2025年中考数学专题复习——方程与不等式

九年级数学2025中考专题复习——方程与不等式 一、单选题 1．为改善生态环境，某环卫队计划在路边荒地上种植960棵树．由于青年志愿者的加入，实际每天比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，问原计划每天种植多少棵?设原计划每天种植x棵，根据题意列出方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．我国元朝的数学著作《算学启蒙》记载某数学题，其大意是：良马每天跑240里，驽马每天跑150里．良马和驽马从同一地点出发，驽马先走12天，问良马追上驽马的时间为多少天？若设良马追上驽马的时间为x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．关于的方程组的解与的和是2，那么的值是 （　　） A．4 B．－4 C．8 D．－8 5．已知关于x的方程 有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　） A． B．23 C． D．34 6．今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有辆车，个人，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7． 下列命题中，错误的是(　　) A．顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形 B．反比例函数的图象是轴对称图形 C．线段AB的长度是2， 点C是线段AB的黄金分割点且AC<BC ， 则. D．对于任意的实数b，方程 有两个不相等的实数根 8．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根铁棒露出水面的长度是这根铁棒长度的，另一根铁棒露出水面的长度是这根铁棒的，若两根铁棒长度差为，则两根铁棒的长度分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 9．对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 10．关于x，y的方程组的解为 则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11． 若一元二次方程有一根为，则的值为　 　． 12． 关于 的一元二次方程 有实数根， 则实数 的取值范围是　 　. 13．当x=时，式子与的值互为相反数． 14．如图，双曲线与线段交于点、两点，点坐标为，连接，的面积为6，则　 　． 三、解答题 15．水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，老板决定降价销售． （1）若每斤售价降低0.5元，则每天的销售量是 　 　斤． （2）若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 　 　斤（用含x的代数式表示，需要化简）； （3）水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为多少元？ 16．解方程：． 17．解方程：． 18．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． （1）若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； （2）若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； （3）若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 19．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”. （1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：______ （2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值. 20．综合与实践 古琴在我国的历史非常悠久，不管是神话故事还是史书记载，古琴的出现时间是所有乐器中最早的．古琴最初只有五根弦，发出的五音是中国传统音乐理论中的基本音阶，包括宫、徵（zhǐ）、商、羽、角．其发声管的管长可以通过“三分损益法”计算得出，具体方法如下： 假设基本音“宫”的发声管长是81， “宫”经“三分损一”得“徵”，即，则“徵”音的发声管长是54； “徵”经“三分益一”得“商”，即，则“商”音的发声管长是72； “商”经“三分损一”得“羽”； “羽”经“三分益一”得“角”． （1）按照上面的假设，“羽”音的发声管长是______． （2）如图，线段表示“徵”的发声管长，其中两点是线段的三等分点，请你用尺规作图作出表示“商”的发声管的线段（保留作图痕迹） （3）小明想要制作一个古琴，需要五根发声管，每根发声管分别能获得“宫徵商羽角”的音阶，五根发声管的长度总和为，求该古琴中“宫”的发声管长． 21．2023年春节科幻电影《流浪地球2》火热上映，激发了人们阅读科幻书籍的热情．某学校图书馆购进甲、乙两种科幻书籍，已知购买1本甲图书和1本乙图书共需75元，购买1本甲图书的价钱比购买2本乙图书的价钱少15元． （1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？ （2）某中学计划购进甲、乙两种图书共70本，且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，设乙种图书x本，购买甲、乙两种图书总费用y元，求y关于x的函数解析式并说明x的取值范围．怎样购买，才能使购书总费用y最少？并求出最少费用． 22．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．搭配一个A种造型的成本是260元，搭配一个B种造型的成本是300元． （1）用180盆甲种花卉，220盆乙种花卉可以搭配A、B两种造型各多少个？ （2）某园林公司准备用现有的225盆甲种花卉和155盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共30个，请问符合题意的搭配方案有几种？ （3）若一个A种造型的售价是325元，一个B种造型的售价是360元，为提高A种造型的销量，决定每售出一个A种造型，返还顾客m元，B种造型售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则m的值为________． 23．如图，在数轴上A点表示的数a，B点表示的数b，C点表示的数c，b是最小的正整数，且a，c满足|a+2|+|c﹣7|＝0． （1）求a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，求与B点重合的点对应的数　 　； （3）点A，B，C在数轴上同时开始运动，若点A以1个单位每秒的速度向左运动，点B以2单位每秒的速度向右运动，点C以4个单位每秒的速度也向右运动，假设t秒钟过后，若点A和点C之间的距离表示为AC，求AC的长（用含t的代数式表示）； （4）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由，若不变，请求出它的值． 24．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题实践： （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边落在直线上，，，，则 ； 操作探究： （2）奋进小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答． _____秒，边落在边上； 当边平分时， _______秒； 深度探究： （3）如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转，求为何值时，． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】C 【解析】【解答】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并得， ∴ ∵关于 的方程 有非负整数解， ∴a=-5，-6，-9，-14 ∴整数a的所有取值的和为：-5-6-9-14=-34. 故答案为：C. 【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得x=，由方程有非负整数解可得x=1、2、5、10，求出a的值，进而求出和即可. 6．【答案】A 【解析】【解答】解： 设共有辆车，个人， 根据题意可得：， 故答案为：A. 【分析】 设共有辆车，个人， 根据“ 若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行 ”列出方程组即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：A.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项正确，A错误； B.反比例函数的图象是轴对称图形，故此命题正确，B错误； C. 线段的长度是，点是线段的黄金分割点且，则，则AC=3-，故此选项错误，C正确； D.对于任意的实数b，方程有两个不相等的实数根，因为△=b2-4ac=b2+12＞0，故此命题正确，D错误． 故答案为：C． 【分析】本题考查命题和定理以及命题的真假判断.正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，可判断A选项；根据反比例函数的图象是轴对称图形，据此可判断B选项；利用黄建分割点的定义可得，进而可求出AC，判断C选项；根据一元二次方程根的判别式可得△=b2+12＞0，进而可得方程两个不相等的实数根 ，可判断D选项. 8．【答案】B 9．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得： ， 解得 ， 故选：B． 【分析】本题是新定义的应用，以及二元一次方程组的求解，根据题设的新定义，得到关于a、b的二元一次方程组，结合二元一次方程组的解法，求得a和b的值，即可得到答案. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：已知关于x，y的方程组 的解为， 即； 那么将关于x，y的方程组 整理得， 故5x=4045，5y=1， 解得：x=809，， 故该方程组的解为：； 故答案为：A. 【分析】结合已知条件，观察两个方程组的关系，根据二元一次方程组解的定义即可求得答案. 11．【答案】 【解析】【解答】解：一元二次方程有一根为， ， ， ， 故答案为：． 【分析】直接把代入一元二次方程中即可得到的值． 12．【答案】k≤0 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【分析】根据一元二次方程有实数根和根的判别式得，求出不等式的解集即可． 13．【答案】 14．【答案】． 15．【答案】（1）200 （2） （3）3 16．【答案】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并得：， 系数化为：得． 【解析】【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可。 17．【答案】， 18．【答案】（1）解：∵，解得：， ∵， ∴， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，∴另一个方程的解为：， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵，∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， 解得：， ∴． 【解析】【分析】（1）根据题意，分别求得和的解，结合方程与方程是“和谐方程”，得到方程，求得m的值，即可得到答案； （2）根据“和谐方程”的定义，得到一个方程的解为；另一个方程的解为，得到或，求得n的值，即可得到答案； （3）先解出的解，根据“和谐方程”的定义，可得，结合取任何有理数上式都成立，列出方程组，求得和的值，将其代入计算，即可求解． （1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， 解得：， ∴． 19．【答案】（1） （2），． 20．【答案】（1）48 （2）解：如图， 以点A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点M，以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点N，则线段或为表示“商”的发声管的线段． （3）解：设该古琴中“宫”的发声管长为，五根发声管的长度总和为， ∴， 解得， 该古琴中“宫”的发声管长为． 【解析】【解答】解：（1）由题意得，“羽”音的发声管长是， 故答案为：； 【分析】（1）由题意得，“羽”经“三分益一”得“角”，结合规律，“羽”音的发声管长的算式，进行计算，即可得到答案； （2）以点A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点M，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点N，得到线段或为表示“商”的发声管的线段，即可秋季诶． （3）设该古琴中“宫”的发声管长为，根据五根发声管的长度总和为，列出方程求解，即可得到答案． （1）解：由题意得，“羽”音的发声管长是， 故答案为：； （2）解：如图， 以点A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点M，以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点N，则线段或为表示“商”的发声管的线段． （3）解：设该古琴中“宫”的发声管长为， 五根发声管的长度总和为， ∴， 解得， 该古琴中“宫”的发声管长为． 21．【答案】（1）甲种图书每本的进价为45元，乙种图书每本的进价为30元． （2），购进甲图书38本，乙种图书32本时，总费用y最少，最少为2670元 22．【答案】（1）可搭配A种造型10个，可搭配B种造型20个； （2）符合题意的搭配方案有3种； （3）5 23．【答案】（1）﹣2；1；7 （2）4 （3）解：∵点A以1个单位每秒的速度向左运动，点C以4个单位每秒的速度也向右运动， ∴t秒钟过后，点A表示的数为：点C表示的数为： ∴. （4）解：∵点B以2单位每秒的速度向右运动， ∴点B表示的数为： 由（3）知：点A表示的数为：点C表示的数为： ∴ ∴， ∴值不变，值为12. 【解析】【解答】解：（1）∵ ∴ ∵b是最小的正整数， ∴ 故答案为：-2，1，7. （2） ∴折痕处的数为 ∴ 故答案为：4. 【分析】（1）根据非负数之和为0，则每个非负数均为0，据此得到然后根据题意可知b=1，进而即可求解； （2）根据题意求出折痕处的数为进而即可求解； （3）根据题意得到t秒钟过后，点A表示的数为：点B表示的数为：进而即可求解； （4）根据题意得到点B表示的数为：结合（3）得到：进而即可求解. ​​​ 24．【答案】(1) (2) 5；10.5 (3) 3或4.5秒 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$