拓展01 平面向量共线问题探究5考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 拓展01 平面向量共线问题探究5考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，平面向量共线问题是向量知识体系的重要组成部分。向量作为代数与几何的桥梁，共线问题既涉及向量的基本运算，又与平面几何图形紧密相连。通过对平面向量共线问题的考查，能有效检验学生对向量概念、运算规则的理解，以及运用向量方法解决几何问题的能力。这类问题在高考中常以选择题、填空题的形式出现，有时也会融入解答题，是高考数学的重点考查内容之一，对培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养具有重要意义。 【处理角度】 1. 理解向量共线的本质：深入理解共线向量的定义，明确共线向量在方向和长度上的关系，这是解决平面向量共线问题的基础。同时，要掌握向量共线与平行的等价性，以及零向量与任意向量共线这一特殊情况。 2. 掌握向量的运算规则：熟练运用向量的线性运算（加法、减法、数乘）规则，能够准确地对向量进行化简和变形。在涉及坐标运算时，要熟悉向量坐标运算的公式，能通过坐标运算来判断向量是否共线。 3. 运用向量共线定理及推论：向量共线定理及其推论是解决共线问题的重要工具。要学会根据已知条件，合理地运用这些定理和推论，建立等式或方程，从而求解相关参数或证明向量共线。 4. 结合几何图形分析：很多平面向量共线问题都与几何图形相关，如三角形、平行四边形等。要善于观察图形的特征，利用几何图形中的平行、相似等关系，找到向量之间的联系，将几何问题转化为向量问题求解。 【解法策略】 1. 共线向量的线性运算题型：在解决这类问题时，首先观察题目中所给向量之间的关系，确定已知向量和未知向量。利用向量的加法、减法和数乘运算规则，将未知向量用已知向量表示出来。若涉及到三角形、平行四边形等几何图形，借助图形的性质，如三角形的中线、重心性质，平行四边形的对边平行且相等，来进行向量的转化。最后，根据向量共线的条件（若存在实数λ，使得一个向量等于另一个向量的λ倍，则两向量共线），结合已知条件列出等式，求解相关量。 2. 共线向量的坐标运算题型：对于判断两个向量是否能作为基底的问题，依据平面向量基本定理，若两个向量不共线，则可以作为基底。通过计算两个向量坐标对应分量的比值是否相等来判断它们是否共线。在已知向量坐标求向量或证明向量共线的题目中，利用向量加法、减法、数乘的坐标运算规则，对向量进行运算得到目标向量的坐标。再根据向量共线的坐标表示（若两个向量的坐标分别为、，当时，两向量共线）来证明向量共线。已知向量共线求点的坐标时，设出点的坐标，根据向量的坐标运算表示出相关向量的坐标，再利用向量共线的坐标关系列出方程，求解点的坐标。 3. 已知向量共线(平行)求参数题型：当已知两个向量的坐标且它们共线时，根据向量共线的坐标表示，列出关于参数的方程。在求解过程中，注意方程的求解方法，确保答案的准确性。对于涉及三点共线求参数的问题，先根据向量的减法运算求出与这三点相关的两个向量的坐标，再利用向量共线的条件列出方程求解。若题目中向量的表示不是坐标形式，而是用其他向量线性表示，先根据向量的运算法则将向量化简，再利用向量共线定理列出等式，通过等式两边向量对应系数相等来求解参数。 4. 利用共线向量求面积的比值题型：首先根据已知条件，通过向量的线性运算和向量共线定理，确定两个三角形的边或高之间的关系。若两个三角形有相同的底，那么它们面积的比值等于高的比值；若两个三角形有相同的高，面积的比值等于底的比值。在确定边或高的关系时，常常需要利用向量共线所得到的线段比例关系。最后，根据三角形面积公式，结合前面得到的边或高的比例关系，求出两个三角形面积的比值。 5. 利用三点共线的结论及基本不等式求最值题型：遇到这类问题，先根据题目中的条件，利用向量的线性运算，将所给向量用已知向量表示出来。再依据三点共线的结论（若存在实数x、y，使得一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合，且，则这三个向量对应的点共线），得到相关系数的关系。然后，将所求式子进行变形，使其符合基本不等式的形式。在使用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，确保求出的最值是有效的。 考点1 共线向量的线性运算 1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形重心的性质可得，结合条件及向量共线的推论，即可求出结果. 【详解】如图，因为为的重心，所以在中线上，且， 又，所以， 设，所以， 又，所以，又三点共线， 所以，得到，所以， 故选：C. 2．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，，且，则实数 . 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可得解. 【详解】由， 得 ， 所以. 故答案为：. 3．（2026高三·全国·专题练习）在中，点M是的中点，点N为上一点，与交于点D，且，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理将用表示出来，另一方面，因为N，D，C三点共线，由平面向量共线定理的推论可得，由此可解得的值. 【详解】 如图所示，因为点M是的中点，所以， 因为N，D，C三点共线，所以， 又，所以， 所以，解得， 故答案为：. 考点2 共线向量的坐标运算 4．（24-25高一下·江苏常州·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，两个不共线的向量可以作为基底，由此对各项中的向量加以分析，可得正确答案． 【详解】对于A，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底； 对于B，，，根据零向量与平面内任意向量共线，可知与不可以作为基底； 对于C，，，根据，可知与不共线，它们可以作为基底； 对于D，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底． 故选：C． 5．（24-25高一下·河南·期中）已知向量，，. (1)求向量； (2)证明：向量与共线； (3)已知实数、满足，求、的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）利用平面向量加法的坐标表示可求得向量的坐标； （2）利用平面向量共线的坐标表示可证得结论成立； （3）利用平面向量线性运算的坐标表示可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值. 【详解】（1）由题意可得． （2）因为向量，，所以，所以向量与共线． （3）因为，所以， 可得方程组，解得. 6．（24-25高一下·四川·期中）已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，根据，得到，结合向量的坐标运算，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】由点，可得， 设，因为，可得，所以， 可得，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 7．（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】由已知得，依次判断各项对应点所得向量是否共线，即可判断. 【详解】由题设， ，，，与有公共端点，所以三点共线，A对； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，B错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，C错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，D错； 故选：A 考点3 已知向量共线(平行)求参数 8．（24-25高一下·四川·期中）已知向量，，若，则x =（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：A 9．（河南省五市2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题）已知向量，，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示可得，再根据齐次化问题运算求解即可. 【详解】因为向量，，， 则，可得， 所以. 故选：D. 10．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，若三点共线，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三点共线得出向量共线，再根据平行的坐标运算计算求参. 【详解】向量，所以， 因为三点共线，所以，所以， 则. 故选：B. 11．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D．或3 【答案】A 【分析】根据共线的坐标运算可得或，即可根据方向求解. 【详解】由与共线可得，故，解得或， 由于与方向相反，故，则，故， 故选：A 12．（24-25高一下·广西防城港·期中）已知与为非零向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据已知条件结合向量加减法求出、，进而根据即可得解. 【详解】由题意知，当A，B，C三点共线时， ，， 且共线，故不妨设， 则，所以，解得. 故选：D 13．（24-25高一下·黑龙江·阶段练习）设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，根据向量的和差等运算规律得出，然后结合向量共线定理即可求解. 【详解】由题知由于 ，是空间中两个不共线的向量， 且有， ，， 所以， 因为三点共线， 所以， 所以存在实数，使得， 所以， 所以. 故选：D 考点4 利用共线向量求面积的比值 14．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·开学考试）如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知三点共线，且，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】由可得， 又因为分别是边的中点， 所以，， 所以，即， 所以三点共线，且， 所以到的距离与到的距离之比也为， 又的面积与的面积都以为底， 所以的面积与的面积的比为． 故选：A 15．（22-23高一下·重庆渝中·期中）已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简得到，，确定为靠近的四等分点，计算得到答案. 【详解】，故，即， 故，即， 故三点共线，且为靠近的四等分点， 设为中点，则，   ，故. 故选：A 16．（2023·陕西安康·一模）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由确定点的位置，再利用与的面积之比列方程来求得的值. 【详解】由得， 设，则. 由于，所以A，B，D三点共线，如图所示， ∵与反向共线，，∴，∴， ∴. 故选：D 17．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案. 【详解】如图，延长交于点， 设，则， 因为共线， 所以，解得， 所以，， 则， 由， 得，即， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 考点5 利用三点共线的结论及基本不等式求最值 18．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，根据共线定理得出，结合基本不等式即可求解最小值． 【详解】因为，所以， 因为，，（，）， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，则， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：D． 19．（2019·黑龙江哈尔滨·一模）在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为 . 【答案】9 【分析】先由题意得到，根据三点共线的充要条件，得到，再由基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以，又三点共线， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 20．（24-25高一下·山西太原·期中）已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（    ） A．9 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据三点共线可求的关系式，再结合基本不等式可求的最小值. 【详解】因为为的中点，故， 而三点共线，故存在实数，使得， 所以，而不共线， 故，所以， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：B. 21．（24-25高一下·江苏苏州·期中）如图，在中，是线段上一点，且满足，点满足，过的一条直线分别交线段、于点、．设，，其中、．记，. (1)试用、表示； (2)求的最小值； (3)若直线交的延长线于点，并有，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于的表达式，再由可得结果； （2）利用向量共线定理、平面向量的基本定理可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （3）利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量共线定理、平面向量的基本定理可求出的值，代入可得出的值，由此可得出的值. 【详解】（1）因为是线段上一点，且满足，则， 所以，可得， 因为，故. （2）因为，，其中、， 由（1）可知， 因为、、三点共线，则存在，使得， 所以，可得， 又因为、不共线，所以，，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. （3）因为，，所以，即， 即，可得， 因为，所以，则， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，所以， 因为、不共线，所以，，则，解得， 由（2）可知，代入可得，故. 22．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． (1)用和表示； (2)设，实数，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出、关于的表达式； （2）由、、三点共线并结合系数和为1的结论即可求解； （3）由向量数量积的运算律求出的表达式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因，所以，又因为的中点，所以， 所以． （2）因，所以， 又因，所以， 又因三点共线，所以，即． （3）设，由（1）（2）可知， 即． 因， ， 所以 ， 又因是边长为的等边三角形，所以， 所以化简得， 令，因，即， 当且仅当时，等号成立，所以． 因此， 又因为，所以， 所以． 23．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推理及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，则，又， 于是，，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最小值. 故选：C    24．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）已知D、E分别为的边上的点，线段和线段相交于点P，若，且，，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由，得，由，得，从而可得，又三点共线，进而有，即，最后利用均值不等式即可求解. 【详解】解：由，得，由，得，由，得， 所以 ， 因为三点共线，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 25．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据题意可知，然后根据三点共线得出，再通过基本不等式求解即可. 【详解】如下图所示： 因为，为边的中点，所以； 又三点共线，所以； 则， 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为9. 故答案为：9 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，则下列结论不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若与的夹角为钝角，则且 【答案】D 【分析】运用向量的数量积坐标运算，共线、垂直向量的坐标表示，结合夹角、模长公式，逐个计算验证即可. 【详解】对于A：因为且，则，解得，A正确； 对于B：若，所以，解得，故B正确； 对于C：因为，则， 所以，解得或，故C正确； 对于D：若与的夹角为钝角，则且与为不共线向量， 即且， 取满足题意，但是且不成立，故D错误. 故选：D 2．（江西省新八校2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】首先求出、的坐标，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，所以，， 又，所以，解得. 故选：B 3．（山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题）已知是两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用共线向量定理可三点共线的充要条件. 【详解】因为是两个不共线的向量，故，均不为零向量， 若三点共线，则，为共线向量， 故存在实数，使得，故， 而是两个不共线的向量，故，故， 反之，若，则，故， 故，为共线向量，而，共起点，故三点共线， 综上，三点共线的充要条件是， 故选：A 4．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【详解】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ，，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 5．（24-25高一下·四川凉山·期中），则中哪三点共线（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断各个选项中的两个向量是否共线，即可得解. 【详解】对于A，设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故A不符题意； 对于B，因为， 所以， 又因为为公共点，所以三点共线，故B符合题意； 对于C，， 设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故C不符题意； 对于D，设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故D不符题意. 故选：B. 6．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）设，为非零向量，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】表示方向上的单位向量. 若，则与同向，所以，即； 若，当与同向时，；当与反向时，， 即. 故选：A. 7．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底法得，再根据向量共线定理知，最后根据三点共线系数和为1结论即可得到答案. 【详解】在平行四边形中，因为，分别为，中点， 则， 因为，则， 则，显然，， 则，而三点共线， 故，则，则， 即 则，则. 故选：C.    8．（24-25高一下·江苏·期中）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，，，AD与CE交于点O，，则实数t的值为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】设，利用向量的线性表示以及三点共线可得，即可表示出向量和向量，再由向量的数量积的运算律化简可得选项. 【详解】由已知得：， 设，所以， 又点三点共线，所以，解得， 所以， 又， 因，， 所以 ， 则，故. 故选：D 9．（24-25高一下·四川·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O，若，则的值是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用共线定理结合平行四边形法则和已知条件，设，用平面向量基本定理求出的值，进而求的值. 【详解】因为在上，所以与共线， 设，因为，所以， 又D是BC的中点，所以，所以， ， ， 所以， 所以，即，所以，故 所以， 故选：C 二、多选题 10．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（   ） A． B．与共线的单位向量是 C．若，则共线 D．若，则 【答案】ACD 【分析】A根据相反向量的定义判断；B利用向量的单位化可判断；C由共线定理可判断；D利用向量的减法运算可得即可判断. 【详解】由相反向量的定义可知A正确； 与共线的单位向量是，故B错误； 由向量共线定理可知，共线，又有公共点，则共线，则C正确； 由可得，所以，D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·广东清远·期中）已知平面向量，，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．，则 C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为 D．若，则在上的投影向量是 【答案】ABD 【分析】根据平行和垂直的坐标关系即可求解AB，根据数量积的坐标运算即可求解C,根据投影向量的计算公式即可求解D. 【详解】对于A, 若，则,故A正确， 对于B,若，则，故，B正确， 对于C, ，当时，， 而当时，此时共线且方向相同， 故与的夹角为锐角，则的取值范围为，C错误， 对于D, 时，则在上的投影向量是，故D正确， 故选：ABD 12．（24-25高一下·福建·期中）如图，在边长为1的等边三角形中，为中心，过点的直线交边于点，交边于点.，则（    ） A． B． C．若为内部一点（包括边界），则最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】结合向量的加法运算，利用正三角形中心性质求得判断A，根据三点共线的结论求得判断B，根据数量积的运算律及几何关系判断C，结合数量积的运算律及二次函数的性质求解最值判断D. 【详解】延长交于，因为为等边三角形的中心，所以为的中点， 则有，由，得， 又，所以， 因为，，三点共线，所以，所以，A正确，B错误. ， 因为为内部一点（包括边界）， 所以，即最大值为，C正确. .又， 因为，所以， 当或即或时，，所以，D正确. 故选：ACD 13．（浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题）在中，是中点，，且交于，则（   ） A．为的中点 B． C．若，且，则 D．若，则的最大值为． 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算、数量积运算及三点共线的性质逐一分析可判断；根据向量的数量积运算、向量夹角的余弦值公式结合基本不等式可判断. 【详解】对于：由题意得， 设，因为三点共线， 所以，且，解得. 所以，所以为的中点，故正确； 对于：由知为的中点， 所以，故错误； 对于：由知， ，故正确； 对于：设， 所以，， 因为， 所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以的最大值为，故正确. 故选：. 14．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（   ） A． B．点为的重心 C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A由得，对于B取的中点为，，利用重心的性质即可判断，对于C由，利用三点共线即可判断，对于D设中点为，计算，利用重心的性质得. 【详解】对于A：由有，故A错误； 对于B：取的中点为，由又，所以点共线，且为三等分点， 即为的重心，故B正确； 对于C：由，又三点共线，即，故C正确； 对于D：设中点为，则有，又，即， 所以，在中有，又为重心，所以，故D正确. 故选：BCD. 15．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，，，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点，则（   ）    A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【分析】根据平面向量的基本定理，用和表示出可判断选项A；根据三点共线的向量表示和平面向量的线性运算，得出，进而得出，再结合平面向量共线的基本定理，即可判断选项B；根据M为线段BC的中点，，可得出、、面积之间的关系，可判断选项C；根据题目条件得出，，再利用平面向量的基本定理得出，进而可求出最大值，可判断选项D. 【详解】因为在梯形ABCD中，，， 所以, 则. 对于选项A：因为M为线段BC的中点， 所以，即, 所以，故选项A正确； 对于选项B：因为、、三点共线， 所以存在唯一的，使得. 又因为、、三点共线， 所以存在唯一的，使得, 又因为, 所以，解得，故， 所以, 则向量与不共线，故选项B错误； 对于选项C：因为M为线段BC的中点， 所以. 由选项B可得：， 所以；；， 所以，故选项C正确； 对于选项D：因为P为线段CD上的一个动点, 所以设，. 又因为，， 所以，则最大值，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 16．（24-25高一下·河南·期中）已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据与的夹角为锐角，由，且与不共线求解. 【详解】因为平面向量，，且与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 所以，且， 解得，且， 所以实数x的取值范围为， 故答案为： 17．（24-25高一下·河南信阳·阶段练习）如图，在中，是线段上的一点，若，则实数 ． 【答案】/0.4 【分析】根据给定条件，利用向量基本定理及共线和向量定理的推论列式计算. 【详解】在中，由及，得， 由三点共线，得，所以. 故答案为： 18．（24-25高二下·湖南·期中）已知向量，且，则 ． 【答案】2 【分析】根据向量共线的坐标表示求解. 【详解】因为， 所以，解得． 故答案为：2 19．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知向量，，若存在、，使得，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】由题意可得，可得，计算可得，分类讨可求的值，可得结论. 【详解】因为，，， 所以， 整理得， 因为，所以， 所以，所以， 所以或 当时，可得，所以， 当时，可得，所以， 综上所述：实数的取值集合为. 故答案为：. 20．（24-25高一下·河南南阳·期中）如图在中，，，若满足，则当取最小值时，实数 ． 【答案】/0.125 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求得，作出图形，结合图形及两点间线段最短求出取最小值条件即可. 【详解】在中，内角所对的边分别为，则 由及正弦定理，得，则， 由余弦定理，得，而，则， 如图，过点B作射线BE，使，过D作于E，则， 因此，当且仅当点共线时取等号， 此时，，，， 所以. 故答案为： 21．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等腰中，底边，是腰上的两个动点，且，则当取得最小值时，的值为 ．    【答案】 【分析】根据条件，利用三点共线的条件，得到，再结合条件，利用基本不等式，可得，从而可得，利用数量积的几何意义，即可求解. 【详解】因为是腰上的两个动点，则，， 所以，又， 则，得到，所以， 当且仅当，即，所以， 则， 又是等腰三角形，且底边，取中点，连接，则，且， 所以，    故答案为：. 四、解答题 22．（24-25高一下·广东清远·期中）已知，是两个不共线的向量. (1)若，，向量与相互垂直，求实数的值； (2)若向量与共线，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直，即可根据数量积的运算律求解， （2）根据共线定理即可求解. 【详解】（1）由于与相互垂直，故， 即，解得， （2）由于与共线，则存在实数，则， 故，解得， 23．（山东省临沂市部分县区2024-2025学年高一下学期学科素养水平（期中）监测数学试卷）已知，是是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标； (3)已知点，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三点共线得，即可列等量关系求解； （2）根据平面向量的线性运算及线性运算的坐标运算求解即可； （3）设，由平面向量线性运算的坐标运算及向量相等列方程组求解即可． 【详解】（1）， ∵A，E，C三点共线，∴存在实数，使得， 即，即， ∵，是平面内两个不共线的非零向量， ∴，解得，． （2）． （3）∵A，B，C，D四点按逆时顺序构成平行四边形，∴， 设，则， ∵， 由，得，解得， ∴点A的坐标为． 24．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，，. (1)求证：为定值，并求这个值； (2)若，，且，，求，的值. 【答案】(1)证明见解析，定值为6； (2)，. 【分析】（1）结合图形，由平面向量的线性运算及共线向量定理的推论推理得证. （2）利用向量数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示列式求解. 【详解】（1）由，得， 由是线段的中点，得，显然， 由，，得，， 因此，而M，E，N三点共线，则，即 所以为定值，此定值为6. （2）由，，得， 由（1）知，，， 因此， 又，则，，由（1）知，解得，， 所以，. 25．（河北省邯郸市五校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷）如图，在四边形ABCD中，，点E是AB的中点． (1)若，求的值； (2)若，当A，F，C三点共线时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底，表示，再由向量数量积的运算率即可求解； （2）由三点共线的向量表示，列出等式即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，，又， 所以，所以， 所以， ， ； （2） ，当A，F，C三点共线时， 由（1）， 所以， ，， 因为当A，F，C三点共线， 所以 即， 因为不共线， 所以，解得： 26．（浙江省杭州市北斗联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）在中，，E为中点，与交于点. (1)设，求实数的值； (2)若，，，设是上一点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取向量为基底，利用向量线性运算，结合共线向量定理的推论列式求解. （2）结合（1）的结论，利用数量积的定义及运算律求解. 【详解】（1）在中，由，得，则， 而E为中点，则，又，因此， 又点共线，于是，所以. （2）由，得， 由（1）得，， 由，，，得， 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 拓展01 平面向量共线问题探究5考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，平面向量共线问题是向量知识体系的重要组成部分。向量作为代数与几何的桥梁，共线问题既涉及向量的基本运算，又与平面几何图形紧密相连。通过对平面向量共线问题的考查，能有效检验学生对向量概念、运算规则的理解，以及运用向量方法解决几何问题的能力。这类问题在高考中常以选择题、填空题的形式出现，有时也会融入解答题，是高考数学的重点考查内容之一，对培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养具有重要意义。 【处理角度】 1. 理解向量共线的本质：深入理解共线向量的定义，明确共线向量在方向和长度上的关系，这是解决平面向量共线问题的基础。同时，要掌握向量共线与平行的等价性，以及零向量与任意向量共线这一特殊情况。 2. 掌握向量的运算规则：熟练运用向量的线性运算（加法、减法、数乘）规则，能够准确地对向量进行化简和变形。在涉及坐标运算时，要熟悉向量坐标运算的公式，能通过坐标运算来判断向量是否共线。 3. 运用向量共线定理及推论：向量共线定理及其推论是解决共线问题的重要工具。要学会根据已知条件，合理地运用这些定理和推论，建立等式或方程，从而求解相关参数或证明向量共线。 4. 结合几何图形分析：很多平面向量共线问题都与几何图形相关，如三角形、平行四边形等。要善于观察图形的特征，利用几何图形中的平行、相似等关系，找到向量之间的联系，将几何问题转化为向量问题求解。 【解法策略】 1. 共线向量的线性运算题型：在解决这类问题时，首先观察题目中所给向量之间的关系，确定已知向量和未知向量。利用向量的加法、减法和数乘运算规则，将未知向量用已知向量表示出来。若涉及到三角形、平行四边形等几何图形，借助图形的性质，如三角形的中线、重心性质，平行四边形的对边平行且相等，来进行向量的转化。最后，根据向量共线的条件（若存在实数λ，使得一个向量等于另一个向量的λ倍，则两向量共线），结合已知条件列出等式，求解相关量。 2. 共线向量的坐标运算题型：对于判断两个向量是否能作为基底的问题，依据平面向量基本定理，若两个向量不共线，则可以作为基底。通过计算两个向量坐标对应分量的比值是否相等来判断它们是否共线。在已知向量坐标求向量或证明向量共线的题目中，利用向量加法、减法、数乘的坐标运算规则，对向量进行运算得到目标向量的坐标。再根据向量共线的坐标表示（若两个向量的坐标分别为、，当时，两向量共线）来证明向量共线。已知向量共线求点的坐标时，设出点的坐标，根据向量的坐标运算表示出相关向量的坐标，再利用向量共线的坐标关系列出方程，求解点的坐标。 3. 已知向量共线(平行)求参数题型：当已知两个向量的坐标且它们共线时，根据向量共线的坐标表示，列出关于参数的方程。在求解过程中，注意方程的求解方法，确保答案的准确性。对于涉及三点共线求参数的问题，先根据向量的减法运算求出与这三点相关的两个向量的坐标，再利用向量共线的条件列出方程求解。若题目中向量的表示不是坐标形式，而是用其他向量线性表示，先根据向量的运算法则将向量化简，再利用向量共线定理列出等式，通过等式两边向量对应系数相等来求解参数。 4. 利用共线向量求面积的比值题型：首先根据已知条件，通过向量的线性运算和向量共线定理，确定两个三角形的边或高之间的关系。若两个三角形有相同的底，那么它们面积的比值等于高的比值；若两个三角形有相同的高，面积的比值等于底的比值。在确定边或高的关系时，常常需要利用向量共线所得到的线段比例关系。最后，根据三角形面积公式，结合前面得到的边或高的比例关系，求出两个三角形面积的比值。 5. 利用三点共线的结论及基本不等式求最值题型：遇到这类问题，先根据题目中的条件，利用向量的线性运算，将所给向量用已知向量表示出来。再依据三点共线的结论（若存在实数x、y，使得一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合，且，则这三个向量对应的点共线），得到相关系数的关系。然后，将所求式子进行变形，使其符合基本不等式的形式。在使用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，确保求出的最值是有效的。 考点1 共线向量的线性运算 1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，，且，则实数 . 3．（2026高三·全国·专题练习）在中，点M是的中点，点N为上一点，与交于点D，且，则 ． 考点2 共线向量的坐标运算 4．（24-25高一下·江苏常州·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25高一下·河南·期中）已知向量，，. (1)求向量； (2)证明：向量与共线； (3)已知实数、满足，求、的值. 6．（24-25高一下·四川·期中）已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为 ． 7．（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 考点3 已知向量共线(平行)求参数 8．（24-25高一下·四川·期中）已知向量，，若，则x =（    ） A． B． C． D． 9．（河南省五市2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题）已知向量，，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 10．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，若三点共线，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D．或3 12．（24-25高一下·广西防城港·期中）已知与为非零向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．（24-25高一下·黑龙江·阶段练习）设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A．3 B． C．9 D． 考点4 利用共线向量求面积的比值 14．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·开学考试）如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高一下·重庆渝中·期中）已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（    ） A． B． C． D． 16．（2023·陕西安康·一模）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 考点5 利用三点共线的结论及基本不等式求最值 18．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 19．（2019·黑龙江哈尔滨·一模）在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为 . 20．（24-25高一下·山西太原·期中）已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（    ） A．9 B． C．7 D． 21．（24-25高一下·江苏苏州·期中）如图，在中，是线段上一点，且满足，点满足，过的一条直线分别交线段、于点、．设，，其中、．记，. (1)试用、表示； (2)求的最小值； (3)若直线交的延长线于点，并有，求的值． 22．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． (1)用和表示； (2)设，实数，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 23．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 24．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）已知D、E分别为的边上的点，线段和线段相交于点P，若，且，，其中，则的最小值为 ． 25．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为 . 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，则下列结论不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若与的夹角为钝角，则且 2．（江西省新八校2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D．2 3．（山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题）已知是两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（24-25高一下·四川凉山·期中），则中哪三点共线（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 6．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）设，为非零向量，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏·期中）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，，，AD与CE交于点O，，则实数t的值为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 9．（24-25高一下·四川·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O，若，则的值是（ ） A． B．2 C． D． 二、多选题 10．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（   ） A． B．与共线的单位向量是 C．若，则共线 D．若，则 11．（24-25高一下·广东清远·期中）已知平面向量，，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．，则 C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为 D．若，则在上的投影向量是 12．（24-25高一下·福建·期中）如图，在边长为1的等边三角形中，为中心，过点的直线交边于点，交边于点.，则（    ） A． B． C．若为内部一点（包括边界），则最大值为 D．的最大值为 13．（浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题）在中，是中点，，且交于，则（   ） A．为的中点 B． C．若，且，则 D．若，则的最大值为． 14．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（   ） A． B．点为的重心 C． D． 15．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，，，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点，则（   ）    A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 三、填空题 16．（24-25高一下·河南·期中）已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为 . 17．（24-25高一下·河南信阳·阶段练习）如图，在中，是线段上的一点，若，则实数 ． 18．（24-25高二下·湖南·期中）已知向量，且，则 ． 19．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知向量，，若存在、，使得，则实数的取值集合为 . 20．（24-25高一下·河南南阳·期中）如图在中，，，若满足，则当取最小值时，实数 ． 21．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等腰中，底边，是腰上的两个动点，且，则当取得最小值时，的值为 ．    四、解答题 22．（24-25高一下·广东清远·期中）已知，是两个不共线的向量. (1)若，，向量与相互垂直，求实数的值； (2)若向量与共线，求实数的值. 23．（山东省临沂市部分县区2024-2025学年高一下学期学科素养水平（期中）监测数学试卷）已知，是是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标； (3)已知点，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 24．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，，. (1)求证：为定值，并求这个值； (2)若，，且，，求，的值. 25．（河北省邯郸市五校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷）如图，在四边形ABCD中，，点E是AB的中点． (1)若，求的值； (2)若，当A，F，C三点共线时，求的值． 26．（浙江省杭州市北斗联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）在中，，E为中点，与交于点. (1)设，求实数的值； (2)若，，，设是上一点，且，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$