13．（2023·24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，一次函数的图象分别于x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第一象限内作等腰直角，． (1)求过B、C两点的直线的函数解析式； (2)在x轴上取一点M，使是等腰三角形，直接写出符合条件的所有M的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【详解】（1）解：一次函数中， 令，则； 令，则，解得， 的坐标是，A的坐标是， 如图1，作轴于点E， ， ， 又， 在与中， ， ， ，， ， 的坐标是， 设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：， 直线的解析式是 （2）解：，， ， 设M的坐标为， 当，即时，如图2， 即M的坐标为或； 当时，如图3， ， 解得：或， 即M的坐标为； 当时，如图4， ， 解得：， 即M的坐标为； 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形． 14．（2023·24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，已知，在中，，以、为边向形外作等边三角形、等边三角形，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若，点为的中点，连接、、，请直接写出与全等的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【详解】（1）证明：，是等边三角形， ，，， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：，， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， 与全等的三角形是，，，． 15．（2023·24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C在格点上． (1)请在图中作出关于y轴对称的 (2)写出点，点C'的坐标，以为顶点的三角是________三角形； (3)点P在图中格点上，若是等腰三角形，则点P的个数是________． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角 (3)10 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2） 由图可得，，． 由勾股定理得，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． （3）解：如图，点均满足题意， ∴点P的个数是10个． 故答案为：10个． 16．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，P是内一点，且，，，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)与全等，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 17．（2023·24八年级下·浙江杭州·期末）如图，教室的墙上有一块正方形的磁性展板，展板上有两个磁吸．同学们以展板的中心为原点建立直角坐标系，磁吸A的坐标为，磁吸B的坐标为． (1)现要在展板上再放置两个磁吸C和D，使点C，D分别与点A，B关于y轴对称．画出点C，D的位置，并分别写出点C，D的坐标． (2)将A，B，C三点两两连接，判断的形状，说明理由． (3)在（1）的条件下，若要在直线的交点处放置磁吸E，求点E的坐标． 【答案】(1)图见解析，点C的坐标是，点D的坐标是 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)点E的坐标是 【详解】（1）解：如图所示，点C和点D即为所求； ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C，D分别与点A，B关于y轴对称 ∴点C的坐标是，点D的坐标是． （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标是 ∴，，， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：设直线的函数表达式为， ∴ 解得 ∴直线的函数表达式为， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴点E的坐标是． 18．（2023·24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在中，，是平面内一点，，点在边所在直线上，，垂足是． (1)当点在线段上时，如图①，求证：； (2)当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，请猜想并直接写出线段，，的数量关系； (3)如图③，若，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)当点在线段延长线上时，，当点在线段延长线上时， (3) 【详解】（1）证明：∵，，， ∴为等腰直角三角形，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴， 即； （2）解：当点在线段延长线上时，． 理由：∵，，， ∴为等腰直角三角形，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，． 理由：，，， ∴为等腰直角三角形，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图③， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，等边对等角，勾股定理，直角三角形两锐角互余，三角形的面积，掌握全等三角形判定及性质，勾股定理是解题的关键． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$