黑龙江省大庆实验中学实验二部2024-2025学年高三下学期得分训练（二）数学试题

大庆实验中学实验二部2022级高三得分训练（二） 数学试题答案 选择题 2 3 4 9 10 11 A D C D ACD ABD BC 7.【答案】D 【详解】因为f(x)=f(x-2)-f(4-x)所以f(2+x)+f(2-x)=f(x)令x=0,得 f(0)=2f(2)=2:f(2)=1 令x=2,得f(4)+f(0)=f(2),所以f(4)=f(2)-f(0)=1-2=-1,C正确： 用-x替换x,可得f(2-x)+f(2+x)=f(-x)所以(x)=f(-x), 所以函数()为偶函数。 用x+2替换x,可得f(4+x)+f(-x)=f(x+2), 所以(4+x)+∫(x)=f(x+2),所以f(x)=(x+2)-f(x+4): 所以f(x+2)=f(x+4)-f(x+6). 即f(x+6)=-f(x).所以f(x+12)=-f(x+6)=f(x) 故x)是以12为周期的周期函数，B正确，f(6=-(0)=-2 所以f(6)=f(4)-f(-2)=f(4)-f(2)=-1-1=-2: f(8)=-f(2)=-1,f(10)=-f(4)=1,f(12)=2 所以f2)=4+-)+(-2)+(-)+1+2]+1=1.D错误。 8.【答案】A 【详解】正整数集N中，划掉所有与21不互素的数等价于划掉3或7的倍数，余下的数排 列为：(1,2).(4)，(5,8)，(10).(1113)，(16)，(1719)(20) (22,23),(25),(26,29),(31)(32,34),(37),(38,40),(41),每8组一个周期。 故2024为第97个周期中的第3组.则2014在第96×8+3=771组. 10.【答案】ABD 【详解】由f)=x+e_a+9_+e2-a, e e 对于A选项，当a≤0时，e-a>0,可得函数f)的减区间为(-o,-,增区间为(-L+), 故A选项正确： 对于B选项，当a=e2时，f)=e+ e 又由/-2-x)=(-2-xe+=-2+0+-e=-, e24 可得函数()的图象关于点(-L,0对称，是中心对称图形，故B选项正确： 对于C选项，由A选项可知，当a≤0时，x=1是函数()的极小值点： 当@>0时，令)=0，可得x=-1或2na 若x=-1是函数f)的极大值点，必有na>-1,可得a>e2,故C选项错误： 2 对于D选项，设切点为P(m,fm)」 由切线过原点，有22=（2+2+2)，整理为a= m'e2m m2+2m+2 令g()= xe”一，有g)= 2xx+1e2(r2+2） x2+2x+2 (x2+2x+2 可得函数()的减区间为-1,0)，增区间为(-0，-，0，+o): 又由r→-0时，g)→0：x→+0时，g)→+切；及g(-=e2,g0)=0 可知当0<a<e2时，关于m的方程a= m'e2m 一有且仅有3个根， m2+2m+ 可得过原点可作三条直线与曲线y=)相切，故D选项正确， 11.【答案】BC 【详解】对于A,当角∠ABC=时，AC以P为中点，△ABC面积的最大值为3V3, 故A错误： 对于B,若M为BD中点，连接OM,则 OB.OD=(OM+MBOM+MD) -OM+OM(MB+MD)+MB-MD-OM'-4-OM)-20M-4' 由题意0sOM≤OP2=1,则OA0C∈【4，-2小，故B正确： 对于C,若AC⊥BD,故PB.CP=AP.PD=0, AB.CD=(AP+PB)CP+PD AP.CP+PB-CP+AP:PD+PB-PD, 又PAPC=-3,则P.CP=-3,同理可得PBPD=-3,故B.CD=-6' 故C正确： 对于D,当4C1BD时四边形面积为川1=×22-子×22-子= 2(4-)(4-),又？+子=1，可知面积的最大值为7，故D错误。 B A 填空题： 13. 22102 33 14号 14.【详解】设椭圆C:号+广 云+=1（a>b>0,则G=C=a2-8 a 1、6 3 设椭圆C:女+ +京=，（m>n>0),则G=1- m2 设M(x,%), 由题意可得1，方程为：一+=1， m2 n2 ==1 因为原点到直线，的距离恒为1，所以， m n n 又因为M(化)为桶圆导+长-1止的点，所以三+ 所以a2=m,b2=n, 引} 设 =1,则0<<1， e2-eg=-+t' 当，。1时，-G取得最大值，此时为号 t= 2 解答题 15.(本小题满分13分) 已知△ABC中，角4，B,C所对的边分别为ab,c,cos2C-cos'A=-sin BsinC. (1)求证：A=2C: (2)若b>c=1,求△ABC周长的取值范围. 【答案】()证明见解折22+2,6) 【详解】(1)由cos2C-cos2A=sin Bsinc得sin2A-sin'C=sin Bsinc,从而a2-c2=bc: 得a2=c2+bc, 2分 由余弦定理得a2=c2+b2-2 bccos A=c2+bc,即b=c+2ccos4, 由正弦定理得sinB=sinC+2 sinCcosA,所以sin(A+C)=sinC+2 sinCcosA. 所以sinAcosC-cosAsinC=sinC,即sin(A-C)=sinC. 4分 所以A-C=C+2kπ或(A-C)+C=π+2kπ(k∈Z), 即A=2C+2km或A=π+2kπ(k∈Z). 因为0<A<r,0<C<π，所以A=2C. 6分 (2)由△ABC得，所以 即 解得 7分 0<A<π， 0<2C<π， C<B<π， C<π-3C<π， cC号· 0<C<π， 0<C<π， 因为c=1,由正弦定理得 4 sinA sin2C =2cosC,所以a=2cosC, c sinc sinC 由正弦定理得b=c-sinB_ c:sin(π-3C）sin3Csim2 CeosC+cos2 Csinc sinC sinC sinC sinC 2sinCeos'c+(osc-1inccoC-1 10分 sinC 故△ABC的周长a+b+c=4cos2C+2cosC. 11分 令1=cosC,由(1)知5 ，所以 <cosC<1 2 因为函数y=42+21=4+4 在（ 上单调递增， 4 所以△ABC周长的取值范围为 (2+2,6) 13分 16.(本小题满分15分) 如图，在梯形ABCD中，AB=BC=CD=!AD=2,AD11BC,E,F分别是AD,BC的中点， 以BE为折痕将△4BE折起使A到达A的位置，得到四棱锥A一BCDE,G,H分别是是1 和DE的中点。 A1 1 C D H E (1)证明：1/平面EFG: (2)当1=√6时，求直线1和平面DAC夹角的余弦值. 【详解】)：B=BC=CD=4D-26,E是4D的中点， ABE是正三角形，四边形BCDE与ABCE是菱形，四边形HEBF为平行四边形。2分 连接BH,则EF与BH相交与K, 1/,在平面EFG内，所以1I/平面EFG: 6分 G D H E (2)取BE的中点O,连接OA,则01==3 1=V6故0A⊥C0,又OA⊥BE,则0A1平面ABCD 9分 以O为原点，OE,OA,OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 长 则400，D23.,03,g耳1,0.g ∴DA=(-2,5,3,AC(0.3.3,4E1,0,' 设平面DAC的法向量为m=(xy,z), D4m=0' 令y=1,则m=(01,-1): 12分 AC.m=0 直线1和平面DAC夹角为0，则 sin6= √2×√3+14 直线1和平面DAC夹角余弦值为I0 15分 17.(本小题满分15分) 己知函数f(x)=-e2+6e-ar· (I)讨论f(x)的单调性： (2)设f(x)的两个极值点为x,x·当>1且2-1>2时， 求f(x)+f(x)的取值范围。 【详解】(1)f(x)=-e2+6e-ar,则f(x)=-2e2“+6e-a. 1分 令t=c,1>0,则f(x)=g(0)=-2r2+6t-a, 因-2r+≤号，故r-g)s号a, 3分 当}≤0，即a号时，了s0,则创在R上单调莲诚 当0<<时，令4=e6=e,4+=3,6=号0,1=-9区2=+g三 2 ()在(。，受)利（三，+）单调递减，在（一受，出马）单调递增。 2 2 当a≤0时，1≤0,2>0，则()在(-0，+)上单调递增，在( 2 只+四)单调 递减。 6分 综上所述，当a≥？时，则f()在R上单调递减， 当0<<时，（)在(，)利（三+）单调递减，在(-受 4受)单调递增： 当a≤0时，()在(-∞)上单调递增，在（三，+）单调递减。7分 2 (由①可知+6=3,6-号 则f()+f()=-e+6e*-a-e2+6e5-am=--后+6+6，-aa4+n） =-(6+4)+6+4)+24-a(血4+ln6)=a-alng+9 10分 子子2.则中2218则<4 12分 1212 令h(=+-h+9I<r<4,则()=-h 则当1<r<2时，(>0，()在L2)上单调递增： 当2<x<4时，()<0，)在(2,4上单调递减， 则h(2)=1,h0=10+h2,b4=13-4n2' f(x)+f(x)的取值范围是(13-41n2,11] 15分 18.(本小题满分17分)双曲线第二定义：设动点M到定点F(c,O)(c>O)的距离与点M到 定直线1：x二的距离的比是后当台>1时，该动点M的轨迹为双曲线定点F为双曲线焦 点，定直线1：x=￠为双曲线准线，比值e=二为双曲线离心率，已知动点M满足到定点 F(2,0)的距离与到定直线：=的距离的比是2，点A坐标为(3,2)， (1)求点M的轨迹方程E及2！|+|的最小值： (2)直线1与轨迹E的右支交于两点PQ PO ()若直线I过点F且与两渐近线分别交于点M,N,求 的取值范围： MN (i)若P,Q两点关于直线对称，并且过点K(O,4).求∠PKO的取值范围. 解：()双曲线E的方程为x2-上=1 2分 3 2引1+1=2(1+d)的最小值为5. 4分 (2)(i)如图： 显然过焦点F的直线斜率不为0，故可设其方程为：x=m+2(-:m<) x=my+3 由 x2、2 →3(my+2)}2-y2=3, =1 3 整理得： (3m2-1）y2+12myr+9=0 设P(x片)，Q(2,2),则 12m y+y=3m-可 9 =3m-1 所以出-=V+)广-4出 12m) 96Nm2+1 3m2-1 -4×3m2-53m-可 于是lP四=+m-以6m2+) 6分 3m2-1 2 x=my+2 X= 又由 V3m+1 即M5m+ 2 23 (0 x+- 2W5 √3m+1 y=- √3m+1 2 同理： 25 N-3m-1'3m-1) 所以MN= (4w3m+45_45+m 8分 (3m2-月 3m2-1 PO 6(m2+1) 所以MW 3m2-1 5√m2+1 43V1+m 2 3m2- 9分 3 3 (ii)设P(xy)Q(xy y=女+m 联立 =则(3-2)）r2-2r-m2-3=0, r- 3 所以△=4k2m2+43-k2)(m2+3)>0,即m2+3>k2, 且+5=是 2km 3-k2 6m 则y+片=+m+2+m=k(x+x2)+2m= 3-k2 F 则P阳的中点为D”,””,即DF, km 3m 2 2 因为线段PQ的中垂线过点K(0.4), 4 3m 则3k=-1,整理得m=3-心. 0、m 11分 3-k 则x+5=2,5=m+3,Dk,3), 由1+2>0,12>0，则k>0,m<0, 则m2+3>k2=3-m,解得m<-1, 又Pg=F1V+5广-4x6=F+14+4m+ =4g-网+4酒=Fi3 3 则|Pol-)Pg=vP+i3+ 又KD=2+1, 15分 则tan∠PKD= -w m 即∠PKD} 又∠PKQ=2∠PKD:则∠PK0的取值范周为0号) 17分 19.(本小题满分17分)对n∈N,通过抛掷一枚均匀硬币n次后生成有序数对(a,b),具 体生成规则如下：①规定(a,b)=(0,0)；②当第n(n之1)次抛掷硬币时：如果出现硬币正面 朝上，若a-4<b1,则(an,b)=(a1-1,b-1),否则(an,bn)=(a-1-l,bn):如果出现硬币 反面朝上，若b1<a-4,则(an,bn)=(an-1,b-1),否则(a。,b)=(aw4,b-1)抛掷n次 硬币后，记a,=bn的概率为P (I)写出(a2,b)的所有可能结果，并求P,B: 2证明：数列- (n≥l,n∈N)是等比数列，并求P: (3)若n>1,则抛掷几次硬币后使得=+~的概率最大？请给出证明过程。 【详解】(1)当第1次抛掷硬币时， 若正面朝上，由(an,b)=(0,0)知a。=b=0, 则(a,b)=(a。-1,b)=(-l,0): 若反面朝上，由(a,b)=(0,0)知a。=b=0, 则(a,b)=(ao,b-1)=(0,-1): 2分 当第2次抛掷硬币时，如果正面朝上， 此时若第1次正面朝上，由(a,b)=(-1,0)知a,<b,大庆实验中学 试卷第 1页，共 3页 大庆实验中学实验二部 2022级高三得分训练（二） 数学试题 一、单选题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个 符合题目要求的. 1. 若复数 z满足 1 2 i i 1 z     ，则 z的虚部为（ ） A． B． i C．1 D． 5i 2. 10 名同学合影，站成了前排 3 人后排 7 人，现摄影师要从后排 7 人中抽 2 人调整到前排，其 他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ） A．168 B．630 C．252 D．420 3. 若关于 x的不等式 的解集是 21 , a      ，则 a的取值范围是（ ） A． 1, 2       B． 1 , 2       C． 1 ,0 2      D．  1 ,0 0, 2        4. 函数 ( )y f x 的部分图象如图所示，已知 π 1(π) 3 2 f f        ，若其解析式为 π π( ) sin( ) 0, 2 2 f x x             ，则 （ ） A. 1 2 B． 3 2 C．0 D．1 5. 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最 大半径为 2．若是放入一个正方体，合上盒盖，则可放正方体的最大棱长为（ ） A．2 2 B．3 2 C．   4 2 1 3  D．  4 2 13  6. 已知在平面直角坐标系 xoy中，    2,1 , 2,2A B  ，动点 P满足 2 2 PA PB  ，点Q为抛物线 2: 4C y x 上一动点且Q在抛物线准线上的投影为 R，则 2 2PB PQ QR  的最小值为（ ） A． 10 B． 2 5 C． 2 5 2 D． 2 10 7. 函数�(�)的定义域为�，且对任意的实数 x，都有      2 4f x f x f x    ，且  0 2f  ， 则下列说法错误的是（ ） A．�(�)为偶函数 B．�(�)为周期函数且周期为 12 C．� 4 =− 1 D． 25 1 (2 )=2 i f i   8. 将正整数集 *N 中所有与 21 不互素的数划掉，记剩下的数由小到大排成数列 na ，再按照两 项，一项，两项，一项…的顺序循环分组： ，那么 2024 在第 （ ）组. A．771 B．769 C．772 D．775 二、多选题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A．已知 y关于 x的回归方程为 0.3 0.7y x    ，则样本点 (2, 2) 的残差为−0.9 B．数据 2，7，4，5，16，1，21，11 的第 75 百分位数为 11 C．已知随机变量 ，若 ( )P X k 最大，则 k的取值集合是{4} D． ， 2x ， 3x ， 4x 和 1y ， 2y ， 3y ， 4y 的方差分别为 2 1S 和 2 2S ，若 10i ix y  且 ，（i =1， 2，3，4），则 2 21 2S S 5 2 2 0ax bx   4 5πf       ~ (8,0.5)X B        1 2 3 4 5 6, , , , , ,a a a a a a  i ix y1x 大庆实验中学 试卷第 2页，共 3页 10. 已知函数  2( ) e e x x a x f x x    ，则（ ） A．当 0a  时，函数 ( )f x 的最小值为 1ae e  B．存在实数 a，使得函数 ( )f x 的图象是中心对称图形 C．若 1x   是函数 ( )f x 的极大值点，则实数 a的取值范围为 1( , ) e  D．若过原点可作三条直线与曲线 ( )y f x 相切，则实数 a的取值范围为 11. 圆的相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆 O 的半径 2，点 P是圆 O内的定点，且 1OP  ，弦 AC，BD均过点 P，则下列说法正确的是（ ） A．当∠��� = � 3时，∆���面积的最大值为 4 3 B．OB OD   的取值范围是  4 2 ， C．当 AC BD 时， AB CD   为定值 D．当 AC BD 时，四边形 ABCD面积的最大值为 8 三、填空题：本题共 3小题，每空 5分，共 15分。把答案填在答题卡的相应位置. 12． 已知各项均不为零的数列 na ，其前 n项和是 nS ，且 ．若 na 为递 增数列， 1a a ，则 a的取值范围是 ． 13． 平行六面体���� − �1�1�1�1为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为�的水（未 盛满容器），已知�� = �� = ��1 = 2，∠�1�� = ∠�1�D=60°，∠��D=90°．若将该密封容器 任意摆放均不能使水面呈三角形，则�的取值范围是 ． 14. 已知 0a b  ，从椭圆C： 2 2 2 2 1 x y a b   外一点  0 0,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为A 、 B，则直线 AB方程为 0 02 2 1 x x y y a b   称为点 P关于椭圆C的极线．如图，两个椭圆 1C 、 2C 的方程 分别为 2 2 2 2 1 0 x y a b a b    （ ）和 2 2 2 2 1 0 x y m n m n    （ ），离 心率分别为 1e 、 2e ， 2C 在 1C 内，椭圆 1C 上的任意一点M 关于 椭圆 2C 的极线为 Ml ．若O到 Ml 的距离为定值 1，则 取最大值时 2e 的值为 ． 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 13 分）已知 ABCV 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c， 2 2cos cos sin sinCC A B  ． (1)求证： 2A C ； (2)若 1b c  ，求∆���周长的取值范围． 16. （本小题满分 15 分）如图，在梯形 ABCD中， 分别 是 ,AD BC的中点，以 BE为折痕将 折起使 A到达 1A的位置，得到四棱锥 G，H分别是是�1�和 DE的中点. (1)证明：�1� / / 平面 EFG； (2)当�1� = 6时，求直线�1�和平面��1�夹角的余弦值.  20,e  12 1, 2,n n nS a a n   2 2 1 2e e 1 2, / / , , 2 AB BC CD AD AD BC E F    1 ,A BCDE lM A1 ABE 大庆实验中学 试卷第 3页，共 3页 17.（本小题满分 15 分） 已知函数   2e 6ex xf x ax    ． (1)讨论  f x 的单调性； (2)设  f x 的两个极值点为 1 2,x x ．当 且 时，求 的取值范围。 18.（本小题满分 17 分）双曲线第二定义：设动点M 到定点 的距离与点M 到定 直线 2 : al x c  的距离的比是 c a ，当 1 c a  时，该动点M 的轨迹为双曲线.定点 F为双曲线焦点，定 直线 2 : al x c  为双曲线准线，比值 ce a  为双曲线离心率.已知动点M 满足到定点�（2,0）的距离 与到定直线�: � = 1 2 的距离的比是 2，点 A坐标为（3,2）. （1）求点 M的轨迹方程 E及 2 �� + �� 的最小值； （2）直线 l与轨迹 E的右支交于两点 P,Q. （i）若直线 l过点 F且与两渐近线分别交于点M ， N ,求 PQ MN 的取值范围； （ii）若 P，Q两点关于直线�'对称，并且�'过点  0,4K .求 的取值范围. 19.（本小题满分 17 分）对 nN，通过抛掷一枚均匀硬币 n次后生成有序数对  ,n na b ，具体生 成规则如下：①规定    0 0, 0,0a b  ；②当第  1n n  次抛掷硬币时：如果出现硬币正面朝上， 若 1 1n na b  ，则    1 1, 1, 1n n n na b a b    ，否则    1 1, 1,n n n na b a b   ；如果出现硬币反面朝上， 若 1 1n nb a  ，则    1 1, 1, 1n n n na b a b    ，否则    1 1, , 1n n n na b a b   .抛掷 n次硬币后，记 n na b 的概率为 nP . (1)写出  2 2,a b 的所有可能结果，并求 1 2,P P ； (2)证明：数列  1 1, 3n P n n       N 是等比数列，并求 nP； (3)设�� = ��� + �−��，求��的最大值. PKQ    1 2f x f x1a  2 1 ln 2x x  ( ,0) ( 0)F c c 