第二十二章 四边形【单元卷·测试卷】-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十二章 四边形（单元卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24九年级·上海徐汇·阶段练习）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海·课后作业）如图，点在平行四边形的边上，，下列结论中正确的是（  ） A．与是相等的向量 B．与是相等的向量 C．与互为相反向量 D．与是平行向量 4．（23-24八年级下·上海·期中）如图，梯形的中位线与对角线、分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，垂足为O，点E、F、G、H分别为边、、、的中点．若，则四边形的面积为（    ） A．48 B．24 C．32 D．12 6．（23-24九年级下·上海·自主招生）边长为2的正方形中，M是的中点，以为折痕将翻折，使B落在E处，延长交于F，求的长为（   ） A． B． C．1 D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24八年级下·上海金山·期末）一个正边形的每一个内角都等于，则 ． 8．（23-24七年级上·上海·期末）如图，在正方形中，点E在边上，将绕点D按顺时针方向旋转与重合，若，则旋转角度为 9．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为 ． 10．（2024·上海·模拟预测）菱形的边长为，，于E，于F，那么周长为 11．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）在一块等腰直角三角形上截一个矩形．如图，已知等腰直角三角形的底边长10厘米．要截得的矩形的边在上，顶点D、E分别在边上，当的长为6厘米，矩形的面积为 平方厘米. 12．（23-24八年级下·上海·期中）已知在平行四边形中，，与的平分线交边分别于、两点，则 ． 13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在长方形中，，把长方形沿直线翻折，点落在边上的点处，若，那么的长等于 ． 14．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，，，，点为斜边的中点，点在边上，连结，若线段的垂直平分线恰好经过边的中点，则线段 ． 15．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．     16．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 17．（24-25八年级上·上海·期中）如图，O为坐标原点，矩形中，，，将矩形绕点O按顺时针方向旋转α度（）得到矩形，此时直线、直线分别与射线相交于P、Q．在矩形旋转过程中，若，则点P的坐标为 ． 18． （2024·上海·模拟预测）如图1两张等宽的矩形纸片，矩形纸片不动，将矩形纸片按如图2方式缠绕：先将点与点重合，再依次沿、对折，点A、C所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后边刚好经过点G．    若，，则长为 3、 （本大题共7小题，共64分） 19．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知在的边上取一点，使，边上取一点，使．连接、． 求证：四边形是平行四边形． 20．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． (1)当时，求证：； (2)当，且时，求证：四边形是正方形． 21．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，点是内任意一点，点、、、分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 22．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 23．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，，，点为边的中点，点为边上一动点（点不与点重合），联结和，点分别为的中点，设，． (1)求的长； (2)求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)联结，当时，求的值． 24．（23-24八年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x、y轴交于点A、B，现将绕点O逆时针旋转后得到，直线与直线相交于点C． (1)求直线的表达式； (2)点M为线段上一点，的面积为，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一点，点Q是直线上一点，当四边形是平行四边形时，请直接写出点P、Q的坐标． 25．（2024八年级上·上海·专题练习）已知四边形是边长为3的正方形，点在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点，点在直线的同侧），连接． (1)如图1，当点与点重合时，请直接写出的长； (2)如图2，当点在线段上时，； ①求点到的距离； ②求的长； (3)若，求的长． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 四边形（单元卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24九年级·上海徐汇·阶段练习）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系．解题的关键是熟记正多边形的边数与外角的关系． 正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用外角和除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数，据此求解即可． 【详解】解：∵正多边形的外角和等于， ∴这个正多边形的边数． 故选：B． 2．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等． 【详解】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是菱形，需添加或， 故选：C． 3．（23-24八年级下·上海·课后作业）如图，点在平行四边形的边上，，下列结论中正确的是（  ） A．与是相等的向量 B．与是相等的向量 C．与互为相反向量 D．与是平行向量 【答案】D 【详解】解：、与是相等的向量，错误它们方向不同，本选项不符合题意． B、与是相等的向量，错误它们方向不同，本选项不符合题意． C、与互为相反向量，错误数量不相等，本选项不符合题意． D、与是平行向量，本选项符合题意． 故选：． 根据相等向量，平行向量的定义一一判断即可． 本题考查平面向量，平行四边形的性质，平行向量，相等向量等知识，解题的关键是平行向量，相等向量的定义，属于中考常考题型． 4．（23-24八年级下·上海·期中）如图，梯形的中位线与对角线、分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了梯形的中位线和三角形的中位线定理．设，则，，中梯形中位线和三角形的中位线定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则，， ∵是梯形的中位线， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵是梯形的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，垂足为O，点E、F、G、H分别为边、、、的中点．若，则四边形的面积为（    ） A．48 B．24 C．32 D．12 【答案】D 【分析】利用中位线定理可得出四边形矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵点E、F分别为四边形的边、的中点， ∴，且． 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 同理：，， 又∵， ∴． ∴四边形是矩形． ∴四边形的面积， 即四边形的面积是12． 故选：D． 【点睛】本题考查的是中点四边形的含义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 6．（23-24九年级下·上海·自主招生）边长为2的正方形中，M是的中点，以为折痕将翻折，使B落在E处，延长交于F，求的长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了对折叠性质、勾股定理、三角形的全等判定和性质，熟练掌握对折的性质是解题的关键； 根据翻折的性质，及正方形的性质得，在证明，得，分别表示出，，，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：四边形是边长为2的正方形， ，， 以为折痕将翻折得， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 设，， M是的中点， ， ， 在中， ， 即， 解得：， 故选：D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24八年级下·上海金山·期末）一个正边形的每一个内角都等于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形内角和与外角和综合．首先求出外角度数，再用除以外角度数可得答案． 【详解】解：∵正边形的每一个内角都等于， ∴每一个外角都等于， ∴边数； 故答案为：． 8．（23-24七年级上·上海·期末）如图，在正方形中，点E在边上，将绕点D按顺时针方向旋转与重合，若，则旋转角度为 【答案】 【分析】绕点按顺时针方向旋转，与重合，，，旋转角，进而可得旋转角度的值．本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，结合图形求解旋转角是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ∵绕点按顺时针方向旋转，与重合， ∴， ， ， 旋转角度为． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的计算，正确理解多边形的外角和是是关键．根据共走了米，每前进米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度． 【详解】解：向左转的次数（次）， 则左转的角度是． 故答案是：． 10．（2024·上海·模拟预测）菱形的边长为，，于E，于F，那么周长为 【答案】9 【分析】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明是等边三角形． 过点A作，根据菱形的性质，易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得到，，利用勾股定理求出，同理可证，，即可证明是等边三角形，求出周长． 【详解】解：过点A作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 再中，， 同理可证，，， ∴，， ∴是等边三角形，边长为3 ∴的周长是9． 11．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）在一块等腰直角三角形上截一个矩形．如图，已知等腰直角三角形的底边长10厘米．要截得的矩形的边在上，顶点D、E分别在边上，当的长为6厘米，矩形的面积为 平方厘米. 【答案】12 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴矩形的面积为平方厘米， 故答案为：12． 12．（23-24八年级下·上海·期中）已知在平行四边形中，，与的平分线交边分别于、两点，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．设，，由平行四边形中，利用平行线的性质和角平分线的定义证得与是等腰三角形，据此计算即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵与的平分线分别交分别于、， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． ∴ 故答案为：． 13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在长方形中，，把长方形沿直线翻折，点落在边上的点处，若，那么的长等于 ． 【答案】/ 【分析】设则，，利用勾股定理求得x，利用解答解答即可． 本题考查了长方形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵长方形中，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，，，，点为斜边的中点，点在边上，连结，若线段的垂直平分线恰好经过边的中点，则线段 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和垂直平分线的性质，分两种情况讨论：当点位于点左侧时和当点位于点右侧时． 【详解】解：设线段的垂直平分线为． ∵，分别为，的中点， ∴，． ∵为的垂直平分线， ∴． 当点位于点左侧时，． 当点位于点右侧时，． 综上所述，． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．     【答案】 【分析】取的中点，连接，证明，得到，求出，由的中点，F为的中点，得到，，证明，则，即可求出． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵E为的中点， ∴ ∵， ∴ ∵的中点，F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，构造中位线是解题的关键． 16．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，， 根据题意可得，， 则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性得，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴的周长的周长平行四边形的周长， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·上海·期中）如图，O为坐标原点，矩形中，，，将矩形绕点O按顺时针方向旋转α度（）得到矩形，此时直线、直线分别与射线相交于P、Q．在矩形旋转过程中，若，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，掌握旋转的性质和分类讨论是解题的关键．分两种情况：如图1，过点Q作于H，连接OQ，如图2，当点P在点B左侧时，过Q作于H，连接，则，根据三角形面积相等得，设，得，然后根据勾股定理求出x值，进而可以解决问题． 【详解】解：如图1，过点Q作于H，连接，则， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，． 在中，， 解得， ∴， ∴， 如图2，当点P在点B左侧时， 过Q作于H，连接， 则， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 在中，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 综上所述：点P的坐标为或， 故答案为：或． 18．（2024·上海·模拟预测）如图1两张等宽的矩形纸片，矩形纸片不动，将矩形纸片按如图2方式缠绕：先将点与点重合，再依次沿、对折，点A、C所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后边刚好经过点G．   若，，则长为 【答案】1 【分析】根据矩形的性质，得出，，证明四边形是平行四边形，利用证明，得出，即可证明四边形是菱形；标记点，根据矩形的性质，得出，，，，证明四边形和四边形是平行四边形，根据菱形的性质、全等三角形的性质，得出，，，证明四边形是菱形，根据含角的直角三角形的性质，得出，证明、、、是边长相等的等边三角形，求出，，根据，得出答案即可． 【详解】解：∵两张纸片是等宽的矩形纸片， ∴，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 如图，标记点，    ∵两张纸片是等宽的矩形纸片， ∴，，，， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴ ∵由（1）得，，四边形是菱形， ∴，，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴、是等边三角形， ∵、、、依次有公共边， ∴、、、是边长相等的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 3、 （本大题共7小题，共64分） 19．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知在的边上取一点，使，边上取一点，使．连接、． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．根据平行四边形的性质，得出，，进而得到，即可得到结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 20．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． (1)当时，求证：； (2)当，且时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定，特殊四边形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键． （1）根据平行线的性质可证，结合题意可证四边形为菱形，即得出，再结合，即得出； （2）由（1）可知四边形为平行四边形，即得出，，．再结合题意即证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形， ∴． ∵， ∴； （2）证明：如图，，， 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴，，． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． ∵， ∴， ∴菱形为正方形． 21．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，点是内任意一点，点、、、分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查矩形的判定和平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，解题的关键是掌握相关性质和判定，进行证明． （1）根据三角形中位线的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； （2）由，得，则，证，，推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：点、、、分别是，，，的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形； （2）证明：， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形 四边形是矩形． 22．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 【答案】(1)； (2) (3)图形见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，向量的运算，即可； （2）根据平行向量的意义求解； （3）根据三角形的作图，即可． 【详解】（1）∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）与平行的向量有：，，，，，，共个， 故答案为：． （3）以点为圆心，长为半径，延长，连接， ∴， ∴． 图形见下：    【点睛】本题考查向量，平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行向量的性质，平行四边形的性质． 23．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，，，点为边的中点，点为边上一动点（点不与点重合），联结和，点分别为的中点，设，． (1)求的长； (2)求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)联结，当时，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3)4 【分析】（1）过点作于点，得出，根据，得出； （2）①当点在点左侧（），，根据，得出（）；②当点在点右侧（）， ，得出（）； （3）延长交于点，由三角形中位线定理推知点为的中点，，得出是等边三角形，从而求出的值． 【详解】（1）解：过点作于点， 四边形是等腰梯形， ， ， ． ； （2）解：∵， ． ①当点在点左侧（）， ∵， ∴， ， ， 点分别为的中点， 是的中位线， ， ； ②当点在点右侧（）， ，， 同理可得：， ； 综上所述，； （3）解：延长交于点， ，， 四边形是平行四边形， ， 点分别为的中点， 是的中位线， ． 点为的中点， ∴． 在与中，， ， ， ， ， 为正三角形， ． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形中位线的判定与性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，有三角形的中位线和勾股定理，函数与图形相结合等，掌握有三角形的中位线和勾股定理是解题的关键． 24．（23-24八年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x、y轴交于点A、B，现将绕点O逆时针旋转后得到，直线与直线相交于点C． (1)求直线的表达式； (2)点M为线段上一点，的面积为，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一点，点Q是直线上一点，当四边形是平行四边形时，请直接写出点P、Q的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)点P的坐标为，点Q的坐标为． 【分析】（1）根据一次函数求出、两点坐标，由旋转的性质，得到，，，进而得出、两点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，且，则，联立直线和，求出点的坐标，再结合的面积列方程，求出的值即可； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，根据平行四边形对角线互相平分，结合坐标中点公式，求出、的值，即可得到点P、Q的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图像与x、y轴交于点A、B， 令，则，令，则， ，， ，， 由旋转的性质可知，，，， ，， 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为； （2）解：点M为线段上一点， 设点M的坐标为，且， ， 联立，解得：， ， 的面积为， ， ， ， 点M的坐标为； （3）解：点P是直线上一点，点Q是直线上一点， 设点P的坐标为，点Q的坐标为， 四边形是平行四边形， 和为对角线， ， 解得：， ，， 点P的坐标为，点Q的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了旋转的性质，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，两直线的交点坐标，平行四边形的性质，坐标中点公式等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 25．（2024八年级上·上海·专题练习）已知四边形是边长为3的正方形，点在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点，点在直线的同侧），连接． (1)如图1，当点与点重合时，请直接写出的长； (2)如图2，当点在线段上时，； ①求点到的距离； ②求的长； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)①2；② (3)2或7 【分析】（1）作于，由证明，得出，，求出，由勾股定理即可得出答案； （2）过作交的延长线于点，作于，则，，①同（1）得：，得出，即可； ②求出，，由勾股定理即可得出答案； （3）分三种情况：①当点在边的左侧时，过作交的延长线于点，交于，同（1）得：，得出，，得出，在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在边的右侧时，过作交的延长线于点，交延长线于，同理得的长；③当点在上时，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：作于，如图1所示： 则， 四边形和四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：过作交的延长线于点，作于，如图2所示： 则四边形是矩形， ，， ①，， ， 同（1）得：， ，， 即点到的距离为2； ②，， ； （3）解：分三种情况： ①当点在边的左侧时，过作交于点，交于．则四边形是矩形，四边形是矩形， 如图3所示： ， 同（1）得：， ，， ， 在中，， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ； ②当点在边的右侧时，过作交的延长线于点，交延长线于，则四边形是矩形，四边形是矩形， 如图3所示：如图4所示： ， 同（1）得：， ，， ， 在中，， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）． ③当点在上时，可得：， 解得或， 不符合题意． 综上所述：的长为2或7． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 28 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$