第7讲 行程问题 (讲义+专练)-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第 7 讲 行程问题 强化训练 1、小霞在下午 2 点从家出发前往学校，同时她的父亲从家骑摩托车 出发去学校。父亲在 2点 40分到了学校，立刻调转车头，在距离家 6 千米的地方迎面遇到了小霞。然后，他带着小霞驶向学校，在 3点到 了学校。问：小霞的家距离学校有多少千米？ 2、有甲、乙两名游泳队员，他们在河中先后从同一个地方同速同向 游泳。现在甲位于乙的前方，乙距离起点 20 米。当乙游到甲现在的 位置时，甲已经离起点 98米。问：乙此时离起点多少米？ 3、张先生从甲地到乙地。如果他先骑摩托车 12小时，再换骑自行车 9 小时，恰好到达乙地。如果他从甲地先骑自行车 21 小时，再换骑 摩托车 8小时，也恰巧到达乙地。他会程骑摩托车，需要几小时到达 乙地？ 4、小李骑自行车从甲地到乙地，要先骑行一段上坡路，再骑行一段 平坦路。他到乙地后，立即返回甲地，来回一共用了 3小时。小李在 平坦路比在上坡路每小时多骑行 6千米，下坡路比平坦路每小时多骑 行 3千米。还知道他在第一小时比第二小时少骑行 5千米，第二小时 骑行了一段上坡路，又骑行了一段平坦路，第二小时比第三小时少骑 行了 3 千米。（1）小李骑上坡路和下坡路所用的时间各是多少分钟？ （2）甲、乙两地之间的距离是多少千米？ 5、小林从甲地出发步行前往乙地，同时小明从乙地出发骑自行车前 往甲地，1小时后两人在途中相遇。小明到达甲地后立即返回，在第 一次相遇后又经过 40 分钟，小明在途中追上小林，这次视为第二次 相遇。小明到达乙地后立即返回，他们第三次相遇的地点到甲、乙两 地的距离之比是多少？ 6、甲、乙、丙进行 200米短跑。甲跑到 150米处时，比乙领先 25米， 比丙领先 50 米。（1）如果三人速度不变，当甲到达终点时，乙比丙 领先多少米？（2）如果乙速度不变，丙速度提高一倍，丙能否在乙 之前到达终点？如果能，丙到达终点时，乙离终点多远？（3）如果 甲和乙速度不变，丙想得第一名，速度应提高到原来的几倍？ 7、兄弟二人在周长为 30米的圆形水池边玩耍，从同一地点同时背向 绿水池行走。哥哥每秒走 1.3米，弟弟每秒走 1.2米。他们从出发到 第 10次相遇，需要多长时间？ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性 的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 行程问题包括相遇、追及等应用题。这类问题变化多样，题型复杂， 是奥数问题的难点，也是重点。行程问题一般围绕时间、速度、路程 三个量展开，其基本数量关系如下： 一、相遇、相背问题： 速度 × 时间 = 路程 路程 ÷ 时间 = 速度 路程 ÷ 速度 = 时间 二、追及问题 速度差 × 时间 = 追击路程 追击路程 ÷ 时间 = 速度差 行程问题第 7讲 专题概述 追击路程 ÷ 速度差 = 时间 解决行程问题时，要注意出发的时间、地点和行驶方向、速度的 变化等，常常需要画线段图来理解题意，多用列方程来解题。 【例 1】有甲、乙两辆汽车，同时从 A、B 两地相向开出，8小时 后，两车已行的路程是 A、B 两地距离的 2 5 ，甲车每小时行 49千 米，比乙车每小时少行 1 8 求 A、B 两地的距离。 【思维点拨】选题可知，"甲车每小时行 49千米，比乙车每小时少 行 1 8 "，则乙车的速度是49 ÷ (1− 1 8 )，根据公式"速度×时间=路程 "，而题目中的速度其实是甲、乙两车的速度和，而路程即 A、B 两地距离的 2 5 从点拨算出 A, B 两地的距离。 [49 ÷ (1− 1 8 ) +49] × 8 = 49 × 8 7 + 49 × 8 = 105 × 8 = 840（千米） 840 ÷ 2 5 = 2100（千米） 重点例题 1、2 答：A, B 两地的距离是 2100 千米。 【例 2】A, B 两地，相距 960 米。有甲、乙二人，分别从 A, B 两地同时出发，如果二人相向而行，6 分钟相遇；如果二人同向而 行，80 分钟后甲可追上乙。问：甲从 A 地走到 B 地，需要用多 少分钟？ 【思维点拨】读题可知，"如果二人相向而行，6 分钟相遇"，此时 二人走完全程 960 米，二人的速度和 960 ÷ 6 = 160（米/分）； "如果二人同向而行，80 分钟后甲可追上乙"，甲追乙的路程是 960 米，那么甲与乙的速度差是 960 ÷ 80 = 12（米/分）。根据甲、 乙二人的速度和与速度差，可知甲的速度为 (160 + 12) ÷ 2 = 86（米/分）， 甲 从 A 地 走 到 B 地 ， 需 要 用 960 ÷ 86 = 11 7 43 （分）。 960 ÷ [(960 ÷ 6 + 960 ÷ 80) ÷ 2] = 11 7 43 （分） 答：甲从 A 地走到 B 地，需要用 11 7 43 分钟。 1.有一辆快车，从甲地开往乙地需要 5 小时。有一辆慢车，从乙地 培优拔尖 1 开往甲地所需的时间比快车多 1 5 。两车同时从甲、乙两地相对开出 2 小时后，慢车停止前进，快车继续行驶 40 千米后，恰好与慢车相遇。 问：甲、乙两跑相距多少千米？ 2.看甲、乙二人，他们同时从王庄出发到李庄。如果二人都匀速行进， 甲用 4小时走完全程，乙用 6小时走完全程。当乙所剩路程是甲所剩 路程的 4倍时，他们已经出发了多少小时？ 3.从 A 地到 B 地，全程 30 千米。有兄弟二人，骑马从 A 地前往 B 地。 马每小时行 10 千米，但只能由一个人骑。哥哥每小时步行 5 千米， 弟弟每小时步行 4千米。二人轮换着骑马和步行，骑马者走过一段距 离就下鞍垫马（下鞍垫马的时间忽略不计），然后独自步行，而步行 者到达此地后，再上马前进。如果他们早晨 6时动身，几时几分能同 时到达 B地？ 【例 3】乌龟和兔子进行赛跑，全程是 10000米。兔子每分钟跑 200 米，乌龟每分钟跑 8米，兔子每跑 5分钟歇息 50分钟，而乌龟一 直在跑。问：谁先到达终点？ 【思维点拨】这道题需要从提问寻求突破口。问"谁先到达终点"， 也就是问谁用时短。因为乌龟一直在跑，它的用时很容易求出来， 重点例题 3、4 即 10000÷8=1250（分）。兔子如果不歇息，跑完全程用时：10000÷ 200=50（分）。由于兔子每跑 5分钟歇息 50分钟，所以兔子跑到终 点共用时：（50÷5-1）×50+50=500（分）。因为 1250>500，所以 兔子先到达终点。 【例 4】有快、中、慢三辆车同时从某地出发，沿着同一公路去追 赶一个骑车人。这三辆车道上骑车人的用时分别是 6分钟、10分 钟、12分钟。已知快车的速度为每小时 24千米，慢车的速度为每 小时 19千米。问：中车的速度是多少？ 【思维点拨】这是一道追及问题，需要我们灵活运用追及公式。首 先我们要求出骑车人的速度。由题意可知，慢车追上骑车人的路程 减去快车追上骑车人的路程，正好就是骑车人行驶的路程，用这段 路程除以快车与慢车的时间差，就可以得出骑车人的速度，即： 19 × 12 60 −24 × 6 60 ÷ 12 60 − 6 60 = 14（千米/时） 根据公式"追及路程=速度差×时间"，得出追及路程为 (19−14) × 12 60 = 1（千米）。 而中车的速度，即骑车人的速度加上速度差，也就是 1 ÷ 10 60 +14 = 20（千米/时）。 培优拔尖 2 1.甲、乙两地相距 60千米，小王骑车，以每小时 10千米的速度，在 上午 8点钟，从甲地出发前往乙地。过了一会儿，小李骑车，以每小 时 15 千米的速度，也从甲地去乙地。小李在途中 M 地追上小王，通 知小王立刻返回甲地，小李继续骑车去乙地。他们各自分别到达甲、 乙两地后都马上返回，两人再次见面时，恰好还在 M地。问：小李是 在几点几分出发的？ 2.甲、乙二人跑步，如果甲让乙先跑 10 米，那么甲跑 5 秒钟可以追 上乙；如果甲让乙先跑 2秒钟，那么甲跑 4秒钟可以追上乙。问：甲、 乙两人的速度各是多少？ 3.李明和李刚是兄弟俩，这一天，他们进行 100米短跑竞赛，假定二 人跑步的速度均不变。当李刚跑完 80米时，李明距离终点还有 25米。 问：当李刚到达终点时，李明距离终点还有多少米？ 【例 5】甲、乙二人在一条椭圆形的跑道上训练。二人同时从同一 地点出发，沿着相反方向跑。每人跑完第一圈到达出发点后，立刻 回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 2 3 。甲跑 完第二圈时，速度比第一圈提高了 1 3 。乙跑完第二圈时，速度提高 了 1 5 。已知甲、乙二人第二次相遇点距离第一次相遇点 190米。 问：这条椭圆形跑道长多少米？ 【思维点拨】据题意画图 重点例题 5 甲、乙从 A点出发，沿着相反方向跑，他们的速度比是 1: 2 3 = 3:2 。第一次相遇时，他们所行的路程比是 3:2。把全程平均分为 5份 ，则他们第一次相遇点在 B 点，当甲到了 A 点时，乙又行了 2 ÷ 3 × 2 = 1 1 3 。这时，甲反向而行，速度提高了 1 3 ，甲、乙的 速度比是 3 × 1 + 1 3 :2 = 2:1，当乙到 A 点时，甲反向行了 3−1 1 3 × 2 = 3 1 3 。这时候，乙反向而行，甲、乙的速度比变成 3 × 1 + 1 3 : 2 × 1 + 1 5 = 5:3，按照这样的速度，乙又奔跑 的距离为 5−3 1 3 × 3 5 + 3 = 5 8 ，与甲在 C 点相遇。B 点到 C 点的 路程为 190米，对应的份数为 3− 5 8 = 2 3 8 。 1: 2 3 = 3:2 2 ÷ 3 × 2 = 1 1 3 3 × 1 + 1 3 :2 = 2:1 3−1 1 3 × 2 = 3 1 3 3 × 1 + 1 3 : 2 × 1 + 1 5 = 5:3 5−3 1 3 × 3 5 + 3 = 5 8 190 ÷ (3− 5 8 ) × 5 = 400（米） 答：这条椭圆形跑道长 400 米。 1.小章、小汪和小李三人，同时从湖边的同一地点出发，绕着湖行走。 小章每分钟走 50 米，小汪每分钟走 40 米，他俩同向而行。小李与 他俩反向而行。30 分钟后，小章与小李相遇。又过了 3 分钟，小李 与小汪相遇。问：湖的周长是多少米？ 2.甲、乙二人，分别从 A、B 两地同时相向而行，到达后都原路返回。 在距离 A 地 90 千米处，二人第一次相遇，甲在距离 A 地 50 千米 处第二次与之相遇。问：两地相距多少米？ 培优拔尖 3 3.有一个圆，周长是 70 厘米。有一大一小两只蚂蚁，从同一地点同 时出发，同向爬行。大蚂蚁以每秒 4 厘米的速度不停地爬行，小蚂 蚁爬行 15 厘米后立即返回爬行，其速度增加一倍，在离出发点 30 厘米处，与大蚂蚁相遇。问：小蚂蚁原来每秒爬行多少厘米？ 【例 6】李叔叔站在铁路边，一列火车从他身边经过，用了 9 秒 钟，这列火车用同样的速度通过一座长 468 米的大桥，用了 35 秒钟。问：这列火车有多长？ 【思维点拨】这是一道过桥问题。根据公式"（桥长+车长）÷速度 重点例题 6、7 =时间"，由于车载点在铁路边静止不动，可将他看成一座几乎没有 长度的桥。因此，火车经过车载点身边时，所行的路程就是火车本 身的长度，用了 9秒钟，也就是"车长=速度×9"，即火车如果跑自 车的车长，需要 9 秒钟。而这列火车通过大桥时，所行的路程是" 桥长+车长"，用了 35 秒钟。结合以上分析，我们知道，火车如果 只是"桥的长度"的话，应该用了 35-9=26(秒)。因为桥长 468米， 所以先求出火车的速度，再根据第一个条件求出火车的车长。 468 ÷ (35−9) × 9 = 18 × 9 = 162（米） 答：这列火车长 162米。 【例 7】一列火车进隧道，从车头到隧道口算起，用了 4秒钟，全 部驶进了一条隧道，21秒钟后全部驶离隧道。已知，隧道全长是 476 米。求火车的速度和火车的车长。 【思维点拨】根据"从车头到隧道口算起，用了 4 秒钟，全部驶进 了一条隧道"，可知火车全部驶进隧道，花了 4 秒钟，也就是跑了 一个火车的长度需要 4 秒钟。再根据"21 秒钟后全部驶离隧道"， 可知火车通过隧道长度需要 21-4=17（秒）。 火车的速度：476 ÷ (21−4) = 28（米/秒） 火车的长度：28 × 4 = 112（米） 答：火车的速度是 28米/秒，火车的长度是 112米。 1.一列火车通过一座长 440 米的桥，需要 40 秒钟。它用同样的速度 穿过一条长 310 米的隧道，需要 30 秒钟。问：这列火车的速度和车 长各是多少米？ 2.一列火车，从车头到桥头算起，用了 5 秒钟全部驶上了一座大桥， 26 秒钟后，又全部驶离大桥。已知大桥的全长是 525 米。求：火车 过桥的速度和火车的长度。 3.有一座大桥，全长 1000 米。一列火车，从车头上桥到车尾离桥， 用了 100 秒，整列火车完全在桥上的时间是 80 秒钟。求火车的速度 培优拔尖 4 和火车的长度。 4.一辆列车通过 250米长的隧道需要 25秒钟。它通过一座 210米长 的大桥，需要 23 秒钟。列车的前方，有一辆与它同行的行驶的货车， 其车身长 320米，速度为每秒 17米。列车与货车从相遇到相离需要 多少秒？ 【例 8】有一辆跑车，从甲地开往乙地。如果把车速提高 1 5 ，可以 比原定时间提前 1小时到达。如果按原来的速度行驶 120千米后， 再将速度提高 1 4 ，则可提前 40分钟到达。请问：甲、乙两地相距 多少米？ 【思维点拨】这道题涵盖了行程问题、比例问题、分数问题。解题 思路是，先求出汽车按原来的速度到达乙地所需要的时间，再求出 甲、乙两地的路程。 根据车速提高了 1 5 ，可知现在的车速与原来的车速之比是： (1 + 1 5 ):1 = 6:5 ，路程一定，所需的时间比是速度比的反比，从 而计算出原定时间为 6小时。由按照原来的速度行驶 120千米后， 速度提高 1 4 ，现在的速度与原来的速度之比是： (1 + 1 4 ):1 = 5:4 即可求出所需时间比为 4:5，从而计算出行快 120千米后，还需要行驶 2 3 ÷ (5−4) × 5 = 3 （时），这样 120千米占全程的(1- 1 6 × 3 1 3 ) 最后就可以算出甲、乙两地的距离了。 现在的速度与原来的速度之比： (1 + 1 5 ):1 = 6:5 重点例题 8 原定行驶里程的时间： 1 ÷ (6−5) × 6 = 6 （时） 行驶 120千米后，加快的速度与原来的速度之比： (1 + 1 4 ):1 = 5:4 行驶 120千米后按原来的速度还需行走的时间： 2 3 ÷ (5−4) × 5 = 3 1 3 (时) 甲、乙两地的距离：120 ÷ (1− 1 6 × 3 1 3 ) = 270（千米） 答：甲、乙两地相距 270千米。 1.一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行。若两车 按照原定速度行驶，6 小时相遇；若客车比计划每小时少行 5 千米， 货车比计划每小时多行 1千米，则 8小时相遇，甲、乙两地相距多少 千米？ 培优拔尖 5 2.有母女二人，同在一个工厂工作。母亲从家走到工厂需要 30 分钟， 女儿走完这段路只要 20 分钟。已知母亲比女儿早 5 分钟动身，请问： 经过多长时间，女儿才能追上母亲？ 3.甲、乙两辆车分别从王庄、李庄同时出发相向而行。出发时，甲和 乙的速度比是 4：3，二年相遇后，甲速度减少 1 10 ，乙速度增加 1 5 。这 样，当甲到达李庄时，乙离王庄还有 17千米。问：两地相距多少千 米？ 第7讲 行程问题 强化训练 1、小霞在下午2点从家出发前往学校，同时她的父亲从家骑摩托车出发去学校。父亲在2点40分到了学校，立刻调转车头，在距离家6千米的地方迎面遇到了小霞。然后，他带着小霞驶向学校，在3点到了学校。问：小霞的家距离学校有多少千米？ 2、 有甲、乙两名游泳队员，他们在河中先后从同一个地方同速同向游泳。现在甲位于乙的前方，乙距离起点20米。当乙游到甲现在的位置时，甲已经离起点98米。问：乙此时离起点多少米？ 3、 张先生从甲地到乙地。如果他先骑摩托车12小时，再换骑自行车9小时，恰好到达乙地。如果他从甲地先骑自行车21小时，再换骑摩托车8小时，也恰巧到达乙地。他会程骑摩托车，需要几小时到达乙地？ 4、 小李骑自行车从甲地到乙地，要先骑行一段上坡路，再骑行一段平坦路。他到乙地后，立即返回甲地，来回一共用了3小时。小李在平坦路比在上坡路每小时多骑行6千米，下坡路比平坦路每小时多骑行3千米。还知道他在第一小时比第二小时少骑行5千米，第二小时骑行了一段上坡路，又骑行了一段平坦路，第二小时比第三小时少骑行了3千米。（1）小李骑上坡路和下坡路所用的时间各是多少分钟？（2）甲、乙两地之间的距离是多少千米？ 5、 小林从甲地出发步行前往乙地，同时小明从乙地出发骑自行车前往甲地，1小时后两人在途中相遇。小明到达甲地后立即返回，在第一次相遇后又经过40分钟，小明在途中追上小林，这次视为第二次相遇。小明到达乙地后立即返回，他们第三次相遇的地点到甲、乙两地的距离之比是多少？ 6、 甲、乙、丙进行200米短跑。甲跑到150米处时，比乙领先25米，比丙领先50米。（1）如果三人速度不变，当甲到达终点时，乙比丙领先多少米？（2）如果乙速度不变，丙速度提高一倍，丙能否在乙之前到达终点？如果能，丙到达终点时，乙离终点多远？（3）如果甲和乙速度不变，丙想得第一名，速度应提高到原来的几倍？ 7、兄弟二人在周长为30米的圆形水池边玩耍，从同一地点同时背向绿水池行走。哥哥每秒走1.3米，弟弟每秒走1.2米。他们从出发到第10次相遇，需要多长时间？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7讲 行程问题 强化训练 1、小霞在下午2点从家出发前往学校，同时她的父亲从家骑摩托车出发去学校。父亲在2点40分到了学校，立刻调转车头，在距离家6千米的地方迎面遇到了小霞。然后，他带着小霞驶向学校，在3点到了学校。问：小霞的家距离学校有多少千米？ 【答案】8千米 【分析】父亲骑摩托车从家到学校需要40分钟，掉头接到小霞到学校用了20分钟，所以从接到小霞至到达学校父亲共用10分钟， 占全程的 ，全程为 （千米）。 2、有甲、乙两名游泳队员，他们在河中先后从同一个地方同速同向游泳。现在甲位于乙的前方，乙距离起点20米。当乙游到甲现在的位置时，甲已经离起点98米。问：乙此时离起点多少米？ 【答案】59米 【分析】当乙游到甲现在的位置时，甲也游了同样的距离，此时乙距离起点（米）。 3、张先生从甲地到乙地。如果他先骑摩托车12小时，再换骑自行车9小时，恰好到达乙地。如果他从甲地先骑自行车21小时，再换骑摩托车8小时，也恰巧到达乙地。他会程骑摩托车，需要几小时到达乙地？ 【答案】15小时 【分析】摩托车走（时）的路程，自行车要用（时）。摩托车走完全程，需要 （时）。 4、小李骑自行车从甲地到乙地，要先骑行一段上坡路，再骑行一段平坦路。他到乙地后，立即返回甲地，来回一共用了3小时。小李在平坦路比在上坡路每小时多骑行6千米，下坡路比平坦路每小时多骑行3千米。还知道他在第一小时比第二小时少骑行5千米，第二小时骑行了一段上坡路，又骑行了一段平坦路，第二小时比第三小时少骑行了3千米。（1）小李骑上坡路和下坡路所用的时间各是多少分钟？（2）甲、乙两地之间的距离是多少千米？ 【答案】（1）40分钟（2）24.5千米 【分析】（1）根据题意，小李在第一小时都在骑行上坡路，因为第二小时比第一小时多骑行5千米，而平坦路比上坡路每小时可多骑行6千米，所以在第二小时他有的时间，即50分钟是在平坦路上行进。于是，上坡路所用的时间为（分）。 在第三小时小李骑行的是一段平坦路和一段下坡路，并且比第一小时多骑行（千米）。已知下坡比上坡每小时多骑行（千米），平坦路比上坡路每小时多骑行6千米，所以如果第三小时都骑行下坡路将比第一小时多前进9千米。这与实际相差（千米），因此第三小时骑行平坦路的时间是1÷(9−6)=（时）=20（分）。从而下坡用的时间是60−20=40（分）。 （2）已经求出同一段路在上坡时用70分钟，在下坡时用40分钟，所以下坡速度为上坡时的倍，而这两个速度之差为9千米/时，所以上坡速度为9÷=12（千米/时），下坡速度为12+9=21（千米/时）。进而得出在平坦路上的速度为21−3=18（千米/时）。小李骑行的总路程是： (千米), 即甲、乙两地之间的距离为49÷2=24.5（千米）。 5、小林从甲地出发步行前往乙地，同时小明从乙地出发骑自行车前往甲地，1小时后两人在途中相遇。小明到达甲地后立即返回，在第一次相遇后又经过40分钟，小明在途中追上小林，这次视为第二次相遇。小明到达乙地后立即返回，他们第三次相遇的地点到甲、乙两地的距离之比是多少？ 【答案】3：2 【分析】在两人第一次相遇后，各自继续前进。二人分别又前进了40分钟，其中小明先走了一段路到达甲地，相当于小林走1小时的路程；然后又返回追上小林，所走的路相当于小林1小时40分钟的路程。可知二人的速度比是40：(60×2+40)=1：4，所以可得出全程为(1+4)×60=300份，第三次相遇时，小林共走了1×(60+60×2)=180份，所以相遇点与甲、乙两地的距离比为180：(300−180)=3：2。 6、甲、乙、丙进行200米短跑。甲跑到150米处时，比乙领先25米，比丙领先50米。（1）如果三人速度不变，当甲到达终点时，乙比丙领先多少米？（2）如果乙速度不变，丙速度提高一倍，丙能否在乙之前到达终点？如果能，丙到达终点时，乙离终点多远？（3）如果甲和乙速度不变，丙想得第一名，速度应提高到原来的几倍？ 【答案】（1）33米（2）12.5米（3）3 【分析】（1）150−25=125（米） 150−50=100（米） 甲：乙：丙=150：125：100 =6：5：4 (米) （2）甲：乙：丙=6：5：(4×2) =6：5：8 7、兄弟二人在周长为30米的圆形水池边玩耍，从同一地点同时背向绿水池行走。哥哥每秒走1.3米，弟弟每秒走1.2米。他们从出发到第10次相遇，需要多长时间？ 【答案】 【分析】第10次相遇时，二人合走了10圈。 用时： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               行程问题 第7讲     专题概述 行程问题包括相遇、追及等应用题。这类问题变化多样，题型复杂，是奥数问题的难点，也是重点。行程问题一般围绕时间、速度、路程三个量展开，其基本数量关系如下： 一、相遇、相背问题： 速度 × 时间 = 路程 路程 ÷ 时间 = 速度 路程 ÷ 速度 = 时间 二、追及问题 速度差 × 时间 = 追击路程 追击路程 ÷ 时间 = 速度差 追击路程 ÷ 速度差 = 时间 解决行程问题时，要注意出发的时间、地点和行驶方向、速度的变化等，常常需要画线段图来理解题意，多用列方程来解题。 重点例题1、2 【例1】有甲、乙两辆汽车，同时从 、 两地相向开出，8小时后，两车已行的路程是 、 两地距离的 ，甲车每小时行49千米，比乙车每小时少行 求 、 两地的距离。 【思维点拨】选题可知，"甲车每小时行49千米，比乙车每小时少行"，则乙车的速度是，根据公式"速度×时间=路程"，而题目中的速度其实是甲、乙两车的速度和，而路程即 、 两地距离的 从点拨算出 , 两地的距离。 [()] 答：, 两地的距离是 2100 千米。 【例2】, 两地，相距 960 米。有甲、乙二人，分别从 , 两地同时出发，如果二人相向而行，6 分钟相遇；如果二人同向而行，80 分钟后甲可追上乙。问：甲从 地走到 地，需要用多少分钟？ 【思维点拨】读题可知，"如果二人相向而行，6 分钟相遇"，此时二人走完全程 960 米，二人的速度和 ；"如果二人同向而行，80 分钟后甲可追上乙"，甲追乙的路程是 960 米，那么甲与乙的速度差是 。根据甲、乙二人的速度和与速度差，可知甲的速度为 ，甲从 地走到 地，需要用 。 答：甲从 地走到 地，需要用 分钟。 培优拔尖1 1.有一辆快车，从甲地开往乙地需要 5 小时。有一辆慢车，从乙地开往甲地所需的时间比快车多 。两车同时从甲、乙两地相对开出 2 小时后，慢车停止前进，快车继续行驶40千米后，恰好与慢车相遇。问：甲、乙两跑相距多少千米？ 2.看甲、乙二人，他们同时从王庄出发到李庄。如果二人都匀速行进，甲用4小时走完全程，乙用6小时走完全程。当乙所剩路程是甲所剩路程的4倍时，他们已经出发了多少小时？ 3.从A地到B地，全程30千米。有兄弟二人，骑马从A地前往B地。马每小时行10千米，但只能由一个人骑。哥哥每小时步行5千米，弟弟每小时步行4千米。二人轮换着骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍垫马（下鞍垫马的时间忽略不计），然后独自步行，而步行者到达此地后，再上马前进。如果他们早晨6时动身，几时几分能同时到达B地？ 重点例题3、4 【例3】乌龟和兔子进行赛跑，全程是10000米。兔子每分钟跑200米，乌龟每分钟跑8米，兔子每跑5分钟歇息50分钟，而乌龟一直在跑。问：谁先到达终点？ 【思维点拨】这道题需要从提问寻求突破口。问"谁先到达终点"，也就是问谁用时短。因为乌龟一直在跑，它的用时很容易求出来，即10000÷8=1250（分）。兔子如果不歇息，跑完全程用时：10000÷200=50（分）。由于兔子每跑5分钟歇息50分钟，所以兔子跑到终点共用时：（50÷5-1）×50+50=500（分）。因为1250>500，所以兔子先到达终点。 【例4】有快、中、慢三辆车同时从某地出发，沿着同一公路去追赶一个骑车人。这三辆车道上骑车人的用时分别是6分钟、10分钟、12分钟。已知快车的速度为每小时24千米，慢车的速度为每小时19千米。问：中车的速度是多少？ 【思维点拨】这是一道追及问题，需要我们灵活运用追及公式。首先我们要求出骑车人的速度。由题意可知，慢车追上骑车人的路程减去快车追上骑车人的路程，正好就是骑车人行驶的路程，用这段路程除以快车与慢车的时间差，就可以得出骑车人的速度，即： 根据公式"追及路程=速度差×时间"，得出追及路程为 。 而中车的速度，即骑车人的速度加上速度差，也就是 。 培优拔尖2 1.甲、乙两地相距60千米，小王骑车，以每小时10千米的速度，在上午8点钟，从甲地出发前往乙地。过了一会儿，小李骑车，以每小时15千米的速度，也从甲地去乙地。小李在途中M地追上小王，通知小王立刻返回甲地，小李继续骑车去乙地。他们各自分别到达甲、乙两地后都马上返回，两人再次见面时，恰好还在M地。问：小李是在几点几分出发的？ 2.甲、乙二人跑步，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟可以追上乙。问：甲、乙两人的速度各是多少？ 3.李明和李刚是兄弟俩，这一天，他们进行100米短跑竞赛，假定二人跑步的速度均不变。当李刚跑完80米时，李明距离终点还有25米。问：当李刚到达终点时，李明距离终点还有多少米？ 重点例题5 【例5】甲、乙二人在一条椭圆形的跑道上训练。二人同时从同一地点出发，沿着相反方向跑。每人跑完第一圈到达出发点后，立刻回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 。甲跑完第二圈时，速度比第一圈提高了 。乙跑完第二圈时，速度提高了 。已知甲、乙二人第二次相遇点距离第一次相遇点190米。 问：这条椭圆形跑道长多少米？ 【思维点拨】据题意画图 甲、乙从A点出发，沿着相反方向跑，他们的速度比是 。第一次相遇时，他们所行的路程比是 。把全程平均分为5份，则他们第一次相遇点在B点，当甲到了A点时，乙又行了 。这时，甲反向而行，速度提高了 ，甲、乙的速度比是 ，当乙到A点时，甲反向行了 。这时候，乙反向而行，甲、乙的速度比变成 ，按照这样的速度，乙又奔跑的距离为 ，与甲在C点相遇。B点到C点的路程为190米，对应的份数为 。 答：这条椭圆形跑道长 400 米。 培优拔尖3 1.小章、小汪和小李三人，同时从湖边的同一地点出发，绕着湖行走。小章每分钟走 50 米，小汪每分钟走 40 米，他俩同向而行。小李与他俩反向而行。30 分钟后，小章与小李相遇。又过了 3 分钟，小李与小汪相遇。问：湖的周长是多少米？ 2.甲、乙二人，分别从 A、B 两地同时相向而行，到达后都原路返回。在距离 A 地 90 千米处，二人第一次相遇，甲在距离 A 地 50 千米处第二次与之相遇。问：两地相距多少米？ 3. 有一个圆，周长是 70 厘米。有一大一小两只蚂蚁，从同一地点同时出发，同向爬行。大蚂蚁以每秒 4 厘米的速度不停地爬行，小蚂蚁爬行 15 厘米后立即返回爬行，其速度增加一倍，在离出发点 30 厘米处，与大蚂蚁相遇。问：小蚂蚁原来每秒爬行多少厘米？ 重点例题6、7 【例6】李叔叔站在铁路边，一列火车从他身边经过，用了 9 秒钟，这列火车用同样的速度通过一座长 468 米的大桥，用了 35 秒钟。问：这列火车有多长？ 【思维点拨】这是一道过桥问题。根据公式"（桥长+车长）÷速度=时间"，由于车载点在铁路边静止不动，可将他看成一座几乎没有长度的桥。因此，火车经过车载点身边时，所行的路程就是火车本身的长度，用了9秒钟，也就是"车长=速度×9"，即火车如果跑自车的车长，需要9秒钟。而这列火车通过大桥时，所行的路程是"桥长+车长"，用了35秒钟。结合以上分析，我们知道，火车如果只是"桥的长度"的话，应该用了35-9=26(秒)。因为桥长468米，所以先求出火车的速度，再根据第一个条件求出火车的车长。 答：这列火车长162米。 【例7】一列火车进隧道，从车头到隧道口算起，用了4秒钟，全部驶进了一条隧道，21秒钟后全部驶离隧道。已知，隧道全长是476米。求火车的速度和火车的车长。 【思维点拨】根据"从车头到隧道口算起，用了4秒钟，全部驶进了一条隧道"，可知火车全部驶进隧道，花了4秒钟，也就是跑了一个火车的长度需要4秒钟。再根据"21秒钟后全部驶离隧道"，可知火车通过隧道长度需要21-4=17（秒）。 火车的速度： 火车的长度： 答：火车的速度是28米/秒，火车的长度是112米。 培优拔尖4 1.一列火车通过一座长440米的桥，需要40秒钟。它用同样的速度穿过一条长310米的隧道，需要30秒钟。问：这列火车的速度和车长各是多少米？ 2.一列火车，从车头到桥头算起，用了5秒钟全部驶上了一座大桥，26秒钟后，又全部驶离大桥。已知大桥的全长是525米。求：火车过桥的速度和火车的长度。 3.有一座大桥，全长1000米。一列火车，从车头上桥到车尾离桥，用了100秒，整列火车完全在桥上的时间是80秒钟。求火车的速度和火车的长度。 4. 一辆列车通过250米长的隧道需要25秒钟。它通过一座210米长的大桥，需要23秒钟。列车的前方，有一辆与它同行的行驶的货车，其车身长320米，速度为每秒17米。列车与货车从相遇到相离需要多少秒？ 重点例题8 【例8】有一辆跑车，从甲地开往乙地。如果把车速提高 ，可以比原定时间提前1小时到达。如果按原来的速度行驶120千米后，再将速度提高 ，则可提前40分钟到达。请问：甲、乙两地相距多少米？ 【思维点拨】这道题涵盖了行程问题、比例问题、分数问题。解题思路是，先求出汽车按原来的速度到达乙地所需要的时间，再求出甲、乙两地的路程。 根据车速提高了 ，可知现在的车速与原来的车速之比是： ，路程一定，所需的时间比是速度比的反比，从而计算出原定时间为6小时。由按照原来的速度行驶120千米后，速度提高，现在的速度与原来的速度之比是： ( 即可求出所需时间比为4:5，从而计算出行快120千米后，还需要行驶 （时），这样120千米占全程的(1- )最后就可以算出甲、乙两地的距离了。 现在的速度与原来的速度之比： 原定行驶里程的时间： （时） 行驶120千米后，加快的速度与原来的速度之比： 行驶120千米后按原来的速度还需行走的时间： (时) 甲、乙两地的距离： 答：甲、乙两地相距270千米。 培优拔尖5 1.一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行。若两车按照原定速度行驶，6小时相遇；若客车比计划每小时少行5千米，货车比计划每小时多行1千米，则8小时相遇，甲、乙两地相距多少千米？ 2.有母女二人，同在一个工厂工作。母亲从家走到工厂需要30分钟，女儿走完这段路只要20分钟。已知母亲比女儿早5分钟动身，请问：经过多长时间，女儿才能追上母亲？ 3.甲、乙两辆车分别从王庄、李庄同时出发相向而行。出发时，甲和乙的速度比是4：3，二年相遇后，甲速度减少，乙速度增加。这样，当甲到达李庄时，乙离王庄还有17千米。问：两地相距多少千米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               行程问题 第7讲     专题概述 行程问题包括相遇、追及等应用题。这类问题变化多样，题型复杂，是奥数问题的难点，也是重点。行程问题一般围绕时间、速度、路程三个量展开，其基本数量关系如下： 一、相遇、相背问题： 速度 × 时间 = 路程 路程 ÷ 时间 = 速度 路程 ÷ 速度 = 时间 二、追及问题 速度差 × 时间 = 追击路程 追击路程 ÷ 时间 = 速度差 追击路程 ÷ 速度差 = 时间 解决行程问题时，要注意出发的时间、地点和行驶方向、速度的变化等，常常需要画线段图来理解题意，多用列方程来解题。 重点例题1、2 【例1】有甲、乙两辆汽车，同时从 、 两地相向开出，8小时后，两车已行的路程是 、 两地距离的 ，甲车每小时行49千米，比乙车每小时少行 求 、 两地的距离。 【思维点拨】选题可知，"甲车每小时行49千米，比乙车每小时少行"，则乙车的速度是，根据公式"速度×时间=路程"，而题目中的速度其实是甲、乙两车的速度和，而路程即 、 两地距离的 从点拨算出 , 两地的距离。 [()] 答：, 两地的距离是 2100 千米。 【例2】, 两地，相距 960 米。有甲、乙二人，分别从 , 两地同时出发，如果二人相向而行，6 分钟相遇；如果二人同向而行，80 分钟后甲可追上乙。问：甲从 地走到 地，需要用多少分钟？ 【思维点拨】读题可知，"如果二人相向而行，6 分钟相遇"，此时二人走完全程 960 米，二人的速度和 ；"如果二人同向而行，80 分钟后甲可追上乙"，甲追乙的路程是 960 米，那么甲与乙的速度差是 。根据甲、乙二人的速度和与速度差，可知甲的速度为 ，甲从 地走到 地，需要用 。 答：甲从 地走到 地，需要用 分钟。 培优拔尖1 1.有一辆快车，从甲地开往乙地需要 5 小时。有一辆慢车，从乙地开往甲地所需的时间比快车多 。两车同时从甲、乙两地相对开出 2 小时后，慢车停止前进，快车继续行驶40千米后，恰好与慢车相遇。问：甲、乙两跑相距多少千米？ 【答案】150千米 【分析】快车行完全程需要5小时，2小时行驶全程的 。慢车行完全程需要 （时），2小时行驶全程的 。所以全程为 （千米）。 2.看甲、乙二人，他们同时从王庄出发到李庄。如果二人都匀速行进，甲用4小时走完全程，乙用6小时走完全程。当乙所剩路程是甲所剩路程的4倍时，他们已经出发了多少小时？ 【答案】3.6小时 【分析】设已经出发了x小时 解得x==3 他们已经出发了3.6小时。 3. 从A地到B地，全程30千米。有兄弟二人，骑马从A地前往B地。马每小时行10千米，但只能由一个人骑。哥哥每小时步行5千米，弟弟每小时步行4千米。二人轮换着骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍垫马（下鞍垫马的时间忽略不计），然后独自步行，而步行者到达此地后，再上马前进。如果他们早晨6时动身，几时几分能同时到达B地？ 【答案】10点48分 【分析】设哥哥步行了x千米，骑马则行（30-x）千米；弟弟正好相反，步行（30-x）千米，骑马x千米。根据题目中的已知条件，列方程： 解得x=18。 所以，二人用的时间为 （时）=4时48分。早晨6点动身，经过4小时48分，就是上午10点48分能同时到达B地。 重点例题3、4 【例3】乌龟和兔子进行赛跑，全程是10000米。兔子每分钟跑200米，乌龟每分钟跑8米，兔子每跑5分钟歇息50分钟，而乌龟一直在跑。问：谁先到达终点？ 【思维点拨】这道题需要从提问寻求突破口。问"谁先到达终点"，也就是问谁用时短。因为乌龟一直在跑，它的用时很容易求出来，即10000÷8=1250（分）。兔子如果不歇息，跑完全程用时：10000÷200=50（分）。由于兔子每跑5分钟歇息50分钟，所以兔子跑到终点共用时：（50÷5-1）×50+50=500（分）。因为1250>500，所以兔子先到达终点。 【例4】有快、中、慢三辆车同时从某地出发，沿着同一公路去追赶一个骑车人。这三辆车道上骑车人的用时分别是6分钟、10分钟、12分钟。已知快车的速度为每小时24千米，慢车的速度为每小时19千米。问：中车的速度是多少？ 【思维点拨】这是一道追及问题，需要我们灵活运用追及公式。首先我们要求出骑车人的速度。由题意可知，慢车追上骑车人的路程减去快车追上骑车人的路程，正好就是骑车人行驶的路程，用这段路程除以快车与慢车的时间差，就可以得出骑车人的速度，即： 根据公式"追及路程=速度差×时间"，得出追及路程为 。 而中车的速度，即骑车人的速度加上速度差，也就是 。 培优拔尖2 1.甲、乙两地相距60千米，小王骑车，以每小时10千米的速度，在上午8点钟，从甲地出发前往乙地。过了一会儿，小李骑车，以每小时15千米的速度，也从甲地去乙地。小李在途中M地追上小王，通知小王立刻返回甲地，小李继续骑车去乙地。他们各自分别到达甲、乙两地后都马上返回，两人再次见面时，恰好还在M地。问：小李是在几点几分出发的？ 【答案】8点48分 【分析】从小李第一次追上小王后，二人同时同地相背而行，根据已知条件可知，小王到达甲地时，小李也刚好到达乙地。 60 ÷ （15+10）=2.4（时），M地距离甲地10×2.4=24千米。小王用时24÷10=2.4（时），小李用时24÷15=1.6（时），2.4-1.6=0.8（时）=48（分），所以小李是8点48分出发的。 2.甲、乙二人跑步，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟可以追上乙。问：甲、乙两人的速度各是多少？ 【答案】甲6米/秒，乙4米/秒。 【分析】速度差是10÷5=2（米/秒），甲4秒能追乙2×4=8（米）。乙的速度为8÷2=4（米/秒），甲的速度为4+2=6（米/秒）。 3.李明和李刚是兄弟俩，这一天，他们进行100米短跑竞赛，假定二人跑步的速度均不变。当李刚跑完80米时，李明距离终点还有25米。问：当李刚到达终点时，李明距离终点还有多少米？ 【答案】6.25米 【分析】李刚跑80米，李刚跑75米，即李刚跑20米，李刚跑18.75米。李刚到达终点时，李刚距离终点25-18.75=6.25（米）。 重点例题5 【例5】甲、乙二人在一条椭圆形的跑道上训练。二人同时从同一地点出发，沿着相反方向跑。每人跑完第一圈到达出发点后，立刻回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 。甲跑完第二圈时，速度比第一圈提高了 。乙跑完第二圈时，速度提高了 。已知甲、乙二人第二次相遇点距离第一次相遇点190米。 问：这条椭圆形跑道长多少米？ 【思维点拨】据题意画图 甲、乙从A点出发，沿着相反方向跑，他们的速度比是 。第一次相遇时，他们所行的路程比是 。把全程平均分为5份，则他们第一次相遇点在B点，当甲到了A点时，乙又行了 。这时，甲反向而行，速度提高了 ，甲、乙的速度比是 ，当乙到A点时，甲反向行了 。这时候，乙反向而行，甲、乙的速度比变成 ，按照这样的速度，乙又奔跑的距离为 ，与甲在C点相遇。B点到C点的路程为190米，对应的份数为 。 答：这条椭圆形跑道长 400 米。 培优拔尖3 1.小章、小汪和小李三人，同时从湖边的同一地点出发，绕着湖行走。小章每分钟走 50 米，小汪每分钟走 40 米，他俩同向而行。小李与他俩反向而行。30 分钟后，小章与小李相遇。又过了 3 分钟，小李与小汪相遇。问：湖的周长是多少米？ 【答案】3300米 【分析】 2.甲、乙二人，分别从 A、B 两地同时相向而行，到达后都原路返回。在距离 A 地 90 千米处，二人第一次相遇，甲在距离 A 地 50 千米处第二次与之相遇。问：两地相距多少米？ 【答案】 160千米 【分析】 3.有一个圆，周长是 70 厘米。有一大一小两只蚂蚁，从同一地点同时出发，同向爬行。大蚂蚁以每秒 4 厘米的速度不停地爬行，小蚂蚁爬行 15 厘米后立即返回爬行，其速度增加一倍，在离出发点 30 厘米处，与大蚂蚁相遇。问：小蚂蚁原来每秒爬行多少厘米？ 【答案】 【分析】 重点例题6、7 【例6】李叔叔站在铁路边，一列火车从他身边经过，用了 9 秒钟，这列火车用同样的速度通过一座长 468 米的大桥，用了 35 秒钟。问：这列火车有多长？ 【思维点拨】这是一道过桥问题。根据公式"（桥长+车长）÷速度=时间"，由于车载点在铁路边静止不动，可将他看成一座几乎没有长度的桥。因此，火车经过车载点身边时，所行的路程就是火车本身的长度，用了9秒钟，也就是"车长=速度×9"，即火车如果跑自车的车长，需要9秒钟。而这列火车通过大桥时，所行的路程是"桥长+车长"，用了35秒钟。结合以上分析，我们知道，火车如果只是"桥的长度"的话，应该用了35-9=26(秒)。因为桥长468米，所以先求出火车的速度，再根据第一个条件求出火车的车长。 答：这列火车长162米。 【例7】一列火车进隧道，从车头到隧道口算起，用了4秒钟，全部驶进了一条隧道，21秒钟后全部驶离隧道。已知，隧道全长是476米。求火车的速度和火车的车长。 【思维点拨】根据"从车头到隧道口算起，用了4秒钟，全部驶进了一条隧道"，可知火车全部驶进隧道，花了4秒钟，也就是跑了一个火车的长度需要4秒钟。再根据"21秒钟后全部驶离隧道"，可知火车通过隧道长度需要21-4=17（秒）。 火车的速度： 火车的长度： 答：火车的速度是28米/秒，火车的长度是112米。 培优拔尖4 1.一列火车通过一座长440米的桥，需要40秒钟。它用同样的速度穿过一条长310米的隧道，需要30秒钟。问：这列火车的速度和车长各是多少米？ 【答案】 车速13米/秒，车长80米。 【分析】 （米/秒） （米） 2.一列火车，从车头到桥头算起，用了5秒钟全部驶上了一座大桥，26秒钟后，又全部驶离大桥。已知大桥的全长是525米。求：火车过桥的速度和火车的长度。 【答案】车速25米/秒，车长125米。 【分析】 （米/秒） （米） 3.有一座大桥，全长1000米。一列火车，从车头上桥到车尾离桥，用了100秒，整列火车完全在桥上的时间是80秒钟。求火车的速度和火车的长度。 【答案】车速12米/秒，车长120米。 【分析】根据"一列火车，从车头上桥到车尾离桥，用了100秒"和"整列火车完全在桥上的时间是80秒钟"，可知，火车走两个火车长的距离需要100-80=20秒，所以火车走一个火车长的距离需要10秒。 （米/秒） （米） 4. 一辆列车通过250米长的隧道需要25秒钟。它通过一座210米长的大桥，需要23秒钟。列车的前方，有一辆与它同行的行驶的货车，其车身长320米，速度为每秒17米。列车与货车从相遇到相离需要多少秒？ 【答案】190秒 【分析】列车的速度为 （米/秒），列车的车长为 （米）。列车与货车从相遇到相离是追及问题，追及的距离是两车的车身长之和，列车与货车从相遇到相离需要 （秒）。 重点例题8 【例8】有一辆跑车，从甲地开往乙地。如果把车速提高 ，可以比原定时间提前1小时到达。如果按原来的速度行驶120千米后，再将速度提高 ，则可提前40分钟到达。请问：甲、乙两地相距多少米？ 【思维点拨】这道题涵盖了行程问题、比例问题、分数问题。解题思路是，先求出汽车按原来的速度到达乙地所需要的时间，再求出甲、乙两地的路程。 根据车速提高了 ，可知现在的车速与原来的车速之比是： ，路程一定，所需的时间比是速度比的反比，从而计算出原定时间为6小时。由按照原来的速度行驶120千米后，速度提高，现在的速度与原来的速度之比是： ( 即可求出所需时间比为4:5，从而计算出行快120千米后，还需要行驶 （时），这样120千米占全程的(1- )最后就可以算出甲、乙两地的距离了。 现在的速度与原来的速度之比： 原定行驶里程的时间： （时） 行驶120千米后，加快的速度与原来的速度之比： 行驶120千米后按原来的速度还需行走的时间： (时) 甲、乙两地的距离： 答：甲、乙两地相距270千米。 培优拔尖5 1.一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行。若两车按照原定速度行驶，6小时相遇；若客车比计划每小时少行5千米，货车比计划每小时多行1千米，则8小时相遇，甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】 【分析】 2.有母女二人，同在一个工厂工作。母亲从家走到工厂需要30分钟，女儿走完这段路只要20分钟。已知母亲比女儿早5分钟动身，请问：经过多长时间，女儿才能追上母亲？ 【答案】 【分析】 3.甲、乙两辆车分别从王庄、李庄同时出发相向而行。出发时，甲和乙的速度比是4：3，二年相遇后，甲速度减少，乙速度增加。这样，当甲到达李庄时，乙离王庄还有17千米。问：两地相距多少千米？ 【答案】 【分析】 学科网（北京）股份有限公司 $$