精品解析：海南省三亚市第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（A）

2024-2025学年第二学期高二年级期中考试 数学（A） 考试时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数在处有极值，则实数（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由极值的定义得，即可求解，注意检验. 【详解】解：因为，，在处有极值， 所以，所以，解得. 经检验当时，， 当或时，；当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 函数在处有极大值，满足题意. 故选：D 2. 的展开式中，常数项等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式定理得到展开式通项公式，即可求解. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 故常数项等于. 故选：B. 3. 已知是等比数列的前项和，且，，则公比（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】由题可知，，故，故. 故选：C. 4. 现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数以及分步计数原理即可求解. 【详解】根据题意，将，看成一个整体，，的排列方法有种方法， 然后将这个整体与进行全排列，即不同的排列方式有， 最后将，插入到三个空中的两个中，有种方法， 根据分步计数原理可知排法种数为， 故选：C. 5. 甲､乙､丙､丁､戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列的情形有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 54种 D. 64种 【答案】C 【解析】 【分析】由排列数计算，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】分三步完成：冠军有种可能，乙的名次有种可能，余下3人有种可能， 所以5人的名次排列有（种）不同情况， 故选：C. 6. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作切线，过点B作切线，连接，得到直线，根据导数的几何意义以及斜率的定义结合图象即可得出答案. 【详解】 如图过点A作切线，斜率设为，过点B作切线，斜率设为，连接，得到直线，斜率设为，由图可知，. 又根据导数的几何意义以及斜率的定义可知， ，， 所以. 故选：B． 7. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 8. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数在上恒成立，即可结合基本不等式求解. 【详解】由于在上单调递增，所以在上恒成立，故在上恒成立， 由于当且仅当 时取等号，所以 ， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或者3分，有选错的得0分. 9. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，，再根据，，计算期望和方差. 【详解】对A，因为随机变量服从两点分布，且，所以， 所以，所以，故A正确； 对B，，故B不正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知二项式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中只有第三项的二项式系数最大 C. 展开式各项系数之和是243 D. 展开式中的有理项有4项 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式系数和为，计算可得，判断A；根据，即可判断B；令，即可判断C；求出展开式的通项，令的幂指数为整数，即可判断D. 【详解】因为知二项式的二项式系数和为，所以，即，故A正确； 因为，所以二项展开式有6项，所以展开式的第三项和第四项的二项式系数均为最大值，故B错误； 令，，所以展开式各项系数之和是243，故C正确； 二项式展开式的通项为，， 所以、、时，为有理项，即展开式中的有理项只有项，故D错误. 故选：AC 11. 已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 当取得最大值时， 【答案】BC 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出，，即可对选项逐一判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得：， ， 即，，且，即B、C正确； 因，故数列是递减数列，故A错误； 因，，即当取得最大值时，，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列中，已知，且，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加即可得到答案. 【详解】因为，所以， 所以 故答案为：50 【点睛】本题考查了累加法求数列中的项的值，属于基础题. 13. 某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有_____种不同的方法.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】先分组再分配，利用排列组合知识解决即可. 【详解】按照1：3的比例，共有种分组方案； 按照2：2的比例，共有种分组方案； 则共有种分配方案 故答案为： 14. 若正实数是关于的方程的根，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】设，同构变形得到，即，从而得到，即，从而结果. 【详解】令，则在上单调递增， ，即，故， ∵正实数是方程的根， ，则，得，即. 故答案为：0 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）若，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最大值和最小值. 【小问1详解】 因为，则，所以，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，所以， 由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，函数在区间上的最大值为， 因为，，，故. 16. 在等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若，，成等比数列，求的值； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出公差，进而求出通项公式； （2）根据等比中项的概念列式运算求解； （3）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 设数列的公差为，由题意得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 依题意得，则，得. 【小问3详解】 由，得， 则. 17. 某班有7名班干部，其中男生4人，女生3人，从中任选3人参加学校的义务劳动. （1）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率； （2）设所选3人中女生人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 的分布列为 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）设事件表示“男生甲被选中”，事件表示“女生乙被选中”，即可求出，，再利用条件概率的计算公式计算可得； （2）依题意的所有可能取值为0，1，2，3，求出所对应的概率，即可得到的分布列与数学期望； 【小问1详解】 解：设事件表示“男生甲被选中”，事件表示“女生乙被选中” 则，， ∴ 【小问2详解】 解：依题意的所有可能取值为0，1，2，3 所以，， ，， ∴的分布列为 0 1 2 3 所以 18. 已知函数． （1）讨论函数的极值情况； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，无极值； 当时，有极大值，无极小值． （2） 当时，要证，即证，只需证； 令，则， 令，则， ∴在单调递增， 而，， 故方程有唯一解，即， ∴， 则， ∴， 且时，，在单调递减； 时，，在单调递增； ∴， ∴，故当时，. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，得到函数单调性和极值情况； （2）转化为证明，构造，二次求导，结合隐零点和基本不等式证明出结论. 【小问1详解】 函数，定义域为， ①当时，，单调递增，没有极值； ②当时，由，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； ∴，无极小值 综上讨论得： ①当时，无极值； ②当时，有极大值，无极小值． 【小问2详解】 略 【点睛】隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 19. 记数列的前n项和为，已知 （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 （3）在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由可直接求得答案； （2）结合（1）得，再利用错位相减法求和即可； （3）将原式化为恒成立，结合一次函数的性质列不等式组即可求得k的范围. 【详解】（1）因为，① 令，得，所以 当时，，② ①②，得，整理得 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 当时也符合上式，故. （2）由题意知 两式作差，得： 所以； （3）由恒成立，得恒成立，即恒成立． 所以解得， 所以k的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高二年级期中考试 数学（A） 考试时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数在处有极值，则实数（ ） A. B. 2 C. 1 D. 2. 的展开式中，常数项等于 （ ） A. B. C. D. 3. 已知是等比数列的前项和，且，，则公比（ ） A. B. C. D. 2 4. 现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 5. 甲､乙､丙､丁､戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列的情形有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 54种 D. 64种 6. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或者3分，有选错的得0分. 9. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二项式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中只有第三项的二项式系数最大 C. 展开式各项系数之和是243 D. 展开式中的有理项有4项 11. 已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 当取得最大值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列中，已知，且，则等于______. 13. 某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有_____种不同的方法.(用数字作答) 14. 若正实数是关于的方程的根，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）若，求在区间上的最大值和最小值. 16. 在等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若，，成等比数列，求的值； （3）设，求数列的前项和. 17. 某班有7名班干部，其中男生4人，女生3人，从中任选3人参加学校的义务劳动. （1）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率； （2）设所选3人中女生人数为，求的分布列和数学期望. 18. 已知函数． （1）讨论函数的极值情况； （2）证明：当时，． 19. 记数列的前n项和为，已知 （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 （3）在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $