专练02 （最新好题速递）导数解答题必刷题型（8大题型50题）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专练02 导数解答题必刷题型（8大题型50题） 题型1 含参数的单调性问题 一、解答题 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对进行分类讨论，结合导函数的正负与函数单调性的关系即可得解. 【详解】因为，， 所以， 若，则恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间， 若，令，得，易得时，，时，， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为， 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导得导数的两个零点为或，对分类讨论即可求解. 【详解】的定义域是， 若，，函数在上单调递增， 当时，， 令，解得或， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 3．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可； （2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性， 【详解】（1）由,得． 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得． （2）, ①当时,,为上的增函数, ②当时,令,得,则． ,；,． 所以在上单调递减,在上单调递增, 综上,当时, 为上的增函数, 当,在上单调递减,在上单调递增, 4．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的极值. (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2)答案见解析 【分析】（1）求出定义域，求导，令得或，并得到函数单调性，求出极值； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，求出函数单调区间. 【详解】（1）当时，的定义域为， 故， 令得或， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故极大值为，极小值为； （2）的定义域为， ， 当时，令得，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，此时恒成立，故单调递增区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 5．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数，,讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导后，将导函数中含参数的二次函数的分子取为，结合其图象，对其对应方程的判别式分别讨论，得到不同区间上导函数的符号，即得函数单调性. 【详解】由题得，其中， 令，，其图象对称轴为直线， ． ①若，则，此时，则，所以在上单调递增； ②若，则， 此时在R上有两个根，，且， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 6．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求a的值； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，由，得到方程，求出，并进行检验； （2）求定义域，求导，分，与三种情况，求出函数的单调性. 【详解】（1）， 由题意，， 解得， 当时，，定义域为， ，令，解得， 令，解得，故为的极值点， 满足题意，故 （2）定义域为， ，， ①时，， 令，解得或，令，解得， 函数在，内单调递增，在内单调递减； ②当时，，故函数在上单调递增； ③当时，，令，解得或，令，解得， 故在，内单调递增，在内单调递减． 综上：当时，在，内单调递增，在内单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，内单调递增，在内单调递减． 7．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出导数，再根据得出方程的根，根据的范围讨论即可求出函数单调区间； 【详解】（1）由，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即； （2）由，定义域为， 当时，令得或， （i）时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； (ii)时，，所以在上单调递减； （iii）当时，即，， 令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，在上单调递减； 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，的递增区间为，递减区间为. 题型2 极值问题 一、解答题 1．（24-25高二下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 (1)若与在公共点处的切线相同，求； (2)在（1）间的条件下，求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值，无极小值． 【分析】（1）根据已知点在函数上可求出的值，再通过导数求出切线斜率，结合另一个函数的条件列出方程组求解参数； （2）先得出函数的表达式，再求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出极值。 【详解】（1）由题知：点在函数上， 即 又由于 即有得到解得 即 （2）由（1）问知：，则 令，得，得 故在上单调递增，在上单调递减 即存在极大值，无极小值． 2．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处有极大值，求的值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）求导函数，根据导数的几何意义得到切线的斜率，再由直线的点斜式得到切线方程； （2）求导函数，根据函数在处有极大值，则，解得或，然后代入原函数验证即可. 【详解】（1）由题意，函数定义域为, 当时，函数，则导函数为， 故函数在点处的斜率， 则由直线的点斜式得， 即. （2）函数的导函数为， 因为函数在处有极大值， 所以，即，解得或. 当时，则， 令，则或，即函数在单调递增； 令，则，即函数在单调递减； 所以函数在处取极小值，不成立. 当时，则， 令，则或，即函数在单调递增； 令，则，即函数在单调递减； 所以函数在处取极大值. 综上所述，. 3．（2025·安徽黄山·一模）已知函数． (1)当时，求函数在上的最值； (2)若有极值且极小值大于0，求a的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为0. (2) 【分析】（1）求导，判断单调性，根据单调性求出最值； （2）求出导数，分和讨论，判断单调性求出极小值，可得，构造函数，，利用导数求出答案. 【详解】（1）当时，，则，， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， ，， 又，所以，， 所以的最大值为，最小值为0. （2），， 当时，恒成立，即在上单调递增，无极值； 当时，由，得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，有极小值，极小值为， 由，得， 令，， 则，所以函数在上单调递减，又， 由，得，则. 综上，的取值范围为. 4．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）已知函数，其中 (1)设，讨论的单调性； (2)若是的极大值点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求出的表达式，再对其求导，根据导数的正负来讨论函数的单调性. （2）先求出的导数，根据是的极大值点这一条件，结合导数的性质来确定的取值范围. 【详解】（1），则，其定义域为. 对求导，可得：. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，解得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减.   综上所得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）对求导，可得： . 因为是的极大值点，所以，且在两侧导数符号发生变化. 令，则. 当时，，在上单调递增. 那么当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增. 所以是的极小值点，不符合题意. 当时，由得. 若，即时，在上单调递增，在上单调递减，，即，在上单调递减，无极值点，不符合题意. 若，即时，在上单调递增，在上单调递减. 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增. 所以是的极小值点，不符合题意. 若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. 所以是的极大值点，符合题意. 综上，的取值范围是. 5．（2025·辽宁·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极大值，且极大值大于，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用的导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，求出其极大值，可得出，令，利用导数分析函数的单调性，结合其单调性可求出的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 当时，，则，，故． 曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，所以. ①当时，，则在单调递减，无极值； ②当时，由可得，由可得. 函数的增区间为，减区间为 所以取极大值， 所以， 设，则，则在单调递增， 又，由可得， 故实数的取值范围是. 6．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）已知函数，. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若函数有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题可知恒成立，参变分离后，求函数最值即可； （2）根据条件可知有两个不同的正跟，列出方程组解出即可. 【详解】（1）由题知，在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 经检验，符合题意. 故. （2）由题设且， 若，则在上恒成立， 即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意； 故，又有两个极值点， 则是的两个不同正根， 所以，可得， 即实数的取值范围是. 题型3 最值问题 一、解答题 1．（24-25高二下·甘肃平凉·阶段练习）已知函数（a∈R）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为，最小值为1 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论求出其单调性. （2）把代入，利用（1）的结论求出函数在指定区间上的最值. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由（1）知：函数在上单调递减，上单调递增， 因此当时，取得最小值为； 而，则当时，取得最大值， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为1. 2．（23-24高二下·新疆·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为2 【分析】（1）求导，根据的图象在点处的切线与直线垂直，得到方程组，求出； （2）求导，得到函数单调性，从而得到最值. 【详解】（1）由，得. 因为的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，即，解得； （2）由（1）可知， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 因为， 所以， 所以在上的最大值为，最小值为2. 3．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，且曲线在点处与轴相切. (1)求函数的解析式; (2)求函数在区间上的最大值和最小值.（参考数据:） 【答案】(1). (2)最大值为，最小值为0. 【分析】（1）由函数解析式求得其导数，由题意可知，求得的值，从而得到函数解析式； （2）由（1）知道函数导数，令，求得导数，由得到导数，即函数在单调，从而求得导数和对应区间，然后得到函数单调区间，从而求得函数的最大值和最小值. 【详解】（1）因为，， 由题意知，解得，. （2）由（1）知，设， 则，当时，， 函数在上单调递增，， 则当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，，，则， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 4．（24-25高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求在上的最大值． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2) 【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解； （2）分，和三种情况讨论得出函数在上的单调性，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）， 当时，，所以函数在上单调递减， 此时，； 当时，令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，， 所以函数在上单调递增，此时，， 综上所述，. 5．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1)极大值，极小值 (2) 【分析】（1）先把代入函数，求出表达式．接着对求导得，令分别大于和小于，解不等式得到函数的单调区间．最后根据单调区间确定极大值和极小值． （2）三种解法核心都是先求出及其导数． 解法一：按取值范围分类讨论，根据正负判断单调性，结合最小值为求． 解法二：同样分和讨论，时发现与最小值为矛盾，从而确定值． 解法三：根据最小值为列出和的不等式组，求出范围，再结合单调性确定值． 【详解】（1）当时，，． 令， 同理：或 所以：在单调递增，在单调递减，在单调递增． 当时，取得极大值； 当时，取得极小值． （2）解法一：由题：，． ①当时，，在单调递增，． ②当时，，在单调递减，． ③当时，在单调递增，在单调递减． 此时：不合题意． ④当时，，在单调递增，． 综上：的值为． 解法二：由题：，． ①当时，，在单调递增，． ②当时，由于，在上的最小值小于，与题目矛盾，故不成立； 综上：的值为． 解法三：由题：，． 由题：的最小值为，则必有：． 当时，，在单调递增， ． 故：的值为． 6．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】(1)利用分类讨论思想，通过导数的正负来判断单调性； (2)利用分类讨论思想，来判断极值是否在区间内，从而来求最小值，即可求解. 【详解】（1）由，因为的定义域为， 所以当时，在上单调递增； 当时，由 得在上单调递增，在上单调递减； 当时，由 得在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，在上单调递增，在上单调递减； 又当时，，可知在上单调递增， 所以， 当时，，可知在上单调递减，上单调递增， 所以(舍去). 故. 题型4 恒成立和有解问题 一、解答题 1．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数. (1)若在处取得极值，求函数的单调区间和极值； (2)若≥恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；极小值，无极大值 (2) 【分析】（1）利用求导判断函数单调性，即可求得极值； （2）由恒成立，转化为恒成立，继而结合求导得出的最小值即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）因为恒成立，得，， 令，，则， 当，，当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则， 所以的取值范围为. 2．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由在上恒成立，得到，即可求解； （2）参变分离得到，构造函数，求导确定最大值即可； 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由，可得． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以，故的取值范围为． 3．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】(1)最大值为 ，最小值为 (2) 【分析】（1）先利用导数可得函数 在 上单调递增，在上单调递减，从而可求函数 在 上的最大值和最小值； （2）不等式 可化为 ，记 ，则原不等式有解可转化为 ，再利用导数求函数的最大值，即可求实数 的取值范围. 【详解】（1）因为函数 ， 所以 ， 令 ，则 或 (舍去). 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在上单调递减， 所以当 时， 取得最大值，最大值为 ， 又 ， ， 所以 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 ， 故 在 上的最大值为 ，最小值为 . （2）易知 的定义域为 ， 故不等式 可化为 . 记 ，则原不等式有解可转化为 . 易得 ，时，，时，， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，所以 ， 解得 . 所以实数 的取值范围为 . 4．（2024·浙江金华·三模）已知函数在（为自然对数的底数）处取得极值． (1)求实数a的值； (2)若不等式恒成立，求k的范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求导，利用，求出答案； （2）参变分离得到对任意恒成立，令，求导得到函数的单调性和最值，得到. 【详解】（1）∵， ∴， ∵函数在点处取得极值， ∴， ∴，经检验，符合题意， ∴； （2）∵， ∴恒成立， 即对任意恒成立． 令，则． 设，易得是增函数， 而， ∴时，，即， 时，，即， ∴在上单调递增，上单调递减， ∴， ∴． 5．（24-25高二下·河南·期中）设. (1)求的最小值； (2)对于，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求出函数的定义域，并利用导数研究其在定义域上的单调性，找到最小值点即可求得最小值； （2）先化简设新函数，并用导数研究其单调性，在上单调递增，在上单调递减，分离参数即可求得参数的范围. 【详解】（1）的定义域为，， 令，可得，令，可得， 故在单调递减，单调递增. 即在处取得最小值. （2）由题可知，对恒成立. 设， 令在单调递减， 故，故在单调递减，而， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故.则.又因为 因此的取值范围为. 6．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数. (1)证明：在定义域上不存在极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明； （2）由题可得在上恒成立，易得时满足，当时，在上恒成立，构造函数，求出导数，判断的单调性，得出，即可求出的取值范围． 【详解】（1）证明：函数的定义域为，又， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以恒成立， 所以在上单调递增，故不存在极值. （2）因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 当时恒成立， 当时在上恒成立， 令，， 则， 令，则， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，即， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 所以， 综上可知，实数的取值范围是. 7．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）在上的最大值小于等于在的最大值，在（1）基础上得到的最大值，并求出，从而得到不等式，得到，令，，求导，得到其单调性，并结合特殊点函数值，得到答案. 【详解】（1）由，定义域为， 则， 当时，， 故函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令得，令得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，若对于任意，总存在，使得， 即在上的最大值小于等于在的最大值， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减； 故. 由，，则， 由于，故在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 所以，即. 令，， 则， 故在上单调递减， 又， 所以当时，， 故m的取值范围为. 题型5 零点问题 一、解答题 1．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调减区间； (2)设，求证：函数在上有唯一零点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数小于0的不等式即得. （2）求出并变形，构造函数，利用导数探讨的零点个数即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由，即，解得， 所以函数的单调减区间是. （2）依题意，，令， 函数在上有唯一零点，当且仅当函数在上有唯一零点， 求导得，显然函数在上单调递增，而， 则存在，使得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 显然，因此函数在上存在唯一零点， 从而函数在上存在唯一零点， 所以函数在上有唯一零点. 2．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数． (1)讨论在区间上单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）先求导函数，结合指数函数的单调性分区间讨论即可； （2）分离参数，构造新函数利用导数研究其单调性与最值结合隐零点计算即可. 【详解】（1）由， 在时，， 若，即在区间上单调递增； 若，即在区间上单调递减； 若，令，令， 可知在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：时，在区间上单调递增； 时，在区间上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减. （2）根据题意可知恒成立， 设， 则， 令， 则定义域上单调递增，易知， 即，使得， 即时，，此时单调递减， 时，，此时单调递增， 则， 所以，即 3．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）求导函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解最值即可证明. （2）由题意只有一个根，设，利用导数研究函数单调性，数形结合求解即可. 【详解】（1）当时，， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. （2）函数的定义域为， 由得， 因为函数有且只有一个零点，可设， 则函数与的图象有且只有一个交点， ， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 经分析可得函数的大致图象如图所示： 又函数与的图象有且只有一个交点，所以或，即或， 综上所述：实数a的取值范围是或. 4．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）求导得到表达式，把代入，能得到含的等式，算出.再代入到算出另一个未知量b. （2）根据第（1）问结果得到和. 令，对处理，根据结果判断在不同范围的增减情况. 依据正负，判断在不同范围的增减，得出最小是. 算出小于，再找两点使式子值大于，确定有两个特殊点. 设一个特殊点为，发现也是，所以和为. 【详解】（1）求导得到，根据函数在点处的切线方程为，得到. 把代入得， 因为，所以，即. ，算出. （2）由第（1）问知，. 令，求导得. 当，，在递减； 当，，在递增. ，，所以存在唯一使，即. 当，，在递减； 当，，在递增，所以. ，又，， 根据零点存在定理，在和各有一个零点，共两个零点. 设是零点，， 经计算， 所以也是零点，零点和为. 5．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)当时，求证； (2)讨论的单调性； (3)讨论零点个数. 【答案】(1)证明见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和最值，即可得结果； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数判断函数单调性； （3）根据（2）的单调区间，对a进行分类讨论，结合单调性和极值，即可得零点个数. 【详解】（1）若，则，， 令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以. （2）因为， 若，则，可知在上单调递减； 若，令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在上单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减. （3）若，可知在上单调递减， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知有且仅有1个零点； 若，可知在内单调递增，在内单调递减， 当趋近于，时，趋近于 则， 可知在内单调递增，且， 当时，则，即，可知无零点； 当时，则，可知有且仅有1个零点； 当时，则，可知有且仅有2个零点； 综上所述：当时，无零点； 当或时，有且仅有1个零点； 当时，有且仅有2个零点. 6．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)若有解，求的取值范围． (3)，讨论零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）先判断函数的定义域，在求出的导数，进而对参数进行分类讨论求解单调性即可. （2）利用分离参数法并构造新函数转化为，进而求解参数范围即可. （3）对原函数进行同构，转化为交点问题，进而讨论交点个数，最后讨论零点个数即可. 【详解】（1）由题意得，的定义域为， 因为，所以， 则， 当时，，令，，令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减， 令，则，解得或， 当时，解得，令，， 令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，解得，得到， 故此时在上单调递增， 当时，解得，令，， 令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）若有解，则有解， 故有解，即有解，则有解即可， 令，则即可，而， 令，，令，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故，则. （3）因为， 所以， 令，则，故， 令，则，而， 故在上单调递增，故，即， 若讨论的零点个数， 我们讨论和的交点个数即可， 而，令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 得到的极大值为， 当时，，当时，， 则当或时，和有个交点， 当时，和有个交点， 当时，和没有交点， 综上，则当或时，有个零点， 当时，有个零点， 当时，没有零点. 7．（24-25高二下·北京朝阳·阶段练习）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减区间为单调递增区间为 (3) 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【详解】（1）当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： （2）当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， （3）， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴在单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增，∴，∴ ，，∴，∴ ∴，∴在上存在零点. 综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题. 题型6 极值点偏移问题 一、解答题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）函数有两个零点转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数研究函数单调性与最值，数形结合即可求的取值范围； （2）由（1）知，不妨设，要证，即证，只需证，结合单调递增只需证，再根据单调性可得答案. 【详解】（1），则， 令，得， 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 因此．当时，，当时，， 作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点， 则，故的取值范围为． （2）因为是函数的两个极值点，所以． 由（1）知，不妨设， 要证，即证， 只需证，显然． 由（1）知当时，单调递增，所以只需证， 而，所以即证． 设， 则， 当时，单调递减，所以当时，， 所以当时，，原不等式得证． 【点睛】方法点睛：解答函数零点个数问题常见思路：1，转化为方程的根的个数求解；2，转化为函数图象的交点个数求解. 2．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3)证明见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，进而由导函数的几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间； （3）先令，求导得到其单调性，求出，进而构造差函数，证明出极值点偏移问题. 【详解】（1）当时，，， ，故， 故函数在处的切线方程为，即； （2）定义域为， ， 令，解得，令，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由题意得，解得， 故，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可知函数在处取得极值，故符合题意， 因为，， 令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且当时，恒成立，，当时，， 画出的图象如下： 故， 令，， ， 因为，所以，， 故在上单调递减， 又，故在上恒成立， 即，， 因为，所以，所以， 其中，故， 其中，，在上单调递增， 所以，即. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用参数作为媒介，换元后构造新函数，将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得结论成立. 【详解】因为，不妨设， 因为，， 所以，， 所以， 欲证，即证. 因为，所以即证， 所以即证，即证． 令，则，等价于， 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 故， 即，所以． 方法二：直接换元构造新函数  ，即，设，，则， 则，，可得，， 由于 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 故，即， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 4．（23-24高二上·陕西汉中·期中）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后解不等式、即可求得极值. （2）运用导数研究的单调性，进而可求得其最小值. （3）由已知可得，构造函数，根据其单调性可得，构造函数并研究其单调性，构造函数并研究其单调性，当时，依次结合函数、的单调性即可证得结果. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为，， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. （2）由题意知函数的定义域为. ， 则，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. （3）不妨设，则由（2）知，. 设，由，得， 即， 因为函数在R上单调递增，所以成立. 构造函数，则， ，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即. 【点睛】极值点偏移问题的方法指导： (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 5．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增． (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，由导数符号即可求解； （2）（i）由题意知，问题转换成有两根，通过取对数，同构，构造函数，通过其单调性即可求解；（ii）构造函数，通过求导，确定单调性，确定最值，即可求解； 【详解】（1）由题意知，， 令，解得， 令，解得， 故函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知，在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得．记，易知在上是增函数， 故可等价于，即． 记，则，得在上单调递减，在上单调递增， 有最小值，故，即． （ii）根据题意得，不妨设． 构造函数， 则． 当时，，则，得在上单调递减， 有，即． 将代入不等式，得，又， 故， 又在上单调递增， 故，即． 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 6．（2024·湖北武汉·三模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求出，分、两种情况讨论，分析导出的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）（i）将方程变形为，令，令，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （ii）将所证不等式等价变形为，由变形可得出，推导出，即证．令，只需证，构造函数，其中，利用导数法即可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为， 所以，其中. ①当时，，所以函数的减区间为，无增区间； ②当时，由得，由可得. 所以函数的增区间为，减区间为． 综上：当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为． （2）解：（i）方程可化为，即． 令，因为函数在上单调递增， 易知函数的值域为， 结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根． 又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为． 令，其中，则． 由可得或，由可得， 所以，函数在和上单调递减，在上单调递增． 所以，函数的极小值为， 且当时，；当时，则. 作出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当时，函数与的图象有两个交点， 所以，实数的取值范围是. （ii）要证，只需证，即证． 因为，所以只需证． 由（ⅰ）知，不妨设． 因为，所以，即，作差可得． 所以只需证，即只需证． 令，只需证． 令，其中，则， 所以在上单调递增，故，即在上恒成立． 所以原不等式得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 题型7 不等式证明问题 一、解答题 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数在处取得极值. (1)求，； (2)证明：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据，得到方程组，求出，检验后得到答案； （2）作差得到，构造，，求导，得到函数单调性，求出，得到. 【详解】（1）， 故且， 解得， 故，， 令得，令得， 所以在处取得极值，满足要求； （2）时，， 令，， 则，故在上单调递减， 则， 所以，，证毕. 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，证明：对一切，都有成立. 【答案】证明见解析 【分析】利用导数的性质判断函数的单调性，对已知不等式进行变形，构造两个新函数，利用导数的性质求最值进行运算证明即可. 【详解】当时，不等式等价于， 在在，令，， 由， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 令， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即， 又因为当时，函数到到最小值，当时，函数到到最大值， 所以. 3．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若两个不相等的实数，满足：，求证：． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值 (3)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及切点坐标列方程组求解即可； （2）求导函数，解不等式求得单调区间，并根据极值的定义判断求解即可； （3）由得，设，利用导数研究其单调性，要证，即证，然后构造，利用导数研究其单调性，即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 切线方程为即， 由题意，解得； （2）由（1）可知，， 令得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，所以有极大值为，无极小值； （3）因为，所以， 设，则，令得， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 不妨取，欲证，即证， 又因为在上单调递减，故只需证， 又因为，故也即证， 构造函数， 则等价于证明对恒成立． ， 因为，所以，所以， 则在上单调递增， 所以，即已证明对恒成立， 故原不等式成立． 4．（24-25高二下·山东济南·阶段练习）对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明： （ⅰ）不妨设，则等价于， 即证：，令，即证：对一切恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，从而有证毕． (1)请参照以上方法证明：； (2)已知函数. （ⅰ）若有两个极值点，求a的取值范围； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）不妨设，将所证不等式转化为，令，， 构造，利用导数研究其单调性，即可证明； （2）（ⅰ）由题意知有两个相异正根，转化为有两个相异正根，根据二次方程根的分布，列不等式组求解即可； （ⅱ）将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立． 【详解】（1）不妨设，则等价于， 即，令，，即证， 令，则，所以函数在上单调递减， 所以，所以，即成立； （2）（ⅰ）由得，， 因为函数有两个极值点，所以有两个相异正根， 即有两个相异正根， 则，解得，即a的取值范围为； （ⅱ）由（ⅰ）知：，满足，所以， 不妨设，则， 所以， 则证，即证， 即证，也即证成立， 设函数，则， 所以在单调递减，又， 所以当时，， 所以，即，得证． 5．（24-25高二下·北京·阶段练习）设函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间； (2)在（1）的条件下，证明曲线在曲线的上方； (3)已知导函数在区间上存在零点,证明：当时，． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，结合条件，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成求证，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得恒成立，结合条件，即可证明结果； （3）根据导函数在上存在零点，则在上有解，则有，即，得到函数的最小值，构造函数，，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证． 【详解】（1）函数的定义域是，， 又，则，令，解得：，令，解得：， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）因为， 要证曲线在曲线的上方，即证恒成立， 即证，令，则， 当时，，当，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，所以恒成立，又恒成立，， 所以恒成立，即曲线在曲线的上方. （3）因为， 又因为导函数在上存在零点，所以在上有解， 则有，即， 又当时，，则在区间上单调递减， 当时，，则在区间上单调递增， 所以， 设，，则， 令，，则， 所以在区间上单调递减，又，则在区间恒成立， 所以在区间上单调递减， 又，所以， 则根据不等式的传递性可得，当时， 6．（2025·四川达州·二模）函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分情况讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）分情况讨论，分离参数，可把问题转化为，恒成立的问题，设，，利用导数求函数的最小值即可. （3）问题转化为，设，，只需证的最小值大于0即可. 【详解】（1）因为，所以. 若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，. 当时，上式恒成立，即； 当时，. 设，， 则. 设，，则在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以在上恒成立. 所以由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以. 综上可知：的取值范围为：. （3）时，要证，即. 设，则，. 设，，则在上恒成立. 所以在上单调递增. 又，，则方程只有一解，设为，且，. 当时，当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 因为，所以，，，所以. 即. 所以在上恒成立. 从而原命题成立. 题型8 导数新定义问题 一、解答题 1．（24-25高二上·山西·阶段练习）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题设新定义即可证结论； （2）令，并对其求导，讨论参数的范围，结合函数区间最值确定参数范围. 【详解】（1）因为，且在上连续，在内可导， 所以，由罗尔中值定理得，. （2）设，则. 当，即时，， 当，得，则在上单调递减， 当，得，则在上单调递增， 从而，故符合题意. 当时，即时，令，得或. 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减. 因为在上的最小值为，且，则，得； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意； 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减， 从而，故，不合题意； 综上，a的取值范围为. 2．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：； (2)设，证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先设，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题； （2）首先由泰勒公式表示出和，再求得和的解析式，即可证明； 【详解】（1）设，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此，即. （2）由泰勒公式知，① 于是，② 由①②得， 由①②得， 所以 ， 即. 3．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.    关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： (1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； (2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)图象是凸的，证明见解析； (2)的凹的区间为，的凸的区间为. (3). 【分析】（1）求以及，判断的正负可证明； （2）求以及的解，即可求出函数的凹凸区间； （3）将恒成立变形为恒成立，分别求两个函数的单调区间，可判断两个函数的最值，从而求出的范围. 【详解】（1）的图象是凸的. 因为，， 又，所以，所以图象是凸的. （2）因为函数，所以的定义域为， ，， 令，则，令，则， 故的凹的区间为，的凸的区间为. （3）由题意可知，定义域为， 且等价于， 令，，，， 则，， ，当时，，当时，， 时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 则，， 若恒成立，则，解得：. 4．（24-25高二下·重庆·期中）在航空领域，飞机飞行轨迹的弯曲程度对飞行安全和效率至关重要.对于一条光滑曲线，我们定义曲线段的平均曲率为，曲线在点C处的曲率为（若极限存在），其中，分别表示在点C处的一阶、二阶导数值.已知函数. (1)求函数在点处的曲率； (2)求函数的曲率K的最大值； (3)设函数，，若存在使得的曲率为0，求证：. 【答案】(1)； (2)2； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用曲率的定义，求出函数在点处的曲率. （2）利用曲率的定义求出曲率函数，换元并利用单调性求出最大值. （3）由曲率为0得，构造函数，利用导数探讨有两个解，再按和分类证明不等式. 【详解】（1）函数，求导得，，则，， 所以函数在点处的曲率. （2）由（1）知，，令，则， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 当，即时，函数的曲率K取得最大值2. （3）函数，求导得，， 由曲率为0，得，则，即，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值， 又当时，恒成立，而，因此有两个解， 当时，，则，设，， 于是，，，则，， 不等式， 令，求导得， 因此函数在上单调递增，，则； 当时，， 不等式， ，同理，函数在上单调递增， 因此，则， 所以. 5．（24-25高二下·湖北·阶段练习）意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） (1)证明：①倍元关系：；②平方关系： (2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意将双曲余弦函数，双曲正弦函数的解析式代入计算即可证明； （2）分和讨论，结合导数判断并取舍即可； （3）利用给定定义目标式子左边合理放缩，结合裂项相消法求和即可证明. 【详解】（1）证明：①； ②. （2）构造函数     ①当时，因为，当且仅当即时等号成立， 所以，故单调递增， 此时，故对任意恒成立，符合题意；   ②当时，令， 则恒成立，故单调递增， 由与， 可知存在唯一，使得， 当时，，则在内单调递减， 故对任意，即，不合题意，舍去； 综上所述，实数a的取值范围为. （3）由（2）知：当时，，令，则， 令单调递增， 所以，即恒成立， 所以，则， 令单调递增， 所以，即恒成立，令， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查数列与导数新定义结合，解题的关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专练02 导数解答题必刷题型（8大题型50题） 题型1 含参数的单调性问题 一、解答题 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知函数，讨论的单调性. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 3．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)讨论函数的单调性. 4．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的极值. (2)求函数的单调区间. 5．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数，,讨论的单调性. 6．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求a的值； (2)当时，讨论的单调性． 7．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)求的单调区间. 题型2 极值问题 一、解答题 1．（24-25高二下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 (1)若与在公共点处的切线相同，求； (2)在（1）间的条件下，求函数的极值. 2．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处有极大值，求的值. 3．（2025·安徽黄山·一模）已知函数． (1)当时，求函数在上的最值； (2)若有极值且极小值大于0，求a的取值范围． 4．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）已知函数，其中 (1)设，讨论的单调性； (2)若是的极大值点，求的取值范围. 5．（2025·辽宁·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极大值，且极大值大于，求实数的取值范围． 6．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）已知函数，. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若函数有两个极值点，求的取值范围. 题型3 最值问题 一、解答题 1．（24-25高二下·甘肃平凉·阶段练习）已知函数（a∈R）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在区间上的最大值与最小值． 2．（23-24高二下·新疆·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求在上的最值. 3．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，且曲线在点处与轴相切. (1)求函数的解析式; (2)求函数在区间上的最大值和最小值.（参考数据:） 4．（24-25高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求在上的最大值． 5．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值. 6．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且在上的最小值为，求的值． 题型4 恒成立和有解问题 一、解答题 1．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数. (1)若在处取得极值，求函数的单调区间和极值； (2)若≥恒成立，求实数的取值范围. 2．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 3．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 4．（2024·浙江金华·三模）已知函数在（为自然对数的底数）处取得极值． (1)求实数a的值； (2)若不等式恒成立，求k的范围． 5．（24-25高二下·河南·期中）设. (1)求的最小值； (2)对于，有恒成立，求实数的取值范围. 6．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数. (1)证明：在定义域上不存在极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 7．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 题型5 零点问题 一、解答题 1．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调减区间； (2)设，求证：函数在上有唯一零点． 2．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数． (1)讨论在区间上单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 3．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 4．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 5．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)当时，求证； (2)讨论的单调性； (3)讨论零点个数. 6．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)若有解，求的取值范围． (3)，讨论零点个数. 7．（24-25高二下·北京朝阳·阶段练习）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 0 极小值 0 极小值 题型6 极值点偏移问题 一、解答题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 2．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：． 4．（23-24高二上·陕西汉中·期中）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 5．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 6．（2024·湖北武汉·三模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 题型7 不等式证明问题 一、解答题 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数在处取得极值. (1)求，； (2)证明：时，. 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，证明：对一切，都有成立. 3．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若两个不相等的实数，满足：，求证：． 4．（24-25高二下·山东济南·阶段练习）对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明： （ⅰ）不妨设，则等价于， 即证：，令，即证：对一切恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，从而有证毕． (1)请参照以上方法证明：； (2)已知函数. （ⅰ）若有两个极值点，求a的取值范围； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下证明：． 5．（24-25高二下·北京·阶段练习）设函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间； (2)在（1）的条件下，证明曲线在曲线的上方； (3)已知导函数在区间上存在零点,证明：当时，． 6．（2025·四川达州·二模）函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时，． 题型8 导数新定义问题 一、解答题 1．（24-25高二上·山西·阶段练习）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 2．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：； (2)设，证明：； 3．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.    关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： (1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； (2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 4．（24-25高二下·重庆·期中）在航空领域，飞机飞行轨迹的弯曲程度对飞行安全和效率至关重要.对于一条光滑曲线，我们定义曲线段的平均曲率为，曲线在点C处的曲率为（若极限存在），其中，分别表示在点C处的一阶、二阶导数值.已知函数. (1)求函数在点处的曲率； (2)求函数的曲率K的最大值； (3)设函数，，若存在使得的曲率为0，求证：. 5．（24-25高二下·湖北·阶段练习）意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） (1)证明：①倍元关系：；②平方关系： (2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； (3)证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$