第11章反比例函数 综合培优测试卷 2024-2025学年苏科版八年级数学下册

第11章反比例函数 综合培优测试卷 考试时间 60分钟 总分 100分 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1.反比例函数的图象经过点，下列各点在此反比例函数图象上的是    A. B. C. D. 2.对于反比例函数，下列说法正确的是    A. 图像经过点 B. 图像在第二、四象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，y随x的增大而减小 3.在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图像为      A. B. C. D. 4.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米∕时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度千米∕时与时间小时的函数关系是    A. B. C. D. 5.反比例函数的图像上有、两点.下列正确的选项是    A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 6.如图，函数的图像所在坐标系的原点是    A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 7.如图，直线交y轴于点A，交双曲线于点B，将直线向下平移2个单位长度后与y轴交于点C，交双曲线于点D，若，则n的值为    A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 8.如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA、OB，则的面积是    A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9.若点，都在反比例函数的图像上，则          填“>”或“<” 10.如图，直线与双曲线交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为          . 11.若A，B两点关于y轴对称，且点A在双曲线上，点B在直线上，设点A的坐标为，则          . 12.若直线与双曲线交于点、，则的值为          . 13.验光师测得几组关于近视眼镜的度数度与镜片焦距米的对应值如下表： 近视眼镜的度数y/度 200 250 400 500 1000 镜片焦距x/米 由上表，可得y关于x的函数表达式为          . 14.在平面直角坐标系xOy中，直线向上平移1个单位长度得到直线直线l与反比例函数的图像的一个交点为，则k的值等于          . 15.如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图像与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B，则图中阴影部分的面积为          . 16.对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”.已知点、、，如果M是双曲线和线段AB、BC围成的封闭区域含边界线，点是M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是          . 三、解答题（本大题共6小题，共52.0分） 17.已知反比例函数为常数，且 若在每个象限内，y随x的增大而增大，求m的取值范围； 若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 18.如图，直线为常数与双曲线为常数相交于，两点. 求直线的函数表达式； 在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； 请直接写出关于x的不等式的解集. 19.已知正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图像上，点是函数的图像上任意一点.过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、若矩形OEPF和正方形OABC不重合部分阴影面积为 求B点的坐标和k的值； 写出S关于m的函数关系式； 当时，求点P的坐标. 20.如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数的图像与AD边交于、两点. 求k、m的值； 写出函数的图像在菱形ABCD内x的取值范围. 21.第31届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日在成都落下帷幕，吉祥物“蓉宝”系列产品深受人们喜爱.据某电商平台统计，某款蓉宝公仔自7月发售以来，其日销售量呈直线上升趋势；大运会期间热度增大，日销售量较前段时间增大；大运会结束后，日销售量与时间成反比例关系.日销售量万件随时间天变化的函数图像如图所示，大运会前为线段OA，大运会期间为线段AB，大运会后为曲线 求线段AB和反比例函数的表达式并写出自变量的取值范围； 已知日销售量不低于4万件时，为畅销期，请求出畅销期持续的天数. 22.如何通过代数推理证明反比例函数图像的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.我们不妨来试试. 填一填. 性质：反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点. 证明：在函数上任取一点，则点A关于原点对称的点B坐标为          ，                     ，点B也在反比例函数的图像上. 点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上，反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点. 性质：反比例函数的图像关于直线对称，关于直线对称.请运用代数推理进行证明. 证明：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小. 第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章反比例函数 综合培优测试卷 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1.反比例函数的图象经过点，下列各点在此反比例函数图象上的是    A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 2.对于反比例函数，下列说法正确的是    A. 图像经过点 B. 图像在第二、四象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D  【解析】略 3.在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图像为      A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 4.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米∕时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度千米∕时与时间小时的函数关系是    A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系，先求得路程，再由等量关系“速度=路程时间”列出关系式即可. 【解答】 解：甲地到乙地的路程为千米， 当他按原路匀速返回时，有， 则v与t的函数关系式为：， 故选 5.反比例函数的图像上有、两点.下列正确的选项是    A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A  【解析】反比例函数中，，此函数图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，当时，，，，选项A正确. 6.如图，函数的图像所在坐标系的原点是    A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】D  【解析】解：在函数中， ，， 的函数图象在第三象限，的函数图象在第二象限， 所在直线为y轴， 不妨设，那么，， 当x取相同的值时，的图象更靠近x轴， 点Q是坐标系的原点， 故选： 根据函数解析式可知，的函数图象在第二象限，的图象在第三象限，然后利用当x取相同的值时，的图象更靠近x轴，即可找到坐标系的原点． 本题考查了反比例函数的性质，函数图象，熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键． 7.如图，直线交y轴于点A，交双曲线于点B，将直线向下平移2个单位长度后与y轴交于点C，交双曲线于点D，若，则n的值为    A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，根据的特点列出关于n的方程是解题的关键．先根据平移的性质求出平移后直线的解析式，由于，故可得出设，，再根据反比例函数中为定值求出【解答】 解：将直线向下平移4个单位长度后， 平移后直线的解析式为， ， ， 设，， 、D在反比例函数的图象上， 故选 8.如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA、OB，则的面积是    A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B  【解析】如图，设AB交y轴于点C，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，，故选 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9.若点，都在反比例函数的图像上，则          填“>”或“<” 【答案】>  【解析】略 10.如图，直线与双曲线交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为          . 【答案】2  【解析】略 11.若A，B两点关于y轴对称，且点A在双曲线上，点B在直线上，设点A的坐标为，则          . 【答案】16  【解析】略 12.若直线与双曲线交于点、，则的值为          . 【答案】36  【解析】根据正比例函数图像、反比例函数图像的性质，可知交点、关于原点对称，，把代入，得，原式 13.验光师测得几组关于近视眼镜的度数度与镜片焦距米的对应值如下表： 近视眼镜的度数y/度 200 250 400 500 1000 镜片焦距x/米 由上表，可得y关于x的函数表达式为          . 【答案】  【解析】略 14.在平面直角坐标系xOy中，直线向上平移1个单位长度得到直线直线l与反比例函数的图像的一个交点为，则k的值等于          . 【答案】2  【解析】略 15.如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图像与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B，则图中阴影部分的面积为          . 【答案】8  【解析】反比例函数的图像经过，，反比例函数的表达式为小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，设小正方形的顶点，在的图像上，，小正方形的面积为大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且，大正方形在第一象限的顶点坐标为，大正方形的面积为题图中阴影部分的面积为 16.对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”.已知点、、，如果M是双曲线和线段AB、BC围成的封闭区域含边界线，点是M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是          . 【答案】  【解析】如图，设点A绕点O逆时针旋转得到点，过点A作轴，过点作轴，垂足分别为M、N，则由题意得，，，，≌，，，，同理，绕点O逆时针旋转得到，则、设直线的表达式为，代入、，得解得直线的表达式为设经过点、的双曲线为，代入得，经过点、的双曲线为是双曲线和线段AB、BC围成的封闭区域含边界线，点是M关于原点O的“伴随点”，把，代入，得，解得，把，代入，得，解得，的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共48.0分） 17.已知反比例函数为常数，且 若在每个象限内，y随x的增大而增大，求m的取值范围； 若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 【答案】【小题1】 根据题意，得，  【小题2】 将代入，得两函数图像的一个交点的坐标为将代入，得   【解析】 略  略 18.如图，直线为常数与双曲线为常数相交于，两点. 求直线的函数表达式； 在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； 请直接写出关于x的不等式的解集. 【答案】【小题1】 由题意，将B点代入，双曲线为又在双曲线上，，直线的函数表达式为  【小题2】 由题意，可分成两种情形.①M、N在双曲线的同一支上，由双曲线，在同一支上时函数值随x的增大而增大，当时，②M、N在双曲线的不同的一支上，，此时由图像可得，即此时当时，  【小题3】 或   【解析】 略  略  略 19.已知正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图像上，点是函数的图像上任意一点.过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、若矩形OEPF和正方形OABC不重合部分阴影面积为 求B点的坐标和k的值； 写出S关于m的函数关系式； 当时，求点P的坐标. 【答案】【小题1】 解：正方形OABC的面积为9，，，点在函数的图像上，； 【小题2】 当点P在点B的左侧时，即时，点是函数图像上的点，，，，；当点P在点B的右侧时，即时，，，；  【小题3】 当点P在点B的左侧时，；当点P在点B的右侧时，   【解析】 略  略  略 20.如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数的图像与AD边交于、两点. 求k、m的值； 写出函数的图像在菱形ABCD内x的取值范围. 【答案】【小题1】 点在的图像上，，反比例函数的表达式为在的图像上，  【小题2】 或   【解析】 略  略 21.第31届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日在成都落下帷幕，吉祥物“蓉宝”系列产品深受人们喜爱.据某电商平台统计，某款蓉宝公仔自7月发售以来，其日销售量呈直线上升趋势；大运会期间热度增大，日销售量较前段时间增大；大运会结束后，日销售量与时间成反比例关系.日销售量万件随时间天变化的函数图像如图所示，大运会前为线段OA，大运会期间为线段AB，大运会后为曲线 求线段AB和反比例函数的表达式并写出自变量的取值范围； 已知日销售量不低于4万件时，为畅销期，请求出畅销期持续的天数. 【答案】【小题1】 设线段AB的表达式为，把、代入，得解得线段AB的函数表达式为设反比例函数表达式为，把代入，得，解得，反比例函数表达式为 【小题2】 把代入，得，解得；把代入，得，解得由图像可知，当时，，畅销期持续的天数是18天.   【解析】 略  略 22.如何通过代数推理证明反比例函数图像的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.我们不妨来试试. 填一填. 性质：反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点. 证明：在函数上任取一点，则点A关于原点对称的点B坐标为          ，                     ，点B也在反比例函数的图像上. 点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上，反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点. 性质：反比例函数的图像关于直线对称，关于直线对称.请运用代数推理进行证明. 证明：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小. 【答案】【小题1】   【小题2】 在上任取一点，则点A关于直线对称的点B的坐标为，点B也在反比例函数的图像上点A是反比例函数上的任意一点，它关于直线对称的点都在反比例函数的图像上，反比例函数的图像关于直线对称. 在上任取一点，则点A关于直线对称的点C的坐标为，点C也在反比例函数的图像上点A是反比例函数上的任意一点，它关于直线对称的点都在反比例函数的图像上，反比例函数的图像关于直线对称. 【小题3】 在上任取两点、，，当时，y随x的增大而减小.   【解析】 略  略  略 第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$