第四章 三角形基础 讲义 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

七下第四章 三角形基础讲义（一）三角形的基础概念 1， 本章考察要求： 1， 理解三角形及内角、中线、高线、角分线概念，了解重心的概念。 2， 理解三角形内角和180度。 3， 理解三角形的分类：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形。理解直角三角形两锐角互余的性质。 4， 理解全等三角形的概念及性质，会找对应边、对应角、对应顶点。 5， 掌握全等三角形的四种判定方法。 6， 掌握三角形的三边关系定理。 7， 掌握尺规作图：已知三边、两边及夹角、两角及夹边作三角形。 2， 三角形的相关概念： 1，三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形， 可用符号△表示，记作 △ABC。三条线段叫做三角形的边。相邻两边的公共点叫做三角形的顶点。相邻两边的夹角叫做三角形的内角。 2.，三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度（可利用平行线辅助推导出）。 3， 三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。 ①锐角三角形的三条高都在三角形内部，高线的交点也在内部。 ②钝角三角形的钝角所对边上的高线在三角形内部，其它两条高线都在三角形外部，三条高线的交点也在外部。 ③直角三角形的斜边上的高线在三角形内部，两条直角边互为对方的高线。三条高线交点在直角顶点。 ④判断一条线段是不是三角形中某条边上的高：一看顶点（三角形的高一定过该边所对的角的顶点），二看垂足（垂足一定在该条边上或者该条边的延长线上） ⑤三角形的三条高线所在直线的交点被称作垂心。 4， 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边重点的线段，叫作三角形的中线。 ①三角形的中线平分对边。 ②三角形的一条中线把三角形平分为面积相等的两部分。 ③三角形的三条中线均在三角形内部 5， 重心：三角形的三条中线交于一点（在三角形内部），这一点被称作三角形的重心。 ①重心把每条中线分成1:2两部分。 ②任意两条中线的交点即重心，因第三条中线必过这一点。 ③重心经常用来解决三角形分块面积的问题。 6， 三角形的角平分线：一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线。 ①角的平分线是一条射线，但是三角形的平分线是一条线段。 ②一个三角形有三条角分线，且在三角形内部交于一点，这一点被称作内心。 ③若已知三角形的两条角分线交于一点，则第三条角分线必过这一点。 3， 三角形的分类： 1， 按角分类： 2， 按边分类： 4， 三角形的三边关系： 1， 两边之和大于第三边。两边之差小于第三边。 2， 判断三条线段是否能构成三角形，只需看最短的两条线段长度之和是否大于最长的线段长度。 3， 等腰三角形的周长或边长有关的求值，一般会有多可能取值（没有明确说明哪条是边，哪条是腰），必须要考虑三边关系是否成立来做最后判断。 【题型一：三角形的概念】 1．如图，图中共有三角形（ ）A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 （一）1 （一）2 （一）3 （二）2 2．如图，以为边的三角形共有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，点、在的边上，则图中共有三角形 个． 【题型二：三角形的分类】 1.在△ABC中,∠A=10°,∠B=60°,则△ABC的形状是(　　) A.钝角三角形　B.直角三角形 C.锐角三角形　　D.等边三角形 2.如图,给出的三角形有一部分被遮挡,则这个三角形是(　　) A.直角三角形　 　B.锐角三角形 C.钝角三角形　　　　　　D.等边三角形 3.在△ABC中,∠A+∠B=∠C,则这个三角形是(　　) A.锐角三角形　　B.等腰三角形 C.钝角三角形　　　　　　D.直角三角形 4．在下列条件中，能确定 是直角三角形的条件有（　　） ① ，② ，③ ，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在△ABC中，∠A∠B∠C，则△ABC是（　　）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角 【题型三：三角形的内角和定理】 1．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，则∠A=（　 　） A．60° B．50° C．40° D．30° 2．一个三角形的三个内角的度数之比为，这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 3．一个三角形的三个内角度数之比为1∶2∶7,则这个三角形最小角的度数是　　　　.  4．直角三角形两锐角的角平分线相交所成的角的度数是（ ） A．45° B． 135° C．45°或135° D．不能确定 5．如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数是（    ） A． B． C． D． （三）5 （三）6 （三）7 （四1） 6．如图，已知，则　 　． 7．如图，点，，点在同一条直线上，，，，则 度．    【题型四：三角形的高线】 1．如图，，点A、B、F在一条直线上，点C、B、E在一条直线上，中，边上的高是线段 ． 2．如图所示，在中，，，垂足分别是D，E，F，则下列说法错误的是（   ）A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高    （四）2 （四）3 3．如图所示，的边上的高是（    ）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 4．下面四个图形中，作的边AB上的高，正确的是　　 A． B． C． D． 5．如图是一个钝角，利用一个直角三角板作边上的高，下列作法正确的是（    ） A．B．  C．   D．   6，在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（    ） A, 是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．是锐角或钝角 7．如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【题型五：三角形的中线】 （一）中点相关 1．如图所示，D，E分别为△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法中不正确的是（ ） A．DE是△BDC的中线 B．图中∠C的对边是DE C．BD是△ABC的中线 D．AD=DC，BE=EC （五）1 （五）2 （五）3 （五）4 （五）7 2．如图，若是的中线，，则的长度为（　　）A．2 B．3 C．4 D．8 （二）周长相关 3．如图，已知是的边上中线，若， 周长比的周长少，则 ． 4．如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（    ） A．4 B．1 C．2 D．7 5．在ABC中，AD是边BC上的中线，ADC的周长比ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为（ ）A.5 B.6 C.7 D.8 6. 在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（    ） A．7 B．11 C．7或11 D．8或10 7，如图，中，是中线，，的周长为，的周长是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 8．如图，在中，是中线，．    (1)求与的周长差． (2)点在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． （三）面积相关 9．如图，在中，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 ．    （五）9 （五）10 （五）11 10．如图，在中，E是中线中点，面积是1，则面积为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，在中，，分别是、的中点，，则的值是 ． 12. 如图，是的中线，M是边上的中点，连接，若的面积为，则的面积为： ． （五）12 （五）13 （五）14 （五）15 （五）16 13．如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积． 14．如图，在中，E是上的一点，，点D是的中点，记，，的面积分别为，，，且，则等于（    ）A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，在△ABC中，已知点D,E,F分别在三边上，E为AC中点，AD,BE,CF交于一点G,BD=2DC, ，则△ABC的面积是（ ）A．25 B．30 C．35 D．40 16，如图，的中线交于点，若阴影部分的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 17，.如图，在中，点，，分别是，，的中点，若的面积为，则的面积为(        )  A, B． C． D． （五）17 （五）18 （五）19 （六）1 （六）2 18．如图，在中，D，E，F分别是的中点，，则阴影部分的面积等于（    ）   A． B． C． D． 19．如图，的面积为平方厘米，，．则阴影部分的面积为（ ） A．6 B．8 C．4 D．7 【题型六：三角形的角平分线】 1．如图所示，BD平分∠ABC，DE∥BC，且∠D=30°，则∠AED的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ） A．95° B．85° C．75° D．65° 3．△ABC中，D为BC边上任意一点，DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为 ． （六）3 （六）4 （六）7 （六）8 （六）9 4．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是 　 　． 5．如图，△ABC中，AD是角平分线，∠B=54°，∠C=76°． （1）求∠ADB和∠ADC的度数；（2）若DE⊥AC，求∠EDC的度数． 6．如图，在△ABC中，已知CE⊥AB于E, DF⊥AB于F, DE∥AC，CE是∠ACB的平分线 求证：∠EDF=∠BDF. 7．如图，在△ABC中，OB，OC分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且∠A＝70°，则∠BOC＝ ． 8．如图，在△ABC中，∠C＝80°，点D在边BC上，且∠ADB＝100°，∠BAD＝∠DAC，BE平分∠ABC，交AD于点E．则∠BED＝ ． 9．如图，分别平分的外角，,若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10. 如图，已知，点E为上方一点，、分别为，的角平分线，若，则的度数为（　　）   A． B． C． D． 【题型七：三角形的三边关系】 1．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　） A．4cm，8cm，13cm B．7cm，6cm，14cm C．3cm，9cm，5cm D．10cm，10cm，8cm 2．下列线段能构成三角形的是（　　）A．2，7，4 B．5，7，12 C．7，15，10 D．4，3，9 3．若一个三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长可能是（　　）A．1 B．2 C．7 D．8 4．若一个三角形的两边长分别是2和3，第三边的长为奇数．则第三边的长为 ． 5．四根木棒的长度分别为，，，，现从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则这样的取法共有（　　）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 6．如果三角形的两边长分别为3和5，则第三边L的取值范围是（　　）. A． B． C． D． 7，若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ） A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 8，已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______. 9，一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边为整数，这样的三角形的周长最小值是（ ） A.13 B.15 C.16 D.17 10．若，，为的三条边，且，满足，第三条边为整数，则的周长最小值为（    ）A．8 B．9 C．10 D．11 11．己知a，b，c是三边，的结果为（    ） A． B． C． D． 12，已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（ ） A.2a+2b-2c B.2a+2b C.2c D.0 13，已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a-7|+=0，c为奇数，则c=______ 14，已知四边形ABCD四边分别为a、b、c、d，若a=3，b=4，d=10，则c的取值范围是______. 15．如图，整数的值可能为 ． 16，如图，点P是△ABC内一点，试说明：AB+AC＞PB+PC. , 17．如图，已知点O为内任意一点，证明：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七下第四章 三角形基础讲义（二）全等三角形 五，全等三角形： 1， 概念：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。 ①能够相互重合的顶点叫作对应顶点，相互重合的边叫作对应边，相互重合的角叫作对应角。 ②全等符号≌ ，一般记作△ABC≌△A'B'C'。 ③书写规范：在△ABC≌△A'B'C'的书写情况下（有全等符号），两个全等三角形两个全等三角形的对应顶点就已经按全等符号两侧的字母排列顺序确定，如A顶点必须对应A'顶点。通常在这种书写下，可以直接判断出边AB对应边A'B'，∠BCA对应∠B'C'A'。 若是“△ABC与△A'B'C'全等”这种文字书写（没有全等符号）的情况下，两个三角形中的顶点不是明确确定的，字母的排列顺序不一定是对应顶点或对应边角，如A顶点的对应顶点不一定是A'。 2， 全等三角形对应边角的判断： ①最长边对最长边，最短边对最短边。 ②最大角对最大角，最小角对最小角。 ③对应相等的角所对的边是对应边。对应相等的边所对的角是对应角。 ④有全等符号时，根据全等符号两侧字母的排列顺序来确定对应边和对应角。如△ABC≌△A'B'C'，边AB对应边A'B' 3， 全等的判定定理： ①边边边SSS ②角边角ASA③边角边SAS ④角角边AAD 注：（1）全等判定的条件必须有三个，且至少要有一组对应边相等。 （2） 当明面上的条件只有两个时，不妨把目光转向对顶角、公共角、公共边。 （3） 三个全等条件的组合，只有AAA和SSA不能证明全等，其它都可。 （4） 两个角一条边对应相等时，无论这些边和角位置如何，一定能全等。 4， 全等三角形的性质： ①全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ②全等三角形的面积和周长都相等。 ③全等三角形对应边上的中线、高线、角分线都相等。 ④全等具有传递性，如△1≌△2，△3≌△2，则△1≌△3. 5， 全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 全等图形的性质：全等图形的形状和大小完全相同，面积和周长都相等。 6，证明依据（写在每一步后面括号里的内容）： ①基本事实②平行线性质、判定定理③定义：平行、相交、垂直、对顶角、余角、补角、角分线、平角、周角 ④同角（或等角）的余（补）角相等。⑤等量代换。⑥三角形的内角和180度⑦三角形的三边关系⑧已知⑨全等的判定定理⑩全等的性质定理 7，尺规作三角形： ①利用SSS原理尺规作三角形： ②利用ASA原理尺规作三角形： ③利用SAS原理尺规作三角形： 7，三角形的稳定性：只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性。 ①稳定性是三角形的特性，四边形不具有稳定性。 ②只要整个图形可以看成是由三角形构成，这个图形就具有稳定性。 ③三角形稳定性的原理：SSS可构造全等三角形。 五，全等三角形的常见基本图形： ①平移型 ②对称型 ③旋转型 六，利用三角形全等测距离： 1， 目测法： 2， 测湖边两点之间距离： 3， 测河宽 【题型八：全等图形】 1．在下列四组图形中，是全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（ ） A．面积相等的两个图形是全等图形 B．周长相等的两个图形是全等图形 C．能够重合的图形是全等图形 D．全等图形的面积相等 3．下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个正方形是全等图形 C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 4．下列说法中不正确的是（    ） A．能够完全重合的两个图形是全等图形 B．形状相同的两个图形是全等图形 C．大小不同的两个图形不是全等图形 D．形状、大小都相同的两个图形是全等图形 5．两个全等图形中可以不同的是（    ）A．位置 B．长度 C．角度 D．面积 【题型九：全等三角形的性质】 （一）全等三角形的基础概念 1．全等三角形是（ ） A．三个角对应相等的三角形 B．周长相等的两个三角形 C．面积相等的两个三角形 D．能够完全重合的两个三角形 2．小明学习了全等三角形后总结了以下结论：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等图形；④全等三角形的周长相等． 其中正确的结论个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列说法正确的是（　　） A．面积相等的两个三角形全等 B．全等三角形的面积一定相等 C．形状相同的两个三角形全等 D．两个等边三角形一定全等 4．如果两个三角形全等，那么下列结论不正确的是（　　） A．这两个三角形的对应边相等 B．这两个三角形都是锐角三角形 C．这两个三角形的面积相等 D．这两个三角形的周长相等 5．下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 6．如图，△ABD≌△ACE，则∠ABD的对应角是 ；AD的对应边是 . 6题 8题 9题 11题 12题 13题 7．已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（   ） A．与是对应边 B．与是对应边 C．与是对应边 D．不能确定 的对应边 8．如图，，A是C的对应点，那么下列结论中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，△的顶点都在格点上，以为一边作△BC，使之与△全等，从、、、四点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．若△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，则∠F的度数为 (　　)A．70° B．60° C．50° D．不能确定 11．如图，，则下列说法错误的是（    ） A． B．平行且等于 C． D．平行且等于 12．如图，△OAB≌△OCD，若∠A＝80°，OB＝3，则下列说法正确的是（　　） A．∠COD＝80° B．CD＝3 C．∠D＝20° D．OD＝3 13．如图，，则对于结，其中正确结论的个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，两个三角形△ABC与△BDE全等，观察图形，判断在这两个三角形中边DE的对应边为（    ） A．BE B．AB C．CA D．BC （一）14题 （二）1题 2题 3题 5题 （2） 利用全等三角形的性质求线段 1．如图，△ABC≌△BDE，若AB=12，ED=5，则CD的长为（　　）A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC=5，DE=2，则CE等于（　　）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 3．如图，△ABC≌△EBD，AB＝4，BD＝7，则CE的长度为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4 4．如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，AB＝3，BC＝4，则AC的长为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，如图所示，△ABC≌△CDA，AB=4，BC=5，AC=6，则AD的长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．不能确定 6．如图，A、D、B、E在同一直线上，且△ABC≌△DEF，你能说明AD=BE吗？ 6题 7题 8题 9题 12题 7．如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的长是（　　） A．6cm B．5cm C．7cm D．无法确定 8，如图，，点 和点 ，点 和点 是对应点，如果 ，，，那么 的长是 A． B． C． D． 9，如图，，，，，则 的度数为 ， 的长为 ． 10．如图，已知，点，，，在同一条直线上． (1)若，，求的度数；(2)若，，求的长． 11．如图，已知△ABD≌△ACE．求证：BE=CD． 12．如图，中，，点D、E在上，，若，则（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 13．如图，△ACE≌△DBF，如果∠E＝∠F，DA＝12，CB＝2，那么线段AB的长是　 　． 13题 14题 15题 （三）1题 （三）2题 14．如图，点A，E，C在同一直线上，，，，则BC的长为（　　） A．3 B．5 C．8 D．11 15．如图，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=11，BC=7，则线段AB的长为 . 16．如图，已知．(1)若，，求的度数；(2)若，求的长． （3） 利用全等三角形的性质求角度 1.如图，已知 △ABC≌△ABD，若 ∠BAC=55°，则 ∠CAD 的度数是 （ ） A. 115° B. 110° C. 105° D. 100° 2．图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）A．45° B．62° C．73° D．135° 3．已知△ABC≌△DEF，∠A＝∠B＝30°，则∠E的度数是（　　）A．30° B．120° C．60° D．90° 4．如图，△ABC≌△DFE，∠B＝80°，∠ACB＝30°，则∠D＝　 　． 4题 5题 6题 7题 8题 9题 5．如图，已知△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠C＝　 　°． 6．如图所示，若△AEB≌△DFC，AE⊥BC，DF⊥CB，AE=DF，∠C=28°，则∠A等于（ ） A．28° B．62° C．80° D．无法确定 7．如图，，且，，则的度数是（　　）A．145° B．140° C．130° D．120° 8．如图，点分别在线段上，与相交于点．若△ABE≌△ACD，且，，则 的度数为（    ）A． B． C． D． 9．如图，，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠D＝25°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，则∠DGB的度数为（    ）A．66° B．56° C．50° D．45° 10．如图，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，则∠EAD=（　　）； A．30° B．70° C．40° D．110° 10题 11题 12题 13题 14题 11．如图，≌，若，，则的度数为 ． 12．如图，在△ABC中，D，E分别是边上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．如图，，若，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．如图，△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°，∠DAB：∠DAC=4：3，则∠EFC的度数为（　　） A．30° B．40° C．70° D．80° 15．如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点．如果∠D＝70°，∠CAB＝50°，那么∠DAB度数是（　　）A．80° B．70° C．60° D．50° 15题 16题 17题 18题 19题 16．如图，已知△ABE≌△ACF，∠E＝∠F＝90°，∠CMD＝70°，则∠2＝　 　度． 17．如图，已知，点D在上，与交于点P．若，，求的度数． 18．如图，已知，点D恰好在AC的延长线上，．则的度数是_____． 19．如图，将沿翻折，点落在上的点处，连接，若，，则为（　　） A． B． C． D． 20．如图，已知≌，与交于点，与交于点，则下列说法中错误的是（　　） A． B． C． D． 20题 21题 21．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．则AE的长度为 ；∠AED的度数为 。 22．如图，△ABC≌△ADE．试说明∠EAC＝∠BAD． 23．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE． （1）求证：BD＝DE+CE；（2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE． 24．如图，△ABE≌△ACD，∠C＝20°，AB＝10，AD＝6，G为AB延长线上一点，求∠EBG的度数和CE的长． 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，△CEF≌△CAD． (1)求∠B的度数；(2）求证：EF∥ AC； 26．如图，已知△ABC≌△EBD，那么∠1与∠2相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由. 27．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F． （1）当DE=9，BC=5时，线段 AE的长为 ，（2）已知∠D=35°，∠C=60°，求∠AFD的度数． 28．如图，已知，点，，，在同一条直线上． (1)若，，求的度数；(2)若，，求的长． 29．如图，，点在边上，求证：． 30．如图已知，且点B、C、E在一条直线上，，求的度数和的长． 31．如图，已知，平分，若，，求的度数． 32，如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，求∠BAC的度数． 33.如图，已知Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D三点共线．试说明∠ACE＝90°． 34.如图,已知△ACF≌△DBE,且点A,B,C,D在同一条直线上,∠A=50°,∠F=40°.判断BE和CF的位置关系和数量关系,并说明理由. 35．如图，B，C，D三点在同一条直线上，，． (1)求△ABC的周长．(2)求的面积 【题型九：全等三角形的判定】 1，.如图，已知，要使，还需要添加的一个条件是 ．你选择的判定方法是 ． 1题 2题 3题 4题 5题 2．如图，能判定的条件是（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 3．如图所示，与相交于点，，，不添加辅助线，就可以判定，判定全等的依据是（　　）A． B． C． D．以上均可以 4．如图，，平分．证明的依据是(　　) A． B． C． D． 5．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是：(　　) A． B． C． D． 6．如图，点、、、在同一条直线上，已知，，添加下列条件中的一个：①；②；③；④．其中不能确定的是（    ）A．① B．② C．③ D．④ 6题 7题 8题 9题 7．如图，已知，，．则可推出 全等． 8．如图，在四边形ABCD中，已知∠BAC＝∠DAC．添一个条件，使△ABC≌△ADC，则不能作为这一条件的是（　　） A．∠ACB＝∠ACD B．∠B＝∠D C．AB＝AD D．BC＝DC 9．如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A , B． C． D． 10．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 10题 11题 12题 13题 11．如图，已知，若用“”证明，还需添加条件（    ）   A． B． C． D． 12．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝30°，则∠AEC等于（　　）A．70° B．50° C．45° D．60° 13．如图，已知，，从①，②，③，④．这四个条件中再选一个使，符合条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，已知点，，，在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　）A． B． C． D． 14题 15题 16题 17题 18题 19题 15．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF， ∠B=∠C， 添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 16．如图下列各组条件中，可以判定的条件是（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、、 17．如图，，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 18．如图，已知AB=AD，AC=AE，若要判定△ABC≌△ADE，则下列添加的条件中正确的是（　） A．∠1=∠DAC B．∠B=∠D C．∠1=∠2 D．∠C=∠E 19．如图，已知，E为的中点，若，则　 　． 20．如图，已知．求证：． 21．如图，已知：中，为中线，且．求证：． 22，如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，. （1）求证：；（2）若，，求的长. 23．已知：如图，点，，，顺次在同一条直线上，点，在直线的同侧，，，求证：． 24．如图所示，四边形的对角线与相交于O点， （1） 若，，求证：；（2）若，，求证：． 25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，延长AC到点F，过点F作FE⊥AB于点E，FE与BC交于点D，若DE＝DC． （1）试说明：BD＝DF；（2）若AC＝3cm，AB＝5cm，求CF的长度． 26．如图，点E、A、C在同一条直线上，，，，若，，则 度． 27．如图，在△ABC，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC交BC于点F，连接BE，且∠DFB＝∠ABE，试说明：△ABC≌△DEB． 28．如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，，则 °． 28题 29题 30题 31题 29．如图，点在线段上，，，，，，则的长为 ． 30．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，如果∠EAC＝48°，则∠BAE的度数为 　 　． 31．如图，，，，，则等于 ． 32．如图，在中，，点、分别在、上，，、相交于点． (1)求证：；(2)求证：． 33．已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，试说明：AC与BD互相平分． 【题型十：三角形的稳定性】 1．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 2．木工师傅做完房门后，为防止门变形，会沿着门的对角线方向钉上一根斜拉的木条，这么做的根据是 ． 3．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（　　） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 （十）3题 （十一）1题 2题 3题 4题 5题 【题型十一：利用全等三角形测距离】 1．如图，要测出池塘A、B两端的距离，可在平地上取一点C，连接、，并分别延长到点D、E，使、，连接，那么．此时，量出DE的长就是A、B两端的距离，在这个过程中，证明的依据是（    ）A． B．   C．   D．   2．数学综合与实践小组的同学想测量一个池塘两端A．B之间的距离，他门设计了如图所示的方案，在平地上选取能够直接到达点A和点B的一点C；连接并延长，使；连接并延长，使，连接并测量其长度，的长度就是A、B之间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（　　）A． B． C． D． 3．如图把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，此卡钳的工作原理是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 5．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分线的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 6．如图，七1班同学要测量河两岸相对的两点、的距离，用合适的方法使，，因此测得的长就是的长，在这里判定，最恰当的理由是（　　）A． B． C． D． 6题 7题 7．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在河岸BF上取两点C、D，使CD＝BC，再作DE⊥BF，垂足为D，使A、C、E三点在一条直线上，测得ED＝30米，因此AB的长是（　　）A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 8．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（　　） A．a B．b C．b﹣a D． （b﹣a） 8题 9题 10题 11题 9．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配．A．① B．② C．③ D．①和② 10．一块三角形玻璃板被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　） A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可 11．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇.他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点.然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点.小明测得C、D间的距离为90米，则在A点处小明与游艇的距离为　 　米. 【题型十二：尺规作三角形】 1．给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是( ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．根据下列已知条件．能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 3．根据下列条件作出的三角形不唯一是（     ） A．AB=6，∠A=60°，∠C=40° B．AB=5，BC=4，CA=6 C．AB=5，AC=4，∠C=40° D．∠A=50°，AB=8，AC=6 4．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图（图②），要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（    ）A． B． C． D．      5．如图，．用直尺和圆规作，使得．（要求：①用两种不同的方法作图；②不写作法，保留作图痕迹）    6．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，．    求作：，使． 下面是作图示范：      正确作图顺序为（    ）A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 7, 如图所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（ ）个．A．2 B．4 C．6 D．8 39 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$