2024-2025学年苏科版数学八年级下册期末复习——反比例函数与几何综合

期末复习——反比例函数与几何综合五种模型全攻略 【考点一 最值问题】 ( 典型例题 ) 例题1：对于反比例函数，若当时有最大值，则当时，有（　　） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 ( 巩固练习 ) 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 4．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰，其中，则线段长的最小值是    5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．若在轴上取点，则当取得最大值时，点的坐标为 ． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)在轴上找一点，使最大，求的最大值及点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，已知点，，且，是关于的方程的两个根，点是的中点，连接． (1)求点的坐标； (2)若反比例函数的图象经过点，点为轴上一点，点为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，在线段上取点，使得，是线段上的一动点，是双曲线与线段的交点，且满足，当取得最小值时，求的值． 【考点二 动点问题】 ( 典型例题 ) 例题2：如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．   (1)求反比例函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． (3)在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． ( 巩固练习 ) 1．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（    ）      A． B． C． D． 2．如图，A、B是函数上两点，P为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是（　　） ①；②；③若，则平分；④若，则    A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 3．如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ． 4．在平面直角坐标系中，长方形的位置如图所示，，，为线段上的一个动点，若是以为腰的等腰三角形，且点在曲线上，则的值为 ．    5．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)为轴上的一动点，连接，若的面积为面积的，求的值． 【考点三 平移问题】 ( 典型例题 ) 例题3．如图，一次函数（、b均为常数）的图象与反比例函数（的常数）的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)将一次函数（、b均为常数）的图象沿y轴向下平移n个单位（），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求n的值． ( 巩固练习 ) 1．如图，在平面直角坐标系中，的一条边在y轴上，，，将向右平移，某一时刻，反比例函数的图象恰好经过点A和的中点C，则k的值为（        ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，已知，．以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，点在函数的图像上，将该函数图像向上平移3个单位长度得到一条新的曲线，点的对应点分别为．若图中阴影部分的面积为9，则的值为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在第二象限作正方形，点D在双曲线上，将正方形沿轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好落在此双曲线上，则a的值是 ．    5．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数表达式； (2)将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，连接，． ①如图，当点恰好落在反比例函数图像上时，过点作轴于点，交反比例函数图像于点，求的值； ②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点四 折叠问题】 ( 典型例题 ) 例题4．如图，矩形的顶点，点，在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，则线段的长为 ． = ( 巩固练习 ) 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象分别交于A，B两点，以为斜边向外作等腰直角三角形，然后将沿直线折叠，点C的对应点刚好落在x轴上，若点的坐标为，点B的纵坐标为2，则该反比例函数表达式中k的值为（    ）    A． B． C．3 D． 2．如图，把面积为1的正方形纸片放在平面直角坐标系中，点、在轴上，、和、关于轴对称将点折叠到轴上的处，折痕为，现有一反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式为 ． 3．如图，反比例函数（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△A'BC，A'C交反比例函数于点P，连接BP，求直线A’C的解析式和△BCP的面积； (3)在坐标平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标． 【考点五 旋转问题】 ( 典型例题 ) 例题5：如图,在平面直角坐标系上的顶点和分别在轴、轴的正半轴上,且轴,点,将以点为旋转中心顺时针方向旋转得到,恰好有一反比例函数 图象恰好过点，则的值为（     ）    A． B． C． D． ( 巩固练习 ) 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别是，将绕点O逆时针方向旋转，得到，函数（）的图象过的中点C，则k的值为（    ）    A．4 B． C．8 D． 2．如图，把双曲线绕着原点逆时针旋转与轴交于点， （1）若点B（0，2），则 ； （2）若点A（3，5）在旋转后的曲线上，则 ． 3．如图，直线y＝2x﹣1交y轴于A，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于B，将线段AB绕B点逆时针方向旋转90°，A点的对应点为C，若C点落在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为 ．    4．已知一次函数（）和反比例函数的图象如图所示． (1)一次函数必定经过点 ________．（写点的坐标） (2)当时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及的面积． (3)直线绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围． 参考答案 【考点一 最值问题】 ( 典型例题 ) 例题1：C 【分析】根据自变量的取值范围、函数的最大值，可得图象位于第二象限，根据第二象限内反比例函数随的增大而增大，可得最大值时的自变量，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据自变量的取值范围，可得函数值的取值范围． 【详解】 解：由当时有最大值，得 时，． ， 反比例函数解析式为， 当时，图象位于第四象限，随的增大而增大， 当时，最小值， 故选：C． 【点拨】本题考查了反比例函数的性质，利用当时有最大值得出函数图象位于第二象限是解题关键． ( 巩固练习 ) 1．B 【分析】根据轴对称图形的性质确定点P位置，再求出CP的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点， ∴A（0，2），B（2，0）， ∴OA=OB=2， ∵为线段的中点， ∴C（1，1）, ∴一次函数与反比例函数的图象是关于直线y=x对称， ∵点C在直线y=x上， ∴当点P在直线y=x上时，线段CP最小， ∴点在反比例函数的图象上， ∴P（2，2）， ∴， ∴的最小值为 故选：B 【点拨】本题是反比例函数与一次函数的图像与性质及线段最短问题，数形结合是解题的关键． 2．B 【分析】根据，，得出，根据，得出，根据平行线的性质，得出，得出等于点P到直线距离的倍，得出，得出的最小值即为的最小值，即当F、P、N三点共线时，最小，求出最值即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∵轴交直线于点M， ∴， ∴等于点P到直线距离的倍， ∵点P到点的距离等于点P到直线距离的倍， ∴， ∴的最小值即为的最小值， 当F、P、N三点共线时，最小， ∴其最小值为，故B正确． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系中两点之间的距离，解题的关键是求出，得出的最小值即为的最小值，是解题的关键． 3．B 【分析】 由正方形的边长是3，得到点的横坐标和点的纵坐标为3，求得，，，根据三角形的面积列方程得到，，作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】 正方形的边长是3， 点的横坐标和点的纵坐标为3， ，，， ，， 的面积为， ， 或（舍去）， ，， 作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值， ， ，， ， 即的最小值为， 故选：B． 【点拨】 本题考查了反比例函数的系数的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 4．2 【分析】设，利用勾股定理得到，进而得到；根据推出，由此即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段长的最小值是， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，完全平方公式的应用，正确利用勾股定理求出是解题的关键． 5． 【分析】由△AOC的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入反比例函数解析式可求b的值.作点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′与x轴交点就是所求的点P，求出直线与x轴的交点坐标即可. 【详解】解：∵点A(a，4)， ∴AC=4， ∵S△AOC=4，即OC•AC＝4， ∴OC=2， ∵点A(a，4)在第二象限， ∴a=-2，A(-2，4)， 将A(-2，4)代入y=得：k=-8， ∴反比例函数的关系式为：y=， 把B(8，b)代入得：b=-1， ∴B(8，-1) 因此a=-2，b=-1； 如图，作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P， 此时PA-PB最大(PA-PB=PA-PB′≤AB′，共线时差最大). ∵B(8，-1) ∴B′(8，1) 设直线AP的关系式为y=kx+b，将 A(-2，4)，B′(8，1)代入得： ， 解得：k=，b=， ∴直线AP的关系式为， 当y=0时，即=0， 解得x=， ∴P(，0). 故答案为：(，0). 【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数的关系式等知识，理解作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，此时PA-PB最大是解决此题的关键. 6．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)的最大值为， 【分析】 本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、动点最值问题-三边关系模型、一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）本题考查待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）在轴上找一点，由三角形三边关系可知，故当三点共线时，的值最大，为，求出一次函数的解析式为与轴的交点即是，再求出，过点作轴于，如图所示，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，解得， ∴反比例函数的解析式为； 把点代入，解得， ∴， 把，代入得，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：在轴上找一点，由三角形三边关系可知，故当三点共线时，的值最大，为， 一次函数的解析式为，令，则， ∴一次函数与轴的交点为，即为所求， 令，则， ∴， 过点作轴于，如图所示： 在中，由勾股定理可得， ∴的最大值为． 7．(1)； (2)存在，，，理由见详解； (3)当取得最小值时，的值为． 【分析】（）本题考查解一元二次方程及矩形的性质，解一元二次方程即可得到答案； （）本题考查反比例函数上点围城特殊图形问题，根据中点得到，当以为边时，求出点坐标，结合平行四边形对边想等结合点坐标即可得到答案，当为对角线时，根据直接求解即可得到答案； （）分别表示出所有点，利用两点间距离求得，再理由勾股定理构造图象根据两点之间线段最短求出最小值时得情形即可得解． 【详解】（1）解：解得， ，， ∴，， ∴； （2）解：存在，，，理由如下： 由（）得，将代入得， ，解得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上， 当以为边时，如图， 当时，， ∴， ， ∴， 当点P在第三象限时如图，过作， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∴， 当为对角线时如图， ， ， ∴， 综上所述：，，； （3）解：当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长至，使，    ∴， 此时， ∴，， ∴， 如下图，作线段，分别过点、作，，并取连接交于点，则    由勾股定理得 ∴， 当与重合时，即、、三点重合时，取最小值，即取最小值 ∵， ∴ ∴ ∴ 解得：， ∴当取得最小值时，的值为． 【点拨】本题考查解一元二次方程，反比例函数动点围成平行四边形问题及最短距离和问题，解题的关键是求出解析式，表示出动点，分类讨论． 【考点二 动点问题】 ( 典型例题 ) 例题2：(1) (2)点坐标为或 (3)存在，的横坐标为 【分析】 （1）本题将点代入求得的值，得到直线的解析式，将代入直线的解析式，算出的值，得到的坐标，将的坐标代入反比例函数中求解，即可解题． （2）本题根据点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点作轴交直线于点，分以下两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据以上两种情况，结合“若的面积是面积的2倍”分析得到点纵坐标，将点纵坐标代入反比例函数解析式求解，即可解题． （3）本课过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，利用等腰直角三角形性质证明，根据全等三角形性质得到点坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式求解，即可解题． 【详解】（1） 解：过点， ， ， ， 点在上， ，即， ， ； （2） 解：①当点在下方时， ， ， 作轴，轴，    ， ， ， ， 把代入中， ； ②当点在上方时，    ， ， 为中点， ，， ， 把代入中， ； 综上所述：点坐标为或． （3） 解：过点作垂直交延长线于点过点作轴，，， ，，    三角形为等腰直角三角形， 在和中， ， 所以，， ， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， ， 整理得，解得，（不合题意，舍去）， ， 的横坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的几何综合、用待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． ( 巩固练习 ) 1．A 【分析】由直线求出，的长，设出，，由得出，的长，进而得出结论． 【详解】解：对于，当时，；当时，， ， ， 设， 轴，轴， ∴四边形是矩形， ， ， 解得： 经检验，是原方程的根， ∵点在反比例函数的图象上， ，即， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数综合及矩形的判定及性质，用到的知识点是待定系数法求函数的解析式等，难度适中，正确求得C的坐标是关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 2．B 【分析】由点P是动点，可判断出①错误，设出点P的坐标，求出的长，再利用三角形面积公式计算即可判断出②；利用角平分线定理的逆定理可判断③；先求出，进而得出，最后用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵点P是动点， ∴与不一定相等， ∴与不一定全等，故①不正确； 设， ∵轴， ∴， ∴ ∴ 同理： ∴；故②正确； 如图，过点P作于F，于E，    ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴是的平分线，故③正确； 如图，延长交x轴于N，延长交y轴于M，    ∴轴，轴， ∴四边形是矩形， ∵点A，B在双曲线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴故④错误； 故选：B． 【点睛】本题属于反比例函数与几何综合题，主要考查了反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线并灵活应用所学知识是解答本题的关键． 3． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数的综合应用，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，作轴于，轴于，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“”可判定，设点坐标为），得出，，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定函数解析式． 【详解】解：如图，连接，作轴于，轴于， ∵点、点是正比例函数图象与双曲线的交点， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 设点坐标为，则，， ∴点坐标为， ∵， ∴点在反比例函数（）图象上． 故答案为：（）． 4．3或12/12或3 【分析】当时，由勾股定理求出即可；当时，同理求出、，即可得出P的坐标，然后把P的坐标代入线，即可求得k的值． 【详解】解：∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，． 当时， 由勾股定理得：， ∴P的坐标是， ∵点P在双曲线上， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴P的坐标是． ∵点P在双曲线上， ∴， 故答案为∶12或3． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，等腰三角形的定义，矩形的性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式，分类讨论是解答本题的关键． 5．(1)，； (2)或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 把代入，得， ， 把代入，得， ，； （2）解：当时，， ， 为轴上的动点， ， ，， ，，的面积为面积的， ， 或． 【考点三 平移问题】 ( 典型例题 ) 例题3．(1)， (2)或 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：图象的平移，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）平移后的函数表达式为：，将上式和反比例函数表达式联立并整理得： ，由 ，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： 则点的坐标为： 由点的坐标得， ，解得， 直线的表达式为：； （2）平移后的函数表达式为： 将上式和反比例函数表达式联立并整理得： 则 解得：或． ( 巩固练习 ) 1．C 【分析】 先求得，，则的中点C的坐标为，得到平移后的相关点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k即可． 【详解】解：由题意得，，则的中点C的坐标为， 设向右平移的距离为a， 则平移后点A的坐标为，点C的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好经过和， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例图象上点的特征，坐标与图形的变化-平移，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 2．C 【分析】根据三角形全等得出C点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定D点的坐标和点的坐标，即可确定出a的值． 【详解】解：如图，过点C作轴，交x轴于点E，过A作轴，过点D作于点F， ，， ，， 四边形为正方形， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 把C坐标代入反比例函数解析式得：， 反比例函数解析式为， 同理可证 ， ， 把代入反比例函数解析式，解得：，即， 则将正方形沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处， ， 故选：C． 【点拨】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握各个性质是解本题的关键． 3．30 【分析】此题主要考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，得出点坐标是解题关键．利用平行四边形的面积公式得出a的值，进而利用反比例函数图象上点的性质得出的值． 【详解】∵将该函数图像向上平移3个单位长度得到一条新的曲线，点的对应点分别为，图中阴影部分的面积为9， ， ∴， ， 故答案为：． 4．2 【分析】作轴于点E，交双曲线于点G．作轴于点F，易证，求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得C、D的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得平移后的点的坐标，则a的值即可求解． 【详解】解：作轴于点E，交双曲线于点G，作轴于点F．    在中，令， 解得， ∴B的坐标是． 令，解得， ∴A的坐标是． ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵直角中，， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可证， ∴，， ∴D的坐标是，C的坐标是．    ∵点D在双曲线上， ∴， ∴反函数的解析式是：． 把代入得：． ∴． 【点拨】本题考查正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得C、D的坐标是关键． 5．(1) (2)①；②存在，点的坐标为或或 【分析】（1）根据点在直线上，可确定，再将点的坐标代入反比例函数中求出的值即可； （2）①先确定，再根据平移的性质及函数图像上点的坐标特征可得出，继而得到，，即可得出结论；②设，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴ ， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）①∵直线与轴交于点， 当时，得， ∴， ∵将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，且点恰好落在反比例函数的图像上， 轴， 当时，得：， ∴， ∴， ∴， 当时，得：， ∴，， ∴， ∴； ②在坐标平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 理由： 设， 由①知：，，， 可分以下三种情况： 当且，以为对角线时， 即将线段向右平移个单位再向上平移个单位得到线段，此时可得平行四边形， 此时点的坐标为； 当且，以为对角线时， 即将线段向右平移个单位得到线段，此时可得平行四边形， 此时点的坐标为； 当且，以为对角线时， 即将线段向左平移个单位得到线段，此时可得平行四边形， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点拨】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了平移的性质、点坐标平移的规律，函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定反比例函数的解析式，平行四边形的判定等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 【考点四 折叠问题】 ( 典型例题 ) 例题4： 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，根据翻折的性质结合勾股定理求出的长，进而求出的长，设点的坐标是，勾股定理求出的值，进而求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，进一步计算即可． 【详解】解：沿折叠，点刚好与边上点重合， ，， ，， ， ， 设点的坐标是， 则，， ， ， 解得， 点的坐标是， 设反比例函数， ， 反比例函数解析式为， 点纵坐标为8， ， 解得，即， ， 故答案为：． ( 巩固练习 ) 1．B 【分析】利用全等求出点的横坐标，利用、两点都在反比例函数上，可知点，，利用建立关于的一次方程即可求出． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为，    ， ， ， ，，， ， ，， 点、点在反比例函数图象上，点的坐标为，点的纵坐标为2． ，，， ， ， 解得． 故选：． 【点拨】本题考查反比例函数背景下的折叠问题，运用全等和函数关系式建立关于的方程是本题的关键． 2． 【分析】先设再根据的几何意义求出值即可． 【详解】解：依题意知，， 的纵坐标为，， △为等边三角形， 所以 ， 设该反比例函数的解析式为， 则 ． 故答案为：． 【点拨】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数系数的几何意义．反比例函数系数的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值，同时也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力． 3．(1)y= (2)y=x－8，△BCP面积为3－3 (3)D（3，6）或（3，2）或（9，﹣2） 【分析】（1）将点代入表达式求得即可求得解析式． （2）由翻折图形的性质可得，设表达式为，代入C（6，0）和 即可求得答案． （3）分类讨论，①当，且，②当，且， ③当，且利用数形结合即可求得D点的坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得，①当，且， 解得， ∴． （2）由翻折可得点和点关于直线对称， ∴ 设表达式为，代入C（6，0）和得， 解得， 表达式为， 联立方程组，解得， ∴， 过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B， 点的横坐标与点的横坐标相等， 得当时，， ， ． （3）①如图，，且得， A（3，4）， ，， 点， ②如图，，且， A（3，4）， ，， 点， ③如图，，且， ，C（6，0），， ，即，得， ，即，得， 点， 符合条件的所有D点的坐标为（3，6）或（3，2）或（9，﹣2）． 【点拨】本题考查了反比例函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、平行四边形的性质及翻折图形的性质，利用数形结合及分类讨论的思想是解题的关键． 【考点五 旋转问题】 ( 典型例题 ) 例题5：C【分析】首先根据旋转的性质得出DB=AB=3，进而得出点D的坐标，然后将其代入反比例函数，即可得解. 【详解】∵轴,点以及旋转的性质 ∴DB=AB=3 ∴D（-2,3） 将其代入反比例函数得 故答案为C. 【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中利用三角形的旋转性质求坐标与反比例函数的综合应用，熟练掌握，即可解题. ( 巩固练习 ) 1．B 【分析】根据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状，所得图形与原图形全等求得的坐标，的坐标是，进而求得中点C的坐标，然后根据待定系数法求得k的值． 【详解】解：点A、B的坐标分别是， ， ， ， 的坐标为，的坐标是 的中点， 函数（）的图象过的中点C， ， 故选：B． 【点拨】本题考查了坐标与图形的变化----旋转，反比例函数图形上点的坐标特征，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 2． 2 8 【分析】（1）根据旋转的性质，求出点的对应点坐标，求出值即可； （2）根据旋转的性质，求出点的对应点坐标，求出值即可； 【详解】解：（1）设点绕着原点逆时针旋转后的对应点为点（0，2）， 则：，， 过点作轴，交轴于点， 则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）设点绕着原点逆时针旋转后的对应点为点A（3，5）， 则：，， 过点作， 则：， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：或（不合题意，舍掉）， 把代入，得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 【点拨】本题考查反比例函数，以及旋转的性质．熟练掌握旋转的性质，确定点的坐标，是解题的关键． 3．6 【分析】过点B作BE∥x轴交y轴于点E，过点C作CD⊥BD于点D，通过证明三角形全等得出BE＝CD＝x，AE＝BD＝+1，再根据反比例函数和一次函数上点的坐标特征列出关于k的方程，解出方程即可． 【详解】过点B作BE∥x轴交y轴于点E，过点C作CD⊥BD于点D，如图： 由旋转得，AB=BC， ∵∠CBD+∠ABE=90°,∠ABE+∠BAE=90°， ∴∠CBD=∠BAE， 在△ABE和△BCD中， ∴△ABE≌△BCD， ∴BE＝CD，AE＝BD， ∵直线y＝2x﹣1交y轴于A， ∴A（0，﹣1）， 设点B（x，），则BE＝CD＝x，AE＝BD＝+1， ∴C（x++1，﹣x）， ∵C点落在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上， ∴k＝（x++1）（﹣x）①， ∵点B在直线y＝2x﹣1上， ∴＝2x﹣1②， ∴联立①②解得：k＝6， 故答案为：6． 【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是作出辅助线构造三角形全等，属于中档题． 4．(1) (2)A，B两点的坐标分别为，，的面积为6 (3) 【分析】（1）由题意知，令，求，的值，进而可得结果； （2）由，可得，联立，求解可得，，由题意知，如图，过作轴，过作于，过作于，则，，，，，根据，计算求解即可； （3）由题意知，，令，整理得，令，求解即可得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知， 令，即，则， ∴一次函数必定经过点， 故答案为：； （2）解：∵，则， 联立，解得，， ∴，， ∴， 如图，过作轴，过作于，过作于， 则，，，，， ∴ ∴A，B两点的坐标分别为，，的面积为6． （3）解：由题意知，， 令，整理得， 令， 解得， ∴直线与反比例图象无交点时m的取值范围为． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． ( 第 60 页 共 79 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$