精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第二十三中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

乌鲁木齐市第23中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学试题（问卷） 命题人：景维龙 审题人：高二数学备课组 一、选择题（本大题共8小题 ，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义计算． 【详解】，∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查导数的定义，注意定义中，分子分母都是的增量，两者一样．根据极限的性质，（是常数且）． 2. 已知且，则下列等式正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于AD，根据排列数公式分析判断即可，对于BC，根据组合数公式分析判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，所以A错误， 对于B，因为，， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以C错误， 对于D，因为，所以D正确. 故选：D 3. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的几何意义代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 则， 由直线的点斜式方程可得，化简可得. 故选：C 4. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种. 故选：A 5. 已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导确定单调性，由其单调性求解即可. 【详解】令，，则， 因为，所以，所以函数在上单调递减. 因为，， 所以，即， 所以且，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用导数探讨单调性比较大小. 【详解】令函数，求导得， 函数在上单调递减，，即，因此； 令函数，求导得， 函数在上单调递减，，即， 则，因此， 所以. 故选：C 7. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式中的有理项，再求出中相应的项，按多项式乘法法则计算即可. 【详解】展开式的通项为， 所以当时，该项为有理项，的指数分别为0，1，2， 展开式的通项为， 所以的展开式中，的系数为 . 故选：D 8. 已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为（ ） A. 8 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为偶函数，得出关于中心对称，再根据为偶函数，得出关于对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性计算即可. 【详解】为偶函数，则，左右两边同时求导得，，将看作整体得①， 将图象向右平移2个单位得到， 因为为偶函数，则图象关于对称，即②， ①②两式联立得，即， 用代替得，故， 即的周期为， 因，则①式中令有，令有， ②式中令有，令有， 则. 故选：C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 某商场共有层，每层均有两个楼梯，小明从一楼上到五楼可能的走法有种 B. 有把椅子排成一排，现有人就座，恰好有两张空位椅子相邻的不同坐法共有种； C. 从双不同颜色的鞋中任意取出只，其中恰有一双同色鞋的选法有种； D. 把英文单词的字母顺序写错，可能出现的错误共有种. 【答案】BCD 【解析】 【分析】从一楼上到五楼只要走四个楼梯，由此计算可判断A，3人排列后，两张椅子与一张椅子作为两个元素插入计算后判断B，先选一双后再选两双并从两双中各选一只袜子计算后判断C，利用有重复元素的全排列法计算后判断D. 【详解】A.某商场共有层，每层均有两个楼梯，小明从一楼上到五楼可能的走法有种，A错； B.有把椅子排成一排，现有人就座，恰好有两张空位椅子相邻的不同坐法共有种，B正确； C.从双不同颜色的鞋中任意取出只，其中恰有一双同色鞋的选法有种，C正确； D.把英文单词的字母顺序写错，可能出现的错误共有种，D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. ，使得为单调函数 C. 当时， D. ，的图象恒有对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导数，由根的情况判断A；取值确定单调性判断B；求出单调递增区间判断C；利用中心对称的意义判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，当时，，方程有两个不等实根，有两个极值点，A正确； 对于B，当时，，函数为增函数，B正确； 对于C，当时，令，解得或， 函数在上单调递增，又，因此，C错误； 对于D， ，因此的图象恒关于点对称，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的一个周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上没有零点 D. 函数的最大值为1 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由即可；对于B，当时，，通过导数即可判断单调性；对于C，当时，，通过导数即可判断单调性，且，由零点存在性定理即可判断；对于D，通过导数得在单调递减，在单调递增， 在单调递减，在单调递增，且，当时，即可求最大值. 【详解】因为，所以函数的定义域为 对于A，因为， 所以， 所以不是的一个周期，故A错误； 对于B，因为时，所以， 所以， 且， 所以， 所以，故在单调递增，故B正确； 对于C，因为时，所以， 所以， 且， 所以， 所以，故在单调递减， 且， 根据零点存在性定理，函数在有零点，故C错误； 对于D，因为， 所以为偶函数， 当，且， 所以在为周期函数， 同理在也为周期函数. 由BC得，在单调递减，在单调递增， 且 当时，所以， 所以， 且， 所以， 所以，故在单调递减， 当时，所以， 所以， 且， 所以， 所以，故在单调递增， 综上所诉，在单调递减，在单调递增， 在单调递减，在单调递增， 且， 且当时，函数在周期内，都有， 故函数的最大值为，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，解题关键是通过导数求分段求函数的单调性、奇偶性及最值. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过只有第项的二项式系数最大，确定，进而可求解. 【详解】的展开式有项， 因为只有第项的二项式系数最大，所以展开式共有7项， 所以， 所以展开式各项的二项式系数之和为， 故答案为：64 13. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将所求不等式变形为，构造函数，可知函数在上为增函数，可得出，利用导数求出函数在其定义域上的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，由，可得， 即， 令，其中，则，所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，可得， 构造函数，其中，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于通过指对同构思想将问题为函数单调性问题，结合参变量分离法转化为函数最值问题来求解. 14. 若三个正整数的位数之和为，且组成的个数码能排列为则称为“幸运数组”，例如是一个幸运数组.则满足的幸运数组的个数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用分类计数原理，结合排列组合知识可求解. 【详解】因为，所以有两类不同情形： （1）是两位数，都是三位数.先不考虑的大小，由于的首位均不能排0， 所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法， 其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法， 又因为不可能有，可知与的排法各占一半，所以有300个满足条件的幸运数组； （2）是两位数，是四位数.先不考虑的大小，由于的首位均不能排0， 所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法， 其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法. 如果，则只有，的四个位置上的数字为0，5，6，7，共有种排法， 此外，与的排法各占一半，即， 所以，有291个满足条件的幸运数组； 综上，所求幸运数组的个数为591. 故答案为：591. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数， （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有两条过坐标原点的切线，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求出函数的极值； （2）设切点为，利用导数的几何意义写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，可得出关于的二次方程，根据题意得出，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，的定义域为，则， 由可得，由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 因为，则, 设切点为，则，切线斜率， 切线方程为：， 因为切线过原点，则，整理得：， 因为满足条件的切线有两条，所以，解得或， 所以，的取值范围是. 16. （1）把本不同的书全部分给名学生，每人至多2本，至少1本，有多少种分法？（写出必要的文字说明，结果用数字作答） （2）从一组共有名学生中选男生人，女生人，参加三种不同的活动，要求每人参加一种且每种活动都有人参加的选法共有种，问该组学生中男生女生各有多少人？ （3）用这六个数字能组成多少个无重复数字且比大的四位数？（写出必要的文字说明，结果用数字作答） 【答案】（1）1080；（2）男生人，女生人或男生人，女生人；（3）270 【解析】 【分析】（1）根据不平均分组的方法直接求解； （2）设有男生人，女生则有人，根据组合数计算，先把人选出来，然后根据分组分配列式解出，即可得答案； （3）分三类：千位是2、3、4、5；千位与百位分别是14、15；千位、百位、十位是134与135，分别求出符合条件的数的个数，利用加法原理求解即可. 【详解】（1）6本不同的书分给4位同学，满足条件的只有2，2，1，1这种情况， 则有种. （2）设有男生人，女生则有人， 从这人中选出名男生女生方法有种， 要求每人参加一项且每项活动都有人参加种， 即， 所以， 解得或， 所以该组学生中男生人，女生人或男生人，女生人. （3）满足要求且比1325大的四位数可分为三类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个； 第二类：形如14□□，15□□，共有个； 第三类：形如134□，135□，共有个； 所以无重复数字且比1325大的四位数共有：个. 17. 已知函数， （1）证明：当时，； （2）设且函数，若恒成立，求实数的值； （3）设函数，讨论当时，函数在的零点个数. 【答案】（1） 设，则在区间上恒成立， 故在上为减函数，故，得到， 即成立. （2） （3） 当时，函数无零点； 当或时，函数有零点； 当时，函数有个零点． 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数求得其最大值，即可证明； （2）构造函数，然后求导可得其最值，即可得到结果； （3）求导可得其最小值，然后讨论大于零，等于零以及小于零，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得， 令，， ，所以在上递增，在上递减， 时，从而有， 又，则，所以， 当时，，时，， 故有. 【小问3详解】 由题意得，则， 当，则，即有在上递增； 若，由得到，由得到， 即有时，的增区间为，减区间为； 所以的极小值为，也为最小值． ① 当，即， 的最小值大于， 则在区间上无零点； ② 当，即，即有，而， ，，则在上有一个零点； ③ 当，即，即有， (i)若，即，而， 当时，，则在上有零点． 当时，，则在上有个零点； (ii)若，即，而，，则在上有零点． 综上：当时，函数无零点； 当或时，函数有零点； 当时，函数有个零点． 18. 已知函数（），且， （1）求的值； （2）求的值； （3）设且，若能被10整除，求的值； （4）求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）； （4）15 【解析】 【分析】（1）由展开式通项公式求得参数，然后赋值法求得结论； （2）对已知等式求导，然后赋值求解； （3）用二项式定理展开，然后分析10的倍数后可得的值； （4）由第项的系数不比前后项系数小列不等式组求解可得. 【小问1详解】 有，解得. 因此，令，得，再令，得所以 【小问2详解】 给等式两边关于自变量求导，，令得； 【小问3详解】 ，能被10整除，只需能被整除，而且，所以； 【小问4详解】 由通项公式为，则，  解得，，，所以，所以的最大值为. 19. 已知函数， （1）求函数的单调性及最值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是，的最小值是，无最大值． （2） （3） 由第（1）问知，当时，，取，，，，…，，， 有， 故，，，…… 所以 ． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数得出函数单调性进而得出最值； （2）构造函数，分和两种情况得出函数单调性得出参数范围； （3）由（1）问知，当时，，取，再应用裂项相消计算证明. 【小问1详解】 ，当时，，所以，为单调递减； 当时，令，， 则单调递增，，所以，单调递增． 所以． 综上，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，且的最小值是，无最大值． 【小问2详解】 由题意可得，即：， 当时，恒成立，符合题意； 令， 因为，所有在上单调递增，， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，符合题意； ②当时，，， ∴存在，使得，当时，； 所以在上单调递减，当时，，这不符合题意； 综上，a的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第23中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学试题（问卷） 命题人：景维龙 审题人：高二数学备课组 一、选择题（本大题共8小题 ，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知且，则下列等式正确的是（     ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（     ） A. B. C. D. 4. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为（ ） A. 8 B. 1 C. 0 D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 某商场共有层，每层均有两个楼梯，小明从一楼上到五楼可能的走法有种 B. 有把椅子排成一排，现有人就座，恰好有两张空位椅子相邻的不同坐法共有种； C. 从双不同颜色的鞋中任意取出只，其中恰有一双同色鞋的选法有种； D. 把英文单词的字母顺序写错，可能出现的错误共有种. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. ，使得为单调函数 C. 当时， D. ，的图象恒有对称中心 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的一个周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上没有零点 D. 函数的最大值为1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为 ___________． 13. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______． 14. 若三个正整数的位数之和为，且组成的个数码能排列为则称为“幸运数组”，例如是一个幸运数组.则满足的幸运数组的个数为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数， （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有两条过坐标原点的切线，求实数的取值范围. 16. （1）把本不同的书全部分给名学生，每人至多2本，至少1本，有多少种分法？（写出必要的文字说明，结果用数字作答） （2）从一组共有名学生中选男生人，女生人，参加三种不同的活动，要求每人参加一种且每种活动都有人参加的选法共有种，问该组学生中男生女生各有多少人？ （3）用这六个数字能组成多少个无重复数字且比大的四位数？（写出必要的文字说明，结果用数字作答） 17. 已知函数， （1）证明：当时，； （2）设且函数，若恒成立，求实数的值； （3）设函数，讨论当时，函数在的零点个数. 18. 已知函数（），且， （1）求的值； （2）求的值； （3）设且，若能被10整除，求的值； （4）求的最大值. 19. 已知函数， （1）求函数的单调性及最值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $