第8讲 流水行船问题 (讲义+专练)-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               流水行船问题 第8讲     专题概述 流水行船问题，其实也是行船问题的一种。只不过由于水流的影响，船在水中逆行、顺行，其速度是不一样的。这就是此类问题的特殊性。 解答这类问题，要抓住以下要素：水速、流速、划速、距离。这类题目与和差问题很相似：划速，相当于和差问题中的大数；水速，相当于和差问题中的小数；顺流速度，相当于和差问题中的和数；逆流速度，相当于和差问题中的差数。 要弄清流水行船问题中各要素的关系，我们就必须牢记以下公式： 流水行船问题，还包括跟风速有关的一些问题，比如人在风中奔跑、飞机在风中飞行等，这些问题也适用于流水行船的公式。 重点例题1、2 【例1】有两个码头，相距352千米。有一只船，若顺流而下行完全程，需要11小时；若逆流而上行完全程，需要16小时。问：这条河的水流速度是多少？ 【思维点拨】本题求的是水速，利用公式"水速=(顺流船速-逆流船速)÷2"，很容易就可以求出来。而求船速，只要利用行程问题中的公式"速度=路程÷时间"就可以了。 顺流速：352÷11=32（千米/时） 逆流速：352÷16=22（千米/时） 水速：(32-22)÷2=10÷2=5（千米/时） 答：这条河的水流速度是5千米/时。 【例2】有一条120千米的长河，一只船行驶其中，已知顺行完全程，逆行需要10小时，顺行需要6小时。求这只船的划速和长河的水速。 【思维点拨】根据路程和时间的关系，我们不难求出这只船的顺流速度和逆流速度，再根据相应的流水行船公式，就可以求出划速和水速了。 逆流速度：120÷10=12（千米/时） 顺流速度：120÷6=20（千米/时） 划速：(20+12)÷2=16（千米/时） 水速：(20-12)÷2=4（千米/时） 答：这只船的划速是16千米/时，长河的水速是4千米/时。 培优拔尖1 1.一般货船，在静水中的速度是每小时25千米。如果它顺水航行78千米，水速是每小时1千米，那么这艘货船需要航行多少小时？（提示：船在静水中的速度其实就是划速） 【答案】3小时 【分析】（时） 2.有一架飞机，飞行时速可达540千米。这一天，它执行一次逆风飞行任务，风速为每小时50千米，问：这架飞机飞行3430千米，需要多少小时？ 【答案】7小时 【分析】（时） 3.小韩在顺风的情况下骑摩托车，在2小时之内行驶了100千米，当时风速是每小时5千米。问：小韩骑摩托车逆风行驶的速度是多少千米？ 【答案】40千米/时 【分析】（千米/时） （千米/时） 重点例题3、4 【例3】河中有一只小船，第一天顺流航行了48千米，逆流航行了8千米一共用了10小时。第二天，这只小船顺流航行了24千米，逆流航行了14千米，也用了10小时。问：船在静水中的速度是多少？水流的速度又是多少？ 【思维点拨】解法一：我们可以用列方程的方法，求出顺水速度和逆水速度。再利用相应的流水行船公式，求出船在静水中的速度和水速。 解：设船的顺水速度为x千米/时，逆水速度为y千米/时，根据题意，列方程组 解得x=8，y=2。 静水速度（船速）：(8+2)÷2=5（千米/时） 水流的速度：(8-2)÷2=3（千米/时） 解法二： 逆水速度：(14-8÷2)÷(10-10÷2)=2（千米/时） 顺水速度：48÷(10-8÷2)=8（千米/时） 静水速度（船速）：(8+2)÷2=5（千米/时） 水流的速度：(8-2)÷2=3（千米/时） 答：船在静水中的速度是5千米/时，水速是3千米/时。 【例4】河中有一艘小轮船，顺水行48千米需要4小时，逆水行48千米需要6小时。在水速不变的情况下，这艘船从上游的大城开往下游的小城，已知两城之间的水路长72千米。在开船时，一位旅客从窗口投出一块木板，问：船到下游的小城时，木板离小城还有多少千米？ 【思维点拨】本题的关键在于求出木板的速度，由于木板是顺水漂流，所以木板的速度就是水速。我们根据已知条件，不难求出顺水速度和逆水速度，再根据流水行船公式，就可以求出水速了。知道了水速，再计算木板漂流的时间（也就是船航行到小城的时间），就能得出木板离小城的距离了。 顺水速度：48÷4=12（千米/时） 逆水速度：48÷6=8（千米/时） 水速：(12-8)÷2=2（千米/时） 船到小城的时间：72÷12=6（小时） 木板漂流距离：2×6=12（千米） 木板离小城的距离：72-72÷12×2=60（千米） 答：船到下游的小城时，木板离小城还有60千米。 培优拔尖2 1.河中有一般船，顺水行100千米，需要4小时。已知，水流的速度是每小时6千米，这艘船逆水每小时有多少千米？ 【答案】13千米/时 【分析】（千米/时） （千米/时） （千米/时） 2.一般船，在河中顺水航行190千米要10小时，逆流上行130千米也要用10小时。这艘船在静水中航行280千米需要多少小时？ 【答案】17.5小时 【分析】（千米/时） （千米/时） （时） 3.有一名短跑运动员，在顺风的情况下跑了90米，用了10秒钟。在同样的风速下，他逆风跑70米，也用了10秒钟。在没有风的情况下，他跑100米，需要多少秒？ 【答案】12.5秒 【分析】（米/秒） （米/秒） （秒） 重点例题5、6 【例5】在一条河中，有甲、乙两艘船。甲船和漂流物同时由上游的王庄顺流而下，与此同时，乙船也从下游的李庄逆流而上。甲船行驶4小时后，与漂流物相距100千米，乙船行驶12小时后与漂流物相遇。已知两艘船的速度相同，问：王庄和李庄相距多少千米？ 【思维点拨】因为漂流物是在水上漂行的，因此漂流物的速度跟水速是一样的。甲船的速度是船速与水速的和，甲船航行4小时后，距离漂流物100千米，可分别设为100÷4=25（千米/时）。乙船航行12小时后与漂流物相遇，逆流船与漂流物的速度之和等于船速，从而计算出王庄和李庄之间的距离。 划速:100÷4=25(千米/时) 王庄和李庄之间的距离：25×12=300（千米） 答：王庄和李庄之间的距离为300千米。 【例6】有一艘轮船往返于甲、乙两地，去时顺流每小时行36千米，返回时逆流每小时行24千米，往返一次用15小时。问：甲、乙两地相距多少千米？ 【思维点拨】根据速度与时间成反比， 顺流速度:逆流速度=36:24=3:2 所以去时所用的时间为15×2/(3+2)=6（小时）。甲、乙两地相距36×6=216（千米）。 答：甲、乙两地相距216千米。 培优拔尖3 1.河中有一艘船，静水速度是每小时35千米，水流速度是每小时5千米，这艘船往返于甲、乙两地，共用7小时。求甲、乙两地相距多少米？ 【答案】120千米 【分析】设顺水而行的时间是x小时，逆水而行的时间是（7-x）小时，根据题意， 列方程 。 解得，（千米）。 2.一架飞机所带的燃料，最多可以用6小时。飞机在执行任务时顺风飞行，每小时可以飞1500千米，完成任务后往回飞，每小时可以飞1200千米。请问：这架飞机最多飞出多少千米就需要往回飞？ 【答案】4000千米 【分析】设顺风而行的时间是小时，逆风而行的时间是小时，根据题意，列方程。解得，（千米）。 3.甲、乙两港之间的水路长240千米，一艘船从甲港开往乙港，顺水航行8小时到达；从乙港返回甲港，逆水航行12小时到达。求船在静水中的速度和水流的速度。 【答案】静水速度25千米/时，水流的速度5千米/时。 【分析】顺水速度：（千米/时） 逆水速度：（千米/时） 静水速度：（千米/时） 水流的速度：（千米/时） 重点例题7、8 【例7】有两个港口，相距90千米。每天定时有甲、乙两只速度相同的船从两港同时出发，相向而行。某天甲船从港口出发时掉下一物，此物可浮在水面上顺水漂流。2分钟后，此物与甲船相距1千米，问：乙船出发几小时后与此物相遇？ 【思维点拨】根据题目中给出的条件，"此物可浮在水面上顺水漂流。2分钟后，此物与甲船相距1千米"，我们进行分析，可知：此物的速度，就是水流的速度；船的速度，就是船本身的速度加上水流的速度。因为这是一种同向运动，所以此时相当于追及问题。根据"2分钟后，此物与甲船相距1千米"，可求出船速是1÷2=0.5（千米/分）。根据题目所问"乙船出发几小时后与此物相遇"，可知这是一个相遇问题，相遇时间=路程÷（船速-水速+水速），根据式子可以看出，两个水速互相抵消，只剩下了船速，也即此船在静水中行完全程所用的时间。 解：船速：1÷2×60=30（千米/时） 此物与乙船相遇的时间：90÷30=3（时） 答：乙船出发3小时后与此物相遇。 【例8】有一艘船，从甲码头出发，顺流航行到乙码头，然后逆流返航到丙码头，一共航行了9小时。已知，船在静水中的速度是每小时航行7.5千米，水流的速度是每小时2.5千米，如果甲、丙两个码头相距15千米，则甲、乙码头间的距离是多少千米？ 【思维点拨】本题需要利用流水行船公式和行程问题的基本公式来计算。我们知道"船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流的速度"，再根据"时间=路程÷速度"来计算就可以了。 根据题意，丙码头的位置未确定，所以分为两种情况：丙码头在甲、乙码头之间，或丙码头在甲码头的上游。 解：设甲、乙码头的距离为x千米。 当丙码头在甲、乙码头之间时： 解得x=40。 当两码头在甲码头的上游时： 解得 。 答：甲、乙码头之间的距离为40千米或20千米。 培优拔尖4 1.河中有两只木筏，甲木筏与漂流物同时从上游A地向下游B地前行，乙木筏也同时从B地向A地前行，甲木筏5小时之后与漂流物相距75千米，乙木筏航行15小时之后与漂流物相遇。已知两木筏的划速相同，问A、B两地相距多少千米？ 【答案】225千米 【分析】木筏的划速：（千米/时） 两地的距离：（千米） 2.降雨后，一条河的水流速度在河道正中和沿岸不同。河道正中的水流速度为59千米/时，沿岸的水流速度为45千米/时。有一艘汽船逆流而上，从沿岸航行15小时走完570千米的路程。问：汽船回来时几小时走完河道正中的全程？ 【答案】小时 【分析】船逆流的速度：（千米/时） 船的划速：（千米/时） 回来所需的时间： 学科网（北京）股份有限公司 $$第 8 讲 流水行船问题 强化训练 1.有一艘船，用同样的速度往返于甲、乙两地之间，它顺流航行需要 6小时，逆流航行需要 8小时。如果水流的速度是每小时 2千米，求 甲、乙两地之间的距离。 2.有一艘船，在河水中航行。船在静水中的速度是每小时 25千米， 河水的流速是每小时 5千米，这艘船往返于甲、乙两港一共用了 9小 时，问：甲、乙两港相距多少千米？ 3.有甲、乙两艘船，甲船和漂流物同时从 A地向 B地航行，乙船也同 时从 B 地向 A 地航行。甲船航行 3 小时之后，与漂流物相距 60 千米， 乙船航行 10小时之后与漂流物相遇，两艘船的速度相同。问：A、B 两地相距多少千米？ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性 的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 流水行船问题，其实也是行船问题的一种。只不过由于水流的影响， 船在水中逆行、顺行，其速度是不一样的。这就是此类问题的特殊性。 解答这类问题，要抓住以下要素：水速、流速、划速、距离。这类题 目与和差问题很相似：划速，相当于和差问题中的大数；水速，相当 于和差问题中的小数；顺流速度，相当于和差问题中的和数；逆流速 度，相当于和差问题中的差数。 要弄清流水行船问题中各要素的关系，我们就必须牢记以下公式： 划速 = (顺流船速 + 逆流船速) 2 水速 = (顺流船速−逆流船速) 2 顺流船速 = 划速 + 水速 逆流船速 = 划速−水速 流水行船问题第 8讲 专题概述 顺流船速 = 逆流船速 + 水速 × 2 逆流船速 = 顺流船速−水速 × 2 流水行船问题，还包括跟风速有关的一些问题，比如人在风中奔跑、 飞机在风中飞行等，这些问题也适用于流水行船的公式。 【例 1】有两个码头，相距 352千米。有一只船，若顺流而下行完 全程，需要 11小时；若逆流而上行完全程，需要 16小时。问：这 条河的水流速度是多少？ 【思维点拨】本题求的是水速，利用公式"水速=(顺流船速-逆流船 速)÷2"，很容易就可以求出来。而求船速，只要利用行程问题中 的公式"速度=路程÷时间"就可以了。 顺流速：352÷11=32（千米/时） 逆流速：352÷16=22（千米/时） 水速：(32-22)÷2=10÷2=5（千米/时） 答：这条河的水流速度是 5千米/时。 【例 2】有一条 120千米的长河，一只船行驶其中，已知顺行完全 程，逆行需要 10 小时，顺行需要 6 小时。求这只船的划速和长河 重点例题 1、2 的水速。 【思维点拨】根据路程和时间的关系，我们不难求出这只船的顺流 速度和逆流速度，再根据相应的流水行船公式，就可以求出划速和 水速了。 逆流速度：120÷10=12（千米/时） 顺流速度：120÷6=20（千米/时） 划速：(20+12)÷2=16（千米/时） 水速：(20-12)÷2=4（千米/时） 答：这只船的划速是 16千米/时，长河的水速是 4千米/时。 1.一般货船，在静水中的速度是每小时 25千米。如果它顺水航行 78 千米，水速是每小时 1千米，那么这艘货船需要航行多少小时？（提 示：船在静水中的速度其实就是划速） 2.有一架飞机，飞行时速可达 540千米。这一天，它执行一次逆风飞 行任务，风速为每小时 50千米，问：这架飞机飞行 3430千米，需要 培优拔尖 1 多少小时？ 3.小韩在顺风的情况下骑摩托车，在 2小时之内行驶了 100千米，当 时风速是每小时 5千米。问：小韩骑摩托车逆风行驶的速度是多少千 米？ 【例 3】河中有一只小船，第一天顺流航行了 48千米，逆流航行 了 8千米一共用了 10小时。第二天，这只小船顺流航行了 24千米， 逆流航行了 14千米，也用了 10小时。问：船在静水中的速度是多 重点例题 3、4 少？水流的速度又是多少？ 【思维点拨】解法一：我们可以用列方程的方法，求出顺水速度和 逆水速度。再利用相应的流水行船公式，求出船在静水中的速度和 水速。 解：设船的顺水速度为 x千米/时，逆水速度为 y千米/时，根据题 意，列方程组 { 48 x + 8 y = 10 24 x + 14 y = 10 解得 x=8，y=2。 静水速度（船速）：(8+2)÷2=5（千米/时） 水流的速度：(8-2)÷2=3（千米/时） 解法二： 逆水速度：(14-8÷2)÷(10-10÷2)=2（千米/时） 顺水速度：48÷(10-8÷2)=8（千米/时） 静水速度（船速）：(8+2)÷2=5（千米/时） 水流的速度：(8-2)÷2=3（千米/时） 答：船在静水中的速度是 5千米/时，水速是 3千米/时。 【例 4】河中有一艘小轮船，顺水行 48千米需要 4小时，逆水行 48 千米需要 6小时。在水速不变的情况下，这艘船从上游的大城开往 下游的小城，已知两城之间的水路长 72千米。在开船时，一位旅 客从窗口投出一块木板，问：船到下游的小城时，木板离小城还有 多少千米？ 【思维点拨】本题的关键在于求出木板的速度，由于木板是顺水漂 流，所以木板的速度就是水速。我们根据已知条件，不难求出顺水 速度和逆水速度，再根据流水行船公式，就可以求出水速了。知道 了水速，再计算木板漂流的时间（也就是船航行到小城的时间）， 就能得出木板离小城的距离了。 顺水速度：48÷4=12（千米/时） 逆水速度：48÷6=8（千米/时） 水速：(12-8)÷2=2（千米/时） 船到小城的时间：72÷12=6（小时） 木板漂流距离：2×6=12（千米） 木板离小城的距离：72-72÷12×2=60（千米） 答：船到下游的小城时，木板离小城还有 60千米。 1.河中有一般船，顺水行 100千米，需要 4小时。已知，水流的速度 培优拔尖 2 是每小时 6千米，这艘船逆水每小时有多少千米？ 2.一般船，在河中顺水航行 190千米要 10小时，逆流上行 130千米 也要用 10小时。这艘船在静水中航行 280千米需要多少小时？ 3.有一名短跑运动员，在顺风的情况下跑了 90米，用了 10秒钟。在 同样的风速下，他逆风跑 70米，也用了 10秒钟。在没有风的情况下， 他跑 100米，需要多少秒？ 【例 5】在一条河中，有甲、乙两艘船。甲船和漂流物同时由上游 的王庄顺流而下，与此同时，乙船也从下游的李庄逆流而上。甲船 行驶 4 小时后，与漂流物相距 100 千米，乙船行驶 12 小时后与漂 流物相遇。已知两艘船的速度相同，问：王庄和李庄相距多少千米？ 【思维点拨】因为漂流物是在水上漂行的，因此漂流物的速度跟水 速是一样的。甲船的速度是船速与水速的和，甲船航行 4小时后， 距离漂流物 100千米，可分别设为 100÷4=25（千米/时）。乙船航 行 12小时后与漂流物相遇，逆流船与漂流物的速度之和等于船速， 从而计算出王庄和李庄之间的距离。 划速:100÷4=25(千米/时) 王庄和李庄之间的距离：25×12=300（千米） 答：王庄和李庄之间的距离为 300千米。 【例 6】有一艘轮船往返于甲、乙两地，去时顺流每小时行 36千 米，返回时逆流每小时行 24千米，往返一次用 15小时。问：甲、 乙两地相距多少千米？ 【思维点拨】根据速度与时间成反比， 重点例题 5、6 顺流速度:逆流速度=36:24=3:2 所以去时所用的时间为 15×2/(3+2)=6（小时）。甲、乙两地相距 36× 6=216（千米）。 答：甲、乙两地相距 216千米。 1.河中有一艘船，静水速度是每小时 35千米，水流速度是每小时 5 千米，这艘船往返于甲、乙两地，共用 7小时。求甲、乙两地相距多 少米？ 2.一架飞机所带的燃料，最多可以用 6小时。飞机在执行任务时顺风 飞行，每小时可以飞1500千米，完成任务后往回飞，每小时可以飞1200 千米。请问：这架飞机最多飞出多少千米就需要往回飞？ 培优拔尖 3 4.甲、乙两港之间的水路长 240千米，一艘船从甲港开往乙港，顺水 航行 8 小时到达；从乙港返回甲港，逆水航行 12 小时到达。求船在 静水中的速度和水流的速度。 【例 7】有两个港口，相距 90千米。每天定时有甲、乙两只速度 相同的船从两港同时出发，相向而行。某天甲船从港口出发时掉下 重点例题 7、8 一物，此物可浮在水面上顺水漂流。2分钟后，此物与甲船相距 1 千米，问：乙船出发几小时后与此物相遇？ 【思维点拨】根据题目中给出的条件，"此物可浮在水面上顺水漂 流。2 分钟后，此物与甲船相距 1 千米"，我们进行分析，可知： 此物的速度，就是水流的速度；船的速度，就是船本身的速度加上 水流的速度。因为这是一种同向运动，所以此时相当于追及问题。 根据"2分钟后，此物与甲船相距 1千米"，可求出船速是 1÷2=0.5 （千米/分）。根据题目所问"乙船出发几小时后与此物相遇"，可知 这是一个相遇问题，相遇时间=路程÷（船速-水速+水速），根据式 子可以看出，两个水速互相抵消，只剩下了船速，也即此船在静水 中行完全程所用的时间。 解：船速：1÷2×60=30（千米/时） 此物与乙船相遇的时间：90÷30=3（时） 答：乙船出发 3小时后与此物相遇。 【例 8】有一艘船，从甲码头出发，顺流航行到乙码头，然后逆流 返航到丙码头，一共航行了 9小时。已知，船在静水中的速度是每 小时航行 7.5千米，水流的速度是每小时 2.5千米，如果甲、丙两 个码头相距 15千米，则甲、乙码头间的距离是多少千米？ 【思维点拨】本题需要利用流水行船公式和行程问题的基本公式来 计算。我们知道"船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流的速 度"，再根据"时间=路程÷速度"来计算就可以了。 根据题意，丙码头的位置未确定，所以分为两种情况：丙码头在甲、 乙码头之间，或丙码头在甲码头的上游。 解：设甲、乙码头的距离为 x千米。 当丙码头在甲、乙码头之间时： 𝑥 7.5 + 2.5 + 𝑥−15 7.5−2.5 = 9 解得 x=40。 当两码头在甲码头的上游时： 𝑥 7.5 + 2.5 + 𝑥 + 1.5 7.5−2.5 = 9 解得 𝑥 = 20。 答：甲、乙码头之间的距离为 40千米或 20千米。 1.河中有两只木筏，甲木筏与漂流物同时从上游 A地向下游 B地前行， 乙木筏也同时从 B地向 A地前行，甲木筏 5小时之后与漂流物相距 75 千米，乙木筏航行 15小时之后与漂流物相遇。已知两木筏的划速相 同，问 A、B两地相距多少千米？ 培优拔尖 4 2.降雨后，一条河的水流速度在河道正中和沿岸不同。河道正中的水 流速度为 59千米/时，沿岸的水流速度为 45千米/时。有一艘汽船逆 流而上，从沿岸航行 15小时走完 570千米的路程。问：汽船回来时 几小时走完河道正中的全程？ 第8讲 流水行船问题 强化训练 1.有一艘船，用同样的速度往返于甲、乙两地之间，它顺流航行需要6小时，逆流航行需要8小时。如果水流的速度是每小时2千米，求甲、乙两地之间的距离。 2. 有一艘船，在河水中航行。船在静水中的速度是每小时25千米，河水的流速是每小时5千米，这艘船往返于甲、乙两港一共用了9小时，问：甲、乙两港相距多少千米？ 3.有甲、乙两艘船，甲船和漂流物同时从A地向B地航行，乙船也同时从B地向A地航行。甲船航行3小时之后，与漂流物相距60千米，乙船航行10小时之后与漂流物相遇，两艘船的速度相同。问：A、B两地相距多少千米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8讲 流水行船问题 强化训练 1.有一艘船，用同样的速度往返于甲、乙两地之间，它顺流航行需要6小时，逆流航行需要8小时。如果水流的速度是每小时2千米，求甲、乙两地之间的距离。 【答案】96千米 【分析】顺水的速度与逆水的速度之差，等于水流的速度的两倍，相当于全程的 ( - )。 2.有一艘船，在河水中航行。船在静水中的速度是每小时25千米，河水的流速是每小时5千米，这艘船往返于甲、乙两港一共用了9小时，问：甲、乙两港相距多少千米？ 【答案】108千米 【分析】25 + 5 = 30（千米/时），25 - 5 = 20（千米/时），往返的速度比是3：2，顺水航行的时间是9 × = 3.6（时），两地相距30 × 3.6 = 108（千米）。 3.有甲、乙两艘船，甲船和漂流物同时从A地向B地航行，乙船也同时从B地向A地航行。甲船航行3小时之后，与漂流物相距60千米，乙船航行10小时之后与漂流物相遇，两艘船的速度相同。问：A、B两地相距多少千米？ 【答案】200千米 【分析】甲船与漂流物的速度之差等于静水船速，乙船与漂流物的速度之和也等于静水船速；60 ÷ 3 = 20（千米/时）。两地相距：20 × 10 = 200（千米）。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               流水行船问题 第8讲     专题概述 流水行船问题，其实也是行船问题的一种。只不过由于水流的影响，船在水中逆行、顺行，其速度是不一样的。这就是此类问题的特殊性。 解答这类问题，要抓住以下要素：水速、流速、划速、距离。这类题目与和差问题很相似：划速，相当于和差问题中的大数；水速，相当于和差问题中的小数；顺流速度，相当于和差问题中的和数；逆流速度，相当于和差问题中的差数。 要弄清流水行船问题中各要素的关系，我们就必须牢记以下公式： 流水行船问题，还包括跟风速有关的一些问题，比如人在风中奔跑、飞机在风中飞行等，这些问题也适用于流水行船的公式。 重点例题1、2 【例1】有两个码头，相距352千米。有一只船，若顺流而下行完全程，需要11小时；若逆流而上行完全程，需要16小时。问：这条河的水流速度是多少？ 【思维点拨】本题求的是水速，利用公式"水速=(顺流船速-逆流船速)÷2"，很容易就可以求出来。而求船速，只要利用行程问题中的公式"速度=路程÷时间"就可以了。 顺流速：352÷11=32（千米/时） 逆流速：352÷16=22（千米/时） 水速：(32-22)÷2=10÷2=5（千米/时） 答：这条河的水流速度是5千米/时。 【例2】有一条120千米的长河，一只船行驶其中，已知顺行完全程，逆行需要10小时，顺行需要6小时。求这只船的划速和长河的水速。 【思维点拨】根据路程和时间的关系，我们不难求出这只船的顺流速度和逆流速度，再根据相应的流水行船公式，就可以求出划速和水速了。 逆流速度：120÷10=12（千米/时） 顺流速度：120÷6=20（千米/时） 划速：(20+12)÷2=16（千米/时） 水速：(20-12)÷2=4（千米/时） 答：这只船的划速是16千米/时，长河的水速是4千米/时。 培优拔尖1 1.一般货船，在静水中的速度是每小时25千米。如果它顺水航行78千米，水速是每小时1千米，那么这艘货船需要航行多少小时？（提示：船在静水中的速度其实就是划速） 2.有一架飞机，飞行时速可达540千米。这一天，它执行一次逆风飞行任务，风速为每小时50千米，问：这架飞机飞行3430千米，需要多少小时？ 3.小韩在顺风的情况下骑摩托车，在2小时之内行驶了100千米，当时风速是每小时5千米。问：小韩骑摩托车逆风行驶的速度是多少千米？ 重点例题3、4 【例3】河中有一只小船，第一天顺流航行了48千米，逆流航行了8千米一共用了10小时。第二天，这只小船顺流航行了24千米，逆流航行了14千米，也用了10小时。问：船在静水中的速度是多少？水流的速度又是多少？ 【思维点拨】解法一：我们可以用列方程的方法，求出顺水速度和逆水速度。再利用相应的流水行船公式，求出船在静水中的速度和水速。 解：设船的顺水速度为x千米/时，逆水速度为y千米/时，根据题意，列方程组 解得x=8，y=2。 静水速度（船速）：(8+2)÷2=5（千米/时） 水流的速度：(8-2)÷2=3（千米/时） 解法二： 逆水速度：(14-8÷2)÷(10-10÷2)=2（千米/时） 顺水速度：48÷(10-8÷2)=8（千米/时） 静水速度（船速）：(8+2)÷2=5（千米/时） 水流的速度：(8-2)÷2=3（千米/时） 答：船在静水中的速度是5千米/时，水速是3千米/时。 【例4】河中有一艘小轮船，顺水行48千米需要4小时，逆水行48千米需要6小时。在水速不变的情况下，这艘船从上游的大城开往下游的小城，已知两城之间的水路长72千米。在开船时，一位旅客从窗口投出一块木板，问：船到下游的小城时，木板离小城还有多少千米？ 【思维点拨】本题的关键在于求出木板的速度，由于木板是顺水漂流，所以木板的速度就是水速。我们根据已知条件，不难求出顺水速度和逆水速度，再根据流水行船公式，就可以求出水速了。知道了水速，再计算木板漂流的时间（也就是船航行到小城的时间），就能得出木板离小城的距离了。 顺水速度：48÷4=12（千米/时） 逆水速度：48÷6=8（千米/时） 水速：(12-8)÷2=2（千米/时） 船到小城的时间：72÷12=6（小时） 木板漂流距离：2×6=12（千米） 木板离小城的距离：72-72÷12×2=60（千米） 答：船到下游的小城时，木板离小城还有60千米。 培优拔尖2 1.河中有一般船，顺水行100千米，需要4小时。已知，水流的速度是每小时6千米，这艘船逆水每小时有多少千米？ 2.一般船，在河中顺水航行190千米要10小时，逆流上行130千米也要用10小时。这艘船在静水中航行280千米需要多少小时？ 3. 有一名短跑运动员，在顺风的情况下跑了90米，用了10秒钟。在同样的风速下，他逆风跑70米，也用了10秒钟。在没有风的情况下，他跑100米，需要多少秒？ 重点例题5、6 【例5】在一条河中，有甲、乙两艘船。甲船和漂流物同时由上游的王庄顺流而下，与此同时，乙船也从下游的李庄逆流而上。甲船行驶4小时后，与漂流物相距100千米，乙船行驶12小时后与漂流物相遇。已知两艘船的速度相同，问：王庄和李庄相距多少千米？ 【思维点拨】因为漂流物是在水上漂行的，因此漂流物的速度跟水速是一样的。甲船的速度是船速与水速的和，甲船航行4小时后，距离漂流物100千米，可分别设为100÷4=25（千米/时）。乙船航行12小时后与漂流物相遇，逆流船与漂流物的速度之和等于船速，从而计算出王庄和李庄之间的距离。 划速:100÷4=25(千米/时) 王庄和李庄之间的距离：25×12=300（千米） 答：王庄和李庄之间的距离为300千米。 【例6】有一艘轮船往返于甲、乙两地，去时顺流每小时行36千米，返回时逆流每小时行24千米，往返一次用15小时。问：甲、乙两地相距多少千米？ 【思维点拨】根据速度与时间成反比， 顺流速度:逆流速度=36:24=3:2 所以去时所用的时间为15×2/(3+2)=6（小时）。甲、乙两地相距36×6=216（千米）。 答：甲、乙两地相距216千米。 培优拔尖3 1.河中有一艘船，静水速度是每小时35千米，水流速度是每小时5千米，这艘船往返于甲、乙两地，共用7小时。求甲、乙两地相距多少米？ 2.一架飞机所带的燃料，最多可以用6小时。飞机在执行任务时顺风飞行，每小时可以飞1500千米，完成任务后往回飞，每小时可以飞1200千米。请问：这架飞机最多飞出多少千米就需要往回飞？ 4. 甲、乙两港之间的水路长240千米，一艘船从甲港开往乙港，顺水航行8小时到达；从乙港返回甲港，逆水航行12小时到达。求船在静水中的速度和水流的速度。 重点例题7、8 【例7】有两个港口，相距90千米。每天定时有甲、乙两只速度相同的船从两港同时出发，相向而行。某天甲船从港口出发时掉下一物，此物可浮在水面上顺水漂流。2分钟后，此物与甲船相距1千米，问：乙船出发几小时后与此物相遇？ 【思维点拨】根据题目中给出的条件，"此物可浮在水面上顺水漂流。2分钟后，此物与甲船相距1千米"，我们进行分析，可知：此物的速度，就是水流的速度；船的速度，就是船本身的速度加上水流的速度。因为这是一种同向运动，所以此时相当于追及问题。根据"2分钟后，此物与甲船相距1千米"，可求出船速是1÷2=0.5（千米/分）。根据题目所问"乙船出发几小时后与此物相遇"，可知这是一个相遇问题，相遇时间=路程÷（船速-水速+水速），根据式子可以看出，两个水速互相抵消，只剩下了船速，也即此船在静水中行完全程所用的时间。 解：船速：1÷2×60=30（千米/时） 此物与乙船相遇的时间：90÷30=3（时） 答：乙船出发3小时后与此物相遇。 【例8】有一艘船，从甲码头出发，顺流航行到乙码头，然后逆流返航到丙码头，一共航行了9小时。已知，船在静水中的速度是每小时航行7.5千米，水流的速度是每小时2.5千米，如果甲、丙两个码头相距15千米，则甲、乙码头间的距离是多少千米？ 【思维点拨】本题需要利用流水行船公式和行程问题的基本公式来计算。我们知道"船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流的速度"，再根据"时间=路程÷速度"来计算就可以了。 根据题意，丙码头的位置未确定，所以分为两种情况：丙码头在甲、乙码头之间，或丙码头在甲码头的上游。 解：设甲、乙码头的距离为x千米。 当丙码头在甲、乙码头之间时： 解得x=40。 当两码头在甲码头的上游时： 解得 。 答：甲、乙码头之间的距离为40千米或20千米。 培优拔尖4 1.河中有两只木筏，甲木筏与漂流物同时从上游A地向下游B地前行，乙木筏也同时从B地向A地前行，甲木筏5小时之后与漂流物相距75千米，乙木筏航行15小时之后与漂流物相遇。已知两木筏的划速相同，问A、B两地相距多少千米？ 2.降雨后，一条河的水流速度在河道正中和沿岸不同。河道正中的水流速度为59千米/时，沿岸的水流速度为45千米/时。有一艘汽船逆流而上，从沿岸航行15小时走完570千米的路程。问：汽船回来时几小时走完河道正中的全程？ 学科网（北京）股份有限公司 $$