19.3 矩形 菱形 正方形 （知识梳理与对应题型分类讲解） -2024--2025学年沪科版八年级数学下册

19.3 矩形、菱形、正方形（3大知识点+12类题型）（知识梳理与题型） 目录 知识梳理 一、矩形、菱形、正方形的性质知识对比梳理/P2 二、矩形、菱形、正方形的判定知识对比梳理/P3 三 、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系/P3 矩形、菱形、正方形的重要题型 知识点一：矩形的重要题型/P3 【题型1】矩形性质与判定的理解 【题型2】直角三角形斜边上的中线的性质理解 【题型3】根据矩形的性质求值、证明 【题型4】根据矩形的判定求值、证明 【题型5】根据矩形的性质与判定求值、证明 知识点二：菱形的重要题型/P17 【题型6】菱形性质与判定的理解 【题型7】根据菱形的性质求值证明 【题型8】根据菱形的判定求值、证明 【题型9】根据菱形的性质与判定求值、证明 知识点三：正方形的重要题型/P34 【题型10】正方形性质与判定的理解 【题型11】根据正方形的性质求值、证明 【题型12】根据正方形的判定求值、证明 【题型13】根据正方形的性质与判定求值、证明 知识梳理 一、矩形、菱形、正方形的性质知识对比梳理 矩形 菱形 正方形 图形 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 有一组邻边相等,并且有一个角是直角的的平行四边形叫做正方形. 边 两组对边平行且相等 两组对边平行，四条边都相等 两组对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形 有两条对称轴 有两条对称轴 有四条对称轴 面积 【常用结论】矩形：矩形的两条对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形. 菱形：（1）菱形的两条对角线将菱形分成四个面积相等的直角三角形； （2）对角线互相垂直的四边形的面积; 正方形：正方形的两条对角线将正方形分成四个面积相等的等腰直角三角形 二、矩形、菱形、正方形的判定知识对比梳理 图形 判定方法 矩形 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）方法二：有三个角是直角的四边形是矩形； （3）方法三：对角线相等的平行四边形是矩形. 菱形 （1）方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）方法二：四条边都相等的四边形是菱形. （3）方法三：对角线互相垂直的平行四边形菱形. 正方形 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形. （2）方法二：一组邻边相等的矩形是正方形. （3）方法三：一个角是直角的菱形是正方形. （4）方法四：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形. （5）方法五：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形. 三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 从边与角的角度看 从对角线的角度看 一、矩形——题型 【题型1】矩形性质与判定的理解 1．（2025春江阴市期中）在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A．AB＝BC B．CD＝AB C．∠BAD＝∠BCD D．OB＝OD 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O， ∴CD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，OB＝OD，但AB与BC不一定相等， ∴A符合题意，而B、C、D不符合题意， 故选：A． 2．（2025春白云区校级期中）如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠ABD＝36°，则∠CAE的度数是（　　） A．36° B．54° C．18° D．以上都不对 【解答】解：在矩形ABCD中，AE⊥BD， ∴∠OAB＝∠OBA＝36°． 又∵AE⊥BD， ∴∠AEO＝90°． ∴∠CAE ＝180°﹣∠AEO﹣∠OAB＝180°﹣90°﹣36°＝54°． 故选：B． 3．（2025春丹阳市期中）如图，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠ABC＝∠BCD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AB＝AD 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠BCD， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 4．（2025春阜宁县期中）要使平行四边形ABCD成为矩形，则可添加的一个条件是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AD＝BD D．AC＝BD 【解答】解：根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，判断如下： A、添加AB＝AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到▱ABCD为矩形，本选项不符合题意； B、添加AC⊥BD，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到▱ABCD为矩形，本选项不符合题意； C、添加AD＝BD，不能得到▱ABCD为矩形，本选项不符合题意； D、添加AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到▱ABCD为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 【题型2】直角三角形斜边上的中线的性质理解 5．（2025春东莞市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点D为斜边AB上的中点，则CD为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，点D为斜边AB上的中点， ∴CD是斜边AB的中线， ∴， 故选：B． 6．（2025碑林区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，S△ABD，则AD的长为（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：∵AE是△ABC中BC边上的高，S△ABD， ∴S△ABDBD×AE， ∵AE＝2， ∴BD， ∵AD是Rt△ABC中BC边上的中线， ∴DC＝BD＝AD， 故选：A． 7．（2025春肥西县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，作AE⊥BD于点E，若DE＝2BE，，则BC＝（　　） A． B．5 C． D． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点， ∴AD＝BDAC， ∵DE＝2BE，BE+DE＝BD， ∴BD＝AD＝3BE， ∵AE⊥BD， ∴AE，AEBE， ∵AB， ∴BE， ∴BE＝1（负值已舍）， ∴AD＝3BE＝3， ∴AC＝2AD＝6， ∴BC， 故选：C． 【题型3】根据矩形的性质求值、证明 8．（2025春宜兴市期中）如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　） A．3 B． C． D．4 【解答】解：连接OB，AC， ∵点B的坐标是（1，3）， ∴， ∵四边形OABC是矩形， ∴， 故选：C． 9．（2025春广陵区期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（　　） A．55° B．40° C．35° D．20° 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠AOD＝110°， ∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD（180°﹣70°）＝55°， ∵DE⊥AC， ∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°， ∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°； 故选：C． 10．（2025沈阳模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝60°，AC＝4，则AD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 【解答】解：∵矩形ABCD中，AC＝4， ∴， ∵∠AOD＝60°，OD＝OA＝2， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD＝OA＝2． 故选：C． 11．（2025春仪征市期中）如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，E为OD上一点，连接CE，取CE的中点F，若∠EOF＝90°，OE＝6，OF＝4，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【解答】解：如图，连接AE， 由条件可知OF是△ACE的中位线， ∴OFAE，OF∥AE， ∴AE＝8，∠AEO＝90°， 在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO10， 根据矩形的性质可知AO＝OD＝10， ∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4． 故选：D． 12．（2025春宿豫区期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED． （1）求证：BE＝BC； （2）AB＝1，∠ABE＝45°，求△BCE的面积． 【解答】（1）证明：∵ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∵EC平分∠BED． ∴∠DEC＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BE＝BC． （2）解：∵AB＝1，∠ABE＝45°， ∴AB＝AE＝1， 由勾股定理得BE， 由（1）可知BE＝BC， S△BCEBCAB． 【题型4】根据矩形的判定求值、证明 13．（2025春西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，在线段AB上有一动点D，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF．在点D从点A运动到点B的过程中（D不与A、B重合），下列关于线段EF长度变化的描述中，正确的是（　　） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．一直变短 D．始终保持不变 【解答】解：连接CD， ∵∠C＝90°，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F， ∴∠C＝∠DFC＝∠CED＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴EF＝CD， 当CD⊥AB时，CD最短， 即EF最短， ∴在点D从点A运动到点B的过程中，CD先变短后变长， 即线段EF的长度先变短后变长， 故选：B． 14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　　） A．5 B．4 C． D．3 【解答】解：连接AP， ∵AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴AB2+AC2＝62+82＝100，BC2＝102＝100， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠BAC＝90°， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠PEA＝∠PFA＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴AP＝EF， ∴当AP⊥BC时，AP有最小值，即EF有最小值， ∵△ABC的面积BCAPABAC， ∴BCAP＝ABAC， ∴10AP＝6×8， ∴AP， ∴AP＝EF， ∴EF的最小值为， 故选：C． 15．如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（　　） A． B．4 C． D．3 【解答】解：由折叠的性质得，AM＝DM，∠DMA'＝∠AMA'＝90°，AD＝A'D， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°， ∵BC＝6， ∴AD＝6， ∴DM＝3， 在Rt△DMA'中，由勾股定理得A'M， ∵∠A＝∠B＝∠AMA'＝90°， ∴四边形ABNM是矩形， ∴MN＝AB＝10， ∴A′N＝MN﹣A'M＝10， 故选：A． 16．如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点Q，E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）当AC与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵点E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE＝AEOA，OF＝CFOC， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴BE＝DF； （2）解：AC＝2BD，四边形DEBF是矩形，理由如下： 由（1）可知，四边形DEBF为平行四边形，AE＝OE＝OF＝CF， ∴AC＝2EF， ∵AC＝2BD， ∴EF＝BD， ∴平行四边形DEBF是矩形． 【题型5】根据矩形的性质与判定求值、证明 17．（2024春颍州区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC．AD上，BE＝DF，AC＝EF． （1）请判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）若AB＝AD，且AC＝4，EC＝4，求四边形ABCD的面积． 【解答】解：（1）平行四边形AECF是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∵AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝EF， ∴平行四边形AECF是矩形； （2）∵四边形AECF是矩形， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°， ∵AC＝4，EC＝4， ∴AE8， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC， 设AB＝BC＝x， ∴BE＝BC﹣EC＝x﹣4， 在直角三角形AEB中，AB2＝AE2+BE2， 即x2＝82+（x﹣4）2， ∴x＝10， ∴BC＝10， ∴SABCD＝BCAE＝10×8＝80． 18．（2025春杭州期中）如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAC，交CD于点E，CF平分∠ACB，交AB于点F． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若AD＝AC，求证：四边形AFCE是矩形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC．AD∥BC，∠B＝∠D， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵AE平分∠DAC，CF平分∠ACB， ∴∠DAE∠DAC，∠BCF∠ACB， ∴∠DAE＝∠BCF， 在△ADE与△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）． （2）∵△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF，DE＝BF， ∵AB＝CD， ∴AF＝CE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠CAE， ∵AD＝AC，AE＝AE， ∴△ADE≌△ACE（SAS）， ∴∠AED＝∠AEC， ∵∠AED+∠AEC＝180°， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AFCE是矩形． 19．如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，AF是BC边上的中线，连接BD，以BD为边作等边△BDE，连接AE． （1）求证：四边形AEBF为矩形； （2）若AC＝4，求四边形AEBF的面积． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵点D是AC的中点，AF是BC边的中线， ∴AF＝BD，∠CBD＝30°，AF⊥BC， ∴∠AFB＝∠AFC＝90°， ∵△BDE是等边三角形， ∴BE＝BD，∠DBE＝60°， ∴AF＝BD＝BE，∠EBF＝60°+30°＝90°， ∴∠EBF＝∠AFC＝90°， ∴AF∥BE， ∴四边形AEBF是平行四边形， 又∵∠AFB＝90°， ∴平行四边形AEBF是矩形； （2）解：∵AC＝4，△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC＝AB＝4， ∵AF是BC边的中线， ∴， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2， 又∵四边形AEBF是矩形， ∴． 2、 菱形——题型 【题型6】菱形性质与判定的理解 1．（2025春玉环市期中）如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB，∠1∠DAB， ∴∠D+∠DAB＝180°， ∵∠D＝140°， ∴∠DAB＝40°， ∴∠1∠DAB＝20°， 故选：A． 2．（2025温江区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．∠ABC＝∠BAC C．AC⊥BD D．AC＝AD 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 不能得出AB＝AC，∠ABC＝∠BAC，AC＝AD． 故选：C． 3．（2025台州一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是菱形，这个条件是（　　） A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC， ∴▱ABCD是矩形，故符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故不符合题意； 故选：B． 4．（2025河南一模）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，能判定▱ABCD为菱形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC⊥BD D．AC＝BD 【解答】解：如图，四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， 故A不符合题意； ∵∠B＝∠C， ∴四边形ABCD为矩形， 故B不符合题意； ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形． 故C符合题意； ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD为矩形， 故D不符合题意； 故选：C． 【题型7】根据菱形的性质求值证明 5．（2025春青山区期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边AD的中点，连接OE．若OE＝5，则菱形ABCD的周长为（　　） A．40 B．30 C．20 D．10 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD， ∴∠AOD＝90°， ∵E是AD的中点， ∴OEAD， ∵OE＝5， ∴AD＝10， ∴菱形ABCD的周长＝4AD＝40． 故选：A． 6．（2025春和平区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝120°，对角线AC、BD交于点O，点E、F分别为AB、AD的中点，连接EF，则EF的长为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC＝2，AC⊥BD，AO＝CO，OBBD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∵OAAC＝1， ∴OB， ∵点E、F分别为AB、AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EFBD， ∴EF＝OB． 故选：B． 7．（2025春杭州期中）如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　） A． B． C．10 D．12 【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴，OB＝ODBD＝12，AC⊥BD，AB＝AD＝13， ∴∠AOB＝90°， ∴OA5， ∴AC＝10， ∵菱形的面积＝AB．CEACBD， 即13×CE10×24， 解得：CE， 故选：B． 8．（2025春江津区期中）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB的垂直平分线EF交AC于点F，连接DF．若∠BAD＝76°，则∠CDF的度数为（　　） A．86° B．76° C．74° D．66° 【解答】解：连接BF， ∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，∠BAD＝76°， ∴AB＝AD＝CD，AC⊥BD，OB＝OD， ∴∠DCF＝∠DAF＝∠BAF∠BAD76°＝38°， ∵AB的垂直平分线EF交AC于点F， ∴AF＝BF， ∵AC垂直平分BD， ∴DF＝BF， ∴AF＝DF， ∴∠ADF＝∠DAF＝38°， ∴∠CFD＝∠ADF+∠DAF＝38°+38°＝76°， ∴∠CDF＝180°﹣∠DCF﹣∠CFD＝180°﹣38°﹣76°＝66°， 故选：D． 9．（2025春宿豫区期中）已知：如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在AB、AD上，△CEF是等边三角形．求证：BE＝AF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC， ∵△EFC是等边三角形， ∴EC＝CF，∠ECF＝60°＝∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACF， ∴△BCE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝AF． 10．（2025春镇海区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC． （1）求证：AE＝CE． （2）若∠ABC＝48°，AE＝PC，求∠BAP的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴BA＝BC，∠ABD＝∠CBD， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE； （2）解：设∠BAP＝α， ∵△ABE≌△CBE， ∴∠BAP＝∠BCE＝α， ∵AE＝PC，AE＝CE， ∴PC＝CE， ∴∠CPE＝∠CEP（180°﹣∠BCE）＝90°α， ∵∠CPE是△ABP的一个外角，∠ABC＝48°， ∴∠CPE＝∠ABC+∠BAP， ∴90°α＝48°+α， ∴α＝28°， ∴∠BAP＝α＝28°． 【题型8】根据菱形的判定求值、证明 11．（2025春镇江期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证： （1）△AEO≌△CFO； （2）四边形AFCE是菱形． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠2，∠AEO＝∠CFO， ∵EF是对角线AC的垂直平分线， ∴AO＝CO，AC⊥EF， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（AAS）； （2）解：∵△AEO≌△CFO， ∴AE＝CF（全等三角形的对应边相等）， ∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 又∵AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形． 12．（2025广陵区一模）如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF． （1）求证：△AEH≌△CGF； （2）若EG平分∠HEF，求证：四边形EFGH是菱形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C． ∴在△AEH与△CGF中，， ∴△AEH≌△CGF． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D． ∵AE＝CG，AH＝CF， ∴EB＝DG，HD＝BF． ∴△BEF≌△DGH． ∴EF＝HG． 又∵△AEH≌△CGF， ∴EH＝GF． ∴四边形HEFG为平行四边形． ∴EH∥FG， ∴∠HEG＝∠FGE． ∵EG平分∠HEF， ∴∠HEG＝∠FEG， ∴∠FGE＝∠FEG， ∴EF＝GF， ∴EFGH是菱形． 13．（2025新吴区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，CE，AF，CF，AC． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）请添加一个条件，使得四边形AECF为菱形，则添加的条件是　 　 .（不再添加线条和字母，只要写出一个条件即可，无需证明） 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：当AC⊥BD时，四边形AECF为菱形， 设AC和BD相交于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝CO， ∵BE＝DF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF菱形（对角线平分且垂直的四边形为菱形）， 故答案为：AC⊥BD． 【题型9】根据菱形的性质与判定求值、证明 14．（2025黎城县校级模拟）如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在AC边上，直线DE与BC交于点F，连接BD，BE，CE．若CD＝2，∠ACB＝30°，则四边形BECD的面积为（　　） A． B． C．4 D．8 【解答】解：由题意可知，DE垂直平分BC，BD＝CD＝BE＝CE， ∴DE⊥BC，四边形BECD是菱形， ∴BC＝2CF，DE＝2DF， ∵CD＝2，∠ACB＝30°， ∴FDDC1， ∴CF， ∴， ∴四边形BECD的面积为， 故选：B． 15．（2025乳源县二模）如图所示，剪两张对边平行的纸条，并且纸条宽度相同，将它们随意交文叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，连接AC，BD．则下列结论不一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．AB＝BC C．AC＝BD D．AC⊥BD 【解答】解∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形， ∴AB∥CD，AD∥BC，故A不符合题意； ∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）； 过点A分别作BC，CD边上的高为AE，AF， 则AE＝AF（两纸条相同，纸条宽度相同）； ∵平行四边形ABCD中，S△ABC＝S△ACD， 即BC×AE＝CD×AF， ∴BC＝CD，即AB＝BC．故B不符合题意； ∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）． ∴AC⊥BD，故D不符合题意； 如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故C不一定正确． 故选：C． 16．（2025春海州区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE＝6，BC＝5，求菱形BCFE的面积． 【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，BC＝2DE， ∵BE＝2DE， ∴BC＝BE， ∵延长DE到点F，使得EF＝BE， ∴EF∥BC，且EF＝BC， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∵BC＝BE， ∴四边形BCFE是菱形． （2）连接BF交CE于点L， ∵四边形BCFE是菱形，CE＝6，BC＝5， ∴CE⊥BF，CL＝ELCE＝3，BL＝FL， ∴∠BLC＝90°， ∴BL4， ∴BF＝2BL＝8， ∴S菱形BCFEBFCE8×6＝24， ∴菱形BCFE的面积为24． 17．（2025春思明区校级期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝10，菱形ADBF的面积为80，求BC的长． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△FAE和△CDE中， ， ∴△FAE≌△CDE（AAS）， ∴AF＝CD， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴， ∴四边形ADBF是菱形； （2）解：∵四边形ADBF是菱形， ∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积， ∵点D是BC的中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝80， ∵∠BAC＝90°， ∴， ∴AC＝16， ∴． 18．（2025南京模拟）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝4， ∴OA＝OC＝2， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°， ∴AE2， 即AE的长为2． 19．（2025春通州区期中）李老师买了一盏简单面精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形AECF为菱形． （2）若AE⊥AD，F为DE的中点，，求四边形AECF的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC． ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：∵AE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形， ∵F为DE的中点， ∴AF＝EF＝DF． ∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝AF， ∴AE＝EF＝AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝∠AFE＝60°， 又∵AE⊥AD． ∴∠EAD＝90°． ∴∠ADE＝30°， ∴DE＝2AE． ∵四边形ABCD为菱形． ∴AD＝AB＝4， 在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2， ∴AE2+（4）2＝（2AE）2， ∴AE＝4（负值舍去）． ∵四边形AECF为菱形， ∴菱形AECF的周长为4×4＝16． 20．（2025春朝阳区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别交于点F，E． （1）猜想图中四边形BEDF的形状是 　　 形，并证明你的猜想； （2）若BC＝8，DC＝4，求四边形BEDF的周长． 【解答】解：（1）四边形BEDF的形状是菱形， 证明：∵AD∥BC， ∴∠DFO＝∠BEO． ∵直线EF是对角线BD的垂直平分线， ∴OB＝OD，EF⊥BD． 在△FOD和△EOB中， ， ∴△FOD≌△EOB（AAS）， ∴OF＝OE， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形； 故答案为：菱； （2）∵∠C＝90°，四边形BEDF是菱形， ∴BE＝DE， ∵BE2﹣CE2＝CD2， ∴BE2﹣（8﹣BE）2＝42， ∴BE＝5， ∴四边形BEDF的周长＝20． 三、正方形——题型 【题型10】正方形性质与判定的理解 1．（2025春淄川区期中）有以下说法： （1）四条边相等的四边形是正方形； （2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形； （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形； （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形． 其中说法正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：（1）四条边相等的四边形是菱形，故该说法不符合题意； （2）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故该说法符合题意； （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形，故该说法不符合题意； （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形．故该说法符合题意． 故选：B． 2.（2025·浙江模拟）下列命题中，真命题是（   ） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直四边形是菱形 D．四边相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理，平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项． 解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题； C、对角线互相垂直平分四边形是菱形，原命题是假命题； D、四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题； 故选：B． 【题型11】根据正方形的性质求值、证明 3．（2025春海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，一个正方形的两个顶点坐标为（﹣2，1）、（﹣2，﹣2），则下列坐标表示的点不可能成为该正方形顶点的是（　　） A．（1，1） B．（1，﹣2） C．（2，1） D．（﹣5，﹣2） 【解答】解：如图，下列坐标表示的点不可能成为该正方形顶点的是（2，1）， 故选：C． 4．（2025春浙江期中）如图，点D是线段AE上一点，分别以AD，DE为边向下作正方形ABCD，正方形DGFE，连结BG，CF，GE．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道线段（　　） A．AD的长 B．DE的长 C．AE的长 D．CF的长 【解答】解：连接DF， ∵正方形DGFE， ∴S△EGF＝S△DGF， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴只需知道线段AD的长， 故选：A． 5．（2024秋本溪期末）如图，正方形ABCD是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时∠D1＝30°，则形变后四边形A1BCD1的面积是原正方形ABCD面积的（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点A1作A1H⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC＝CD＝AD， 由题意可得BA1＝BA＝BC＝A1D1＝CD1， ∴四边形A1BCD1为菱形， ∴∠A1BC＝∠D1＝30°， 设BA1＝BA＝BC＝2x， ∵A1H⊥BC， ∴， ∴， 而， ∴， 故选：A． 6．（2025春玉环市期中）如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCDE，正方形的对角线CE、BD交于点O，连结OA，若AB＝5，BC＝13，则OA的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在AC上截取CG，使CG＝AB＝5，设BD与AC交于点F， ∵AB＝5，BC＝13， ∴， ∵四边形BCDE是正方形， ∴∠BOC＝90°，OB＝OC， ∴∠BOC＝∠BAC＝90°， ∵∠BFA＝CFO， ∴∠ABO＝∠GCO， 在△ABO和△GCO中， ， ∴△ABO≌△GCO（SAS）， ∴∠AOB＝∠GOC，AO＝GO， ∴∠AOG＝∠AOB+∠FOG＝∠GOC+∠FOG＝90°， ∴AG＝AC﹣GC＝7， 由勾股定理得OA2+OG2＝AG2＝2OA2， ∴， 故选：A． 7．（2025拱墅区校级二模）如图是由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCH，△CDG，△ADE）组成的新图形，若EF＝2，GH＝8，则正方形ABCD的边长为（　　） A．5 B． C． D．6 【解答】解：∵Rt△ABF≌Rt△CBH≌Rt△DCG≌Rt△DAE， ∴AF＝CH，AE＝BF＝CG， ∵EF＝2，GH＝8， ∴AF＝AE+EF＝BF+2，AF+BF＝CH+CG＝GH＝8， ∴BF+2+BF＝8， 解得BF＝3， ∴AF＝3+2＝5， ∵∠F＝90°， ∴AB， ∴正方形ABCD的边长为， 故选：C． 8．（2025高新区模拟）如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，DE＝9，则EF的长为（　　） A．5 B．8 C．12 D．2 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠BAD＝90°， ∵DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，BF＝4，DE＝9， ∴∠AFB＝∠DEA＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE＝90°﹣∠DAE， 在△BAF和△ADE中， ， ∴△BAF≌△ADE（AAS）， ∴BF＝AE＝4，AF＝DE＝9， ∴EF＝AF﹣AE＝9﹣4＝5， 故选：A． 9．（2025綦江区一模）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，连接BE、CF交于点P，连接BF，AP，若AF＝DF，BE＝CF，∠PAD＝α，则∠APF的度数为（　　） A．90°﹣α B． C． D．90°+α 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°， ∴△BCE和△CDF是直角三角形， 在Rt△BCE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠CBE＝∠DCF， 又∵∠CBE+∠BEC＝90°， ∴∠DCF+∠BEC＝90°， 在△CEP中，∠CPE＝90°，即BE⊥CF． 延长CF交BA的延长线于点G， 在△AFG和△DFC中， ， ∴△AFG≌△DFC（ASA）， ∴AG＝CD， 在正方形ABCD中，AB＝CD， ∴AG＝AB，即A是BG中点． ∵BE⊥CF， 在Rt△BPG中，A是BG的中点， ∴AP＝AB， ∴∠ABP＝∠APB， ∵∠PAD＝α，∠BAD＝90°， ∴∠BAP＝90°﹣α， 在△ABP中，， ∴． 故选：C． 10．（2025春崇川区校级月考）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，若MN＝1，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接AM并延长交DC于点G，连接GF， ∵四边形ABCD是正方形， AB＝DC＝BC，AB∥DC，∠C＝90°， ∴∠MEA＝∠MDG， ∵点M为DE的中点， ∴ME＝DM， 在△MAE和△MGD中， ， ∴△MAE≌△MGD（ASA）， ∴AE＝GD，MA＝MG， 又∵点N为AF的中点，点M为AG的中点， ∴GF＝2MN＝2， ∵点G、F为边CD、BC的中点，CD＝BC， ∴GC＝CF， ∴△GCF为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在Rt△ADE中，， 故选：B． 【题型12】根据正方形的判定求值、证明 11．（2024秋•秦都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，AD＝BC．过点D作DE⊥AB且DE＝BD，连接CE．求证：四边形BCED是正方形． 【解答】证明：∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∵AD＝BC， ∴BD＝BC， ∵∠ABC＝90°，DE⊥AB且DE＝BD， ∴∠ADE＝∠ABC＝90°，DE＝BC， ∴DE∥BC，且DE＝BC， ∴四边形BCED是平行四边形， ∵∠B＝90°， ∴四边形BCED是矩形， ∵DE＝BD， ∴四边形BCED是正方形． 12．（2025•崂山区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，M，N分别是AB和CD的中点． （1）判定四边形AMCN的形状并证明； （2）给△ABC补充一个条件，使得四边形AMCN是正方形，并证明． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵M、N分别是AB和CD的中点， ∴AM＝BM，AM∥CN，AM＝CN， ∴四边形AMCN是平行四边形， 又∵AC⊥BC， ∴AM＝BM＝CM， ∴四边形AMCN是菱形； （2）解：当AC＝BC时，四边形AMCN是正方形， 证明：∵AC＝BC，M是AB的中点， ∴CM⊥AB， ∴∠AMC＝90°， 由（1）知，四边形AMCN是菱形， ∴四边形AMCN是正方形， 13．（2025•湖北模拟）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 【解答】证明：如图，作OH⊥AB与H点， ∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G， ∴∠OGC＝∠OFC＝90°． ∵∠C＝90°， ∴四边形OGCF是矩形． ∵AD平分∠BAC， ∴OH＝OF． ∵BE平分∠ABC， ∴OH＝OG， ∴OF＝OG， ∴四边形OGCF是正方形． 【题型13】根据正方形的性质与判定求值、证明 14．（2025春沭阳县期中）如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF＝90°且EF＝AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M． （1）求证：BE＝CM； （2）延长CD至点N，使得DN＝BE，求证：四边形AEFN是正方形． 【解答】证明：（1）∵正方形ABCD， ∴∠B＝90°，AB＝BC， ∴∠BAE+∠BEA＝90°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠BEA+∠FEM＝90°，∠AEF＝∠B， ∴∠BAE＝∠FEM， ∵EF＝AE ∴△ABE≌△EMF（AAS）， ∴AB＝EM， ∴BC＝EM ∴BC﹣EC＝EM﹣EC，即BE＝CM． （2）∵正方形ABCD， ∴∠B＝∠ADN＝90°，AB＝AD， ∵DN＝BE， ∴△ABE≌△ADN（SAS）， ∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN， ∵AE＝EF ∴EF＝AN， ∵∠DAN+∠EAD＝∠BAE+∠EAD＝90°， ∴∠EAN＝∠AEF＝90°， ∴AN∥EF， ∴四边形AEFN是平行四边形， ∵AE＝EF， ∴四边形AEFN是菱形， ∵∠AEF＝90°， ∴四边形AEFN是正方形． 15．（2025春丹徒区期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接AB，△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）∠APB＝ 　　 °； （2）①求证：四边形OCPD是正方形； ②若OA＝AC＝3，求点B的坐标． 【解答】（1）解：∵PD⊥y轴，PC⊥x轴，∠AOB＝90°， ∴∠PDO＝∠PCO＝∠DOC＝90°， ∴四边形PDOC是矩形， ∴∠DPC＝90°， 过P作PE⊥AB于E， ∵△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，PD⊥y轴，PC⊥x轴， ∴PD＝PE，PE＝PC， ∵PB＝PB， ∴Rt△PDB≌Rt△PEB（HL）， ∴∠DPB＝∠EPB， 同理∠CPA＝∠EPA， ∴∠BPA＝∠BPE+∠APE； 故答案为：45； （2）①证明：由（1）知四边形PDOC是矩形， ∵△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，PD⊥y轴，PC⊥x轴， ∴PD＝PE，PE＝PC， ∴PD＝PC， ∴四边形OCPD是正方形； ②∵OA＝AC＝3， ∴OC＝OD＝6， 由（1）知，Rt△PDB≌Rt△PEB， ∴BD＝BE， 同理AE＝AC＝3， 设OB＝x，则BD＝BE＝6﹣x， ∴AB＝3+6﹣x， ∵AB2＝OB2+OA2， ∴（9﹣x）2＝x2+32， ∴x＝4， ∴点B的坐标为（0，4）． 16．（2025春江阴市期中）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EHQP的三个顶点E，H，Q分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD上，BH＝2，连接DP． （1）若CQ＝2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若DQ＝6，求△PDQ的面积． 【解答】（1）证明：若CQ＝2，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形，AD＝6，CD＝8， ∴BC＝AD＝6，AB＝CD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵BH＝2， ∴BH＝CQ＝2， ∵四边形EHQP是菱形， ∴EH＝HQ， 在Rt△BHE和Rt△CQH中， ， ∴Rt△BHE≌Rt△CQH（HL）， ∴∠BEH＝∠CHQ， ∵∠BEH+∠BHE＝90°， ∴∠CHQ+∠BHE＝90°， ∴∠EHQ＝180°﹣（∠CHQ+∠BHE）＝90°， ∴菱形EHQP是正方形； （2）解：若DQ＝6，过点P作PF⊥CD于点F，如图2所示： ∴∠PFQ＝∠C＝90°， ∵CD＝8， ∴CQ＝CD﹣DQ＝8﹣6＝2， 由（1）可知：此时菱形EHQP是正方形， ∴∠PQH＝90°，PQ＝QH， ∴∠PQF+∠HQC＝90°， 又∵∠QHC+∠HQC＝90°， ∴∠PQF＝∠QHC， 在△PQF和△QHC中， ， ∴△PQF≌△QHC（AAS）， ∴PF＝CQ＝2， ∴△PDQ的面积是：DQPF6×2＝6． 17．（2024秋化州市期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 第 1 页 共 52 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.3 矩形、菱形、正方形（3大知识点+13类题型）（知识梳理与题型） 目录 知识梳理 一、矩形、菱形、正方形的性质知识对比梳理/P2 二、矩形、菱形、正方形的判定知识对比梳理/P3 三 、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系/P3 矩形、菱形、正方形的重要题型 知识点一：矩形的重要题型/P3 【题型1】矩形性质与判定的理解 【题型2】直角三角形斜边上的中线的性质理解 【题型3】根据矩形的性质求值、证明 【题型4】根据矩形的判定求值、证明 【题型5】根据矩形的性质与判定求值、证明 知识点二：菱形的重要题型/P17 【题型6】菱形性质与判定的理解 【题型7】根据菱形的性质求值证明 【题型8】根据菱形的判定求值、证明 【题型9】根据菱形的性质与判定求值、证明 知识点三：正方形的重要题型/P34 【题型10】正方形性质与判定的理解 【题型11】根据正方形的性质求值、证明 【题型12】根据正方形的判定求值、证明 【题型13】根据正方形的性质与判定求值、证明 知识梳理 一、矩形、菱形、正方形的性质知识对比梳理 矩形 菱形 正方形 图形 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 有一组邻边相等,并且有一个角是直角的的平行四边形叫做正方形. 边 两组对边平行且相等 两组对边平行，四条边都相等 两组对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形 有两条对称轴 有两条对称轴 有四条对称轴 面积 【常用结论】矩形：矩形的两条对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形. 菱形：（1）菱形的两条对角线将菱形分成四个面积相等的直角三角形； （2）对角线互相垂直的四边形的面积; 正方形：正方形的两条对角线将正方形分成四个面积相等的等腰直角三角形 二、矩形、菱形、正方形的判定知识对比梳理 图形 判定方法 矩形 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）方法二：有三个角是直角的四边形是矩形； （3）方法三：对角线相等的平行四边形是矩形. 菱形 （1）方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）方法二：四条边都相等的四边形是菱形. （3）方法三：对角线互相垂直的平行四边形菱形. 正方形 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形. （2）方法二：一组邻边相等的矩形是正方形. （3）方法三：一个角是直角的菱形是正方形. （4）方法四：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形. （5）方法五：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形. 三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 从边与角的角度看 从对角线的角度看 一、矩形——题型 【题型1】矩形性质与判定的理解 1．（2025春江阴市期中）在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A．AB＝BC B．CD＝AB C．∠BAD＝∠BCD D．OB＝OD 2．（2025春白云区校级期中）如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠ABD＝36°，则∠CAE的度数是（　　） A．36° B．54° C．18° D．以上都不对 3．（2025春丹阳市期中）如图，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠ABC＝∠BCD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AB＝AD 4．（2025春阜宁县期中）要使平行四边形ABCD成为矩形，则可添加的一个条件是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AD＝BD D．AC＝BD 【题型2】直角三角形斜边上的中线的性质理解 5．（2025春东莞市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点D为斜边AB上的中点，则CD为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 6．（2025碑林区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，S△ABD，则AD的长为（　　） A． B． C．1 D． 7．（2025春肥西县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，作AE⊥BD于点E，若DE＝2BE，，则BC＝（　　） A． B．5 C． D． 【题型3】根据矩形的性质求值、证明 8．（2025春宜兴市期中）如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　） A．3 B． C． D．4 9．（2025春广陵区期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（　　） A．55° B．40° C．35° D．20° 10．（2025沈阳模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝60°，AC＝4，则AD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 11．（2025春仪征市期中）如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，E为OD上一点，连接CE，取CE的中点F，若∠EOF＝90°，OE＝6，OF＝4，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．4 12．（2025春宿豫区期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED． （1）求证：BE＝BC； （2）AB＝1，∠ABE＝45°，求△BCE的面积． 【题型4】根据矩形的判定求值、证明 13．（2025春西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，在线段AB上有一动点D，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF．在点D从点A运动到点B的过程中（D不与A、B重合），下列关于线段EF长度变化的描述中，正确的是（　　） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．一直变短 D．始终保持不变 14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　　） A．5 B．4 C． D．3 15．如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（　　） A． B．4 C． D．3 16．如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点Q，E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）当AC与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 【题型5】根据矩形的性质与判定求值、证明 17．（2024春颍州区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC．AD上，BE＝DF，AC＝EF． （1）请判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）若AB＝AD，且AC＝4，EC＝4，求四边形ABCD的面积． 18．（2025春杭州期中）如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAC，交CD于点E，CF平分∠ACB，交AB于点F． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若AD＝AC，求证：四边形AFCE是矩形． 19．如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，AF是BC边上的中线，连接BD，以BD为边作等边△BDE，连接AE． （1）求证：四边形AEBF为矩形； （2）若AC＝4，求四边形AEBF的面积． 2、 菱形——题型 【题型6】菱形性质与判定的理解 1．（2025春玉环市期中）如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 2．（2025温江区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．∠ABC＝∠BAC C．AC⊥BD D．AC＝AD 3．（2025台州一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是菱形，这个条件是（　　） A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC 4．（2025河南一模）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，能判定▱ABCD为菱形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC⊥BD D．AC＝BD 【题型7】根据菱形的性质求值证明 5．（2025春青山区期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边AD的中点，连接OE．若OE＝5，则菱形ABCD的周长为（　　） A．40 B．30 C．20 D．10 6．（2025春和平区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝120°，对角线AC、BD交于点O，点E、F分别为AB、AD的中点，连接EF，则EF的长为（　　） A．2 B． C． D． 7．（2025春杭州期中）如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　） A． B． C．10 D．12 8．（2025春江津区期中）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB的垂直平分线EF交AC于点F，连接DF．若∠BAD＝76°，则∠CDF的度数为（　　） A．86° B．76° C．74° D．66° 9．（2025春宿豫区期中）已知：如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在AB、AD上，△CEF是等边三角形．求证：BE＝AF． 10．（2025春镇海区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC． （1）求证：AE＝CE． （2）若∠ABC＝48°，AE＝PC，求∠BAP的度数． 【题型8】根据菱形的判定求值、证明 11．（2025春镇江期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证： （1）△AEO≌△CFO； （2）四边形AFCE是菱形． 12．（2025广陵区一模）如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF． （1）求证：△AEH≌△CGF； （2）若EG平分∠HEF，求证：四边形EFGH是菱形． 13．（2025新吴区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，CE，AF，CF，AC． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）请添加一个条件，使得四边形AECF为菱形，则添加的条件是　 　 .（不再添加线条和字母，只要写出一个条件即可，无需证明） 【题型9】根据菱形的性质与判定求值、证明 14．（2025黎城县校级模拟）如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在AC边上，直线DE与BC交于点F，连接BD，BE，CE．若CD＝2，∠ACB＝30°，则四边形BECD的面积为（　　） A． B． C．4 D．8 15．（2025乳源县二模）如图所示，剪两张对边平行的纸条，并且纸条宽度相同，将它们随意交文叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，连接AC，BD．则下列结论不一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．AB＝BC C．AC＝BD D．AC⊥BD 16．（2025春海州区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE＝6，BC＝5，求菱形BCFE的面积． 17．（2025春思明区校级期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝10，菱形ADBF的面积为80，求BC的长． 18．（2025南京模拟）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长． 19．（2025春通州区期中）李老师买了一盏简单面精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形AECF为菱形． （2）若AE⊥AD，F为DE的中点，，求四边形AECF的周长． 20．（2025春朝阳区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别交于点F，E． （1）猜想图中四边形BEDF的形状是 　　 形，并证明你的猜想； （2）若BC＝8，DC＝4，求四边形BEDF的周长． 三、正方形——题型 【题型10】正方形性质与判定的理解 1．（2025春淄川区期中）有以下说法： （1）四条边相等的四边形是正方形； （2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形； （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形； （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形． 其中说法正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（2025·浙江模拟）下列命题中，真命题是（   ） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直四边形是菱形 D．四边相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理，平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项． 解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题； C、对角线互相垂直平分四边形是菱形，原命题是假命题； D、四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题； 故选：B． 【题型11】根据正方形的性质求值、证明 3．（2025春海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，一个正方形的两个顶点坐标为（﹣2，1）、（﹣2，﹣2），则下列坐标表示的点不可能成为该正方形顶点的是（　　） A．（1，1） B．（1，﹣2） C．（2，1） D．（﹣5，﹣2） 4．（2025春浙江期中）如图，点D是线段AE上一点，分别以AD，DE为边向下作正方形ABCD，正方形DGFE，连结BG，CF，GE．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道线段（　　） A．AD的长 B．DE的长 C．AE的长 D．CF的长 5．（2024秋本溪期末）如图，正方形ABCD是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时∠D1＝30°，则形变后四边形A1BCD1的面积是原正方形ABCD面积的（　　） A． B． C． D． 6．（2025春玉环市期中）如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCDE，正方形的对角线CE、BD交于点O，连结OA，若AB＝5，BC＝13，则OA的长为（　　） A． B． C． D． 7．（2025拱墅区校级二模）如图是由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCH，△CDG，△ADE）组成的新图形，若EF＝2，GH＝8，则正方形ABCD的边长为（　　） A．5 B． C． D．6 8．（2025高新区模拟）如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，DE＝9，则EF的长为（　　） A．5 B．8 C．12 D．2 9．（2025綦江区一模）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，连接BE、CF交于点P，连接BF，AP，若AF＝DF，BE＝CF，∠PAD＝α，则∠APF的度数为（　　） A．90°﹣α B． C． D．90°+α 10．（2025春崇川区校级月考）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，若MN＝1，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【题型12】根据正方形的判定求值、证明 11．（2024秋•秦都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，AD＝BC．过点D作DE⊥AB且DE＝BD，连接CE．求证：四边形BCED是正方形． 12．（2025•崂山区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，M，N分别是AB和CD的中点． （1）判定四边形AMCN的形状并证明； （2）给△ABC补充一个条件，使得四边形AMCN是正方形，并证明． 13．（2025•湖北模拟）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 【题型13】根据正方形的性质与判定求值、证明 14．（2025春沭阳县期中）如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF＝90°且EF＝AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M． （1）求证：BE＝CM； （2）延长CD至点N，使得DN＝BE，求证：四边形AEFN是正方形． 15．（2025春丹徒区期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接AB，△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）∠APB＝ 　　 °； （2）①求证：四边形OCPD是正方形； ②若OA＝AC＝3，求点B的坐标． 16．（2025春江阴市期中）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EHQP的三个顶点E，H，Q分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD上，BH＝2，连接DP． （1）若CQ＝2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若DQ＝6，求△PDQ的面积． 17．（2024秋化州市期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 第 1 页 共 52 页 学科网（北京）股份有限公司 $$