7.5正态分布 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布列 7.5 正态分布 选择性必修第三册 学习目标 1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量; 2.通过具体实例,借助频率分布直方图的几何直观,了解正态分布的 特 点 ; 3. 了解正态分布的均值、方差及其含义;(重点) 4.了解3 原则,会求随机变量在特殊区间内的概率. (难点) O 情景导入 7.5正态分布 a 01 创设背景引入新知 印在人民币上的数学家 高斯是一个伟大的数学家, 一生中 的重要贡献不胜枚举,德国的10马克纸 币上印有高斯的头像和正态分布曲线, 这就传达了一个信息:在高斯的科学贡 献中,对人类文明影响最大的是“正态 分布” . 那么,什么是正态分布?正态分布的曲线有什么特征? Zohn 4 10 XaW 3HOSin30 NH3Z 殉 u 石 正态分布 7.5正态分布 探究新知 现实中,除了前面已经研究过的离散型随机变量外,还有大量问 题中的随机变量不是离散的,它们的取值往往充满某个区间甚至整 个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续性随机变 量,下面我们看一个具体问题。 探究新知 问题 自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因 素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在 一定的误差(实际质量减去标准质量).用X 表示这种误差,则X 是一个 连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食 盐,获得误差X(单位:g)的观测值如下: (1)如何描述这100个 样本误差数据的分布? (2)如何构建适当的概 率模型刻画误差X的 分布? —0.6 -1.4 —2.6 —3.4 0.5 —3.7 2.6 —2.0 2.4 —1.5 3.5 —4.2 —4.4 —1.1 —0.5 —0.8 2.2 0.3 —2.2 —0.7 —0.7 3.3 —0.7 -3.2 2.7 1.1 —0.2 1.8 —0.4 3.8 -1.0—0.2 3.9-1.0 1.7 1.4 4.8—0.8 -1.3 1.5 —5.2 1.4 2.9 0.6 —2.6-1.9 —1.3—0.5 1.5 0.3 0.9 1. 1 1.7 0.3 1.2-1.8 —2.7 3.8 —2.2 1.0 —2.9 -1.7 —3.0 —0.7 —0.1 0. 1 —0.6 4.4 —3.5 —1.5 0.9 1.2 0.4 —2.1 2.5 —0.6 -1.7 -1.6 —0.9 —0.9 0.1 1.7 1.7 -1.3 -1.8 2.2 —2.4 —3.1 1.4 1.3 4.4 2.9 2.6 0.2 0.0 0.9 —0.1 —2.1 —3.5 1.7 探究新知 可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如图所示. 其中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面 积为和为1. 随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳 定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线. 频率/组距 -6-4 -2 0 2 4 6 频率/组距 -6 -4-2 0.20 0.15 0.10 0.05 0L X 0.20 0.15 0.10 0.05 0l f(x) 0.20 0.15 0.10 0.05 -6 -4 -20246 0 2 4 6 0l X 探究新知 由函数知识可知,上图中的钟形曲线是一个函数. 思考1: 这个函数是否存在解析式呢? ,x ∈R. X~N( , ) 其中 ∈R,o>0 为参数. 对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方,可以证明x轴和曲线之间的区域的面 积为1 .我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线, 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x), 则称随机变量X服 从正态分布, 记 为X~N( , ). 特 别 地 ,当 =0, =1时,称随机变量X 服从标准正态分布. 探究新知 小知识 早在1734年,法国数学家棣莫弗(A.DeMoivre,1667-1754) 在研究二项概率的近似计算时,已提出了正态密度函数的形 式,但当时只是作为一个数学表达式.直到徳国数学家高斯 (C.F.Gauss,1777-1855) 提出“正态误差”的理论后,正 态密度函数才取得“概率分布”的身份.因此,人们也称正 态分布为高斯分布. 如下图所示,X 取值不超过x 的概率P(X≤x) 为图中区域A 的面积, P(a≤X≤b) 为区域B 的面积. f(x) √2 思考: 若X~N( , ),如何表示X 取值不超过x的概率P(X≤x)? P(a≤X≤b) 呢? B a b X 探究新知 A 0 X 正态曲线下对称区域的面积相等,代表对应的概率也相等 P(-x₁≤X≤-x₂)=P(x₂≤X≤x₁) P(X≤-a)=P(X≥a) 利用 “对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率 思考1:正态曲线下对称区域的面积相等,代表什么含义? 探究新知 =0 探究新知 正态分布在概率和统计中占有重要地位,它广泛存在于自然现象、 生产和生活实践之中.在现实生活中,很多随机变量都服从或近 似服从正态分布,例如,某些物理量的测量误差,某一地区同年 龄人群的身高、体重、肺活量等,一定条件下生长的小麦的株高、 穗长、单位面积产量,自动流水线生产的各种产品的质量指标 (如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容),某地每年7月 的平均气温、平均湿度、降水量等,一般都近似服从正态分布. 由 X 的密度函数及图象可以发现,正态曲线还有以下特点: (1)曲线是单峰的,它关于直线x= 对称; (2)曲线在x= 处达到峰值 (3)当x|无限增大时, 曲线无限接近x 轴 . 思考2:观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特点? 探究新知 思考3:一个正态分布由参数 和 完全确定,这两个参数对正态曲线的形 状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征? 探究新知 观察两个图象可以发现,参数 反映了正态分布的集中位置, 反映了随机 变量的分布相对于均值的离散程度.实际上,我们有: 若X~N( , ), 则E(X)= ,D(X)= . 思考3: 一个正态分布由参数 和 完全确定,这两个参数对正态曲线的形 状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征? y =1 =-1 0.4 =0 u=1 -3-2-10 1 2 3 y =0 0.8 0.4 -3 -2-10 =0.5 =1 =2 1 2 3 探究新知 探究新知 总结 正态曲线的性质: x= (1)曲线在x 轴的上方,与x轴不相交; =0.5 (2)曲线是单峰的,它关于直线x= 对称,且曲线在 =1 x= 处取得最大值; =2 (3)曲线与x轴之间的面积为1; -3 -2 -1 0 1 2 3 x (4)当 一定时, 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; 越小, 曲线越“瘦高”, 表示总体的分布越集中. (5)参数 反映了正态分布的集中位置, 反映了随机变量的分布相对于均值 的离散程度.在实际问题中,参数 , 可以分别用样本均值和样本标准差 来估计,故有 若X~N( , ),则E(X)= ,D(X)= . 应用新知 例: 李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑 自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方 差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X,Y 的分布中的参数; (2根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X与Y的分布密度曲线; (3)如果某天有38min 可用,李明应选择哪种交通工具?如果某天只有 34min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由. 分析 对于第(1)问,正态分布由参数 和 完全确定,根据正态分布参数的 意义,可以分别用样本均值和样本标准差来估计,对于第(3问,这 是一个概率决策问题,首先要明确决策的准则,在给定的时间内选择 不迟到概率大的交通工具;然后结合图形,根据概率的表示,比较概 率的大小,作出判断. 应用新知 解析 (1)随机变量X 的样本均值为30,样本标准差为6; 随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数 . 用样本标准差估计参数o,可以得到 X~N(30,62), Y~N(34,22). (2)X和Y 的分布密度曲线如图所示, y 个 X的密度曲线 Y的密度曲线 26303438 t/min 0 应用新知 解析 (3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具. 由图可知,P(X≤38)<P(Y≤38), y 个 P(X≤34)>P(Y≤34). X的密度曲线 0 26303438 t/min 所以,如果有38min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车; 如果只有34min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车. Y的密度曲线 5 03 正态分布的3 原则 7.5正态分布 探究新知 假定X~N( , ),可以证明:对给定的k∈N*,P( -ko≤X≤ +k ) 是一个与k有关的定值.特别地, P( - ≤X≤ + )≈ 0.6827, P( -2 ≤X≤ +2 )≈0.9545, P( -3 ≤X≤ +3 )≈0.9973, 上述结果可用图表示. -3 -20 + … + +2 +3 <… … 95.45% … … …68.27% … 探究新知 由此看到,尽管正态变量的取值范围是(-∞,+∞),但在一次试验中, X 的取值几乎总是落在区间[ -3o, +3 ] 内,而在此区间以外取值的概 率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N( , )的随机变量X 只取 [ -3 , +3 ] 中的值,这在统计学中称为3 原则. 能力提升 7.5正态分布 能力提升 题型一 正态密度函数(正态曲线)解决均值和方差问题 例题1 (1 已知随机变量X 和Y 满足Y=3X+1, 若X 服从正态分布,其正态 曲线对应的密度函数 则( AC ) A.E(X)=2 B.D(Y)=0.9 C.P(X>3)<0.5 D.P(Y<7)>0.5 解析 由正态曲线对应的密度函数为 ,得 =2, =0. 1, 则E(X)=2,D(X)=0.01,A 正确;因为Y=3X+1, 所以D(Y)=9D(X)=0.09,B 错误;因为 =2,结合正态曲线可知 P(X>3)<P(X>2)=0.5,C 正确; P(Y<7)=P(3X+1<7)=P(X<2)=0.5,D 错误 .故选:AC A. 甲科总体的标准差最小 B. 丙科总体的平均数最小 C. 三科总体的平均数不相同 D. 乙科总体的标准差及平均数都居中 解析 由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等. 由正态曲线的性质,可知 越大,正态曲线越扁平; 越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从 小到大依次为甲、乙、丙. 故选:A. (2)某市一次高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直 方图(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布)如图所示, 则由曲线可得下列说法中正确的一项是( A ) 正态密度函数(正态曲线)解决均值和方差问题 题型一 例题1 能力提升 能力提升 总结 利用正态曲线的特点求参数 , 1.正态曲线是单峰的,它关于直线x = 对称,由此性质结合图象求 . 2.正态曲线在x = 处达到峰 由此性质结合图象可求 . 3.由 的大小区分曲线的胖瘦. 能力提升 题型二 利用对称性求概率 例题2 若X~N(1, ),且P(X<0)=a, 则 (1)P(X>1)= 0.5 ; y =1 (2)P(X>0)= 1-a ; (3)P(O<X<1=0.5-a; (4)P(K<2)= 1-a ; (5)P(O<X<2)=1-2a -3 -2 -10 1 2 3 4 X 总结 由于正态曲线是关于直线x= 对称的,且曲线与x 轴的面积为1, 故关于直线x= 对称的区间上概率相等. 例如:①P(X<a)=1-P(X≥a); ②P(X< —a)=P(X> +a). 能力提升 题型三 利用3 原则求概率 例题3 某地区积极响应国家政策,在全面推动经济发展后,居民收入 有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入X (单位:元) 服从正态分布( ,250000)若P(X≤1500)=P(X≥2500), 则 P(1000<X<2500)=( ) 参考数据: P( - <X< + )=0.6827, P( -2 <X< +2 )=0.9545, P( -3 <X< +3 )=0.9973. A.0.84 B.0.8186 C.0.9759 D.0.8286 故 选 :B. 总结 利 用X 落在区间[ — , + ],[ —2 , +2 ],[ —3 , +3g] 内的概率分别是0.6827,0.9545,0.997 3,结合对称性即可求解. 解析 因为X 服从正态分布( ,250000) , 且P(X≤1500)=P(X≥2500), 所以 , =500, 题型三 利用3 原则求概率 能 力 提 升 能力提升 题型四 正态分布的实际应用 例题4 北京某校高二年级上学期期中考试历史试卷满分为100分,60分 以上(含60分)为及格.阅卷结果显示,全年级800名学生的历 史成绩近似服从正态分布,试卷的难度系数(难度系数=平均分/ 满分)为0.5,标准差为10,则该次历史考试及格的人数约为( ) 附:若X~N( ,o ), 则P( - <X< + )=68.3%, P( -2 <X< +2 )=95.4%, P( -3 <X< +3 )=99.7%. A.120 人 B.122 人 C.124 人 D.127 人 故该次历史考试及格的人数约为800 15.85%=126.8≈127.故选:D 总结 利用正态分布估算区间上的个体数的方法: 利用服从正态分布N(u,o )的随机变量X 在三个特殊区间上取 值的概率可以解决一些实际问题,如估算总体在某一范围内的 个体数或质量控制等.其具体方法:先确定随机变量在某一范 围内取值的概率,再乘样本容量即可. 正态分布的实际应用 历史成绩的平均分为100 0.5=50,故X~N(50,10 ), 则 +o=50+10=60, 又P( - <X< + )=68.3%, 题型四 解析 能力提升 则 随堂限时小练 2.已知随机变量X 服从正态分布N(a,4),且P(x>1)=0. 5,则实数a 的值为(A) A.1 B.2 C. 3 D.4 解 因为随机变量X 服从正态分布N(a,4) , 所以曲线关于x=a 对称, 且P(x>a)=0.5, 由P(x>1)=0.5, 可知a=1. 故选:A. 5a 06 作业布置与课后练习答案 7.5正态分布 课后作业答案(练习第87页) 2. 设随机变量X~N(0,2 ), 随机变量Y~N(0,3 ), 画出分布密度曲线草图, 并指出P(X≤-2) 与P(X≤2) 的关系,以及P(X|≤1 与 P(Y|≤1) 之间的 大小关系. 解:X~N(0,2 ) 关于y轴对称,P(X≤-2)=P(X≥2)=1-P(X≤2), ∴P(X≤-2)+P(X≤2)=1, P(X|≤1)=P(-1≤X≤1), P(Y|≤1)=P(-1≤Y≤1), ∵ 越大,钟型越扁平, ∴P(X|≤1)>P(Y|≤1). 课后作业答案(练习第87页) 3. 举出两个服从正态分布的随机变量的例子. 解 :(1)某地区16岁男孩的身高分布可以近似看成服从正态分布; (2)某厂生产的某种型号的灯泡的使用寿命的分布可以近似看成 服从正态分布. 课后作业答案(第87页习题7.5) 1. 对某地区数学考试成绩的数据分析,男生成绩X服从正态分布N(72,8 ), 女生成绩Y 服从正态分布N(74,6 ).请你从不同角度比较男、女生的考试 成绩. 解:因为72<74,所以女生的平均成绩高于男生的平均成绩 因为8 >6 ,所以男生的成绩比较分散,女生的成绩比较集中 . 课后作业答案(第87页习题7.5) 2.某市高二年级男生的身高X(单位:cm) 近似服从正态分布N(170,5 ), 随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率: (1)165<X≤175; (2)X≤165; (3)X>175. 解:身高X 作为变量符合均值为 =170, =5的正态分布. (1)P(165<x≤175)=P( - ≤x≤ + )≈0.6827; 课后作业答案(第87页习题7.5) 3.若X~N( , ),则X 位于区域[ , + 内的概率是多少? 解:随机变量 X~N( , ),可得 P( - <X≤ + )=0.6827, 根据正态分布曲线的对称性,可得 课后作业答案(第87页习题7.5) 4. 袋装食盐标准质量为400g, 规定误差的绝对值不超过4 g 就认为合 格.假设误差服从正态分布,随机抽取100袋食盐,误差的样本均值为0, 样本方差为4.请你估计这批袋装食盐的合格率. 解:可设误差为X, 则X~ N(0,4), P(X|≤4)=P(-4≤x≤4)=P( -2 ≤X≤ +2 )≈0.9545, 故合格率约为95.45%. THANKS 感谢您的聆听 $$