专题03 四边形（考题猜想，21大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

专题03 四边形（考题猜想，21大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 多边形对角线的条数问题 · 题型二 多边形内角和问题（重点） · 题型三 多边形内角和与外角和综合 · 题型四 利用平行四边形的性质求解 · 题型五 证明四边形是平行四边形 · 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解（重点） · 题型七 根据矩形的性质求线段长（高频） · 题型八 矩形与折叠问题（难点） · 题型九 证明四边形是矩形 · 题型十 根据矩形的性质与判定求线段长（重点） · 题型十一 根据矩形的性质与判定求面积（易错） · 题型十二 利用菱形的性质求线段长（高频） · 题型十三 利用菱形的性质求面积（高频） · 题型十四 利用菱形的性质证明（难点） · 题型十五 证明四边形是菱形 · 题型十六 根据菱形的性质与判定求线段长（易错） · 题型十七 根据正方形的性质求线段长（高频） · 题型十八 中点四边形 · 题型十九 梯形 · 题型二十 与三角形中位线有关的求解问题（高频） · 题型二十一 向量的线性运算 题型一 多边形对角线的条数问题 1.（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了多边形的边数与对角线条数的关系，解题的关键是熟练掌握边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为． 根据边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为，求出多边形的边数即可． 【详解】解：∵多边形从一个顶点出发的对角线最多可画9条， ∴， ∴多边形的边数为：． 故答案为：12． 2．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有 条对角线． 【答案】20 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，从一个n边形的一个顶点出发有对角线，n边形公有条对角线，据此先求出多边形的边数，再求出其对角线条数即可． 【详解】解：设多边形为n边形， ∵从n边形的一个顶点出发共有5条对角线， ∴， ∴， ∴这个多边形的边数为8， ∴这个多边形共有条对角线， 故答案为：20． 题型二 多边形内角和问题 3.（20-21八年级下·上海普陀·期末）每个内角都是的多边形的边数是 ． 【答案】9 【分析】设多边形的边数为n，利用内角和公式列出方程求解即可． 【详解】解：每个内角都是的多边形， 设边数为n，则（n﹣2）·180°=140°·n， 解得：n=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查多边形的定义及其内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解答的关键． 4．（20-21八年级下·上海长宁·期末）小明测量了某凸多边形的内角和，登记时不慎被油墨玷污，仅能看清其记录的是一个三位数，其百位数是7，则这个凸多边形的边数为 ． 【答案】6 【分析】根据多边形的内角和是180的整数倍数求解即可． 【详解】解：根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是180的整数倍数， 是一个三位数，百位数是7的，又是180的整数倍数的只有720， 故多边形的内角和为720°， 这个凸多边形的边数为：+2=6， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 5.（22-23八年级下·上海静安·期中）如图：已知，．求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据四边形的内角和定理及同角的补角相等即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和定理及同角的补角相等，熟练掌握同角的补角相等是解题的关键． 题型三 多边形内角和与外角和综合 6.（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 边形 【答案】九 【分析】先求出每一个外角的度数，再用除即可求出边数． 【详解】解：多边形的每一个内角都等于， 多边形的每一个外角都等于， 边数． 故答案是：九． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键． 7．（21-22八年级下·上海·期末）如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放．，则＝ ． 【答案】/42度 【分析】利用多边形的外角和定理，即减去等边三角形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，再减去和的度数，最后得出答案． 【详解】等边三角形的内角的度数是，正方形的内角的度数为，正五边形的内角的度数是， 则． 故答案为： 【点睛】此题考查了多边形外角和定理，正多边形内角和公式，熟练掌握相关知识及正确运算是解题关键． 8.（24-25八年级下·上海闵行·期中）已知一个多边形的每一个外角都等于，求这个多边形的内角和． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，多边形的外角和为360度，据此可求出该多边形的边数，再根据n边形内角和为计算求解即可． 【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于， ∴这个多边形的边数为， ∴这个多边形的内角和为． 题型四 利用平行四边形的性质求解 9.（20-21八年级下·上海闵行·期末）已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点．AC＝24，BD＝38，AD＝28，那么△OBC的周长等于 ． 【答案】59 【分析】由平行四边形的性质可求得OB、OC，则可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BO＝BD＝19，CO＝AC＝12，BC＝AD＝28， ∴BO+CO+BC＝19+12+28＝59，即△OBC的周长为59， 故答案为：59． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 10．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）将四根木条钉成的长方形木框变为的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形面积求法等知识，得出是解题关键．根据矩形以及平行四边形的面积求法得出当时，则符合要求，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵将四根木条钉成的长方形木框变形为的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），    ∴当，则符合要求，此时， 即这个平行四边形的最小内角为：度． 故答案为：． 11.（20-21八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，，，，求的长． 【答案】4 【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD，AD∥BC，由勾股定理求出BD，即可求出OD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，AD∥BC， ∵∠DBC=90°， ∴∠ADB=90°， 在Rt△ADB中， ∵AB=10，AD=6， ∴BD==8， ∴OD=BD=4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用平行四边形的性质解决问题． 题型五 证明四边形是平行四边形 12.（23-24八年级下·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据作图可知，，即可得到答案. 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故选：B 13.（20-21八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知AD是的中线，M是AD的中点，过A点作，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．求证：四边形AEBD是平行四边形； 【答案】见解析 【分析】先判定△AEM≌△DCM，可得AE=CD，再根据AD是△ABC的中线，即可得到AE=CD=BD，依据AE//BD，即可得出四边形AEBD是平行四边形． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在△AEM和△DCM中 ， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形AEBD是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解 14.（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下面有四个命题： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形； ④一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定，对命题进行判断，即可． 【详解】①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故②正确； ③一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故③错误； ④一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不能判定四边形是平行四边形，故④错误；∴正确的命题为：①②． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定 15.（22-23八年级下·上海松江·期末）如图，在梯形中，，，，，，那么梯形的周长为 cm．    【答案】36 【分析】延长射线，过点作交于，推理证明四边形是平行四边形、，再计算长度，即可计算梯形的周长． 【详解】如下图，延长射线，过点作交于，   ，， ，， 四边形是平行四边形， ，（平行四边形对边相等）， 又， ， ， ， 梯形的周长 故答案为：36 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定和性质、图形周长计算，掌握平行线的性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键． 16．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，梯形中，，且，设，，那么关于的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，函数的关系式，等边对等角，在上截取，可知四边形是平行四边形，得，则，再结合，可得，进而可知，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， 由三角形内角和定理可得：， 即：， ∴， 故答案为：． 题型七 根据矩形的性质求线段长 17.（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，对角线交于点O，已知，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，求出是解题的关键． 由矩形的性质和等腰三角形的性质求出，在由直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）矩形的对角线，相交于，，，则 ． 【答案】 【分析】根据矩形对角线相等且互相平分得到，再证明是等边三角形，即可得到． 【详解】解：四边形是矩形，对角线，相交于，， ∴， ∴， ∴， ， ， 是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟知矩形对角线相等且互相平分是解题的关键． 19.（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，在矩形中，．对角线的垂直平分线分别交于点E、F，求线段的长． 【答案】 【分析】联结，由矩形的性质得，由线段的垂直平分线的性质得，根据勾股定理得，则，即可求得． 【详解】解：联结， ∵四边形是矩形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 题型八 矩形与折叠问题 20.（23-24八年级下·上海静安·期末）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G，连接（如图所示），当时，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质及翻折问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到．先由折叠的性质及矩形的性质可得，从而判断出选项A；由全等的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再由平行线的判定即可判断选项B；设，则，中，，列出方程求解，即可判断出选项C；由折叠性质可得，再由，可得，再判断选项D． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， 在和中， ， ， 故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， 故B正确，不符合题意； 设，则， 中，， ， 解得：， ， ， ， 故C正确，不符合题意； 矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， ， ， 故D不正确，符合题意， 故选：D 21.（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等积转换；由勾股定理得 ，由三角形的面积得，即可求解；掌握性质，能用三角形面积转化求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 22.（21-22八年级下·上海长宁·期末）如图矩形中，，，点是边上一点，联结，过点作，交于点，将沿直线翻折，点落在点处，若为等腰三角形，求的长． 【答案】或或或2 【分析】若为等腰三角形，则需分以下三种情况进行讨论，①若，根据BP=PD列出方程即可解出；②若，作出辅助线，证明△ABP≌△（AAS），根据等腰三角形的性质得出PF=DF=，再结合全等三角形的性质得到AP=PF，列出方程求解即可；③若，作出辅助线，在Rt△中运用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设AP=x，则PD=AD－AP=4－x， ∵PE⊥BP， ∴沿直线翻折后，PE⊥． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， ∴． ①若，则BP=PD， ∴， 解得； ②若，过点作F⊥AD交AD于点F，如下图所示， 则PF=DF= ， 又∵∠A=∠FP，∠APB=∠PF，， ∴△ABP≌△（AAS）， ∴AP=PF， 即， 解得； ③若，过点作F⊥AD交AD于点F，如图所示， ∵∠A=∠FP，∠APB=∠PF，， ∴△ABP≌△（AAS）， ∴PF=AP=x，， ∴FD=4－2x，， 在Rt△中，， 即， 解得或； 综上所述：的长为或或或2． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的问题，涉及到矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是通过数形结合思想，根据几何图形的性质列出方程，注意分类讨论思想的运用． 题型九 证明四边形是矩形 23.（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等． （1）由平行四边形的性质得，由平行四边形的判定方法得是平行四边形，由平行四边形的性质得； （2）由菱形的性质得，可得四边形是平行四边形，由矩形的判定方法即可判定． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，                         ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 24．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在平行四边形中，点、、、分别在边、、、上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，且时，请判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； （1）根据全等证得，，对边相等，即可证得四边形是平行四边形； （2）证得四边形中一个角为直角，即可证得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，， ，，且， ， ， 同理可得， 四边形是平行四边形； （2）四边形是矩形，证明如下， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， 平行四边形是矩形． 题型十 根据矩形的性质与判定求线段长 25.（21-22八年级下·上海·期末）在直角梯形ABCD中，，，，，那么∠C＝ ． 【答案】60°/60度 【分析】画出图形，过点D作DE⊥BC于E，由勾股定理求得CE的长，则可得CD=2DE，则可得∠CDE的度数，从而可得∠C的度数． 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于E，则∠DEB=∠DEC=90°． ∵∠A=90°，AD∥BC， ∴∠B=90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴． 在Rt△DEC中，CD=3，由勾股定理得：， ∴CD=2DE， ∴∠CDE=30°， ∴，      故答案为：60°． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理等知识，构造梯形的高是问题的关键． 26.（20-21八年级下·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，，，．点为边的中点，过点作交于点，求线段的长． 【答案】1 【分析】过点作，垂足为点，则四边形是矩形，通过计算可得又，则,从而由即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为点． ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，． 点是的中点，， ． ， ， ， ． ， ， ， ． 在中，可得， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，等腰三角的判定与性质，计算出是解题的关键． 题型十一 根据矩形的性质与判定求面积 27.（20-21八年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点A（3，5），B（5，3），C（﹣1，﹣3），D（﹣3，﹣1），试判定四边形ABCD的形状，并求出它的面积． 【答案】四边形ABCD是矩形；24 【分析】利用平面内两点间距离公式求出AB、CD、AD、BC、AC的长度即可判断出四边形ABCD的形状． 【详解】解：∵点A（3，5），B（5，3），C（-1，-3），D（-3，-1）， ∴AB2=（3-5）2+（5-3）2=8， CD2=（-1+3）2+（-3+1）2=8， AD2=（3+3）2+（5+1）2=72， BC2=（5+1）2+（3+3）2=72， AC2=（3+1）2+（5+3）2=80， ∴AB=CD，AD=BC，AC2=AB2+BC2， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC==24． 【点睛】本题考查了平面内两点间的公式，利用公式求出五条线段的长度是解决问题的关键． 28．（20-21八年级下·上海普陀·期末）已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足． (1)连接DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形； (2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，再证明BE∥DF，接着证明△ABE≌△CDF，从而得到BE＝DF，然后根据平行四边形的判定方法得到结论； （2）矩形面积ABCD的面积=AC∙DF，求出DF，AC即可求得矩形面积． 【详解】（1）证明：如图： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠EAB＝∠FCD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥DF，∠AEB＝∠DFC＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠DAF＝∠BCE， 在△DAF和△BCE中， ， ∴△DAF≌△BCE（AAS）， ∴AF＝CE， 连接BD交AC于点O， ∵AF＝FE＝2， ∴AC＝BD＝6， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝DO＝3， 在△ODF中，OD＝3，OF＝1，∠OFD＝90°， ∴DF＝＝＝2， ∴矩形ABCD的面积＝AC×DF＝6×2＝12． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 题型十二 利用菱形的性质求线段长 29.（22-23八年级下·上海徐汇·期末）我们把两条对角线长度之比为的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的面积为8，那么它的边长是 ． 【答案】 【分析】设，，由菱形的面积的面积的面积，得到，求出，得到，，由勾股定理得到，即可得到菱形的边长是． 【详解】解：如图，菱形中，， 设，， 菱形的面积的面积的面积， ， ， ， ，， ， 菱形的边长是． 故答案为：．    【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是由菱形的性质求出，的长． 30.（21-22八年级下·上海奉贤·期末）如图，直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B，点C在y轴上，点D为平面内一点，若四边形ACDB恰好构成一个菱形，请写出点D的坐标 ． 【答案】或 【分析】根据直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B，求得OA＝OB＝2，根据勾股定理得到AB＝2，根据菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B， ∴A（0，2），B（2，0）， ∴OA＝OB＝2， ∴AB＝2， ∵四边形ACDB是菱形， ∴AC＝CD＝BD＝AB＝2， 当点C在点A的上面时， 过D作DH⊥y轴于H， ∵ACBD， AC⊥x轴， ∴BD⊥x轴， ∴四边形OBDH是矩形， ∴， ∴CH＝2， ∴DH＝＝2， ∴D（2，2）， 当点C在点A的下面时， 同理可得，D（2，﹣2）， 故答案为：（2，2）或（2，﹣2）． 【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键． 题型十三 利用菱形的性质求面积 31.（21-22八年级下·上海徐汇·期末）如图，菱形ABCD中，如果，，那么菱形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出BO=1，利用勾股定理得出OA，进而利用菱形的面积公式解答． 【详解】解：连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD=2BO，BD⊥AC， ∵BD=2， ∴BO=1， ∵AB=3， ∴ ∴， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，二次根式的化简，关键是根据菱形的性质得出BO=2解答，掌握“菱形的面积等于两条对角线之积的一半”是解本题的关键． 32．（22-23八年级下·上海普陀·期末）如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合）且交于，交于，那么阴影部分的面积是 ．    【答案】 【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于的面积，因为的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积． 【详解】解：设与相交于点．    四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． 则，，， ∴， ∴， 阴影部分的面积等于的面积． 的面积等于菱形的面积的一半， 菱形的面积， 图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键． 题型十四 利用菱形的性质证明 33.（22-23八年级下·上海闵行·期末）已知四边形是菱形，和是菱形的对角线，那么下列说法一定正确的是(   ) A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质逐项判断即可． 【详解】A.菱形的对角线不一定相等，故本项错误，不符合题意； B.菱形的对角线互相垂直，故本项正确，符合题意； C.菱形的对角线不一定等于其边长，故本项错误，不符合题意； D.菱形中，，不一定与相等，故本项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解答本题的关键． 34.（多结论题）（20-21八年级下·上海浦东新·期末）如图，在菱形中，，，BF与DE相交于点G，CG与BD相交于点H．下列结论中：①；②；③﹒正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由菱形的性质及AB=BD，得△ABD是等边三角形，故可判断①正确；由△ABD是等边三角形及AE=DF，可得，故可得②正确；根据全等的性质可判断③正确． 【详解】∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD，AD∥BC ∵AB=BD ∴AB=BD=AD ∴△ABD是等边三角形 ∴∠A=∠ADB=60° ∵AD∥BC ∴∠DBC=∠ADB=60° 故①正确 在△AED和△DFB中 ∴ 故②正确 ∵ ∴∠ADE=∠DBF ∵∠BGE=∠GDB+∠DBF=∠GDB+∠ADE=∠ADB=60° 故③正确正确 所以正确的有：①②③ 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明△ABD是等边三角形是解答本题的关键． 题型十五 证明四边形是菱形 35.（20-21八年级下·上海·期末）下列四个命题中，真命题是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理即可判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题是真命题； B、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故原命题是假命题； C、以两条对角线为对称轴的四边形是菱形，以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形，故原命题是假命题； D、对角线相等的平行四边形才是矩形，故原命题是假命题； 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键． 36.（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，在梯形中，，过点作交边于点，连接交点，且是的中点． (1)求证：点是的中点； (2)连接，当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，即可得出； （2）先证明四边形是平行四边形，根据，结合平行线的性质可证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即点是的中点； （2）证明：如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 题型十六 根据菱形的性质与判定求线段长 37.（20-21八年级下·上海闵行·期末）如图，已知在梯形中，，，点是对角线的中点，联结 并延长，交边于点，联结． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结，如果垂直平分，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据AAS证明△ADE≌△CFE得出ED＝EF，进而可得四边形AFCD是平行四边形； （2）根据垂直平分线的性质证明，再根据菱形的判定定理即可求解． 【详解】（1）， ，. 点是对角线的中点， . 在和中， . . 又， 四边形是平行四边形， （2），， . 又垂直平分， . . ，垂直平分， . ，， . . . 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了直角梯形，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法，证明四边形AFCD是平行四边形是解题的关键． 38．（20-21八年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在菱形中，为边的中点，与对角线交于点，过作于点，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得AB=BC，AD∥BC，可得∠ADB=∠DBC=∠FCB，可证GB=GC，由等腰三角形的性质可得AB=BC=2BE； （2）由“AAS”可证△AFH≌△BFC，可得CF=FH，由“SAS”可证△BGF≌△BGE，可得FG=GE，可得结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵∠ADB=∠FCB， ∴∠FCB=∠DBC， ∴GB=GC， 又∵GE⊥BC， ∴BC=2BE， ∴AB=2BE； （2）如图，延长CF，DA交于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠ABD=∠DBC=∠ADB， ∴∠H=∠FCB， ∴∠H=∠ADB， ∴DG=HG， ∵点F是AB的中点， ∴AF=BF，AB=2BF， ∴BF=BE， 在△AFH和△BFC中， ， ∴△AFH≌△BFC（AAS）， ∴CF=FH， 在△BGF和△BGE中， ， ∴△BGF≌△BGE（SAS）， ∴FG=GE， ∴DG=HG=HF+FG=FC+GE． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型十七 根据正方形的性质求线段长 39.（20-21八年级下·上海嘉定·期末）如图，在正方形中，对角线与BD相交于点O，的平分线分别交、于点G、H，如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质求出△ABO的面积，过点G作GM⊥AB于点M，根据角平分线的性质得到OG=MG，利用△ABO的面积列出关于MG的方程，解之即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4， ∴AC⊥BD， ∴OA=OB==， ∴S△ABO==4， 过点G作GM⊥AB于点M， ∵AC⊥BD，GM⊥AB，AG平分∠BAC， ∴OG=MG， ∴S△ABO=S△AOG+S△ABG = = =4 解得：x=， 即OG=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，面积法，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，利用面积法构造方程． 40.（22-23八年级下·上海闵行·期末）如图，已知正方形中，，为对角线，平分，，垂足为．求的长．    【答案】 【分析】利用正方形的性质求出，再根据角平分线的性质可得，进而可证明，问题随之得解． 【详解】∵正方形中，，为对角线， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，证明，是解答本题的关键． 题型十八 中点四边形 41.（22-23八年级下·上海虹口·期末）顺次连接四边形各边中点构成一个菱形,则四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．对角线相等的四边形 【答案】D 【分析】根据各四边形的性质进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别为四边形各边的中点， ∴，，，， ∴，，且，， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，须使， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答． 42.（21-22八年级下·上海长宁·期末）如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…；如此进行下去，得到四边形，那么四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】根据三角形中位线性质定理可得每一次取各边中点，所形成的新四边形周长都为前一个的；并且四边形是平行四边形，即可计算四边形A15B15C15D15的周长， 【详解】解：∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1， ∴A1D1BD，B1C1BD，C1D1AC，A1B1AC； ∴A1D1B1C1，A1B1C1D1， ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形； 根据中位线的性质知，A1B1=AC；B1C1=BD 四边形A1B1C1D1周长为 同理，四边形A3B3C3D3是平行四边形，A3B3C3D3周长为 同理，四边形的周长是 四边形A15B15C15D15周长为 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 题型十九 梯形 43.（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【答案】C 【分析】此题考查了梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键掌握以上知识点． 设，交于点O，根据题意得到，，，然后利用勾股定理求出，，，进而利用梯形的面积和周长公式求解即可． 【详解】如图所示，设，交于点O， ∵在梯形中，，， ∴，， ∵，， ∴，即 ∴ 同理可得， ∴ ∵ ∴梯形的面积； ∵，， ∴ ∴ ∴梯形的周长． 故选：C． 44．（多结论题）（22-23八年级下·上海徐汇·期末）下列说法正确的个数有（　　） ①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定 ②两条对角线相等的四边形一定是等腰梯形 ③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形 ④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连接两底中点的直线 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据梯形中位线的性质，等腰梯形的判定，梯形的分类，等腰梯形的性质逐个判断，即可得出进行解答． 【详解】解：①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定，故符合题意； ②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形，故不符合题意； ③直角梯形和等腰梯形梯形是梯形的特殊形式，故不符合题意； ④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连结两底中点的直线，故符合题意； 综上：正确的有2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了梯形中位线的性质，等腰梯形的判定，梯形的分类，等腰梯形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点并熟练运用． 45.（23-24八年级下·上海·期末）已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了梯形的性质，勾股定理；根据题意分两种情况讨论，分别画出图形，求得的长，根据梯形的面积公式，即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 梯形中，， 四边形是矩形， ，， ， ， ． ∴ 如图，． 故答案为：或． 题型二十 与三角形中位线有关的求解问题 46.（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么 ．    【答案】// 【分析】本题考查了三角形的中位线及梯形的中位线，熟练掌握两个定理是解题的关键．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据梯形的中位线平行于两底边并且等于两底和的一半求解即可． 【详解】解：在中，、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ， 在梯形中，、分别是、的中点， 是梯形的中位线， ， 故答案为：． 47．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，梯形中，．点、分别是对角线、的中点，如果，，那么 ．    【答案】8 【分析】取的中点G，连接，可证，所以，于是． 【详解】解：取的中点G，连接，则， ∵， ∴． ∴三点共线． ∴． ∴． ∴． 故答案为：8    【点睛】本题考查中位线的性质，平行线的性质，由中位线的性质得到线段间的数量关系是解题的关键． 48.（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，． (1)求证：； (2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； (3)写出x为何值时，？ 【答案】(1)见详解 (2)， (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明是关键． （1）取的中点记为，取的中点记为．根据三角形中位线的性质可得，根据余角的性质可得，根据可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到y关于x的函数关系式，以及x的定义域； （3）连接，根据三角形中位线的性质可得x为1时，． 【详解】（1）解：取的中点记为H，取的中点记为N．连接 ∵，点D是边的中点， ∴都是三角形中位线 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ 即 ∵E是边上的一个动点（不与A、B重合）， ∴； （3）解：连接，当E与H重合时，， ∵此时， ∴当时，． 题型二十一 向量的线性运算 49.（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，求作．    【答案】见解析 【分析】根据向量的意义即可画出与，再由平行四边形法则，即可画出即可． 【详解】解：如图，作向量，向量，则即为所求作的向量．    【点睛】本题主要考查了向量的知识，解题的关键是利用平行四边形法则作图． 50．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 【答案】(1) (2)； (3)作图见解析 【分析】（1）通过平行四边形的性质及中点的意义证明四边形是平行四边形，即可求解； （2）直接根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行求解即可； （3）根据向量的加减法运算法则先将进行化简，再作图即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，点E是的中点， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：，； （3）∵， ∴    ∴图中为所求向量． 【点睛】本题考查了向量的加减法运算法则，涉及平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键． $$专题03 四边形（考题猜想，21大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 多边形对角线的条数问题 · 题型二 多边形内角和问题（重点） · 题型三 多边形内角和与外角和综合 · 题型四 利用平行四边形的性质求解 · 题型五 证明四边形是平行四边形 · 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解（重点） · 题型七 根据矩形的性质求线段长（高频） · 题型八 矩形与折叠问题（难点） · 题型九 证明四边形是矩形 · 题型十 根据矩形的性质与判定求线段长（重点） · 题型十一 根据矩形的性质与判定求面积（易错） · 题型十二 利用菱形的性质求线段长（高频） · 题型十三 利用菱形的性质求面积（高频） · 题型十四 利用菱形的性质证明（难点） · 题型十五 证明四边形是菱形 · 题型十六 根据菱形的性质与判定求线段长（易错） · 题型十七 根据正方形的性质求线段长（高频） · 题型十八 中点四边形 · 题型十九 梯形 · 题型二十 与三角形中位线有关的求解问题（高频） · 题型二十一 向量的线性运算 题型一 多边形对角线的条数问题 1.（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 ． 2．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有 条对角线． 题型二 多边形内角和问题 3.（20-21八年级下·上海普陀·期末）每个内角都是的多边形的边数是 ． 4．（20-21八年级下·上海长宁·期末）小明测量了某凸多边形的内角和，登记时不慎被油墨玷污，仅能看清其记录的是一个三位数，其百位数是7，则这个凸多边形的边数为 ． 5.（22-23八年级下·上海静安·期中）如图：已知，．求证： 题型三 多边形内角和与外角和综合 6.（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 边形 7．（21-22八年级下·上海·期末）如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放．，则＝ ． 8.（24-25八年级下·上海闵行·期中）已知一个多边形的每一个外角都等于，求这个多边形的内角和． 题型四 利用平行四边形的性质求解 9.（20-21八年级下·上海闵行·期末）已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点．AC＝24，BD＝38，AD＝28，那么△OBC的周长等于 ． 10．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）将四根木条钉成的长方形木框变为的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为 度． 11.（20-21八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，，，，求的长． 题型五 证明四边形是平行四边形 12.（23-24八年级下·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 13.（20-21八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知AD是的中线，M是AD的中点，过A点作，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．求证：四边形AEBD是平行四边形； 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解 14.（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下面有四个命题： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形； ④一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 15.（22-23八年级下·上海松江·期末）如图，在梯形中，，，，，，那么梯形的周长为 cm．    16．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，梯形中，，且，设，，那么关于的函数关系式是 ． 题型七 根据矩形的性质求线段长 17.（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，对角线交于点O，已知，，那么的长是 ． 18．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）矩形的对角线，相交于，，，则 ． 19.（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，在矩形中，．对角线的垂直平分线分别交于点E、F，求线段的长． 题型八 矩形与折叠问题 20.（23-24八年级下·上海静安·期末）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G，连接（如图所示），当时，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 21.（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为 ． 22.（21-22八年级下·上海长宁·期末）如图矩形中，，，点是边上一点，联结，过点作，交于点，将沿直线翻折，点落在点处，若为等腰三角形，求的长． 题型九 证明四边形是矩形 23.（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 24．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在平行四边形中，点、、、分别在边、、、上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，且时，请判断四边形的形状并证明． 题型十 根据矩形的性质与判定求线段长 25.（21-22八年级下·上海·期末）在直角梯形ABCD中，，，，，那么∠C＝ ． 26.（20-21八年级下·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，，，．点为边的中点，过点作交于点，求线段的长． 题型十一 根据矩形的性质与判定求面积 27.（20-21八年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点A（3，5），B（5，3），C（﹣1，﹣3），D（﹣3，﹣1），试判定四边形ABCD的形状，并求出它的面积． 28．（20-21八年级下·上海普陀·期末）已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足． (1)连接DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形； (2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积． 题型十二 利用菱形的性质求线段长 29.（22-23八年级下·上海徐汇·期末）我们把两条对角线长度之比为的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的面积为8，那么它的边长是 ． 30.（21-22八年级下·上海奉贤·期末）如图，直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B，点C在y轴上，点D为平面内一点，若四边形ACDB恰好构成一个菱形，请写出点D的坐标 ． 题型十三 利用菱形的性质求面积 31.（21-22八年级下·上海徐汇·期末）如图，菱形ABCD中，如果，，那么菱形ABCD的面积为 ． 32．（22-23八年级下·上海普陀·期末）如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合）且交于，交于，那么阴影部分的面积是 ．    题型十四 利用菱形的性质证明 33.（22-23八年级下·上海闵行·期末）已知四边形是菱形，和是菱形的对角线，那么下列说法一定正确的是(   ) A． B． C． D．． 34.（多结论题）（20-21八年级下·上海浦东新·期末）如图，在菱形中，，，BF与DE相交于点G，CG与BD相交于点H．下列结论中：①；②；③﹒正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型十五 证明四边形是菱形 35.（20-21八年级下·上海·期末）下列四个命题中，真命题是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 36.（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，在梯形中，，过点作交边于点，连接交点，且是的中点． (1)求证：点是的中点； (2)连接，当时，求证：四边形是菱形． 题型十六 根据菱形的性质与判定求线段长 37.（20-21八年级下·上海闵行·期末）如图，已知在梯形中，，，点是对角线的中点，联结 并延长，交边于点，联结． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结，如果垂直平分，求证：四边形是菱形． 38．（20-21八年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在菱形中，为边的中点，与对角线交于点，过作于点，． （1）求证：； （2）求证：． 题型十七 根据正方形的性质求线段长 39.（20-21八年级下·上海嘉定·期末）如图，在正方形中，对角线与BD相交于点O，的平分线分别交、于点G、H，如果，那么 ． 40.（22-23八年级下·上海闵行·期末）如图，已知正方形中，，为对角线，平分，，垂足为．求的长．    题型十八 中点四边形 41.（22-23八年级下·上海虹口·期末）顺次连接四边形各边中点构成一个菱形,则四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．对角线相等的四边形 42.（21-22八年级下·上海长宁·期末）如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…；如此进行下去，得到四边形，那么四边形的周长为 ． 题型十九 梯形 43.（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 44．（多结论题）（22-23八年级下·上海徐汇·期末）下列说法正确的个数有（　　） ①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定 ②两条对角线相等的四边形一定是等腰梯形 ③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形 ④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连接两底中点的直线 A．个 B．个 C．个 D．个 45.（23-24八年级下·上海·期末）已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为 ． 题型二十 与三角形中位线有关的求解问题 46.（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么 ．    47．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，梯形中，．点、分别是对角线、的中点，如果，，那么 ．    48.（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，． (1)求证：； (2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； (3)写出x为何值时，？ 题型二十一 向量的线性运算 49.（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，求作．    50．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） $$