2025年九年级数学中考二轮复习《二次函数与平行四边形综合压轴题》考前冲刺专题训练　

2025年春九年级数学中考二轮复习《二次函数与平行四边形综合压轴题》 考前冲刺专题训练（附答案） 1．如图，已知抛物线经过，两点，直线是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的解析式． (2)设是直线上的一个动点，当点到点，的距离之和最短时，求点的坐标． (3)已知为抛物线的顶点，在平面直角坐标系中是否存在一点，恰好使得，，，为顶点平行四边形，若存在，写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程，若不存在，说明理由． 2．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式以及直线的解析式； (2)在抛物线上找一点P，使得x轴平分，求点P的坐标； (3)E，F分别是直线和抛物线上的动点，当以C，O，E，F为顶点，为边的四边形是平行四边形时，请求出点E的坐标． 3．如图，抛物线经过坐标轴上三点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)是直线上方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于两点，点在点的左侧，且，与轴交于点，连结，以为边，点为中心作菱形，点是轴上的一个动点，设点的坐标为． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点在线段上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，交于点．试探究：当为何值时，四边形是平行四边形？请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l经过A点与抛物线交于C两点，其中点C的横坐标为3． (1)求直线l的解析式 (2)若点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，求面积的最大值； (3)若点G是抛物线上的一个动点，在y轴上是否存在点E，使A、C、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点E的坐标，并写出求点E的坐标的其中一种情况的过程；如果不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于和，与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．抛物线顶点为H． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，在抛物线上是否存在一点M（异于点B）使得？若存在，请求出M的坐标，不存在，说明理由； (3)如图2，当点E在抛物线上运动时，在直线上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知，抛物线经过点、点，且交x轴于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点M，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，P为抛物线对称轴上的一点，N是新抛物线上的动点，M点坐标为（2）中所求坐标，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标． 8．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ (3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． 9．如图，抛物线L：经过点和，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 　 ； (3)点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 10．如图，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C，点P是抛物线上的一动点，已知点，，且． (1)求抛物线和直线的表达式． (2)若点P在直线的上方，过点P作，与交于点E，垂足为点F，当时，求点P的坐标． (3)若点M为x轴上一动点，当B、C、P、M四个点组成的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 11．如图，抛物线与轴交于A，C两点（A点在C点左侧），直线与抛物线交于A，B两点，其中点的横坐标为2． (1)求A，C两点的坐标及直线的函数表达式； (2)若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值； (3)若点是抛物线上的一个动点，在轴上是否存在点，使得以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 12．综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示： ， ； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； (3)如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标． 13．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点在第二象限的抛物线上．      (1)求抛物线的函数解析式； (2)当点的坐标为时，求的面积； (3)请过点作轴，交直线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形？如果存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线经过，，直线交x轴于点C，P是直线上方抛物线上的一个动点，，垂足为点D，轴，交直线于点E．    (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当的周长最大时，求点P的坐标及的周长最大值； (3)将抛物线平移．使得新抛物线的顶点为（2）中的P点，M为新抛物线上的点，N为新抛物线对称轴上的点，若以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标． 15．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点B位于点A的右边），与y轴交于点，P是抛物线上的一动点，点P的横坐标为t． (1)求抛物线对应的函数表达式以及A，B两点的坐标； (2)连接 _____； (3)①若点P位于第四象限，过点P作轴于点F交于点E，用含t的式子表示 （不要求写出自变量取值范围）； ②过点P作，求的最大值； (4)M是抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出t的值，若不存在请说明理由． 16．如图1，在平面直角坐标系巾，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．      (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图2，点D是抛物线的顶点，连接，，判断的形状，并求出面积； (3)如图3，在直线下方的抛物线上有一动点P，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标； (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点Q，使得以点A，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q坐标． 17．已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．    (1)求抛物线的解析式和直线的解析式． (2)若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标． (3)将直线向上平移5个单位后与抛物线交于点（对应点，对应点），在直线下方的抛物线上有一点E，满足，求点E的坐标． 18．将抛物线：平移，使其顶点为，得到抛物线，抛物线交x轴的正半轴于A点，交y轴于C点．      (1)直接写出抛物线的表达式； (2)如图1，抛物线的对称轴与直线相交于点B，G为直线上的点，过点G作交抛物线于点F，当以B，D，G，F为顶点的四边形为平行四边形时，求点G的横坐标； (3)如图2，的顶点M，N在抛物线上，点M在点N右边，两条直线，与抛物线均有唯一公共点，，均与y轴不平行．若的面积为，设M，N两点的横坐标分别为m，n，求m与n的数量关系． 19．如图①，二次函数与轴交于点、，且点在点的右侧，与轴交于点，连接．    (1)求抛物线的对称轴； (2)求直线的解析式； (3)如图②，点是轴下方、抛物线对称轴右侧图象上的一动点，连接，过点作，与抛物线的另一个交点为，、为上的两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点的坐标； ②是否存在点，使得与互相平分，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 20．如图，两条开口向上的抛物线和在同一平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点的坐标为．抛物线交轴于点，顶点的坐标为． (1)连接，求线段的长； (2)点在抛物线上，点在抛物线上．试判断和的大小，并说明理由； (3)若点在抛物线上，，求的取值范围； (4)若点的横坐标为，且点在抛物线上，则在抛物线上是否存在点，使得点构成的四边形是平行四边形？若存在直接写出的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）根据题意，抛物线与轴交于点、， ∴点、关于对称轴对称，即抛物线的对称轴垂直平分， 连接交对称轴于点， ∴， ∴，此时线段的长为的最小值，则点即为所作， 由抛物线可得对称轴为直线， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）设点， ∵抛物线的解析式为，点为抛物线的顶点， ∴， ∵，， ①如图，点、点为相对的顶点， 当且时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴； ②如图，点、点为相对的顶点， 当且时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴； ③如图，点、点为相对的顶点， 当且时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，符合条件的点坐标为或或． 2．解：（1）∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，即，解得，， ∴，， 令，则， ∴，设直线的解析式为， 将，代入， 得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）设交y轴于点Q， ∵x轴平分， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为， ∴将，代入得， 解得 ∴直线表达式为， 联立抛物线与直线，得， 解得， ∴； （3）以C，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形，且为边， ∴， ∵E，F分别是直线和抛物线上的动点， ∴设，则 ∴ 解得，，， 将，，代入 得，，， ∴E点的坐标为或或． 3．（1）解：抛物线经过坐标轴上三点， 将代入得，解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， 将代入得，解得， 直线的函数解析式为， 过点作轴交于点，如图所示： 设，则， ， ， 由图像开口向下，当时，的面积有最大值4，此时； （3）解：存在点，使得四边形是平行四边形． ， 抛物线的对称轴为直线， 由题知，， 设， 当四边形是平行四边形时，为平行四边形的对角线，则，解得， ． 4．（1）解：抛物线与轴交于两点， 设抛物线的表达式为∶， 即，解得∶， 抛物线的解析式为∶； （2）解：设点的坐标为， 则，，， ①当时，，解得∶ ； ②当时，同理可得∶； ③当时，同理可得∶ (舍去4)，故：， 故点的坐标为∶ ，，，； （3）解：∵， ∴由菱形的对称性可知，点的坐标为， 设直线的解析式为，又， 解得：， ∴直线的解析式为：， 则点M的坐标为：， 点Q的坐标为， 如图，当时，四边形是平行四边形 ∴， 解得： (不合题意舍去)，， ∴当时，四边形是平行四边形． 5．（1）解：由题意得，，， 设l的解析式为 ， 则有： 解之得， ∴l的解析式为； （2）设，则， ∴ =， ∴ = =， ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为； （3）满足条件的E点坐标为，或， 由题意有：，，设，， ①若为对角线时，则有 ， 解之得， ∴； ②若为对角线时，则有 ， 解之得， ∴； ③若为对角线时，则有 ， 解之得， ∴； ∴E点坐标为，或． 6．（1）解：∵抛物线与x轴交于和， 故代入A、B坐标得， 解得：， ∴； （2）解：存在； 把代入得：， ∴， ∴设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍去）， 把代入得：， ∴点M的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 将化为顶点式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D，点为， ∴点D的坐标为：， 设直线的解析式为： ∴代入、得： 解得：， ∴直线的解析式为：， 当，四边形为平行四边形时， ∵，， ∴设，， 即， ∵点E在抛物线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点F的坐标为：； 当，四边形为平行四边形时， ∵，， ∴设，， 即， ∵点E在抛物线上， ∴， 解得：或， ∴此时点F的坐标为：或； 当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴设，， 则根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴， ∵点E在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴此时点F的坐标为：； 综上所述，点F的坐标为或或或． 7．（1）解：把点、点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点M作y轴的平行线，交于点D， 设直线的函数解析式为， 把点、点代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积， ∵， ∴当时，的面积有最大值2， 此时； （3）解：∵y向右平移2个单位长度得到抛物线，， ∴， 则的对称轴为直线， 设，， ①当为对角线时， ， 解得：， ∴， ②当为对角线时， ， 解得：， ∴， ③当为对角线时， ， 解得：， ∴， 综上：点N的坐标为，，． 8．解：（1）∵抛物线经过点A，点C，且, ∴, ∴将其分别代入抛物线，可得，解得． 故此抛物线的函数表达式为：． （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 设N的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，且为， 把代入抛物线得，N的坐标为， 当N的坐标为，有最大值． （3）解：∵， ∴抛物线对称轴为， 令得，， 解得，，， ∴点B的坐标为； ①当和是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时， ∴； ②当和是平行四边形的两条对边，且在y轴右侧时， ∵， ∴， ∴的横坐标为3， ∴； 当和是平行四边形的两条对边，且在y轴左侧时， ∵， ∴的横坐标为， ∴； 综上所述，K、L点的坐标为或或． 9．（1）解：（1）将和代入得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图： 由得对称轴为直线，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E， ∴， ∵以P、E、F为顶点的三角形与全等， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：存在， 设，，而， ①以为对角线，则的中点即为的中点，如图： ∴， 解得， ∴， ②以为对角线， ∴， 解得， ∴， ③以为对角线， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P的坐标为或或． 10．（1）解：∵抛物线交y轴于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 即，， 将，，代入抛物线得， ， 解得：，，， ∴抛物线解析式为：， 设直线解析式为：， ∴，解得：， ∴直线解析式为：； （2）解：设， ∵，与交于点E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴； （3）解：设点， ∵，，B、C、P、M四个点组成的四边形是平行四边形， ①当为对角线时， ， ∴， ∵点P是抛物线上的一动点， ∴， 解得：，， ∴，， ②当为对角线时， ， ∴， ∵点P是抛物线上的一动点， ∴， 解得：，， ∴，， ③当为对角线时， ， ∴， ∵点P是抛物线上的一动点， ∴， 解得：，， ∴，， 综上所述：点P的坐标为：，，，． 11．解：（1）令，则， 解得或， ∴，， 将点的横坐标代入得， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的函数解析式是； （2）设点的横坐标为， 则P，D的坐标分别为，， 点在点的下方， ， 当时，的最大值为； （3）存在这样的点， 当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，分三种情况： ①点F在点的左侧时，如图，连接点与抛物线和轴的交点， 那么轴， 此时， 点的坐标是； ②点F在点的右侧时，如图， 此时B，E两点的纵坐标互为相反数， 点的纵坐标为，代入抛物线中即可得点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入后可得出直线的解析式为， 令，则， 因此直线与轴的交点的坐标为； ③点F在之间时，如图， 同②可求出的坐标为； 当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，如图， 同①，则， 点的坐标为， 点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，坐标为，，，． 12．（1）解：由题意得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点， 则； ①则，； 故答案为：，； ②若，则， 解得：（舍去）或， 即点； ③若，则， 解得：（舍去）或， 即点； （3）解：设点，点， 当为对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当或为对角线时，同理可得： 或， 解得：（舍去）或或， 故点的坐标为：或或． 综上，点的坐标为：或或． 13．（1）解：抛物线交轴于点和点， 交轴于点， ， 解得， ； （2）解：如图，连接， ， 令， 即， 解得，， ， ， ，， ， ，         ； （3）解：如图， ， 设直线的表达式为 ，解得 作轴，交于点， 设， ， 四边形是平行四边形， ， 解得， ， 点的坐标为； （4）解：①如图，为顶点时， 在轴上分别截取， ， ， ， ，； ②如图，为顶点时， ， ， ； ③如图，为顶点时， 过的中点作交轴于，作轴交轴于， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， 解得：， ， ； ，，，． 14．（1）解：将，的坐标代入抛物线的解析式， 得， 解得， 抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入得，， 解得， 所以直线的表达式为， 令，得， ∴； 在中，， 的周长为， 轴， ， ，， ， ， 则的周长， 设，， 轴， ， 解得， ， ，， 当时，有最大值为， 的周长最大值为， ， 点P的坐标为； （3）解：顶点为P的抛物线的解析式为， 设，， 当四边形是平行四边形时，如图1， 根据平行四边形的对角线互相平分，得， 解得， ， 点M的坐标为； 当四边形是平行四边形时，如图2， 根据平行四边形的对角线互相平分，得， 解得， ， 点M的坐标为； 当四边形是平行四边形时，如图3， 根据平行四边形的对角线互相平分，得， 解得， ， 点M的坐标为； 符合条件的点M的坐标为或或． 15．解：（1）把代入， 得， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， ∵点B位于点A的右边， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； （2）过点A作，垂足为点G， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴； 故答案为：； （3）①设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为t， ∴点P的坐标为， ∵轴于点F交于点E， ∴点E的坐标为， ∵点P位于第四象限， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 整理得， 当时，取得最大值，最大值为； （4）存在以点B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由抛物线的函数表达式为， 得对称轴为直线， 设点M的坐标为， ①若四边形是平行四边形，此时是对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分， ∴， 即， 解得； ②若四边形是平行四边形，此时是对角线， 同理可得， 即， 解得； ③若四边形是平行四边形，此时是对角线， 同理可得， 即， 解得； 综上所述，以点B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，点t的值为3或5或． 16．解：（1）∵点，在抛物线上， ∴有解得 ∴该抛物线的函数表达式为． （2）∵点D是抛物线的顶点，， ∴点D的坐标为． ∴，． 又∵． ∴． ∴为直角三角形． ． （3）∵点，， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的表达式是． 设，如图，过点P作轴，交于E， ∴，得． ∴， 即． 由二次函数的性质，可得当时，有最大值， 此时，即可得此时点P的坐标为．    （4）存在．点Q的坐标为，或． 解法提示： 方法一：设点Q的坐标为，可分三种情况进行讨论． ①当以，为边时， ∵，， ∴直线的表达式为，． 过点D作的平行线．则． ∴，解得，（舍去）； ∴点Q坐标为； ②当以为对角线，为边时， 取中点F，则． ∴解得 ∴点Q坐标为； ③当以为对角线，为边时， 取AD中点G，则． ∴解得 ∴点Q坐标为． 综上所述，点Q的坐标为，或． 方法二：∵，，， ①点A先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度到点C， 令点先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点； ②点D先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度到点A， 令点先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点； ③点C先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度到点D， 令点先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点； 综上所述，点Q的坐标为，或． 17．（1）解：二次函数解析式为：， 将点代入上式， 得 解得：， 故抛物线的解析式为：， 令代入 得 解得 则点， 设的解析式为，把A、B的坐标代入， 得 解得 直线的解析式为：； （2）解：设点、点， ∵点在抛物线上 ∴ ①当是平行四边形的一条边时， 点向左平移4个单位向下平移16个单位得到， 同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点， 即：，， 而， 即 解得：或， 故点或； ②当是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：， 而，即 解得：， 故点或； 综上，点或或或 （3）解：∵将直线向上平移5个单位后与抛物线交于点（对应点，对应点），，如图所示： ∴将线段绕着点逆时针旋转得到点    过点作直线平行于轴，再过点和分别作， ∵ ∴ 则 ∵ ∴ ∵， ∴ 则 ∴， 设直线的解析式为 把和代入 得 解得 ∴ 则直线与抛物线的交点即为点 ∴ 解得，， ∵点在第四象限，则（舍去） 把代入 解得 则点坐标为     过点E作， ∵ ∴， 设 ∴ ∵ 则 解得 根据点E和关于对称，则 但此时在直线的上方，不符合题意，故舍去， 即点坐标为 18．（1）解：∵平移顶点为， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴：， ∵， ∴． 设， ①当点G在线段上时，点F在点G下方，则， ∵， ∴，解得，或（舍去）， 则点G的横坐标为2； ②当点G在线段（或）延长线上时，点F在点G上方，则， ∵， ∴， 解得或，即点G的横坐标为或， 综上可得满足条件的点G的横坐标为2或或； （3）解：设经过的直线解析式为， ，则有， ∵直线与有唯一公共点， ∴， ∴，直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为， ，∴， 如图3，过E作直线轴，分别过M，N作l的垂线，垂足为C，D， ， ∴ ， ∴， ∴．    19．（1）解：由题意得， ， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，， 当时， ， 解得：，， ，； 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为； （3）解：①设点的横坐标为， 则， ， ， （ⅰ）如图，当时，    ， ， 轴， ， ， ， ， ， ； （ⅱ）如图，当时，    由（ⅰ）得：， 过作轴交于， ， ， ， ，（舍去）， ， ， 综上所述：点的坐标为或； ②存在，理由如下： 与相互平分， 四边形为平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， 设点的横坐标为， 点，的横坐标均为， ， ， ， ， 与轴夹角为， ， 如图，过作交的延长线于，    ， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 当时， ， ． 20．（1）解：由题意可得：，， ∴； （2）解：由题意得：设抛物线，抛物线， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 把代入抛物线得：， 把代入抛物线得：， ∵， ∴； （3）解： ，则点P离抛物线对称轴更近， ， ，即， 则，即， 或， 解得：或； （4）解：存在以点为顶点的四边形是平行四边形， 当四边形是平行四边形时， ，点的横坐标为， 点Q的横坐标为， ， ， ，即 解得：； 当四边形是平行四边形， ，点的横坐标为， 点Q的横坐标为， ， ， ，即， 解得：或； 综上，t的值为或或3． 学科网（北京）股份有限公司 $$