数学（考前指导课件，含知识手册）-2025年高考考前最后一课

1 新高考数学考前回归知识必备 *1 集合与常用逻辑用语 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 集 合 概念 Ａ={ } 元素特点：互异性、无序性、确定性。 一组对象的全体. ,x A x A  关系 子集 Ａ的子集有 个，真子集有 个，非空 真子集有 个 A  ； ,A B B C A C    真子集 相等 ,A B B A A B    运算 交集  | ,x xB x BA A  且 【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、 补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和 空集这两种特殊情况，补集思想常运用 于解决否定型或正面较复杂有关问题。 并集  | ,x xB x BA A  或 补集  |U x x UC A x A 且 充要 条件 充分条件 p q ， p 是 q的充分条件 若命题 p 对应集合 A ，命题q对应集合 B ，则 p q 等价于 A B ，p q 等 价于 A B 。 必要条件 p q ， q是 p 的必要条件 充要条件 p q ， ,p q互为充要条件 量词 全称量词  ，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。 存在量词 ，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。 *常考模式： 全称命题 p： ；全称命题 p 的否定 p： . 特称命题 p： ；特称命题 p 的否定 p： . *2.复数 复 数 复数 的概 念和 运算 概念 虚数单位 规定： 2 1i   ；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、 乘运算律仍成立。 4 4 1 4 2 4 31, , 1, ( )k k k ki i i i i i k         Z 。 复数 形如 ( , )a bi a b  R 的数叫做复数，a叫做复数的实部，b 叫做复数的 虚部。 0b  时叫虚数、 0, 0a b  时叫纯虚数。 复数相等 ( , , , ) ,a bi c di a b c d a c b d      R 共轭复数 实部相等，虚部互为相反数。即 z a bi  ，则 z a bi  。 运算 加减法 ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i       ， ( , , , )a b c d  R 。 乘法 ( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd bc ad i      ， ( , , , )a b c d  R 除法 2 2 2 2 , , ,( ) ( ) ( 0, )a b c d ac bd bc da a bi c di i c di c d c d            R 几 何 意义 复数 z a bi  一一对应 复平面内的点 ( , )Z a b 一一对应 向量OZ  向量OZ  的模叫做复数的模， 2 2z a b  主 要 性 质 复数 运算 *1.运算律：⑴ ； ⑵ ； ⑶ . 【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：⑴ ； ⑵ ； ⑶ . *3.重要结论： ； ； ， ； 性质：T=4； . 【拓展】： 或 . 1 2 3, , na a a a 2n 2 1n  2 2n  , ( )x M p x   , ( )x M p x   , ( )x M p x   , ( )x M p x   m n m nz z z   ( )m n mnz z 1 2 1 2( ) ( , ) m m mz z z z m n N   1 2 1 2| | | || |z z z z 1 1 2 2 | | | | | | z z z z  nnz z 22 1 2z z z z     2 1 2i i   1 1 i i i     1 1 i i i    i 1 , ,1, 4342414   nnnn iiiiii   3 21 1 1 0 1            1 3 i 2 2     2 3.平面向量 平 面 向 量 重 要 概 念 向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。 0  向量 长度为0，方向任意的向量。【0  与任一非零向量共线】 平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。 向量的模 22 2 2 2 2| | , | |a x y a a x y        两点间的距离 若    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则    2 22 1 2 1| |AB x x y y    向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是 0, 。 ,a b   的夹角记为 ,a b    。 ,a b    锐角 0a b     , ,a b   不同向； ,a b    为直角 0a b     ； ,a b    钝角 0a b     , ,a b   不反向. 向量的夹角带有方向性：向量是有方向的，向量间的夹角表示两个向量正方向的夹角 投影向量 ,a b     ， ?⃗? 𝑐𝑜𝑠𝜃 | ⃗| ⃗ 叫做b  在a  方向上的投影向量。 重 要 法 则 定 理 基本定理 1 2,e e   不共线，存在唯一的实数对 ( , )  ，使 1 2a e e      。若 1 2,e e   为 ,x y 轴 上的单位正交向量， ( , )  就是向量a  的坐标。 一般表示 坐标表示 共线条件 / /a b   （ 0b    共线 存在唯一实数 ，a b   1 2 1 2x y y x  ＝0 垂直条件 0a b a b        。 1 1 2 2 0x y x y  。 各 种 运 算 加法 运算 法则 设 ,AB a BC b      ，那么向量 AC  叫做 a  与 b  的和，即 a b AB BC AC         ；向量加法的三角形法则可推广至多个 向量相加： A B B C C D      PQ QR     AR  ，但这 时必须“首尾相连”。 1 2 1 2( , )a b x x y y      。 算律 交换律a b b a       ，结合律 ( ) ( )a b c a b c           减法 运算 法则 用“三角形法则”：设 , ,AB a AC b      a b   那么 AB AC CA      ，由减向量的终点指向被减向量的终点。 注意：此处减向量与被减向量的起点相同。“共起点” 1 2 1 2( , )a b x x y y      数乘 运算 概念 a   为向量， 0  与a  方向相同， 0  与a  方向相反， a a    。 ( , )a x y    算律 分配律 aa )()(   ， aaa   )( ， 分配律 baba   )( 与数乘运算有同样的坐标 表示。 数量 积运 算 概念 cos ,a b a b a b           1 2 1 2a b x x y y     。 主要 性质 2 a a a     ，|a·b|≤|a||b| 22 2 2 2 2| | , | |a x y a a x y       算律 a b b a       ，分配律 ( )a b c a c b c            ， ( ) ( ) ( )a b a b a b             。 算律 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一 个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量， 切记两向量不能相除(相约)；（2） ( ) ( )a b c a b c         向 量 的 表 示 方 法 几何表示法 用带箭头的有向线段表示，如 AB  ，注意起点在前，终点在后； 符号表示法 用一个小写的英文字母来表示，如 a  ， b  ， c  等； 坐标表示法 在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i  ， j  为基底，则平面内 的任一向量 a  可表示为  ,a xi y j x y      ，称  ,x y 为向量 a  的坐标，a ＝  ,x y 叫做向量 a 的 坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三角形的五个“心” 重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 3 *4.不等式 同 向 不 等 式 a b b c a c   ， 0 0a b c ac bc a b c ac bc       ， ； ， ； a b c d a c b d     ， 0 0a b c d ac bd     ， 两个实数的顺序关系： 0a b a b    0a b a b    取倒数法则 0ab  ， 1 1a b a b    *0 1 n nn na b n n a b a b      N， ， ； 基 本 不 等 式 最值 定理   ，若积 ，则当 时和 有最小值 ；   ，若和 ，则当 是积 有最大值 . 【推广】：已知 ，则有 . （1）若积 是定值，则当 最大时， 最大；当 最小时， 最小. （2）若和 是定值，则当 最大时， 最小；当 最小时， 最大 均 值 不 等 式 平方平均 算术平均 几何平均 调和平均 ( , ,a b R 当且仅当 取“ ”) （正数 a1=a2=…=an时取等）算术平均 几何平均 重 要 不 等 式（a、 b 、 c 为 正 数） 2 2 2 | | ( , ,a b ab a b R   当且仅当 时取到“ ”) ， （ ， ）； 糖 水 的 浓 度 ，则 .【说明】： （ ）. “ 1” 的 代换  已知 ，若 ，则有：   ，若 则有： *5.函数的概念与性质 函 数 概 念 及 其 表 示 函数 的概 念 函数用 f(x)来表示：即 x 按照对应法则 f 对应的函数值为 f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。 定义域 A：x 取值范围组成集合。值域 B：y 取值范围组成集合。对应法则 f：y 与 x 对应关系。 如：函数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 定义 域题 型 (1)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式: 使函数解析式有意义(如:分母 0 ;偶次 根式被开方数非负; 零指数幂底数 0 ；实际问题有意义；对数真数 0 ,底数 0 且 1 ；如 lg 1x 的解集： 0 10x  ； lny x 单调增区间 (0, )；如：不等式 lg | | 1x  的解集 { | 1 1 0}x x x   且 (2) 复合函数定义域求法：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。若 ( )f x 的定义域为 [ , ]a b , 其复合函数 [ ( )]f g x 的定义域可由不等式 ( )a g x b 解出；若 [ ( )]f g x 的定义域为 [ , ]a b ,求 ( )f t 的定义域， 相当于 [ , ]x a b 时,求 ( )t g x 的值域；如若函数 2( 1)f x  的定义域为 [ 2,1) ，则 ( )f x 定义域为___（答：[1,5]） 区间 数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小 于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思； （1）区间是集合的另类表示方式，区间就是集合，具有集合的一般性质。 （2）它是无限集，连续的实数。{ |1 2x x  或 4}x   表示成（1，2） { 4} ，不能写成 (1,2) 4x  且 。 , 0, 2x y x y xy  ≥由 ( )xy P 定值 x y x y 2 p , 0, 2x y x y xy  ≥由 ( )x y S  定值 x y xy 21 4 s Ryx , xyyxyx 2)()( 22  xy || yx  || yx  || yx  || yx  || yx  || yx  || xy || yx  || xy ≥ ≥ ≥ 2 2 2( ) 2 2 a b a b ab   ≤ ≤ a b  2 22 2 “ ” 1 1 2 2 ab a b a b ab a b a b a b       ≤ ≤ ≤ （当且仅当 时取 ） 1 2 1 2 n n n a a a a a a n    ≥ ≥ a b  3 3 2 2a b a b ab ≥ 3 3 3 2 2 23 ( )( )a b c abc a b c a b c ab ac bc            3 3 3 3a b c abc  ≥ 0a b c   等式即可成立 时取等或 0 cbacba 3 3 a b c abc   ≤  3( ) 3 a b c abc   ≤ 3 3 3 3 a b c  ≤ 0 0a b a m   ， b m b b m a m a a m       b b m a a m    0, 0a b m   , , , Ra x b y  1ax by  21 1 1 1( )( ) 2 ( )by axax by a b a b ab a b x y x y x y            ≥ , , , Ra x b y  1 a b x y     2( ) 2 ( ) ay bx x y x y a b ab a b x y          4 性 质 奇 偶 性 定义 如果 ( ) ( )f x f x  ,则 ( )f x 为偶函数；如果 ( ) ( )f x f x   ,则 ( )f x 为奇函数。 这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。确定奇偶性方法有定义法、图像法等； （1）若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断，如判断函数 2 2 lg(1 ) ( ) | 2 | 2 x f x x     奇偶性 偶函数； （2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单调性； （3）若 ( )f x 是偶函数,那么 ( ) ( ) (| |)f x f x f x   ；定义域含零的奇函数必过原点( (0) 0f  )； 判断 定义法判断：⑴定义域是关于原点对称的；（2）计算 ( ) ( ) 0f x f x   或 ( ) 1( ( ) 0) ( ) f x f x f x     ； 若函数 2( ) 1 2 x x kf x k    （a为常数）在定义域上为奇函数，则 k= 1 利用 (1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式；(2).利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)， 奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇；F(x)=f(x)+g(x)，当 f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x 得：F(-x)=-f(x)+g(x), 两式相加可以消去 f(x),两式相减可以消去 g(x),从而解决问题；（4）奇偶函数图像的对称性 周 期 性 对定义域内任意 x，存在非零常数T ， ( ) ( )f x T f x  ，T 为 ( )f x 周期 ⑴若 ( )y f x 对x R 时 ( ) ( )f x a f x a   恒成立,则 ( )f x 的周期为2 | |a ； ⑵若 ( )y f x 是偶函数,其图像又关于直线 x a 对称,则 ( )f x 的周期为 2 | |a ； ⑶ ( ) ( )f x a f x   ， 1( ) ( ) f x a f x    或 ( ) ( )f x a f x k  或 ( ) ( )f x a f x k   T 为 2 | |a ； 单 调 性 定义 定义域内一区间 I ， 1 2 1 2, , ,x x I x x  增 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x   ；减 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x   求 单 调 区 间 定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等（提醒：求单调区间时注意定义域） 导数法：i 求定义域：ii 求 ( )f x ；iii ( ) 0f x  的解构成增区间；注意：区间表示。如：函数 1 2 2log ( 2 )y x x   的单调递增区间是 .( (1,2) )；函数 1y x x   单调增区间是 .( ( ,0) 和 (0, ) ) 证明 定义法、导数法。判断单调性：小题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。 （1）定义法：i 取值 1 2x x ii 作差变形判断 1 2( ) ( )f x f x 符号； （2）导数法：i 求 ( )f x ；ii 判断 ( )f x 符号； 利用 (1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，断。 (2).比较函数值的大小：画图看(3)解不等式：增 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x   或 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x   ；减 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x   或 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x   (4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系 数。 3 log 1 5a  ，则 a 范围是 3 1 0 5 a a  或 ； 已知   log ( 0, 1)af x x a a   为 R 上增，则 ( 1) 0f x   的实数 x 的取值范围。 (0,1) (1,2) 复 合 函数 由“同增异减”判定：①分解为基本函数：内函数 ( )u g x 与外函数 ( )y f u ； ②分别研究内、外函数 在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内单调性. 已知复合函数单调性，求字母范围：i 分解出内外层函数；ii 研究内外层函数的单调性的关系； iii 兼顾函数的定义域；如：若 y=log a (2-ax)在［0，1］上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是 (1，2) *6.函数﹑基本初等函数的图像与性质 求 函 数 解 析 式 的 常 用 方 待定系数 法基本步 骤 ①确定所求问题含有待定系数的解析式；二次函数解析式的三种形式： 一般式： 2( ) ( 0)f x ax bx c a    ； 顶点式： 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a    ； 零点式： 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a    . ②根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； ③解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如一元二次不等式 ( ) 1f x x  解集是 (-1, )2 ,可设 ( )- +1=a(x+1)(x-2)f x x 配凑法 若 2 2 1 1 ( )f x x x x    ，则函数 ( 1)f x  =_____（答： 2 2 3x x  ） 坐标转移 函数 ( )y f x 关于函数 ln 1y x  图形关于直线 y x 对称，则 ( )f x  2 2xe  函数 ( )y f x 与 的图像关于原点成中心对称； ( )y f x   5 法 方程的思 想 对已知等式进行赋值，从而得到关于 ( )f x 及另外一个函数的方程组； 函数 ( )f x 是一个偶函数， ( )g x 是一个奇函数，且 1 ( ) ( ) 1 f x g x x    ，则 ( )f x 等于 2 1 1x  ； 若函数 ( ), ( )f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足 ( ) ( ) xf x g x e  ，则有 ( )f x = 2 x xe e 图 象 几 种 常 见 变 换 对称 变换 ①函数 ( )y f x 与 ( )y f x   的图像关于原点成中心对称 ②函数 ( )y f x 与 ( )y f x  图像关于直线 0x ( y 轴)对称； ③函数 ( )y f x 对 x R ， ( ) ( )f a x f a x   或 ( ) (2 )f x f a x  恒成立,图像关于 x a 对称； ④若 ( )y f x 对 x R 时, ( ) ( )f a x f b x   恒成立,则 ( )y f x 图像关于 2 a b x   对称； 函数 ( )y f a x  , ( )y f b x  的图像关于直线 2 b a x   对称(由 a x b x   确定)； ⑤函数  y f ax ( 0)a  的图象是把函数  y f x 的图象沿 x 轴伸缩为原来的 1 a 得到的。 如若函数 (2 1)y f x  是偶函数，则函数 (2 )y f x 的对称轴方程是_______(答： 1 2 x   )． 平移变换 左右平移----“左加右减”（针对 x 而言）；上下平移----“上加下减”(针对 y 而言) 翻折变换 ( ) | ( ) |f x f x ； ( ) (| |)f x f x .注意翻折时机和翻折的本质：如 | 3|2 xy  由 | |2 xy  向右平移 3 单位 求 函 数 值 域 （ 最 值 ） 的 方 法 配方法 二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 [ , ]m n 上的最值；二是求区间定（动）， 对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向； 二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如求函数 2 2 5, [ 1,2]y x x x     的值域（答：[4,8]）； 换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数 公式模型，如 2 1 1y x x    的值域为_____（答： (3, ) ）（令 1x t  ， 0t  。运用换元法时，要 特别要注意新元 t 的范围）； 有界性 利用已学过函数的有界性，确定值域，最常用的就是三角函数的有界性，如 2sin 1 1 sin y      1 ( , ] 2  单调性 利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求 2 2 9 sin 1 sin y x x    ； 11 [ ,9] 2 ； 数形结合 函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如已知点 ( , )P x y 在圆 2 2 1x y  上，求 2 y x  的取值范围（答： 3 3 [ , ] 3 3  ）；求 2 2( 2) ( 8)y x x    的值域（答： [10, ) ）； 判别式 求 21 x y x   的值域（答： 1 1 [ , ] 2 2  ）； 不等式 利用基本不等式 2 ( , )a b ab a b R    求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析 式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 导数法 一般适用于高次多项式函数，如求函数 3 2( ) 2 4 40f x x x x   ， [ 3,3]x   的最小值。（答：－48） 提醒：求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合包括区间形式了吗？ 6 *7. 函数与方程﹑函数模型及其应用 基本 初等 函数   指数函数 ( 0, 1)xy a a a  且 定义域 R 值域 (0, ) 0 1a  ( , )  单调递减， 0x  时 1y  ， 0x  时0 1y  1a  ( , )  单 调 递 增 ， 0x  时 0 1y  ， 0x  时 1y  对数函数：函数 log ( 0,ay x a  1)a 且 ； 2( 3 3) xy a a a    是指数函数，则有 （ 2.a  ） 函数的定义域为 (0, ) 函数的值域为 R；函数 1 1 ( ) 2 xy  的值域是__．（0，＋∞）； 0 1a  在 (0, ) 单调递减， 0 1x  时 0y  ， 1x  时 0y  1a  在 (0, ) 单调递增， 0 1x  时 0y  ， 1x  时 0y  幂函数 一 般 地 ， 形 如 y x ( )a R 的函数称为幂函 数，其中 为常 数． 0  幂函数的图象通过原点，并且在区间 ),0[  上是增函数 1 幂函数的图象下凸 10   幂函数的图象上凸 0  幂函数的图象在区间 ),0(  上是减函 数．在第一象限内，当 x 从右边趋向原点 时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正 半轴，当 x 趋于  时，图象在 x 轴上 方无限地逼近 x 轴正半轴． 指数 函数 对数 函数 对数与对数性质： ⑴ log log n n a a b b ( 0, 1, 0, 0)a a b n    ；⑵对数恒等式 log ( 0, 1, 0)a Na N a a N    ⑶ log ( ) log log ;log log log ;log logna a a a a a a a M M N M N M N M n M N       ； 1log logna aM n M ； ⑷对数换底公式 loglog loga b b N N a  ( 0, 1, 0, 1)a a b b    函数 零点 概念 函数 ( )y f x 的零点就是方程 ( ) 0f x  实数根，亦即函数 ( )y f x 的图象与 x 轴交点的横坐标．即：方 程 ( ) 0f x  有实数根  函数 ( )y f x 的图象与 x 轴有交点  函数 ( )y f x 有零点；如：函数 ( ) | lg |f x x x  在定义域上零点个数为 1 存在定 理 图象在[ , ]a b 上连续不断，若 ( ) ( ) 0f a f b  ，则 ( )y f x 在 ( , )a b 内存在零点。 二 分 法 方法 对于在区间 a[ ， ]b 上连续不断，且满足 ( )f a · ( )f b 0 的函数 ( )y f x ，通过不断地把函数 ( )f x 的 零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 步骤 第一步 确定区间 ,a b ，验证 ( ) ( ) 0f a f b  ，给定精确度 。 第二步 求区间 ,a b 的中点c； 第三步 计算  f c ：（1）若   0f c  ，则 c就是函数的零点；（2）若     0f a f c  ， 则令b c （此时零点  0 ,x a c ）；（3）若     0f c f b  ，则令a c （此 时零点  0 ,x c b ）．（4）判断是否达到精确度 : 即若 a b   ，则得到零点 近似值 a （或b ）；否则重复（2）～（4）． 函数 2 ( ) ln( 1)f x x x    的零点所在的大致区间是（0，1）或 (1 , 2) （画图 2 ln( 1)x x   ；注意： ( ) 0f x  只能说明 函数在 ( 1,0), (0, )  分别增，不是在定义域内增，不能误认为零点只有一个（错）） 7 *8. 导数及其应用 1 导 数 及 其 应 用 概 念 与 几 何 意 义 概念 ( )f x 在点 0x 处的导数 0 0 0 0( ) lim ( ) ( ) x f x f x x f x x        如当 0,x  sin( ) sin 3 3 x x       . 几何 意义 （1）“在”点 1 1( , )x y 处的切线：ⅰ斜率= 1( )k f x ⅱ切线 1 1 1( )( )y y f x x x   曲线 ( )y f x 在点   0, 0P x f x 处的切线的斜率是  0f x ，相应地切线的方程是   0 0 0y y f x x x    。 （2）“过”点 1 1( , )x y 在曲线上 0 0( )y f x 切线： ⅰ设切点 0 0( , )x y ；ⅱ求切线方程；iii 列方程组：切点 0 0( , )x y 在曲线上 0 0( )y f x ；切点在切线 1 0 1( )( )y y f x x x   上；iv 解方程组，得 0x ，求切线。 如 3( ) 3f x x x  ，过 (2, 6)P  作 ( )y f x 的切线，求此切线的方程（答： 3 0x y  或 24 54 0x y   ）。 如经过原点且与曲线 y= 9 5 x x   相切的方程是 两个切点 A(－3，3)或 B(－15, 3 5 )x+y=0 或 25 x +y=0； 在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某 点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条； 物理 意义 瞬时速度；V＝s / (t) 表示即时速度。a=v / (t) 表示加速度。 如一物体的运动方程是 21s t t   ，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3t  时的瞬时速 度为____（5 米/秒） 运 算 基本 公式 ① 'C 0 ；② ' 1( )n nx nx  ；③ '(sin ) cosx x ；④ '(cos ) sinx x  ； ⑤ '( ) lnx xa a a ；⑥ '( )x xe e ；⑦ ' 1(log ) lna x x a  ；⑧ ' 1 (ln )x x  。 2 1 1 ( ) ' x x   ； 1 (ln ) 'x x  运算 法则 2( ) ;( ) ;( ) ; u u v uv u v u v uv u v uv v v              复合函数求导法则  ( ( )) ' '( ( )) '( )y f g x f g x g x  如等比数列 na 中， 1 2a  ， 8a =4，函数   1 2 8( )( ) ( )f x x x a x a x a    ，则  ' 0f  122 解：  ' '1 2 8 1 2 81 [( )( ) ( )] [( )( ) ( )]f x x a x a x a x x a x a x a           故 ' 4 121 2 3 8 1 8(0) ( ) 2f a a a a a a   研 究 函 数 性 质 函 数 的 单 调性  若 ( ) 0f x  ,则 ( )f x 为增函数；若 ( ) 0f x  ,则 ( )f x 为减函数； 若 ( )f x 的符号不确定,则 ( )f x 不是单调函数。  若函数 ( )y f x 在区间（ ,a b ）上单调递增，则 ( ) 0f x  ，反之等号不成立；若函数 ( )y f x 在区 间（ ,a b ）上单调递减，则 ( ) 0f x  ，反之等号不成立 如：已知 ( )f x 为减函数求字母取值范围,那么不等式 ( ) 0f x  恒成立。如：设 0a  函数 3( )f x x ax  在 [1, ) 上单调函数，则实数 a的取值范围______（答： 0 3a  ）； 已知函数 2 2 ( ) ln ( 0),f x x a x x x     若 ( )f x 在[1, ) 上单调递增，求 a的取值范围： 0a  ； 如：若函数 y=－ 4 3 x3+bx 有三个单调区间，则 b 的取值范围是_____解析：y′=－4x2+b，若 y′值有 正、有负，则 b>0；如： 1 ( )f x x x   的单调减区间：减区间 ( 1,0),(0,1) ，你会画图吗？ 求函数的单调区间的具体步骤是：①确定 ( )f x 的定义域；②计算导数 / ( )f x ；③求出 / ( ) 0f x  的根； ④用 / ( ) 0f x  的根将 ( )f x 的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内 / ( )f x 的符号,进而确定 ( )f x 的单调区间； 思考 1.导数有哪些应用？（求斜率，判断单调性与求单调区间，求极值与最值，证明不等式）， 导数的几何意义是什么？物理意义呢？知道是牛顿和莱布尼兹发明了微积分吗？ 2．求导数的规则、公式你都记得吗？一共有多少个公式？有两个容易记错！导函数相 同的两个原函数一定也相同吗？请举例说明。 3．导数的定义还记得吗？它的几何意义和物理意义分别是什么？利用导数可解决哪些 问题？具体步骤还记得吗？求切线，求极值，求单调区间，求最值， 4 导数求曲线的切线步骤是什么？你能区别“在”一点处的切线和“过”一点的切线吗？ 新 疆 源头学 子小 屋 特 级教师 王新 敞 ht p:/w w .xjk tyg .com /w xc/ wx ckt@ 12 6.co m wx ckt@ 12 6.co m ht p:/w w .xjk tyg .com /w xc/ 王新 敞 特 级教师 源头学 子小 屋 新 疆 8 *9. 导数及其应用 2 导 数 及 其 应 用 研 究 函 数 性 质 极 值 函数的极值定义：设函数 ( )f x 在点 0x 附近有定义，如果对 0x 附近所有的点，都有 0( ) ( )f x f x ，就说 是 0( )f x 函数 ( )f x 的一个极大值。记作 y极大值 ＝ 0( )f x ，如果对 0x 附近所有的点，都有 0( ) ( )f x f x ，就 说是 0( )f x 函数 ( )f x 的一个极小值。记作 y极小值 ＝ 0( )f x 。极大值和极小值统称为极值。 极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味 着它在函数的整个的定义域内最大或最小；函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为 极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 如：设 f（x）=x3－3ax2+2bx在 x=1 处有极小值－1，试求 a、b的值，并求出 f（x）的单调区间； 解 3 6 2 0, 2 3 2 0. a b a b        a= 1 3 b=－ 1 2 此时 f（x）=x3－x2－x， f （x）=3x2－2x－1=3（x+ 1 3 ）（x－1） 当 f （x）>0 时，x>1 或 x<－ 1 3 ，当 f （x）<0 时，－ 1 3 <x<1 ∴单调增区间（－∞，－ 1 3 ）和（1，+ ∞），减区间（－ 1 3 ，1）； 求函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数 f′(x) ；(2)求方程 f′(x)=0 的根；(3) 列表（分区讨论单调性和极值点）：用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间， 并列成表格检查 f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则 f(x)在 这个根处无极值； 提醒：给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑 0( ) 0f x  ，又要考虑检验“左正 右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！   3 2 2 1f x x ax bx a x    在 处有极小值 10，则 a+b 的值为___－7； 3, 3a b   （舍）或 4, 11a b   ； 最 值  ,a b 上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中 的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。 在闭区间  ,a b 上连续的函数 ( )f x 在  ,a b 上必有最大值与最小值的步骤：ⅰ讨论单调区间； ii。判断极 值；ⅲ 极值与闭区间端点的函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。如：函数 3 22 3 12 5y x x x    在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；-15） 零 点 函数 )()()( xgxfxF  有零点或者方程 )()( xgxf  有解： ①（代数法）根据极值正负，画图观察函数 )()()( xgxfxF  图像与 X 轴交点情况； ②（几何法）作图要准确。方程 )()( xgxf  ，两个函数图像有交点。 零点定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ．那么在开区间 内 至少有函数 的一个零点，即至少有一点 （ ＜ ＜ ）使 ． 如：（1）若方程 22 1 0ax x   在（0，1）内恰有一解，求实数 a的取值范围。 1a  ； 反 思 1．求极值，求单调区间，求最值？利用导数求函数单调区间时，一般由 / ( ) 0f x  解得的 区间是单调增区间；利用导数求函数最值的步骤你还清楚吗？最好是列表！ “函数在某 点取得极值”你会灵活应用吗？不仅表示在该点的导函数值为零，而且导函数在该点两 侧函数值的符号相异的。 2．极值就是最值吗？极大值一定大于极小值吗？ 你记得极值的定义原文吗吗？使 f/（x） =0 的 x 的值就是极值点吗？求最值的根本方法是什么（单调性法）？其它方法呢？（均 值不等式法），求最值的口诀你记得吗？（不在极点处，便在端点处）； 对 f（x）=x3+bx2+cx+d，f/（x）大致图象是怎样？。 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 新 疆 源头学 子小 屋 特 级教师 王新 敞 ht p:/w w .xjk tyg .com /w xc/ wx ckt@ 12 6.co m wx ckt@ 12 6.co m ht p:/w w .xjk tyg .com /w xc/ 王新 敞 特 级教师 源头学 子小 屋 新 疆 新 疆 源头学 子小 屋 特 级教师 王新 敞 ht p:/w w .xjk tyg .com /w xc/ wx ckt@ 12 6.co m wx ckt@ 12 6.co m ht p:/w w .xjk tyg .com /w xc/ 王新 敞 特 级教师 源头学 子小 屋 新 疆 新 疆 源头学 子小 屋 特 级教师 王新 敞 ht p:/w w .xjk tyg .com /w xc/ wx ckt@ 12 6.co m wx ckt@ 12 6.co m ht p:/w w .xjk tyg .com /w xc/ 王新 敞 特 级教师 源头学 子小 屋 新 疆 ）（xf ],[ ba ( ) ( ) 0f a f b ＜ ),( ba )(xf  a  b 0)( f 9 *10. 三角函数的图像与性质 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 三 角 形 中 的 三 角 变 换 基 本 问 题 角概念的推广 1. 终边与 终边相同 2 ( )k k Z      ；习惯上 x 轴正半轴作为角起始边，叫角的始边; 2. 象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重 合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这 个角不属于任何象限。 弧度制的定义 l R  ；弧长公式 | |l r ；扇形面积公式： 2 1 1 2 2 | |S lr r 扇 形 ；1弧度(1rad )≈57.3 . 任意角的三 角函数定义 角 中边上任意一点 P 为 ( , )x y ，设 | |OP r 则： s in , c o s ,y x r r    t a n y x   注意： tan15 cot 75 2 3     ； tan75 cot15 2 3     同角三角 函数关系 2 2 sinsin cos 1, tan cos        诱导公式 360 ,180     ，  ，90 , 270     ， “奇变偶不变，符号看象限”． 性 质 与 图 象 周期 奇偶性 对称中心 对称轴 sin( )y A x   2 | | T    奇函数 ( , 0)( )k Z k     ( ( ) 2 )x k Zk      cosy x 2 | | T    偶函数 ( , 0)( )2 k Zk      ( )x k Zk    图 象 变 换 平移变换 上下平移 ( )y f x 图象平移 k 得 ( )y f x k  图象， 0k  向上， 0k  向下。 左右平移 ( )y f x 图象平移  得 ( )y f x   图象， 0  向左， 0  向右。 伸缩变换 x轴方向 ( )y f x 图象各点把横坐标变为原来 倍得 1( )y f x   的图象。 y 轴方向 ( )y f x 图象各点纵坐标变为原来的 A 倍得 ( )y Af x 的图象。 对称变换 中心对称 ( )y f x 图象关于点 ( , )a b 对称图象的解析式是 2 (2 )y b f a x   轴对称 ( )y f x 图象关于直线 x a 对称图象的解析式是 (2 )y f a x  。 正 切 函 数 的 图 象 和 性 质 （1）定义域：{ | , } 2 x x k k Z     。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义 域了吗？ （2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：是周期函数且周期是 ，它与直线 y a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期  。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方， 其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不 变，其它不定。 （4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是 ( ,0) 2 k  k Z ，特别提醒：正(余)切型函数 的对称中心有两类：一类是图象与 x轴的交点，另一类是渐近线与 x 轴的交点，但无对称轴， 这是与正弦、余弦函数的不同之处。 （5）单调性：正切函数在开区间  ( , ) 2 2 k k k Z       内都是增函数。但要注意在整个 定义域上不具有单调性。 (1)若 ，则 ；(2) 若 ，则 ； (3) ；(4) 在 上是减函数；（5）若 sin ,cos 1,x x  sin ,cos 1x x  (0, ) 2 x   sin tanx x x  (0, ) 2 x   1 sin cos 2x x  ≤ | sin | | cos | 1x x ≥ x x xf sin )(  ),0(  10 *11. 三角恒等变换 三 角 恒 等 变 换 变 换 公 式 正弦 和差角公式 倍角公式 2 2 tan sin 2 1 tan     2 2 1 tan cos 2 1 tan      2 1 cos 2sin 2   2 1 cos 2cos 2   sin ( ) sin cos cos sin          sin 2 2sin cos   余弦 co s ( ) co s co s s in s in          2 2 2 2 c o s 2 c o s s in 2 c o s 1 1 2 s in            正切 t a n t a n t a n ( ) 1 t a n ta n          2 2 t a n t a n 2 1 t a n     三 角 变 换 三角变换 指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运算结 构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”. 化简技巧 角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角， 平方消元等 角的变换 已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和 差角的变换. 角的“配” 与“凑” 掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下： ， ； ， ； ； ； ， ； ； 等. “降幂”与 “升幂” （次的变 化） 利用二倍角公式 和二倍角公式的 等价变形 ， ，可以进行“升”与“降”的变换， 即“二次”与“一次”的互化. 切割化名 的变化 利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于 解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”. 常值变换 常值 可作特殊角的三角函数值来代换.此外，“1”常值 引入辅助 角 ， 期中 . 特别的， ; ， 等. 若方程 sin 3 cosx x c  有实数解，则c的取值范围是__（答：[－2,2]）； 当函数 2 3y cos x sin x  取得最大值时， tan x 的值是______(答： 3 2  )； 如果    sin 2cos( )f x x x     是奇函数，则 tan = (答：－2)； 特殊结构 的构造 构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简. 举例： ， 可以通过 两式和，作进一步化简. 整体代换 举例： ， ，可求出 整体值，作为代换之用. 2     2 2    2 2            2 2 2         ( ) ( ) 2 2 2 2                            2 2[( ) ] 2[( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )                            2 ( )        2 ( )        15 45 30 ,75 45 30           4 2 4       2 2 2 2cos 2 cos sin 2 cos 1 2sin1          2 cos 2sin 1 2    2 sin 2cos 1 2    3 321 , , , ,1, 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 sin cos ( sin cos ) sin( ) a b a b a b a b a b               2 2 2 2 cos ,sin , tan a b b aa b a b         sin cos 2 sin( ) 4 A A A    sin 3 cos 2sin( ) 3 x x x    3 sin cos 2sin( ) 6 x x x    2 2sin 20 cos 50 sin 20 cos50A        2 2cos 20 sin 50 cos 20 sin 50B        1 2 sin 70 , sin 70 2 A B A B         sin cosx x m  22sin cos 1x x m   sin( ) m   sin( ) n   sin cos ,cos sin    11 *12. 解三角形 解 三 角 形 正 弦 定 理 定理 sin sin sin a b c A B C   。 射影定理： cos cosa b C c B  cos cosb a C c A  cos cosc a B b A  变形 2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C   （ R 外接圆半径）。 类型 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。 余 弦 定 理 定理 2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos , 2 cos , 2 cosa b c bc A b a c ac B c a b ab C         。 变形 2 2 2 2 2( ) cos 1 2 2 b c a b c a A bc bc        等。 类型 两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。 面 积 公 式 基本 公式 1 1 1 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 2 2 2a b c S a h b h c h ab C bc A ac B         。 导出 公式 4 abc S R  （ R 外接圆半径）； 1 ( ) 2 S a b c r   （ r 内切圆半径）。 常 见 的 结 论 角的变换 因为在 中， （三内角和定理），所以 任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形： 三内角都是锐角； 三内角的余弦值为正值；  任两角和都是钝角； 任意两边的平方和大于第三边的平方. 即， ； ； ． ； ； . 边、角关 系定理及 面积公式 面积公式： . 其中 为三角形内切圆半径， 为周长之半． 在非直角 中， ． 熟记并会 证明 *1. 成等差数列的充分必要条件是 ． *2. 是正三角形的充分必要条件是 成等差数列且 成等比 数列． *3.三边 成等差数列 *4.三边 成等比数列 , . 锐角 中 ， ； 两内角与 其正弦值 在 中， ，… . 实 际 应 用 基本思想 把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要 根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。 常用术语 仰角 视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 俯角 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 方向 角 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始 方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西 30°）。 方位 角 某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 ABC A B C    sin sin( )A B C  cos cos( )A B C   tan tan( )A B C   2 2 sin cos A B C  2 2 cos sin A B C  2 2 tan cot A B C  1 1 sin ( )( )( ) 2 2a S sh ab C r p p p a p a p a        r p tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A    ABC tan tan tan tan tan tanA B C A B C   , ,A B C   60B   ABC , ,A B C   , , ,a b c , ,a b c  2b a c   2sin sin sinA B C  , , ,a b c  2b ac  2sin sin sinA B C 3 ≤B  ABC 2 A B     sin cos ,sin cos ,sin cosA B B C C A   2 2 2a b c  ABC sin sina b A B A B      cos 2 cos 2B A A B  a b  sin sinA B  cos2 cos 2B A 12 *13. 等差数列﹑等比数列 数 列 、 等 差 数 列 等 比 数 列 一般 数列  na 概念 按照一定的次序排列的一列数。分有穷、无穷、增值、递减、摆动、常数数列等。 通项 数列 na 中的项用一个公式表示， ( )na f n 1 1 , 1, , 2.n n n S n a S S n      前n和 1 2n nS a a a    等差 数列 概念 定义： 1 (n na a d d   为常数）； 等差中项：若 , ,a A b 成等 差数列，则 A 叫做a与b 的等差中项，且 2 a b A   通项： 1 ( 1)na a n d   或 ( )n ma a n m d   ； 前n和 1( ) 2 n n n a a S   ， 1 ( 1) 2n n n S na d    ； 性质： 当 m n p q   时,则有 m n p qa a a a   ，特别地，当 2m n p  时，则有 2m n pa a a  . 若{ }na 是等差数列，则“间隔相等的连续等长片断和序列”即 2 3 2, ,n n n n nS S S S S  ，…也成等差数列 若 , ( )n ma m a n m n   ,则 0m na   ；若 , ( )n mS m S n m n   ,则 ( )m nS m n    等比 数列 概念 定义： 1 (n n a q q a   为常数），其中 0, 0nq a  ；通项： 1 1 n na a q  ； 等比中项：若 , ,a A b 成等比数列， 那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。 前n和 1 11(1 ) 1 1 ( 1) ( 1)n n nqq a aa q q na q S q          n q 指数表示项数，后者有前后两项； 等比数列前 n 项和公式有两种 形式，为此在求等比数列前n项 和时，首先要判断公比 q 是否为 1，再由 q 的情况选择求和公式 的形式，当不能判断公比 q 是否 为 1 时，要对 q 分 1q  和 1q  两种情形讨论求解。 当 1q  时， 1 1 1 1 n n n a a S q aq b q q        ，这里 0a b  ，但 0, 0a b  ，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很 容易根据 nS ，判断数列{ }na 是否为等比数列。 如若{ }na 是等比数列，且 3 n nS r  ，则 r ＝ （答：－1） 项符号 不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 ab 如：已知数列 1， 1 2, , 4a a 成等差数列， 1 2 31, , , , 4b b b 成等比数列，则 1 2 2 a a b  的值为 1 3,b b 性质 当 m n p q   时，则有 m n p qa a a a ，特别地，当 2m n p  时，则有 2 m n pa a a .如各项均为正 数的等比数列{ }na 中，若 5 6 9a a  ，则 3 1 3 2 3 10log log loga a a    （答：10）。 若{ }na 是等比数列，且公比 1q   ，则数列 2 3 2, ,n n n n nS S S S S  ，…也是等比数列。当 1q   ， 且n为偶数时，数列 2 3 2, ,n n n n nS S S S S  ，…是常数数列 0，它不是等比数列. 如{ }na 中， nS =4 1na  +1 ( 2n  )且 1a =1，若 1 2n n nb a a  ，求证：数列｛ nb ｝是等比数列。 常数 数列 如果数列{ }na 既成等差数列又成等比数列，那么数列 { }na 是非零常数数列，故常数数列 { }na 仅是此数列既成 等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 数 列 的 性 质 数列 的单 调性 定义 数列是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项 公式也就是相应函数的解析式。 判断 如已知 *2 ( )156 n n a n N n    ，则在数列 { }na 的最大项为__（答： 1 25 ）；依据不等式性质 证明 数列相邻项作差证明与应用 等 差 数列 0d  时， 1 1( 1)na a n d dn a d      = 1( , )na an b a d b a d     是关于n一次函数，斜率为 d ； 前 n 和 2 1( )2 2n d d S n a n   = 2 1( , )2 2 d d An Bn A B a    是关于 n 的二次函数且常数项为 0； 若公差 0d  ，则为递增等差数列，若公差 0d  ，则为递减等差数列，若公差 0d  ，则为常数列。 等比 数列 若 1 0, 1a q  ，则{ }na 为递增数列；若 1 0, 1a q  , 则{ }na 为递减数列； 若 1 0,0 1a q   ，则{ }na 为递减数列； 13 若 1 0,0 1a q   , 则{ }na 为递增数列；若 0q  ，则{ }na 为摆动数列；若 1q  ，则{ }na 为常数列. *14. 等差数列﹑等比数列 1 数 列 的 性 质 数学 思想 整体 思想 m n m n m n n mS S q S S q S     ；. 1n n nS S a  ； 提醒：(1)求等比数列前 n项和时，首先要判断公比 q 是否为 1，再由 q 的情况选择求和公式的形 式，当不能判断公比 q 是否为 1 时，要对 q 分 1q  和 1q  两种情形讨论求解。但是用整体思想可 以不免讨论：如：设等比数列{ }na 的公比为 q ，前n项和为 nS ，若 1 2, ,n n nS S S  成等差数列，则 q 的 值为 ； 2q ； 方程 思想 m na a m n d    ； nn m m a q a  ； ； 等差、等比数列通项公式及前 n和公式中，涉及到 5 个元素： 1a 、 d 、 q 、 n 、 na 及 nS ， 1a 、 d 、 q 称 作为基本元素，若已知这 5 个元素中任意 3 个，便可 求出其余 2 个，即知 3 求 2 如 , ( )m nS n S m m n   ，求 n mS  ． 解：（法一）基本量法（略）； （法二）设 2nS An Bn  ，则 2 2 (1) (2) An Bn m Am Bm n       (1) (2) 得： 2 2( ) ( )n m A n m B m n     ， m n ， ∴ ( ) 1m n A B    ， ∴ 2( ) ( ) ( )n mS n m A n m B n m        ． 求 n n a b 的解 法 逆 向 思维： 若等差数列{ }na 、{ }nb 的前n和分 别为 nA 、 nB ，且 ( ) n n A f n B  ， 则 2 1 2 1 (2 1) (2 1) (2 1) n n n n n n a n a A f n b n b B         待 定 系 数 法： 1 1 2 2 n n A a n b B a n b    ，设 1 1 2 2( ); ( )n nA kn a n b B kn a n b    ， 1 1;n n n n n na A A b B B     。 .如设{ }na 、{ }nb 是两个等差数列，它们的前 n项和分 别为 nS 和 nT ，若 3 1 4 3 n n S n T n    ，那么 n n a b  ___（答： 6 2 8 7 n n   ） 求 一 般 数 列 邻项变号法：“首正”递减等差数列，前 n 项和最大值是所有非负项之和；“首负”递增等差数列中，前 n 项 和最小值是所有非正项之和。 等差数列{ }na 中， 1 25a  ， 9 17S S ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。 14 *15. 等差数列﹑等比数列 2 公式法 等比数列 { }na 的前 n 项和 S ｎ＝ 2 ｎ －１，则 ① ； ② ； 1 1 1 ( 1) 1n n n n     1 1 1 1( ) ( )n n k k n n k     中 的 最 大 或 最 小 项 \ 前 多 少 项 和 最 大 法一（邻项变号法）：由不等式 0na  确定出前多少项为非负（或非正），求出数列各项变化 趋势和符号； （答：前 13 项和最大，最大值为 169）； 法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数 列的特殊性 *n N 。 2( 13) 169nS n    ，当 13n  时， nS 取最大值，且最大值是 169； 法三：数形结合处理，由等差数列的求和公式可得 2 1( ) ( 0)2 2n d d S n a n d    ， nS 的图象是开口 向下的抛物线上的一群离散点，最高点的横坐标为 9 17 13 2   ，即 13S 最大，易求得最大值为 169。 法四：利用等差数列的性质处理， 由 17 9S S 可得 10 11 17 0a a a    13 14 0a a   ，又 1 0a  ， 从而 0d  ， 13 0a  ， 14 0a  ，故 13S 最大。 如：数列通项 97 98 n n a n    , 前 30 项中最大项和最小项分别是 10 9,a a 用分离常数法,得 98 971 98 na n     .该函数图象是经过坐标轴平移后的反比例式函数图像。 数 列 通 项 、 求 和 的 常 见 方 法 简 单 的 递 推 数 列 解 法 公式法 1 ( 1)na a n d   或 ( )n ma a n m d   ； 1 1 n na a q  或 n mn ma a q  作差法 已知 nS （即 1 2 ( )na a a f n    ）求 na ：  1 1 , ( 1) , ( 2)n n n S na S S n    。 如数列{ }na 满足 1 22 1 1 1 2 5 2 2 2 nn a a a n     ，求 na （答：  114, 12 , 2nn na n   ） 作商法 已知 1 2 ( )na a a f n 求 na 如 ,11 a 对所有的 2n  有 21 2 3 na a a a n ，则 3 5a a  ___（答： 61 16 ） 累加法 1 ( )n na a f n   型 累乘法 1 ( )n na a f n  型 构造法 （构造等差、等比数列），递推式为 11 n n na qa q     （q 为常数）时，可以将数列两边同时除以 1nq  ， 得 1 1 1n n n n a a q q     .如已知 1 11, 3 2 n n na a a    ，求 na （答： 1 15 3 2n nna     ） 待定 系数法 若 1 1( 0,1, 0) ( )n n n na ca d c d a c a          。比较系数得出 ，转化为等比数列。 已知数列{an}满足 a1=1,且 an+1 = 3 na +2,求 na 。设 1 3( )n na t a t    ， 12 3 1nna    若 1n na pa qn d    ， 1 ( 1) ( )n na a n b q a an b       ； 已知数列{an}中，a1=1，且 an+1=3an+2n-1(n=1,2,…),求数列{an}的通项公式。 设 1 ( 1) 3(n na p n q a     )pn q  ， na 12 3n  n 。 若 11 n n na pa q     （ p q ），设 1 1 ( ) n n n na q p a q       ； 已知数列 1{ } 1,na a 满足 na  13 2 ( 2). n na n  求 an设 1 13 2( 3 ) n n n na a      取倒数法 已知 1 1 1 1, 3 1 n n n a a a a      ，求 na （答： 1 3 2n a n   ） 15 常 用 求 和 方 法 2 2 2 2 1 2 3 na a a a    ＝_____（答： 4 1 3 n  ）； ③ ； ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ ； ⑧ ； ⑨ . 分组法 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将 “和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法 求和. 如求： 1 3 5 7 ( 1) (2 1)nnS n         （答： ( 1)n n  ）如 2 2nna n  ， ( 1) 2 n na n   。 裂项法 如果数列通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项 分裂后相关联，常选用裂项相消法求和.裂项形式： 如在数列{ }na 中， 1 1 na n n    ，且 Sｎ 错位相 减法 设数列 na 为等比数列，数列 nb 是等差数列，则数 列 n na b 的前n项和 nS 求解，均可用错位相减法 通项转 换法 先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求 和法求和。求和： 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 n               倒序 相加法 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列 的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加 法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n和 公式的推导方法）. 已知 2 2 ( ) 1 x f x x   ， 则 1 1 1 (1) (2) (3) (4) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 f f f f f f f      ＝_ 7 2 注：表中 ,n k 均为正整数 *16.空间几何体（其中 r为半径、h为高、l为母线等） 空 间 几 何 体 棱 柱 概 念 概念 有两个面互相平行，其余每相邻两个面的 交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。两 底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高 两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底)； 其余各面叫棱柱的侧面； 两侧面公共边叫棱柱的侧棱； 长方体 底面是矩形的直平行六面体是长方体； 长方体体对角线 ，外接球 与三条 棱成角 cos2 +cos2 +cos2 =1，sin2 +sin2 +sin2 =2 如下列关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱； ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则为直棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。 其中真命题的为__（答：②④） 正方体 棱长都相等的长方体叫正方体； 平行六面体 底面是平行四边形四棱柱叫平行六面体； 直棱柱 侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱； 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱； 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱； 底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱； {平行六面体}  {直平行六面体}  {长方体}  {正四棱柱}  {正方体}； 棱 锥 概念 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥； 正棱锥 如果一个棱锥底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样棱锥叫正棱锥； 正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等； 正棱锥的相对的棱互相垂直； ①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) 顶点在底上射影为底面外心； ②侧棱两两垂直(两对对棱垂直) 顶点在底上射影为底面垂心； ③斜高长相等且顶点在底上在底面内 顶点在底上射影为底面内心. 正四面 体 全面积 ；体积 ；对棱间的距离 ； 外接球半径 ；内切球 正四面体内任一点到各面距离之和为 . 表 表面积 体积 2 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 2 1 1k k k k       2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( ) k k k k k k k k k           1 1 1 1 [ ] ( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)n n n n n n n        1 1 ( 1)! ! ( 1)! n n n n     12( 1 ) 2( 1)n n n n n       1 ( 2) n n n a S S n    ≥ 1 1 1 1 m m m m m m n n n n n n C C C C C C         1 1 ( ) a b a b a b    1 1 1 1 ( ) ( )( )An B An C C B An B An C        222 cba  2 2 22R a b c            23S a 32 12 V a 2 2 d a 6 4 R a 6 12 r a 6 3 h a a3 3 a 3 6 a 32 12 V a 6 3 a 1arccos 3 3arccos 3 16 面 积 和 体 积 棱柱 2S S S 侧全 底 表面积即 空间几何 体暴露在 外的所有 面的面积 之和。 V S h  底 高 1 3 V S h  锥 'S S 1 ( ' ' ) 3 V S S S S h   台 ' 0S  V S h  柱 棱锥 S S S 侧全 底 1 3 V S h  底 高 棱台 S S S S  全 侧 上底 下底 1 ( ' ' ) 3 V S S S S h   圆柱 22 2S r rh  全 2V r h 圆锥 2S r rl  全 21 3 V r h 圆台 2 2( ' ' )S r r r l rl   全 2 21 ( ' ' ) 3 V r r r r h   球 24S R球 34 3 V R球 求 体 积 棱柱：体积＝底面积×高，或体积V ＝直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长； 三棱柱的体积 1 2 V Sd （其中 S 为三棱柱一个侧面的面积， d 为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）。 棱锥：体积＝ 1 3 ×底面积×高。注意：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体） i 补形：三棱锥三棱柱；正四面体正方体球； ii 分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等 (1)四面体 A－BCD 中，AC=BD= , BC=AD= , AB=CD=4，则四面体 A－BCD 外接球的面积为 (2)已知 PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为 1.5cm2，2cm2，6cm2，则过 P，A，B， C四点的外接球的表面积为 cm2．答案：26π．（答：5 2 (3) 三个平面两两垂直，它们的交线交于一点 O，P 到三个面的距离分别为 3、4、5，则 OP 的长为_ *17.空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母 表平面）： 空 间 点 、 直 线 、 平 面 的 位 置 关 系 基 本 公 理 公理 1 , , ,A l B l A B l        。 用途 判断直线在平面内。 公理 2 , ,A B C 不共线 , ,A B C 确定平面 。 确定平面。 公理 3 , ,P P l P l        确定两平面的交线 两直线平行 公理 4 a   c，b   c  a  b 位 置 关 系 线线 共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 点线面 ,A l B l  ； ,A B   。 线面 , , .l l A l     。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。 面面     ， l   。分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点。 平 行 关 系 线面 判定定理:如果 一条直线和 一条 直线平行，那么这条直线和这个平面平行． , , // //a b a b a     性质定理:如果一直线和一个平面平行,经过这直线 平 面 和 这 个 平 面 相 交 , 那 么 这 条 直 线 和 平行．a   ，a  ， b    a  b 面面 判定定理: 如果一个平面内的两条 直 线平行于另一平面，那么这两个平面平行. 性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线 ． , , // // , // a b a b P a b              // , , //a b a b         13 21 a  b b  a 17 垂 直 关 系 线面 判定定理: 如果一条直线和一个平面内的 两条 直线都垂直, 那么这条直线和这 个平面垂直． 性质定理: 垂直于同一平面的 平行，垂直于 同一条直线的 平行． , , , m n m n P a a m a n             a a b        b 面面 平面和平面垂直:两个平面垂直的判定定 理 : 如 果 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的 ,那么两个平面互相垂直. 两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内 直线垂直于另一个平面. ,l l       , , ,l a a l a           *18. 空间向量与立体几何 空 间 向 量 与 立 体 几 何 空 间 向 量 重要 概念 共面向量 一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。 空间基底 空间任何三个不共面的向量 , ,a b c    都可做空间的一个基底。 基本 定理 共线定理 ,a b   （ 0b    共线 存在唯一实数 ，a b   。 共面定理 p  与 ,a b  、（ ,a b  不共线）共面 存在实数对 ,x y ，使 p xa yb    ． 基本定理 , ,a b c    不共面，空间任意向量 p  存在唯一的 ( , , )x y z ，使 p xa yb zc      。 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 线面 标志 方向向量 所在直线与已知直线 l平行或者重合的非零向量a  叫做直线 l的方向向量。 法向量 所在直线与已知平面 垂直的非零向量n  叫做平面 的法向量。 位置 关系 线线平行 方向向量共线。 线面平行 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理。 面面平行 判定定理；两个平面的法向量平行。 线线垂直 两直线的方向向量垂直。 线面垂直 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行。 面面垂直 判定定理；两个平面的法向量垂直。 空间 角 线线角 两直线方向向量为 ,a b   ， cos cos ,a b    。 线面角 直线的方向向量为a  ，平面的法向量为n  ， sin cos ,a n    。 二面角 两平面的法向量分别为 1n  和 2n  ，则 1 2cos cos ,n n    。 空间 距离 点线距 直线的方向向量为a  ，直线上任一点为 N ，点M 到 两平行线距离 转 化为点线距。 a   b O    a  l b a O b  a  l  a   18 直线a的距离 sin ,d MN MN a    。 点面距 平面 的法向量为n  ，平面 内任一点为 N ，点M 到平面 的距离 cos , MN n d MN MN n n          。 线面距、面面距转 化为点面距。 * 19.直线方程 直 线 的 方 程 概 念 倾斜角 定义法：已知直线的倾斜角为 α，且 α≠90°，则斜率 k=tanα.；与 x 轴平行或重合时倾斜角为 0 在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线 l 重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角。 斜率 倾斜角为 ，倾斜角不是 90°的直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ，即 k ＝tan ( ≠ 90°)；倾斜角为 90°的直线没有斜率； 直线方程法：ax+by+c=0 的斜率 a k b   。 直线的方向向量法： (1, )a k  若 a=（m，n）为直线方向向量，则斜率 k= n m . 过两点 1 1 2 2( , )( , )x y x y 的直线的斜率 2 1 2 1 y y k x x    ； 点差法：如 2 2 2 2 1 x y a b   中,以 0 0( , )P x y 为中点弦斜率 2 0 2 0 b x k a y   求导数； 直线的倾斜角  的范 围是[0,） 直 线 方 程 点斜式 已知直线过点 0 0( , )x y 斜率为 k ，则直线方程为 0 0( )y y k x x   ,它不包括垂直于 x 轴的直线. 斜截式 已知直线在 y 轴上的截距为b 和斜率 k ，则直线方程为 y kx b  ,它不包括垂直于 x 轴直线. 两点式 已知直线经过 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y 两点,则直线方程为 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x      ,它不包括垂直于坐标轴直线 截距式 已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 ,a b ,则直线方程为 1x y a b   ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过 原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成 0Ax By C   ( ,A B不同时为 0)的形式. 提醒 ⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？) ⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0 .直线两截距相等 直线的斜率为 1 或直线过原点； 直线两截距互为相反数  直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等  直线的斜率为 19 1 或直线过原点. ⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等  直线的斜率为 或直线过 ；直线两截距互为相反数  直线的 斜率为 或直线过 ；直线两截距绝对值相等  直线的斜率为 或直线 过 。 如： 已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC、BC 的距离 乘积的最大值是 3；过点 (1, 4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条 3 设 直 线 方 程 的 一 些 常 用技巧 （1）知直线纵截距b ，常设其方程为 y kx b  ； （2）知直线横截距 0x ，常设其方程为 0x my x  (它不适用于斜率为 0 的直线)； （3）知直线过点 0 0( , )x y ，当斜率 k 存在时，常设其方程为 0 0( )y k x x y   ，当斜率 k 不存在时， 则其方程为 0x x ； （4）与直线 : 0l Ax By C   平行的直线可表示为 1 0Ax By C   ； （5）与直线 : 0l Ax By C   垂直的直线可表示为 1 0Bx Ay C   . 提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解； 位 置 关 系 平行 当不重合的两条直线 1l 和 2l 的斜率存在时， 2121 // kkll  ；如果不重合直线 1l 和 2l 的斜率都 不存在，那么它们都与 x 轴垂直，则 1l // 2l ． 平行  1 2 2 1 0AB A B  且 1 2 2 1 0BC BC  (在 y 轴上截距) 已知直线 1 2 1 2: 6 : ( 2) 3 2 0, //l x ay l a x y a l l      和 则 的充要条件是 （a=-1） 垂直 当两条直线 1l 和 2l 的斜率存在时， 1 2l l  1 2 1k k   ；若两条直线 1 2,l l 中的一条斜率不存在， 则另一条斜率为0 时，它们垂直． 交点 两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。 直线系 方程 ①过两直线交点的直线系方程可设为 1 1 1 2 2 2( ) 0A x B y C A x B y C      ； ②与直线 : 0l Ax By C   平行的直线系方程可设为 0( )Ax By m m c    ； ③与直线 : 0l Ax By C   垂直的直线系方程可设为 0Bx Ay n   . * 20.直线与圆的方程 直 线 与 圆 的 方 程 点 与 线 距 离 点点距 1 1 1 2 2 2( , ), ( , )P x y P x y 两点之间的距离 2 2 1 2 2 1 2 1( ) ( )PP x x y y    。 点线距 点 0 0( , )P x y 到直线 0Ax By C   距离公式 0 0 2 2 Ax By C d A B     线线距 1 0Ax By C   与 2 0Ax By C   平行线距离是 1 2 2 2 C C d A B    点 重心 设三角形 ABC 三顶点 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y , 3 3( , )C x y ,则重心 1 2 3 1 2 3( , )3 3 x x x y y y G     ； 对 称 点 关 于 直 线 的 对 称 点 的求法 点 A 关于直线 L 对称的点 B：1）AB 中点在 L 上；2）AB 垂直直线 L； 如：点Ａ（４，５）关于直线 l的对称点为Ｂ(－2,7)，则 l的方程是_____； 已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线 l :3x－4y+4=0 反射。如 果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_ _ 0 0 0 0 0 2 2 y y B x x A x x y y A B C          点 ( , )a b 关于 x 轴、 y 轴、原点、直线 y x 的对称点分别是 ( , )a b , ( , )a b , ( , )a b  , ( , )b a . 对 称 的 曲 线 方 程 ①点 ( , )a b ： (2 ,2 ) 0f a x b y   ；② x 轴： ( , ) 0f x y  ；③ y 轴： ( , ) 0f x y  ； ④原点： ( , ) 0f x y   ； ⑤直线 y x ： ( , ) 0f y x  ⑥直线 y x  ： ( , ) 0f y x   ； ⑦直线 x a ： (2 , ) 0f a x y  . 圆 与 方 程 圆 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。 标准方程 2 2 2( ) ( )x a y b r    。 提醒：只有当 2 2 4 0D E F   时,方程 2 2 0x y Dx Ey F     才表示圆心为 ( , ) 2 2 D E   ,半径为 2 21 4 2 D E F  的圆 一般方程 2 2 0x y Dx Ey F     2 2( 4 0)D E AF   2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F      表示圆 0A C   ,且 2 20, 4 0B D E AF    ). 20 参数方程 cos sin x a r y b r        ( 为参数), 其中圆心为 ( , )a b ,半径为 r 圆的参数方程主要应用是三角换元： 2 2 2 cos , sinx y r x r y r      ； 直径方程 以 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 为直径的圆的方程 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y      （ 0AP BP    ） 过(1,2)总能作出两条直线和已知圆 2 2 22 15 0x y kx y k      相切，求 k 的取值范围 8 3 8 3( , 3) (2, 3 3 k     ) 点 和 圆 位置关系 的判断 ① 2 2 20 0( ) ( )x a y b r     点 P 在圆外； ② 2 2 20 0( ) ( )x a y b r     点 P 在圆内； ③ 2 2 20 0( ) ( )x a y b r     点 P 在圆上. 相交 相切 相离 线 与 圆 代数法 方程组有两组解 方程组有一组解 方程组无解 几何法 d r d r d r 圆 与 圆 代数法 方程组有两解 方程组有一组解 方程组无解 几何法 1 2 1 2r r d r r    1 2d r r  或 1 2d r r  1 2d r r  或 1 2d r r  切 线 圆上一点 的切线方 程 点 0 0( , )P x y 在圆 2 2 2x y r  上,则过点 P 的切线方程为： 20 0x x y y r  过圆 2 2 2( ) ( )x a y b r    上一点 0 0( , )P x y 切线方程为 2 0 0( )( ) ( )( )x a x a y b y b r      . 过圆外一点的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 k，这时必有两条 切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线． 斜率为 k 的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 b，必有两条切线． 弦 相交弦 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0x y D x E y F x y D x E y F          切点弦 以点 P 和圆心为直径构造一个圆，与原来的圆相交，制造相交弦事件 【注：标准d 根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】 * 21.圆锥曲线的定义、方程与性质 圆 锥 曲 线 的 定 义 、 方 程 与 性 质 定义 标准方程 几何性质 范围 顶点 焦点 对称 性 离心率 椭 圆 平面内与两个定点 1F ， 2F 的 距离之和等于常数 2a（大于 1 2 2F F c ）的点的轨迹叫 做椭圆． 【 2 2 2b a c  ， a b 】 2 2 2 2 1 x y a b   x a y b ( ,0)a (0, )b ( , 0)c x 轴 y 轴 坐标 原点 椭圆中 a c 0 1e   c e a   双曲线 中 a c 1e  2 2 2 2 1 y x a b   y a x b (0, )a ( ,0)b (0, )c 椭圆焦点三角形： i． ，（ ）； ii．点 是 内心， 交 于 点 ，则 ； 共离心率的椭圆系的方程：方程 是大于 0 的参数，我们 称为共离心率椭圆系方程． 双 曲 线 平面内与两个定点 1F ， 2F 的 距离之差的绝对值等于常数 2a （小于 1 2 2F F c ）的 点的轨迹叫做双曲线． 【 2 2 2b c a  】 2 2 2 2 1 x y a b   x a y  R ( ,0)a ( , 0)c 2 2 2 2 1 y x a b   y a xR (0, )a (0, )c 渐近线方程 b y x a   或 2 2 2 2 0 x y a b   求准线方程 2a x c   双曲线焦点三角形： ，（ ）； 0 0( )y y k x x   y kx b  1 2 2 tan 2 PF FS b    1 2F PF   M 21FPF PM 21FF N c a MN PM  || || tt b y a x ( 2 2 2 2  2 cot2 21  bS FPF  21PFF 21 共渐近线的双曲线系方程： 的渐 近线方程为 等轴双曲线：双曲线 称为等轴双曲线，其渐近线 方程为 (渐近线互相垂直)，离心率 离 心 率 i 公式法；椭圆 e= 2 2 1 c b a a   双曲线 e= 2 2 a b 1 a c  ,ii 方程法：建立关于 ,a c 的齐次； 如：已知点 F是双曲线 )0,0(1 2 2 2 2  ba b y a x 的左焦点，点 E是该双曲线的右顶点，过点 F且垂直于 x轴的直 线与双曲线交于 A、B两点，若 ABF是直角三角形，则该双曲线的离心率是 2; 以等边三角形顶点 AB 为焦点的椭圆经过两腰的中点，求其离心率： ； 3 1 弦 长 焦半径：椭圆： 1 0 2 0,PF a ex PF a ex    ； 抛物线焦点弦 ＝ 通径 a b2 2 , 2p, 弦长 ]4))[(1(1 21 2 21 2 12 2 xxxxkxxkAB  ]4)[() 1 1( 1 1 21 2 212122 yyyy k yy k  抛 物 线 平面内到一个定点 F 和一条 定直线 l（定点 F 不在定直线 l）距离相等的点的轨迹是抛 物线。 【焦点到准线的距离等于 p ， 0p  ，焦参数】 2 2y px 0x  y  R (0,0) ( ,0) 2 p x 轴 1e  【离心率是 曲线上的点 到焦点的距 离与到准线 的距离之比】 2 2y px  0x  y  R ( ,0)2 p  2 2x py 0y  xR (0, ) 2 p y 轴 2 2x py  0y  xR (0, ) 2 p  提醒 *1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数 分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式. *2.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点 弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长) 公式或“小小直角三角形”. *22. 圆锥曲线的热点问题 圆 系 方 程 直 线 与 圆 相交 过 直 线 : 与 圆 : 的 交 点 的 圆 系 方 程 是 ,λ 是待定的系数． 圆与 圆 过圆 1C ： 2 2 1 1 1 0x y D x E y F     , 2C ： 2 2 2 2 2 0x y D x E y F     交点的圆(相交弦)系方程为 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0x y D x E y F x y D x E y F          . 1   时为两圆相交弦所在直线方程 曲 线 方 程 与 圆 锥 曲 线 热 点 问 题 曲 线 与 方 程 概念 曲线C 上点的坐标都是方程 ( , ) 0f x y  的解，以 ( , ) 0f x y  的解为坐标的点都在曲线 C 上，则称曲线C 为方程 ( , ) 0f x y  的曲线、方程 ( , ) 0f x y  为曲线C 的方程。 求法 直接法 直接通过建立 、 之间的关系，构成 ，是求轨迹的最基本的方法 定义法 已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法（待定系数法）。 代入法 动点  ,P x y 随动点  0 0,Q x y 运动，Q在曲线  : , 0C f x y  上，以 ,x y 表示 0 0,x y ，代入曲线C 的方程得到动点轨迹方程的方法。 参数法 把动点坐标 ( , )x y 用参数 t进行表达的方法。此时 ( ), ( )x t y t   ，消掉 t 交轨法 轨迹是由两动直线（或曲线）交点构成的，在两动直线（曲线）中消掉参数 定义法 确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程. ①椭圆：第一定义：平面上一动点 P 到平面上两个定点 F1、F2的距离和为定值， 且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,则 P 点轨迹为椭圆。双曲线：||PF1|-|PF2||=定值<｜F1F2| ③ PA PB ,则动点 P 轨迹是圆 热 点 定点 含义 含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点。 解法 把曲线系方程按照参数集项，使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲 )0( 2 2 2 2   b y a x 0 2 2 2 2  b y a x 222 ayx  xy  2e AB 1 2 2 2 sin p x x p     l 0Ax By C   C 2 2 0x y Dx Ey F     2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By C        x y ( , ) 0F x y  22 问 题 线系恒过的定点。 定值 含义 不随其它量的变化而发生数值发生变化的量。 解法 建立这个量关于其它量的关系式，最后的结果是与其它变化的量无关。 范围 含义 一个量变化时的变化范围。 解法 建立这个量关于其它量的函数关系式或者不等式，求解这个函数的变化范围或 者解不等式。 最值 含义 一个量在变化时的最大值和最小值。 解法 建立这个量的函数关系式，求解这个函数的最值。 方 法 规 律 几何 极值 ①周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大； ②周长一定的矩形中，以正方形面积最大； ③面积一定的三角形中，以正三角形的周长最小； ④周长一定的平面曲线中，圆所围成的面积最大； ⑤在面积一定的闭曲线中，圆的周长最小； ⑥在边长分别相等的多边形中，以圆 内接多边形的面积最大； ⑦在等周长的边形中，以圆内接多边 形的面积最大； ⑧面积一定边形中，正边形周长最小. 定值 问题 处理 （1）利用综合法证明时，需要改变题目的形式，把一般定值题转化为特殊情况，因此， 常作辅助图形；其次要明确图形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析问题时要 围绕着固定元素和定量进行，把定值固定在已知量上； （2）利用参数法证明时，要根据题设的条件，选取适当的参数，然后将所要证明的定值 用参数表示出来，最后消去参数，便求得用常量表示的定值； 提 醒 *3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函数有解问题；先验证因所设直 线斜率存在，造成交点漏解情况，接着联立方程组，然后考虑消元建立关于 的方程还是 的方程， 接着讨论方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式进行分析， 时，直线与曲线相切，…… *4.求解直线与圆锥曲线的“弦长”、“交点”问题时，必要条件（注意判别式失控情况）是他们构成的 方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必先有“ ”. 求解直线与圆锥曲线的其它问题时， 如涉及到二次方程问题，必须优先考虑“二次项系数”与“判别式”问题. *5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成 直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). *6.韦达定理在解几中的应用：①求弦长； ②判定曲线交点的个数； ③求弦中点坐标；④求曲线的 方程. *23.计数原理与二项式定理 排 列 组 合 二 项 式 定 理 基本 原理 分类加法 计数原理 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有 1m 种不同的方法，在第 2类方案 中有 2m 种不同的方法，…，在第n类方案中有 nm 种不同的方法．那么完成这件 事共有 1 2 nN m m m    种不同的方法． 分步乘法 计数原理 完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有 1m 种不同的方法，做第2步有 2m 种不同的方法……做第 n 步有 nm 种不同的方法 .那么完成这件事共有 nmmmN  21 种不同的方法. 排列 定义 从n个不同元素中取出 ( )m m n 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从n 个不同元素中取出 ( )m m n 个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出 ( )m m n 个元素的排列数，用符号 mnA 表示。 排列数 公式 ! ( 1)( 2) ( 1) ( ) ( )! m n n A n n n n m n m m n n m          Ν ， ， ，规定0! 1 ． 组合 定义 从n个不同元素中，任意取出 ( )m m n 个元素并成一组叫做从n个不同元素中取 出 ( )m m n 个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 ( )m m n 个元素的组合数，用符号Cmn 表示。 组合数 公式 ( 1) ( 1) C ! m n n n n m m      ，C m m n n m m A A  ． 性质 mnn m n CC  ( nmNnm  且,, )； 11    m n m n m n CCC ( nmNnm  且,, )． x y 0  0≥ 23 二项 式定 理 定理 0 1 1( )n n n r n r r n nn n n na b C a C a b C a b C b          （ rnC 叫做二项式系数） 通项公式 1 r n r r r nT C a b    （其中 0 k n k n    N N， ， ） 系数和 公式 1 121    r n r n r r r r r r CCCCC  ； nn n r nnnn CCCCC 2 210   ； 1 3 5 0 2 4 1 1 2 3 12 ; 2 3 2 .n n nn n n n n n n n n nC C C C C C C C C nC n                *24.统计与统计案例、概率 统 计 与 统 计 案 例 统 计 随机 抽样 简单抽样 从总体中逐个抽取且不放回抽取样本的方法。 等概率抽样。 分层抽样 将总体分层，按照比例从各层中独立抽取样本的方法。 系统抽样 将总体均匀分段，每段抽取一个样本的方法。 样本 估计 总体 众数 样本数据中出现次数最多的数据。 标准差 2 1 1 ( ) n i i s x x n    中位数 从小到大排序后，中间的数或者中间两数的平均数。 百分位数 平均数 1 2, , , nx x x 的平均数是 1 2 1 ( )nx x x xn     。 方差 1 2, , , nx x x 的平均数为 x， 2 2 1 1 ( ) n i i s x x n    。 概 率 定义 如果随机事件 A 在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将发生的 频率 m n 作为事件 A 发生的概率的近似值，即   mP A n  。 事件 关系 互斥事件 事件 A 和事件B 在任何一次实验中不会同时发生 类比集合关系。 对立事件 事件 A 和事件B ，在任何一次实验中有且只有一个发生。 性质 基本性质 0 ( ) 1P A  ， ( ) 0P   ， ( ) 1P   。 互斥事件 事件 ,A B 互斥，则 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   。 古典 概型 特征 基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性 计算公式 ( ) m P A n  ，n基本事件的个数、m事件 A 所包含的基本事件个数。 条件 概率 特征 在事件 A 发生的条件下，样本空间从 Ω 缩小为 A，事件 B 的条件概率 P(B|A)， 即是在新样本空间 A 上计算事件 AB 的概率 计算公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) P AB n AB P A n A P B A   全概 率 特征 将复杂事件 B 分解为若干个互斥事件（A₁, A₂, ..., Aₙ）的并集，利用加法公 式和乘法公式计算概率。 计算公式 1 ( ) ( ) ( | ) n i i i P B P A P B A    *25.离散型随机变量及其分布 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 随机变 量及其 分布列 概念 随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量，所有取值可以一一列出的随机叫 做离散型随机变量。 分布列 离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格 。 性质 （1） 0( 1 2 )ip i n ，， ， ；（2） 1 2 1np p p    。 事件的 独立性 条件概率 概念：事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率， ( ) ( ) ( ) P AB P B A P A | 。 性质：0 ( ) 1P B A|≤ ≤ ． ,B C 互斥， ( ) ( ) ( )P B C A P B A P C A  | | | ． 24 布 独立事件 事件 A 与事件B 满足 ( ) ( ) ( )P AB P A P B ，事件 A 与事件 B 相互独立。 n次独立 重复试验 每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，在n次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 ( ) (1 ) ( 0 1 2 )k k n knP X k C p p k n     ， ，，， ， 。 典型 分布 超几何 分布 ( ) 0 1 2 k n k M N M n N C C P X k k C     ， ，，， ，m ，其中  minm M n ， ，且 n N≤ ， 且 , , ,n N M N n M N   N， ．＂ 二项分布 分布列为： ( ) (1 ) ( 0 1 2 )k k n knP X k C p p k n     ， ，，， ， ， ~ ( )X B n p， 。 数学期望EX np 、方差 (1 )DX np p  【 1n  时为两点分布】 正态分布 2 2 ( ) 21( ) 2π x ax e       图 象 称 为 正 态 密 度 曲 线 ， 随 机 变 量 X 满 足 ( ) ( ) b a P a X b x dx  ≤ ，则称 X 的分布为正态分布．正态密度曲线的特点。 数字 特征 数学期望 1 1 2 2 i i n nEX x p x p x p x p       ( )E aX b aEX b   方差和 标准差 方差： 2 1 ( ) n i i i DX x EX p    ，标准差： X DX  2( )D aX b a DX  COLLEGE ENTRANCE EXAMINATION REFUELING 青春不悔 高考加油 2025·高考数学考前指导 亲爱的同学们： 当凤凰花开、蝉鸣盛夏，你们将在考场上书写青春答卷。这三年，你们见过彼此早读身影，听过笔尖划纸的声响；有过意气风发，也有过彷徨。但要记住，汗水是成长印记，跌倒为腾飞蓄力。 以信念为帆，破浪前行。高考是人生重要渡口，检验知识与意志。挑灯夜战、反复演算，会凝聚成“天道酬勤”的力量。无论结果，只要有梦想并奋斗，就是自己的英雄。带着“舍我其谁”的气魄踏入考场，因为“自信是成功基石，沉着是飞翔翅膀”。 以坚韧为刃，披荆斩棘。学习无捷径，或许曾因失利怀疑自己，但要明白：“只有经历磨练，才能炼出创造天堂的力量。”就如梅花经苦寒芬芳，宝剑因磨砺锋利。此刻只需凝神静气，将三年积淀化作笔下星河。 以初心为灯，照亮未来。高考不是终点，而是新篇章起点。世界不会辜负认真耕耘的人，笔下有绚丽世界，未来会还你灿烂图景。愿你们像雄鹰、猛虎，在考场上“以平常心面对挑战，以非凡心成就自我”。 殷殷嘱托。亲爱的同学们，“长风破浪会有时”是信念，“不达目的誓不罢休”是誓言。愿你们“从容不迫，潇洒凯旋”；愿你们“金榜题名时，言笑亦晏晏”；更愿你们记得这场考试的意义在于发现：“生命中最快乐的，是拼搏而非成功；最痛苦的，是惰性而非失败。” 以青春之名，赴梦想之约 ——致即将奔赴考场的你 考前篇 一、不贪心 你明白高考是一场公正的测验，这表明不存在“确保”你在短时间内迅速提高分数的途径。假若存在这样的途径，那么对于那些对此途径一无所知的同学来说，高考就失去了公正性。四十多年的高考历程绝不会允许这种情况出现。 01 这不是在浇冷水，而是通过严谨的逻辑分析得出的结论，这就是事实。因此，在最后的30天里，你能做的更多是回顾、补充和复习之前300天的学习内容，而不是妄想“一夜之间建起高楼大厦”。最后一个月或许能“锦上添花”，但绝不是“雪中送炭”。 02 只要将“公平性”这三个字铭记于心，稳扎稳打地完成手头的任务，而不是去关注那些投机取巧的捷径，这将是你最明智的选择。你会因此避免许多不必要的弯路，同时节省许多不必要的开支。在最后的30天里，不抱有“贪心”的幻想，放弃过高的期望，这能让你保持清醒，清晰的自我认识是顺利走完最后一段旅程的坚实基础。 03 二、不服气 临近高考,总有一些人布置处于很重目的,总是有意无意地专递出“最后的复习阶段成绩已经定型”的观点。 高考充满不确定性,我们努力的宗旨并非追求确切的提高。相反,即便是微小的进步,我们也应全力以赴去抓住。这微小的进步可能在最终考试中成为关键。 面对“努力无用”的观点,应将寻找可能性的希望作为坚持的信念。正如乔布斯所言:“只有那些认为自己能改变世界的人,才能真正改变世界。” 从时间角度看,全力以赴的30天并无不同。那么,为什么在最初和中间阶段相信自己能取得成果,而最后30天却听天由命呢?这在逻辑上是说不通的。 三、精准提分 第一步：跨学科评估提分空间 以“跨学科思维”为核心，回顾以往的考试答题经历，评估自己当前的实际能力，确定在750分中，哪些分数的提升空间最大。注意，在这一步骤中，提升空间最大的那5分若在数学领域，则专注于数学，若在物理领域，则专注于物理 第二步：锁定目标题型 确定所选5分对应的题型或具体问题（例如，数学选择题中解三角形的余弦定理应用）。 第三步：分析知识要点 深入分析题型或问题，明确其涉及的具体知识点、考查点以及重点和难点。 第四步：系统复习教材资料 根据步骤三的分析结果，按照“教材→一轮复习资料→课堂笔记本→考试试卷”的顺序进行以“解决问题”为目标的知识复习。 先提最容易提的分！！！ 第五步：独立解题验证 尝试独立解决步骤二中选定的问题，若仍无法解答，则说明复习不够充分，请返回步骤三至四继续复习直至问题解决。 第六步：同类题强化 从真题集或考过的模拟题集中挑选5道与步骤二目标问题相似的题目进行练习，并完成订正工作。 第七步：总结解题规律 对步骤一至六进行综合总结，包括题型的特点、解题思路、方法、切入点、重点难点以及易错点，特别注意步骤二和步骤六中问题的对比，从相似之处和差异之处总结出该类题型的解题规律。 当你能够一丝不苟地遵循这7个步骤，便有望在各个学科领域中，轻松提升那至关重要的5分。记住，为了确保分数的提升，这里的“一丝不苟地遵循”意味着极高的标准。也就是说，完成整个流程后，你应该从内心深处感到一种“再次面对你，我肯定能解决!”的自信。 三、精准提分 “先提最容易提的分” 四、三点建议 在复习的最后阶段，建议同学们不要分散精力在大量新题上，而是应专注于已经练习、更正和总结过的题目，确保彻底掌握。这不仅因为新题目的练习会占用宝贵时间，而且考虑到高三已经进行了300多天，大家已经做了大量题目，额外的几十道新题对整体提升帮助有限。将练习新题目的时间转而用于复习数百甚至上千道旧题，唤醒遗忘的记忆，加深已理解的知识，从效率角度来说，这样做更为明智。 高频错题“三遍法” o第一遍：重做错题，限时完成； o第二遍：仅写关键步骤（如立体几何建系、概率题分类逻辑）； o第三遍：口述解题思路，训练思维连贯性。 （1）看旧不看新：精研已做题目，巩固薄弱环节 每位学生都应准确地评估自己的实际能力，并将宝贵的时间投入到适合自己难度的题目中。 例如，数学成绩达到100分的学生，在复习的最后阶段，就不应再过多地钻研圆锥曲线和导数等难题，而应专注于如何确保前面的100分不丢失，并努力解决100至120分之间的中等难度问题。对于这些学生而言，在高考中能够保持前100分不失，同时尽力在100至120分的题目上获得10分，最终成绩达到110分，已经算是成功。放弃可以分为两种情况，主动和被动。前者代表智慧，后者则可能是崩溃。我期望你能选择前者——放弃是出于全局考虑的最佳选择，而非无奈之举。 （2）看易不看难：根据实际水平，优先确保基础分 每周完成1-2套高考真题或优质模拟题，严格计时以调整生物钟。 按高考时间（下午15:00-17:00）全真模拟，合理分配时间： 单选题（1-8题）：20-25分钟 多选题（9-11题）：10-15分钟 填空题（12-14题）：10-15分钟 解答题（15-17题）：每题10-15分钟 压轴题（18-19题）：剩余时间攻坚 o养成“先易后难”的习惯，确保基础题满分。 全真模拟，适应节奏  （3）集中解答疑问：积累问题批量请教，避免碎片化耗时 在复习的尾声,老师通常会在办公室等待,准备解答学生的疑问。务必充分利用这一机会。但切勿一遇到问题就急于求教,因为可能老师不在,或者你前面已有学生在排队。无论哪种情形,频繁往返于教室与办公室之间,都是对宝贵时间的极大浪费。 更明智的做法是,遇到问题先尝试独立思考,即便不能完全解决,也要弄清楚问题所在,而不仅仅是说“这题我不会”。然后,将疑问记录下来(无论是用符号标记还是专门的笔记本都可以);待同样的疑问累积到五个后,选择一个无需排队的时刻,再向老师请教。这样不仅能高效利用时间,还能让老师在解答时更有针对性,避免因频繁打扰而影响他人学习。同时,集中解答的过程也是对知识点的再次梳理,有助于加深理解和记忆。 11 重做真题，探究命题人的思维模拟术 熟悉命题人设置陷阱的模式，如在题目中设置容易忽略的条件、误导性的信息等。在解题时提高警惕，避免掉入陷阱。 识别陷阱设置 仔细研究历年高考真题，分析题目背后的命题意图，明确考查的知识点和能力要求。如立体几何必考空间向量与二面角组合题型。 真题反推意图 总结真题中考点的组合规律，了解哪些知识点常结合在一起考查。例如解析几何常考轨迹方程与参数范围的综合应用。 掌握考点组合 提炼高考题型中最常见的“简” 因为高考题是给我们出卷子的人出的，一般来说出题的人是不会变化的，即使变化，肯定也会参考前人的出题方式。透过高考题，我们可以看出出题人的偏好以及他们的出题思路，这是一场心理战。 高考题是出题人重要的素材。告诉大家一个秘密，我们的高考命题者在荒山野外进行封闭式命题的时候，桌头上摆的，必须有往年的高考题目，课本和市面上所有的教辅资料。这些题目是出题人灵感的重要来源。 已知 工具 解决 问题 转化 选择 壹 贰 叁 肆 重读教科书，查缺补漏，再思考基本知识。读吧！你会觉得很有趣、很有价值。 把近期大考卷子捋一下，找到做题策略、能力方面弱点，看能不能突破。自己看不出来可找老师帮忙看。 把近3-5年高考原题打印，用今年高考对应的时段认真做。感悟命题人对考生的期待。 4. 调整作息规律，努力适应自己的高考节奏。 愿你前程似锦 四做 考前4做 五、考场应急预案演练 模拟考试中若突然遗忘公式，先冷静回忆相关知识点的推导过程，或从题目条件入手寻找线索。如忘记三角函数公式，可通过单位圆等基础知识推导。 公式遗忘场景 遇到计算卡壳时，先检查计算思路是否正确，若没问题可换一种计算方法。比如复杂的代数运算，可尝试代入特殊值简化计算。 计算卡壳场景 当出现时间恐慌，不要慌乱，按照“黄金时间分配模型”合理调整答题节奏。若时间不足，优先确保会做的题得分，放弃过难的题目。 时间恐慌场景 训练“跳过-标记-复查”的应急反应。 3. 不剧烈运动，尤其对抗性运动，以免受伤。可慢跑、体操代替。 4. 不焦急、不忧虑，不躺平、不泄气。 1. 不看同学在做啥。 2. 不四处找“新题”以填补空虚。这时已没什么新题了，有也是质量差、做了不仅无益、反而有害。 四不做 考前4不做 考试中 1、看一看教室四周，熟悉一下陌生的环境。坐在座位上，尽快进入角色。 2、提醒自己做到“四心”：一是保持“静心”，二是增强“信心”，三是做题“专心”，四是考试“细心”。 在进入考场后等待发卷的时间里，如果你心里高度紧张，不妨做做考场镇静操：先缓缓地吸气，在吸气的同时，小腹慢慢鼓起，鼓到最大限度略作停顿，然后小腹回收，臆想着小腹内的空气再经腹腔、胸腔、口腔，最后慢慢地、均匀地从口中呼出。 发卷前15分钟 18 1、检查试卷张数及印刷质量； 2、填全试卷栏目； 3、浏览全卷，了解题量、题型、难度，做到心中有数； 4、大体分配好答题时间，做到适度从紧，稍留空余。 有的考生一拿到试卷急忙就做，认为把这五分钟用起来就多“赚”了五分钟，然而他忽视了这五分钟的作用。实际上这五分钟的时间要做的事情很多，除了上面所谈的事情以外，还有稳定自己的心态、适应考场的气氛等。 得到试卷之后 选择题 审出个性 大胆猜测 速战速决 必选无疑 20 要十分重视第一印象. 心理学表明，考生在接触试题时大脑皮层处于高度兴奋状态，对新事物的反应灵敏，容易迅速做出决定. 经验表明，第一感觉的正确率在80％以上. 因此，不要轻易改动第一次做出的选择. 在检查的时候，同学们不要按照第一次答题的角度去考虑，应该从另外一个角度去思考，没有充分、足够的理由不要推翻第一次的选择. 对选择题答案要有一见钟情的自信！！！ 小题切勿大做，不在一道题上纠缠。 21 秒杀技巧兵器库 根据题目条件和已知信息，排除明显错误的选项，提高答题正确率。如在选择题中，通过分析选项的逻辑关系进行排除。 选项排除 在几何题中，通过绘制图形进行估算，大致确定答案范围。如在求三角形面积时，通过图形直观判断面积大小。 图形估算 对于一些选择题或填空题，可选取特殊值代入验证，快速得出答案。如在函数题中取特殊点代入判断函数性质。 特殊值验证 多选题 注意关联项 考虑特殊情况 仔细阅读题目 排除干扰项 23 填空题 审出个性 合理联想 必填无疑 追围堵截 答案应以最简单的形式呈现！ 填空题的解法与策略 一、直接求解法——直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法。它是解填空题的常用的基本方法。使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。 二、图像法——借助图形的直观形，通过数形结合的方法， 迅速作出判断的方法称为图像法。文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。 三、特殊化法——当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论。 25 一句话，大胆写！ 会的，规范答题，拿满分！ 不会的，找规律，抢点分！ 写了，别删掉！ 解答题 就差一步了，真不知道这家伙是这么想呢。 干嘛要划掉呢？ 解答题，沉着应战，笔落无悔 1、注重得分策略，根据自己的实际情况分配好每道题目的解 答时间，防止隐性失分。 2、中档题力求得“大分”或满分，第19题尽可能得分。 3、寻找思维切入点，突破思维障碍点。 4、碰见新题，新条件，要把题目条件或问题转化成熟悉题型 模式, 套入思维模式。 5、不能做大量解后检查工作，尽量做到“运算正确一次性， 书写规范一次性”。 28 解三角形：请准备好常用知识（正余弦定理、面积公式、边角互换、均值不等式、）， 注意角范围的叙述（三角形内角和定理）； 三角函数与解三角形，向量相结合：化一公式、诱导公式、二倍角公式、基本关系式，均值不等式、周期的求法； 注意：若真的都没思路了，最后记得写上一些公式 解三角形 29 求通项an 的方法：公式法、累加法、累乘法、构造法、倒数法、同除法、 an与Sn和Sn-1的等量关系。 求Sn 的常用方法：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等。 注意：若真的都没思路了，最后记得写上一些公式 数列题 数列问题重在“归” 由已知入手， 每一步写好公式， 再写结果。 概率与统计 最关键：审准题、解答过程要完整，不要偷工减料有必要的文字叙述。 34 常见的解题思路： 证明平行: 做辅助线（中位线，平行四边形，相似三角形等） 可证面面平行，线面平行性质等； 证明垂直: 勾股定理；等腰，等边三角形性质；菱形，正方形 性质；基本图形的垂直；线面垂直得线线垂直；面 面垂直性质，直径所对的圆周角等。 求距离: 解三角形，等体积法等。 求空间角：做辅助线，建系，标出相应点的坐标，求出平面的法向量，写出相应的夹角公式，线面角公式等。 立体几何 35 平行 垂直 立体几何中的体积问题 高易找 直接法 作高、证高 高可转化 转面 求体积 求点面距离 转点 体积相等 高可转化 割补法 高难求 关键点：线面垂直 体积成比例 转化思想 等体积法 平行转移 比例转移 题目的核心几何信息 几何信息的翻译 直线方程的引入、点坐标的设立 代数化 坐标化 画图 联立直线与曲线方程 代换与变形 韦达定理∆ 目标信息 圆锥曲线 今年，这道题也可能落在第16题的位置哦！ 导数入门不难，求导一定要正确。 1.确定函数的定义域； 2.解方程f′(x)＝0； 3.列表确定f′(x)在各个区间内的符号； 4.作答。 1.导数=斜率； 2.切点在曲线上； 3.切点在切线上。 导数解题思路 求导、讨论单调性求极值最值等、参数的分类讨论（能讨论一类算一类，挑简单的讨论）、经常用到二次函数的知识、求导后通分，转化恒成立问题、存在性问题。 如果19题像九省联考那样子，怎么办 把你能读取到的信息， 用数学符号语言表达出来！ 记住： 我难人亦难，多拿一分，即干掉千人 记住几个放缩(使用的时候记得先证明) 温馨提醒：不可不重视的答卷书写 高考得高分，往往是那些思维敏捷，条理清晰，书写突出要点，详略得当的同学；在答卷时间如此有限紧张的环境中，要求自己像课本例题那样书写完美，甚至无懈可击，也许是不明智的。 全会的，追求规范不丢分， 不全会的，突出关键步骤多抢分。 记住：难题答题要分步答题、退步答题、跳步答题技巧的灵活运用。 规范答题≠会考试 46 1、如果不使用规定的2B铅笔， 可能识别被误判为“空选", 造成失分。 书写问题 47 2、危险的字迹，无法辨认，或容易引起歧义。 答案应以最简单的形式呈现！ 48 3、解答题未化简到最终结果可能会扣多分； 49 4.不按规定的题号答题，答错区域 ★ 专家点评：主观题阅卷是按题号进行切割并送到阅卷老师终端进行评分的，如上19、20题相互答错区域，阅19题的老师看到的是20题的答案，容易被判失分，同时按考务相关规定有可能扣分。 50 5.在黑色矩形框外作答 ★ 专家点评： 计算机对主观题的图像切割是按黑色矩形框进行的，超出黑色矩形框外的答案会被切掉，超出上下边界相同。 考生实际书写图像 扫描切割后的电子图像 51 6.题卡破损及污损 ★ 专家点评：题卡破损、卷面污染会使扫描的图像不清楚，影响阅卷老师评分。 52 7.用铅笔/蓝色圆珠笔/黑色圆珠笔答题，扫描不清晰 ★ 专家点评：高速扫描仪对以上用笔的答题卡进行扫描时，生成的图像容易模糊不清，阅卷老师难以辨认，很容易被判为空白卷。 53 阅卷教师希望看到的是能够减轻阅读量的卷面 具体包括以下6点： 1.卷面清洁，这是最基本的要求； 2.书写工整，字迹清晰； 3.在规定的答题区域答题，否则做无用功； 54 4.表述是要根据分值思考要点，尽量细分，用分号或①②③④等符号清楚表述； 5.语言要简洁，答中要害； 6.语言表述要规范，尽量用专业术语。 如果卷面做到了以上6点，在“可给分可不给分的情况时，从宽给分”的高考评分原则下，将无形中增加了多得分的砝码。 阅卷延外启示 写出公式是重要的得分点 踩点给分，有写的比没写的好 有解题思想比没想法的好 阅卷讲速度，卷面要清晰 答题策略 不要轻易涂改 56 考后篇 1. 调整心态，避免过度纠结 无论发挥如何,告诉自己“已尽力”,将注意力转移到接下来的科目上。 接纳结果 考后不要与同学对答案或上网核对试题,避免因可能的失误影响后续考试情绪。 不讨论答案 58 2. 科学休息，恢复精力 适当听音乐、散步或冥想,缓解大脑疲劳,但避免剧烈运动或熬夜娱乐。 晚上按时休息,避免因过度复习压缩睡眠时间,确保第二天精力充沛。 短暂放松 保证睡眠 3. 针对性复习下一科目 优先复习下一科的核心知识点 (如英语作文模板、高频考点)。 抓重点,忌贪多 若时间充裕,可做1~2道典型例题保持手感, 但避免高强度刷题。 限时模拟 饮食清淡：避免暴饮暴食或尝试新食物，以防肠胃不适。 备齐考试用品：提前检查准考证、文具、手表等，减少考前慌乱。 4. 保持生活规律 积极暗示：默念“我能行”“专注当下”，增强信心。 深呼吸缓解紧张：若感到焦虑，闭眼缓慢深呼吸3~5次，稳定情绪。 5. 情绪管理技巧 高考是综合实力的比拼，单科失误未必影响全局。稳住心态，专注下一场，才能最大限度发挥水平！💪 最后提醒： 62 苦心人 天不负 2025 金榜题名 $$ 新高考数学考前回归知识必备 *1 集合与常用逻辑用语 集合与常用逻辑用语 集合 概念 Ａ={} 元素特点：互异性、无序性、确定性。 一组对象的全体. 关系 子集 Ａ的子集有个，真子集有个，非空真子集有个 ； 真子集 相等 运算 交集 【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂有关问题。 并集 补集 充要 条件 充分条件 ，是的充分条件 若命题对应集合，命题对应集合，则等价于，等价于。 必要条件 ，是的必要条件 充要条件 ，互为充要条件 量词 全称量词 ，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。 存在量词 ，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。 *常考模式： 全称命题p：；全称命题p的否定p：. 特称命题p：；特称命题p的否定p：. *2.复数 复数 复数的概念和运算 概念 虚数单位 规定：；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成立。。 复数 形如的数叫做复数，叫做复数的实部，叫做复数的虚部。时叫虚数、时叫纯虚数。 复数相等 共轭复数 实部相等，虚部互为相反数。即，则。 运算 加减法 ，。 乘法 ， 除法 几何意义 复数复平面内的点向量 向量的模叫做复数的模， 主 要 性 质 复数运算 *1.运算律：⑴； ⑵； ⑶. 【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：⑴； ⑵； ⑶. *3.重要结论： ； ； ，； 性质：T=4；. 【拓展】：或. 3.平面向量 平面向量 重要概念 向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。 向量 长度为，方向任意的向量。【与任一非零向量共线】 平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。 向量的模 两点间的距离 若，则 向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是。的夹角记为。 锐角,不同向；为直角；钝角,不反向.向量的夹角带有方向性：向量是有方向的，向量间的夹角表示两个向量正方向的夹角 投影向量 ，叫做在方向上的投影向量。 重要法则定理 基本定理 不共线，存在唯一的实数对，使。若为轴上的单位正交向量，就是向量的坐标。 一般表示 坐标表示 共线条件 （共线存在唯一实数， ＝0 垂直条件 。 。 各种运算 加法 运算 法则 设，那么向量叫做与的和，即；向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。 。 算律 交换律，结合律 减法 运算 法则 用“三角形法则”：设 ，由减向量的终点指向被减向量的终点。 注意：此处减向量与被减向量的起点相同。“共起点” 数乘 运算 概念 为向量，与方向相同， 与方向相反，。 算律 分配律，， 分配律 与数乘运算有同样的坐标表示。 数量积运算 概念 。 主要性质 ，|a·b|≤|a||b| 算律 ，分配律，。 算律 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2） 向量的 表示方法 几何表示法 用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 符号表示法 用一个小写的英文字母来表示，如，，等； 坐标表示法 在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三角形的五个“心” 重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. *4.不等式 同向不等式 ； 两个实数的顺序关系： 取倒数法则， 基本不等式 最值定理 ①，若积，则当时和有最小值； ②，若和，则当是积有最大值. 【推广】：已知，则有. （1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小. （2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大 均值不等式 平方平均算术平均几何平均调和平均 当且仅当取“”) （正数a1=a2=…=an时取等）算术平均几何平均 重要不等式（a、b、c为正数） 当且仅当时取到“”) ， （，）； 糖水的浓度 ，则.【说明】：（）. “1”的 代换 ③已知，若，则有： ④，若则有： *5.函数的概念与性质 函数概念及其表示 函数的概念 函数用f(x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。 定义域A：x取值范围组成集合。值域B：y取值范围组成集合。对应法则f：y与x对应关系。 如：函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 定义域题型 (1)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式: 使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负; 零指数幂底数；实际问题有意义；对数真数,底数且；如的解集：；单调增区间；如：不等式的解集 (2) 复合函数定义域求法：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。若的定义域为,其复合函数的定义域可由不等式解出；若的定义域为,求的定义域，相当于时,求的值域；如若函数的定义域为，则定义域为___（答：[1,5]） 区间 数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思； （1）区间是集合的另类表示方式，区间就是集合，具有集合的一般性质。 （2）它是无限集，连续的实数。或表示成（1，2），不能写成。 性质 奇 偶 性 定义 如果,则为偶函数；如果,则 为奇函数。 这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。确定奇偶性方法有定义法、图像法等； （1）若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断，如判断函数奇偶性 偶函数； （2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单调性； （3）若是偶函数,那么；定义域含零的奇函数必过原点()； 判断 定义法判断：⑴定义域是关于原点对称的；（2）计算或； 若函数（a为常数）在定义域上为奇函数，则k= 利用 (1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式；(2).利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇；F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x得：F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题；（4）奇偶函数图像的对称性 周 期 性 对定义域内任意，存在非零常数，，为周期 ⑴若对时恒成立,则 的周期为； ⑵若是偶函数,其图像又关于直线对称,则的周期为； ⑶，或或为； 单调性 定义 定义域内一区间，增；减 求单调区间 定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等（提醒：求单调区间时注意定义域） 导数法：i求定义域：ii求；iii 的解构成增区间；注意：区间表示。如：函数的单调递增区间是 .( )；函数单调增区间是 .(和) 证明 定义法、导数法。判断单调性：小题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。 （1）定义法：i取值ii作差变形判断符号； （2）导数法：i求；ii判断符号； 利用 (1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，断。 (2).比较函数值的大小：画图看(3)解不等式：增或；减或(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。，则范围是； 已知为R上增，则的实数的取值范围。 复合函数 由“同增异减”判定：①分解为基本函数：内函数与外函数；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内单调性. 已知复合函数单调性，求字母范围：i分解出内外层函数；ii研究内外层函数的单调性的关系； iii兼顾函数的定义域；如：若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是 (1，2) *6.函数﹑基本初等函数的图像与性质 求函数解析式的常用方法 待定系数法基本步骤 ①确定所求问题含有待定系数的解析式；二次函数解析式的三种形式： 一般式：；顶点式：； 零点式：. ②根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； ③解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如一元二次不等式解集是,可设 配凑法 若，则函数=_____（答：） 坐标转移 函数关于函数图形关于直线对称，则 函数与 的图像关于原点成中心对称； 方程的思想 对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组； 函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于 ； 若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有= 图象几种常见变换 对称 变换 ①函数与的图像关于原点成中心对称 ②函数与图像关于直线(轴)对称； ③函数对，或恒成立,图像关于对称； ④若对时,恒成立,则图像关于对称； 函数,的图像关于直线对称(由确定)； ⑤函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。 如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_______(答：)． 平移变换 左右平移----“左加右减”（针对而言）；上下平移----“上加下减”(针对而言) 翻折变换 ；.注意翻折时机和翻折的本质：如由向右平移3单位 求函数值域（最值）的方法 配方法 二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如求函数的值域（答：[4,8]）； 换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如的值域为_____（答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围）； 有界性 利用已学过函数的有界性，确定值域，最常用的就是三角函数的有界性，如 单调性 利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求；； 数形结合 函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如已知点在圆上，求的取值范围（答：）；求的值域（答：）； 判别式 求的值域（答：）； 不等式 利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 导数法 一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。（答：－48） 提醒：求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合包括区间形式了吗？ *7. 函数与方程﹑函数模型及其应用 基本初等函数Ⅰ 指数函数 定义域R值域 单调递减， 时，时 单调递增，时，时 对数函数：函数 ； 是指数函数，则有（ ） 函数的定义域为 函数的值域为R；函数的值域是__．（0，＋∞）； 在单调递减，时，时 在单调递增， 时，时 幂函数 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中为常数． 幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数 幂函数的图象下凸 幂函数的图象上凸 幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 指数函数对数函数 对数与对数性质： ⑴；⑵对数恒等式 ⑶；； ⑷对数换底公式 函数零点 概念 函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点；如：函数在定义域上零点个数为1 存在定理 图象在上连续不断，若，则在内存在零点。 二 分 法 方法 对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 步骤 第一步 确定区间，验证，给定精确度。 第二步 求区间的中点； 第三步 计算：（1）若，则就是函数的零点；（2）若，则令（此时零点）；（3）若，则令（此时零点）．（4）判断是否达到精确度即若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）～（4）． 函数的零点所在的大致区间是（0，1）或（画图；注意：只能说明函数在分别增，不是在定义域内增，不能误认为零点只有一个（错）） *8. 导数及其应用1 导数及其应用 概念与几何意义 概念 在点处的导数如当 . 几何 意义 （1）“在”点处的切线：ⅰ斜率=ⅱ切线 曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的方程是。 （2）“过”点在曲线上切线： ⅰ设切点；ⅱ求切线方程；iii列方程组：切点在曲线上；切点在切线上；iv解方程组，得，求切线。 如，过作的切线，求此切线的方程（答：或）。 如经过原点且与曲线y=相切的方程是 两个切点A(－3，3)或B(－15,)x+y=0或+y=0； 在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条； 物理意义 瞬时速度；V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。 如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为____（5米/秒） 运算 基本 公式 ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。 ； 运算 法则 复合函数求导法则 如等比数列中，，=4，函数，则 解：故 研究 函数 性质 函数的单调性 ①若,则为增函数；若,则为减函数； 若的符号不确定,则不是单调函数。 ②若函数在区间（）上单调递增，则，反之等号不成立；若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立 如：已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。如：设函数在上单调函数，则实数的取值范围______（答：）； 已知函数若在上单调递增，求的取值范围：； 如：若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_____解析：y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>0；如： 的单调减区间：减区间，你会画图吗？ 求函数的单调区间的具体步骤是：①确定的定义域；②计算导数；③求出的根； ④用的根将的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内的符号,进而确定的单调区间； 思考 1.导数有哪些应用？（求斜率，判断单调性与求单调区间，求极值与最值，证明不等式），导数的几何意义是什么？物理意义呢？知道是牛顿和莱布尼兹发明了微积分吗？ 2．求导数的规则、公式你都记得吗？一共有多少个公式？有两个容易记错！导函数相同的两个原函数一定也相同吗？请举例说明。 3．导数的定义还记得吗？它的几何意义和物理意义分别是什么？利用导数可解决哪些问题？具体步骤还记得吗？求切线，求极值，求单调区间，求最值， 4导数求曲线的切线步骤是什么？你能区别“在”一点处的切线和“过”一点的切线吗？ *9. 导数及其应用2 导数及其应用 研究 函数 性质 极值 函数的极值定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。 极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 如：设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间； 解 a=b=－此时f（x）=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x+）（x－1） 当（x）>0时，x>1或x<－，当（x）<0时，－ <x<1∴单调增区间（－∞，－）和（1，+∞），减区间（－，1）； 求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) ；(2)求方程f′(x)=0的根；(3) 列表（分区讨论单调性和极值点）：用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值； 提醒：给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！处有极小值10，则a+b的值为___－7；（舍）或； 最值 上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。 在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值的步骤：ⅰ讨论单调区间；ii。判断极值；ⅲ 极值与闭区间端点的函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。如：函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；-15） 零点 函数有零点或者方程有解： ①（代数法）根据极值正负，画图观察函数图像与X轴交点情况； ②（几何法）作图要准确。方程，两个函数图像有交点。 零点定理：设函数在闭区间上连续，且．那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（＜＜）使． 如：（1）若方程在（0，1）内恰有一解，求实数的取值范围。； 反思 1．求极值，求单调区间，求最值？利用导数求函数单调区间时，一般由解得的区间是单调增区间；利用导数求函数最值的步骤你还清楚吗？最好是列表！ “函数在某点取得极值”你会灵活应用吗？不仅表示在该点的导函数值为零，而且导函数在该点两侧函数值的符号相异的。 2．极值就是最值吗？极大值一定大于极小值吗？ 你记得极值的定义原文吗吗？使f/（x）=0的x的值就是极值点吗？求最值的根本方法是什么（单调性法）？其它方法呢？（均值不等式法），求最值的口诀你记得吗？（不在极点处，便在端点处）； 对f（x）=x3+bx2+cx+d，f/（x）大致图象是怎样？。 *10. 三角函数的图像与性质 三角函数的图象与性质 三角形中的三角变换 基本问题 角概念的推广 1.终边与终边相同；习惯上x轴正半轴作为角起始边，叫角的始边; 2. 象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 弧度制的定义 ；弧长公式；扇形面积公式：；弧度()≈. 任意角的三角函数定义 角中边上任意一点为，设则： 注意： ； 同角三角 函数关系 诱导公式 ，，， “奇变偶不变，符号看象限”． 性质与图象 周期 奇偶性 对称中心 对称轴 奇函数 偶函数 图象变换 平移变换 上下平移 图象平移得图象，向上，向下。 左右平移 图象平移得图象，向左，向右。 伸缩变换 轴方向 图象各点把横坐标变为原来倍得的图象。 轴方向 图象各点纵坐标变为原来的倍得的图象。 对称变换 中心对称 图象关于点对称图象的解析式是 轴对称 图象关于直线对称图象的解析式是。 正切函数的图象和性质 （1）定义域：。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？ （2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 （4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 （5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。 (1)若，则；(2) 若，则； (3) ；(4)在上是减函数；（5）若 *11. 三角恒等变换 三角恒等变换 变换公式 正弦 和差角公式 倍角公式 余弦 正切 三角变换 三角变换 指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”. 化简技巧 角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等 角的变换 已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 角的“配”与“凑” 掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下： ，； ，； ； ； ，； ；等. “降幂”与“升幂”（次的变化） 利用二倍角公式和二倍角公式的等价变形，，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”的互化. 切割化名的变化 利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”. 常值变换 常值可作特殊角的三角函数值来代换.此外，“1”常值 引入辅助角 ， 期中. 特别的，;，等. 若方程有实数解，则的取值范围是__（答：[－2,2]）； 当函数取得最大值时，的值是______(答：)； 如果是奇函数，则= (答：－2)； 特殊结构的构造 构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简. 举例：， 可以通过两式和，作进一步化简. 整体代换 举例： ， ，可求出整体值，作为代换之用. *12. 解三角形 解三角形 正弦 定理 定理 。 射影定理： 变形 （外接圆半径）。 类型 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。 余弦 定理 定理 。 变形 等。 类型 两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。 面积 公式 基本 公式 。 导出 公式 （外接圆半径）；（内切圆半径）。 常见的结论 角的变换 因为在中，（三内角和定理），所以 任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值； ③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方. 即，；；． ；；. 边、角关系定理及面积公式 面积公式：. 其中为三角形内切圆半径，为周长之半． 在非直角中，． 熟记并会证明 *1.成等差数列的充分必要条件是． *2.是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列． *3.三边成等差数列 *4.三边成等比数列,. 锐角中 ，； 两内角与其正弦值 在中，，… . 实际 应用 基本思想 把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。 常用术语 仰角 视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 俯角 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 方向角 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30°）。 方位角 某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 *13. 等差数列﹑等比数列 数列、等差数列等比数列 一般数列 概念 按照一定的次序排列的一列数。分有穷、无穷、增值、递减、摆动、常数数列等。 通项 数列中的项用一个公式表示， 前和 等差数列概念 定义： ； 等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且 通项： 或； 前和 ，； 性质： 当时,则有，特别地，当时，则有. 若是等差数列，则“间隔相等的连续等长片断和序列”即 ，…也成等差数列 若,则；若,则 等比数列概念 定义： ，其中；通项：； 等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。 前和 指数表示项数，后者有前后两项； 等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。 当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。 如若是等比数列，且，则＝ （答：－1） 项符号 不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 如：已知数列1，成等差数列，成等比数列，则的值为 性质 当时，则有，特别地，当时，则有.如各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。 若是等比数列，且公比，则数列 ，…也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如中，=4+1 ()且=1，若，求证：数列｛｝是等比数列。 常数数列 如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 数列的性质 数列的单调性 定义 数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 判断 如已知，则在数列的最大项为__（答：）；依据不等式性质 证明 数列相邻项作差证明与应用 等差数列 时，=是关于一次函数，斜率为； 前和=是关于的二次函数且常数项为0； 若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 等比数列 若，则为递增数列；若, 则为递减数列； 若 ，则为递减数列； 若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列. *14. 等差数列﹑等比数列1 数列的性质 数学思想 整体思想 ；. ； 提醒：(1)求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。但是用整体思想可以不免讨论：如：设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为 ；； 方程思想 ； ； ； 等差、等比数列通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、、及，、、称作为基本元素，若已知这5个元素中任意3个，便可求出其余2个，即知3求2 如，求． 解：（法一）基本量法（略）； （法二）设，则得：， ， ∴， ∴． 求的解法 逆向思维： 若等差数列、的前和分别为、，且， 则 待定系数法： ，设， 。 .如设、是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___（答：） 求一般数列中的最大或最小项\前多少项和最大 邻项变号法：“首正”递减等差数列，前项和最大值是所有非负项之和；“首负”递增等差数列中，前项和最小值是所有非正项之和。 等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。 法一（邻项变号法）：由不等式确定出前多少项为非负（或非正），求出数列各项变化趋势和符号； （答：前13项和最大，最大值为169）； 法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。，当时，取最大值，且最大值是169； 法三：数形结合处理，由等差数列的求和公式可得，的图象是开口向下的抛物线上的一群离散点，最高点的横坐标为，即最大，易求得最大值为169。 法四：利用等差数列的性质处理， 由 可得，又，从而，，，故最大。 如：数列通项, 前30项中最大项和最小项分别是 用分离常数法,得.该函数图象是经过坐标轴平移后的反比例式函数图像。 *15. 等差数列﹑等比数列2 数列通项、求和的常见方法 简单的递推数列解法 公式法 或；或 作差法 已知（即）求：。 如数列满足，求（答：） 作商法 已知求如对所有的有，则___（答：） 累加法 型 累乘法 型 构造法 （构造等差、等比数列），递推式为（q为常数）时，可以将数列两边同时除以，得.如已知，求（答：） 待定 系数法 若。比较系数得出，转化为等比数列。 已知数列{an}满足a1=1,且an+1 =+2,求。设， 若，； 已知数列{an}中，a1=1，且an+1=3an+2n-1(n=1,2,…),求数列{an}的通项公式。 设，。 若（），设； 已知数列 求an设 取倒数法 已知，求（答：） 常用求和方法 公式法 等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____（答：）； ①； ②； ③；； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑧； ⑨. 分组法 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：（答：）如，。 裂项法 如果数列通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，常选用裂项相消法求和.裂项形式： 如在数列中，，且Sｎ 错位相减法 设数列为等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法 通项转换法 先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。求和： 倒序 相加法 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. 已知， 则＝_ 注：表中均为正整数 *16.空间几何体（其中r为半径、h为高、l为母线等） 空间几何体 棱柱概念 概念 有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高 两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底)； 其余各面叫棱柱的侧面； 两侧面公共边叫棱柱的侧棱； 长方体 底面是矩形的直平行六面体是长方体； 长方体体对角线，外接球与三条棱成角cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2 如下列关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱； ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则为直棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为__（答：②④） 正方体 棱长都相等的长方体叫正方体； 平行六面体 底面是平行四边形四棱柱叫平行六面体； 直棱柱 侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱； 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱； 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱； 底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱； {平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}； 棱锥 概念 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥； 正棱锥 如果一个棱锥底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样棱锥叫正棱锥； 正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等； 正棱锥的相对的棱互相垂直； ①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心； ②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心； ③斜高长相等且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心. 正四面体 全面积；体积；对棱间的距离； 外接球半径；内切球 正四面体内任一点到各面距离之和为. 表面积和体积 表面积 体积 棱柱 表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和。 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台 球 求体积 棱柱：体积＝底面积×高，或体积＝直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长； 三棱柱的体积（其中为三棱柱一个侧面的面积，为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）。 棱锥：体积＝×底面积×高。注意：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体） i 补形：三棱锥三棱柱；正四面体正方体球； ii 分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等 (1)四面体A－BCD中，AC=BD=,　BC=AD=,　AB=CD=4，则四面体A－BCD外接球的面积为 (2)已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为 cm2．答案：26π．（答：5 (3) 三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP的长为_ *17.空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）： 空间点、直线、平面的位置关系 基本公理 公理1 。 用途 判断直线在平面内。 公理2 不共线确定平面。 确定平面。 公理3 确定两平面的交线 两直线平行 公理4 ∥，∥∥ 位置关系 线线 共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 点线面 ；。 线面 。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。 面面 ∥，。分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点。 平行关系 线面 判定定理:如果 一条直线和 一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 性质定理:如果一直线和一个平面平行,经过这直线平面和这个平面相交, 那么这条直线和 平行．∥，，∥ a b 面面 判定定理: 如果一个平面内的两条 直线平行于另一平面，那么这两个平面平行. 性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ． a b O 垂直关系 线面 判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直, 那么这条直线和这个平面垂直． 性质定理: 垂直于同一平面的 平行，垂直于同一条直线的 平行． ∥ l b a O b 面面 平面和平面垂直:两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 ,那么两个平面互相垂直. 两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内 直线垂直于另一个平面. a l a *18. 空间向量与立体几何 空间向量与立体几何 空间向量 重要概念 共面向量 一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。 空间基底 空间任何三个不共面的向量都可做空间的一个基底。 基本定理 共线定理 （共线存在唯一实数，。 共面定理 与、（不共线）共面存在实数对，使． 基本定理 不共面，空间任意向量存在唯一的，使。 立体几何中的向量方法 线面标志 方向向量 所在直线与已知直线平行或者重合的非零向量叫做直线的方向向量。 法向量 所在直线与已知平面垂直的非零向量叫做平面的法向量。 位置关系 线线平行 方向向量共线。 线面平行 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理。 面面平行 判定定理；两个平面的法向量平行。 线线垂直 两直线的方向向量垂直。 线面垂直 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行。 面面垂直 判定定理；两个平面的法向量垂直。 空间角 线线角 两直线方向向量为， 。 线面角 直线的方向向量为，平面的法向量为，。 二面角 两平面的法向量分别为和，则。 空间距离 点线距 直线的方向向量为，直线上任一点为，点到 直线的距离。 两平行线距离 转化为点线距。 点面距 平面的法向量为，平面内任一点为，点 到平面的距离。 线面距、面面距转化为点面距。 * 19.直线方程 直线的方程 概念 倾斜角 定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.；与轴平行或重合时倾斜角为 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。 斜率 倾斜角为，倾斜角不是90°的直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率； 直线方程法：ax+by+c=0的斜率。 直线的方向向量法：若a=（m，n）为直线方向向量，则斜率k=. 过两点的直线的斜率； 点差法：如中,以为中点弦斜率求导数； 直线的倾斜角的范围是 直线方程 点斜式 已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线. 斜截式 已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴直线. 两点式 已知直线经过、两点,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴直线 截距式 已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成 (不同时为0)的形式. 提醒 ⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？) ⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为.直线两截距相等直线的斜率为或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点. ⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为 或直线过 ；直线两截距互为相反数直线的斜率为 或直线过 ；直线两截距绝对值相等直线的斜率为 或直线过 。 如： 已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 3；过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条3 设直线方程的一些常用技巧 （1）知直线纵截距，常设其方程为； （2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)； （3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为； （4）与直线平行的直线可表示为； （5）与直线垂直的直线可表示为. 提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解； 位置关系 平行 当不重合的两条直线和的斜率存在时， ；如果不重合直线和的斜率都不存在，那么它们都与轴垂直，则//． 平行且(在轴上截距) 已知直线的充要条件是 （a=-1） 垂直 当两条直线和的斜率存在时，；若两条直线中的一条斜率不存在，则另一条斜率为时，它们垂直． 交点 两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。 直线系方程 ①过两直线交点的直线系方程可设为； ②与直线平行的直线系方程可设为； ③与直线垂直的直线系方程可设为. * 20.直线与圆的方程 直线与圆的方程 点与线 距离 点点距 两点之间的距离。 点线距 点到直线距离公式 线线距 与平行线距离是 点 重心 设三角形三顶点,,,则重心； 对称 点关于直线的对称点的求法 点A关于直线L对称的点B：1）AB中点在L上；2）AB垂直直线L； 如：点Ａ（４，５）关于直线的对称点为Ｂ(－2,7)，则的方程是_____； 已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_ _ 点关于轴、轴、原点、直线的对称点分别是,,,. 对称的曲线方程 ①点：；②轴：；③轴：； ④原点：； ⑤直线： ⑥直线：； ⑦直线：. 圆与方程 圆 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。 标准方程 。 提醒：只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆 一般方程 表示圆 ,且). 参数方程 (为参数), 其中圆心为,半径为 圆的参数方程主要应用是三角换元：； 直径方程 以、为直径的圆的方程（） 过(1,2)总能作出两条直线和已知圆相切，求的取值范围 点和圆 位置关系的判断 ①点在圆外； ②点在圆内； ③点在圆上. 相交 相切 相离 线与圆 代数法 方程组有两组解 方程组有一组解 方程组无解 几何法 圆与圆 代数法 方程组有两解 方程组有一组解 方程组无解 几何法 或 或 切线 圆上一点的切线方程 点在圆上,则过点的切线方程为： 过圆上一点切线方程为. 过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线． 斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线． 弦 圆系 相交弦 切点弦 以点P和圆心为直径构造一个圆，与原来的圆相交，制造相交弦事件 【注：标准根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】 * 21.圆锥曲线的定义、方程与性质 圆锥曲线的定义、方程与性质 定义 标准方程 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 椭圆 平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆． 【，】 轴 轴 坐标原点 椭圆中 双曲线中 椭圆焦点三角形： i．，（）； ii．点 是内心，交于点，则； 共离心率的椭圆系的方程：方程是大于0的参数，我们称为共离心率椭圆系方程． 双曲线 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线． 【】 渐近线方程或 共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为 求准线方程 双曲线焦点三角形： ，（）； 等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为(渐近线互相垂直)，离心率 离心率 i公式法；椭圆e=双曲线e=,ii方程法：建立关于的齐次； 如：已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF是直角三角形，则该双曲线的离心率是 2; 以等边三角形顶点AB为焦点的椭圆经过两腰的中点，求其离心率： ； 弦长 焦半径：椭圆：； 抛物线焦点弦＝ 通径, 2p, 弦长 抛物线 平面内到一个定点和一条定直线（定点不在定直线）距离相等的点的轨迹是抛物线。 【焦点到准线的距离等于，，焦参数】 轴 【离心率是曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比】 轴 提醒 *1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式. *2.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式或“小小直角三角形”. *22. 圆锥曲线的热点问题 圆系方程 直线与圆相交 过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数． 圆与圆 过圆：,：交点的圆(相交弦)系方程为.时为两圆相交弦所在直线方程 曲线方程与 圆锥曲线热点问题 曲线 与 方程 概念 曲线上点的坐标都是方程的解，以的解为坐标的点都在曲线上，则称曲线为方程的曲线、方程为曲线的方程。 求法 直接法 直接通过建立、之间的关系，构成，是求轨迹的最基本的方法 定义法 已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法（待定系数法）。 代入法 动点随动点运动，在曲线上，以表示，代入曲线的方程得到动点轨迹方程的方法。 参数法 把动点坐标用参数进行表达的方法。此时，消掉 交轨法 轨迹是由两动直线（或曲线）交点构成的，在两动直线（曲线）中消掉参数 定义法 确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程. ①椭圆：第一定义：平面上一动点P到平面上两个定点F1、F2的距离和为定值，且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,则P点轨迹为椭圆。双曲线：||PF1|-|PF2||=定值<｜F1F2| ③,则动点轨迹是圆 热点问题 定点 含义 含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点。 解法 把曲线系方程按照参数集项，使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲线系恒过的定点。 定值 含义 不随其它量的变化而发生数值发生变化的量。 解法 建立这个量关于其它量的关系式，最后的结果是与其它变化的量无关。 范围 含义 一个量变化时的变化范围。 解法 建立这个量关于其它量的函数关系式或者不等式，求解这个函数的变化范围或者解不等式。 最值 含义 一个量在变化时的最大值和最小值。 解法 建立这个量的函数关系式，求解这个函数的最值。 方法规律 几何极值 ①周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大； ②周长一定的矩形中，以正方形面积最大； ③面积一定的三角形中，以正三角形的周长最小； ④周长一定的平面曲线中，圆所围成的面积最大； ⑤在面积一定的闭曲线中，圆的周长最小； ⑥在边长分别相等的多边形中，以圆内接多边形的面积最大； ⑦在等周长的边形中，以圆内接多边形的面积最大； ⑧面积一定边形中，正边形周长最小. 定值问题处理 （1）利用综合法证明时，需要改变题目的形式，把一般定值题转化为特殊情况，因此，常作辅助图形；其次要明确图形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析问题时要围绕着固定元素和定量进行，把定值固定在已知量上； （2）利用参数法证明时，要根据题设的条件，选取适当的参数，然后将所要证明的定值用参数表示出来，最后消去参数，便求得用常量表示的定值； 提醒 *3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函数有解问题；先验证因所设直线斜率存在，造成交点漏解情况，接着联立方程组，然后考虑消元建立关于的方程还是的方程，接着讨论方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式进行分析，时，直线与曲线相切，…… *4.求解直线与圆锥曲线的“弦长”、“交点”问题时，必要条件（注意判别式失控情况）是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必先有“”. 求解直线与圆锥曲线的其它问题时，如涉及到二次方程问题，必须优先考虑“二次项系数”与“判别式”问题. *5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). *6.韦达定理在解几中的应用：①求弦长； ②判定曲线交点的个数； ③求弦中点坐标；④求曲线的方程. *23.计数原理与二项式定理 排列组合二项式定理 基本原理 分类加法计数原理 完成一件事有类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法． 分步乘法计数原理 完成一件事情，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法. 排列 定义 从个不同元素中取出个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。 排列数 公式 ，规定． 组合 定义 从个不同元素中，任意取出个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。 组合数 公式 ，． 性质 ()；()． 二项式定理 定理 （叫做二项式系数） 通项公式 （其中） 系数和 公式 ；； *24.统计与统计案例、概率 统计 与统计案例 统计 随机抽样 简单抽样 从总体中逐个抽取且不放回抽取样本的方法。 等概率抽样。 分层抽样 将总体分层，按照比例从各层中独立抽取样本的方法。 系统抽样 将总体均匀分段，每段抽取一个样本的方法。 样本估计总体 众数 样本数据中出现次数最多的数据。 标准差 中位数 从小到大排序后，中间的数或者中间两数的平均数。 百分位数 平均数 的平均数是。 方差 的平均数为， 。 概率 定义 如果随机事件在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将发生的频率作为事件发生的概率的近似值，即。 事件关系 互斥事件 事件和事件在任何一次实验中不会同时发生 类比集合关系。 对立事件 事件和事件，在任何一次实验中有且只有一个发生。 性质 基本性质 ， ， 。 互斥事件 事件互斥，则。 古典概型 特征 基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性 计算公式 ，基本事件的个数、事件所包含的基本事件个数。 条件概率 特征 在事件A发生的条件下，样本空间从Ω缩小为A，事件B的条件概率P(B|A)，即是在新样本空间A上计算事件AB的概率 计算公式 全概率 特征 将复杂事件B分解为若干个互斥事件（A₁, A₂, ..., Aₙ）的并集，利用加法公式和乘法公式计算概率。 计算公式 *25.离散型随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布 随机变量及其分布列 概念 随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量，所有取值可以一一列出的随机叫做离散型随机变量。 分布列 离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格。 性质 （1）；（2）。 事件的独立性 条件概率 概念：事件发生的条件下，事件发生的概率， 。 性质：． 互斥， ． 独立事件 事件与事件满足，事件与事件相互独立。 次独立 重复试验 每次试验中事件发生的概率为，在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为。 典型 分布 超几何 分布 ，，其中，且，且．＂ 二项分布 分布列为：，。 数学期望、方差【时为两点分布】 正态分布 图象称为正态密度曲线，随机变量满足，则称的分布为正态分布．正态密度曲线的特点。 数字 特征 数学期望 方差和 标准差 方差：，标准差： 22 学科网（北京）股份有限公司 $$