2025年 九年级数学中考复习填空压轴题常考热点考前冲刺训练

2025年春九年级数学中考复习填空压轴题常考热点考前冲刺训练（附答案） 1．定义新运算：，若，则的值是 ． 2．如图，为等边的高，，分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时，的度数为 ． 3．如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完．    （1）若设框架的宽为，则框架的长为 厘米（用含的代数式表示）； （2）矩形框架面积的最大值为 平方厘米． 4．如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，则图②中的a的值为 ．    5．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是 ．    6．在平面直角坐标系中，对于点我们把点叫做点P的伴随点． 已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…这样依次得到点，，，…，，…． 若点的坐标为，点的坐标为 ． 7．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 8．已知直线与轴，轴分别交于点，，点是射线上的动点，点在第一象限，四边形是平行四边形．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，则点的坐标为 ．    9．如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是 ． 10．如图，在平行四边形中，为锐角，，点E、F分别是、上的点，连接、交于点M，以为直径的圆O交于点G，且，，则 ；若， ． 11．如图，为的直径，C为半圆上的一动点，以为边向外作等边（点D在直线的上方），连接．若的半径为2，则线段的最大值为 ． 12．如图，边长为6的正六边形内接于圆O，点P为劣弧的中点，连接，． （1）的度数为 ； （2）连接交于点，则 ． 13．如图，以等边的边为斜边在外作，，，将绕着点逆时针旋转得线段，平移线段使得点与重合，得到线段，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则线段的长为 ． 14．如图，把矩形绕点C顺时针旋转，得到矩形，且点E落在上，连接交于点H，连接．若平分，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为上一点，过点作，且，连接． （1）当点M为的中点时，的长为 ． （2）当点M在上移动时，的最小值为 ． 16．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 17．已知动点P以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间t（秒）之间的关系如图乙中的图象所示．其中．则 ．    18．如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是 ． 19．抛物线（是常数）经过点和两点，且．以下四个结论：①；②若，则；③若，则关于的一元二次方程必有两个相等的实数根；④点、在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是 （填写序号）． 20．当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速． （1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为 （2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为 ． 参考答案 1．解： ， ，即， ， 故答案为：． 2．解：作，且，连接交于，连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴当为与的交点时，的值最小， 此时，， ∴， 故答案为：． 3． 解：（1）如图，若设框架的宽为，则 ∵铁丝的长为60厘米 ∴ ∴框架的长为    若设框架的宽为，则框架的长为 ∴ ∵ ∴要使矩形框架面积的最大值，则，此时最大的面积为150平方厘米 故答案为：（1）；（2）150 4．解：由题意得圆柱形容器的高为14，两个实心圆柱组成的“几何体”的高为11，水从刚漫过两个实心圆柱组成的“几何体”到注满容器用了，高度为， 则均匀注水的水流速度为； 则“几何体”下方圆柱体的高． 故答案为：6 5．解：如图，延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值，   点的坐标为， 点的坐标为， ，， 设与三边的切点为，，，连接，，，则，，，设， ， ， ， ， ， 延长交于点， ，， ，， ，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 6．解：点的坐标为， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 由此可知，每4个点为一个循环， ， 点的坐标与点的坐标相同，即为， 故答案为：． 7．解：如图：过作垂直于点，过作交于点， 在中，， ， 又， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 故答案为：2． 8．解： 与轴，轴分别交于点，， 令，， ， 令，，， ， ， ， ，， ， ①如图，当点在第二象限时，设交轴于点，交于点，交轴于点，   四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 点关于直线的对称点为点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 点为的中点， ，， ， ②如图，当点在第二象限时，延长交轴于点， 则，   点关于直线的对称点为点 ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ． 综合①②可知C的坐标为或． 故答案为：或． 9．解：如图，取的中点，取的中点，连接，，，，过点作于点， ∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧， ∵等腰，点为中点， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∵F为中点， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：． 10． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， 由圆周角定理得：， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，． 如图，设与的交点为点，连接，其中交于点，过点作于点， 由圆周角定理得：，即， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， 在和， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 11．解：如图，以为边作等边三角形，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 点D在以点E为圆心，半径为2的圆上运动， 当O，E，D三点共线时，OD最大，最大值为． 故答案为：． 12．解：（1）如图，连接，交于点， ∵边长为6的正六边形内接于圆， ∴， ∵点为劣弧的中点， ∴， 由圆周角定理得：，， ∴， 故答案为：． （2）∵点为劣弧的中点，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 由圆周角定理得：， 由（1）已得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．解：如图，连接， 由平移的性质得：， ∴四边形是平行四边形， ∴互相平分，，， ∵点是的中点， ∴点也是的中点， 又∵点是的中点，， ∴（三角形的中位线定理）， 由旋转的性质得：，， 在，，， ∴， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵点是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．解：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论③正确； ∴，则结论①正确； 设，则， ∴， ∴，则结论②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，则结论④错误； 综上，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 15．解：，， ，， ， ， （1）当是的中点，如图所示， ， ， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：4； （2）， ， ， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接，， ， ， ，即是等腰三角形， 点在上运动时，始终是等腰三角形， 点在直线上运动， 当时，的值最小， 如图所示，过点作轴于点， 在和中， ， ∴， ，， 设，则， ，点，且， 设直线的解析式为， ， 解得，， 直线的解析式为：， 设直线与轴交于点，当时，， ， ， ， ， ，且， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 的最小值为； 故答案为：． 16．解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 当最小时，周长的最小， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 17．解：动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，得：； 动点P在上运动时，对应的时间为4到6秒，得：； 动点P在上运动时，对应的时间为6到9秒，得：， ∵， ∴， ∴上运动时间为：秒， ∵， ∴上运动时间为：秒， ∴， 故答案为：． 18．解：设抛物线解析式为， 即， ∵， ∴，所以②正确； ∵抛物线开口向上， ， ，即， ， ，所以①正确； ∵， ∴，故，所以③错误； ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最小值， ， 即，所以④正确； 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ，即， 解得，所以⑤正确； ∵，，， ，，， 当时，， 解得，（舍去）， 当时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为或，所以⑥错误． 故答案为：①②④⑤． 19．解：∵抛物线（是常数）经过点和两点，且， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线（是常数）经过点和两点，且， ∴方程的解集为或， ∴不等式的解集为或， ∴不等式解集为或， 解得或， ∴若，则； 故②正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴关于的一元二次方程的判别式， ∴关于的一元二次方程必有两个实数根，但是不一定是相等实数根， 故③错误； ∵抛物线对称轴为直线，， ∴在对称轴右边随的增大而增大， ∵若，总有， ∴总在对称轴右边， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 故④错误； 综上所述，正确的有①②， 故答案为：①②． 20．解：（1）如图，由题意得：， 由对顶角相等得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点位于轴的负半轴上， ∴直线与轴的交点的坐标为， 故答案为：． （2）对于函数， 要使得y为整数，则x为偶数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴线段上共有5个整数点：，，，，， ∵， ∴由（1）可知，直线与轴的交点坐标均为， 则有以下两个临界位置： ①当点的坐标为，点的坐标为时， 设直线的解析式为， 将点和代入得：，解得， 则直线的解析式为， 当时，，解得，即， 同理可得：直线的解析式为， 当时，，解得，即， ∴此时的最小值为； ②当点的坐标为，点的坐标为时， 同理可得：直线的解析式为，直线的解析式为， 当时，，解得，即， 当时，，解得，即， ∴此时的最小值为； ∵， ∴当镜面的端点放在点、端点放在点的位置上时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$