反比例函数与一次函数的综合应用 解答题必考点综合培优辅导练习2024-2025学年苏科版数学八年级下册

苏科版八年级下学期《反比例函数与一次函数的综合应用》解答题必考点综合培优辅导练习 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． (1)求对应的函数解析式； (2)根据函数图象写出关于x的不等式的解集． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 3．如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于点A，且点A的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点B的坐标是，若点P在y轴上，，求点P的坐标． 4．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，点的坐标为，过点作轴，垂足为，． (1)求点坐标和反比例函数关系式； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积。 5．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于，B两点， 过点 B 作 轴于点 D， ，过点 A 作轴于点C． (1)求b的值及点B 的坐标； (2)观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围； (3)点 P 在线段 上，连接，，若 ，求点 P 的坐标． 6．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、．    (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)方程的解为 ； (3)直接写出当时自变量x的范围． 8．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点． (1)填空：______，______； (2)求一次函数的解析式和的面积； (3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______． 9．如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)过线段AB上的动点，作轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 10．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 11．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 12．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 13．如图，直线的图象与双曲线的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积． (4)在x轴上是找一点P，使值最大，请直接写出点P的坐标． 14．如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． 备用图 (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做"美丽四边形"．在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 16．已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 17．函数与的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线分别与两个函数图象交于点Q，R，连接． (1)用t表示的长度，并判断随着t的值逐渐增大，长度的变化情况． (2)当t从小到大变化时，的面积是否发生变化？请说明理由． (3)当时，的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为多少时，的周长最小？最小周长是多少？如果不发生变化，请说明理由． 18．如图，反比例函数过点，直线与x轴交于点，交y轴于点E，过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B． (1)求k的值与B点的坐标； (2)将直线向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线上，并说明理由； (3)在（2）的条件下，在平面内有点M，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形，请求出符合条件的所有M点的坐标． 19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)若C为反比例函数图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足，求点C的坐标． (3)若点P在反比例函数图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 20．如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．    (1)求反比例函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． (3)在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． 21．已知反比例函数图象经过点，直线，经过点，经过点且垂直于轴的直线与直线相交于．    (1)求的值； (2)若的面积等于15，求直线l的解析式； (3)点G在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，问是否存在点G和点Q，使以G．Q及（2）中的C．B四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 22．综合与实践：如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和_______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：；或_______，_______． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并回答：_______围出矩形地块（填“能”或“不能”）理由是：_______． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及a的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出a的取值范围_______． 23．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数（，常数）图象上一点作轴的平行线交直线：于点，且．    (1)求的值，并写出函数（）的解析式； (2)过函数（）图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？并说明理由； (3)如图2，若是函数（）图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 24．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点、点，与正比例函数的图像交于点、点，设点、的横坐标分别为，()．    (1)如图1，若点坐标为． ①求，的值； ②若点的横坐标为，连接，求的面积． (2)如图2，依次连接，，，，若四边形为矩形，求的值． 25．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点． 探究一： P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、， （1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）： 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； （2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； 探究二： 如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值． 参考答案 1．(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答的关键结合图形分析清楚问题与条件之间的关系． （1）把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值；把，两点的坐标代入到一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式； （2）利用、点坐标结合图象进行求解即可． 【详解】（1）解：直线与双曲线相交于，两点， ， ，， 双曲线的表达式为：，， 把和代入得：， 解得：， 直线的表达式为：； （2）解：，， 关于的不等式的解集为或． 2．(1) (2)4 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比函数的综合： （1）把，代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入求出k，即可求解； （2）先求出点B的坐标为，再设点C的坐标为．点D的坐标为，根据求解，即可． 【详解】（1）解：直线经过点， 把，代入，解得． 所以点A的坐标为． 把，代入，得∶ ，解得， ∴双曲线的表达式为； （2）解：点B在第一象限且到y轴距离为12， 点B的横坐标为12． 又点B在双曲线上， 点B的坐标为． 直线与直线交于点C，与双曲线交于点D， 可设点C的坐标为．点D的坐标为， ∵， ∴ 解得：（负舍）． ∵， 的值为4． 3．(1) (2)或 【分析】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法． （1）首先确定点A的坐标，再利用待定系数法求出k即可； （2）设，构建方程求解． 【详解】（1）解∵一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点A，点A的横坐标为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴P点的坐标为或． 4．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理，待定系数法求反比例解析式及一次函数解析式，利用割补法求三角形面积．（1）由，设，则，在中，根据勾股定理列出关于的方程，可得到的值，进而得到的坐标，把的坐标代入即可确定出解析式；（2）把的横坐标代入（1）中求出的反比例解析式，确定的坐标，把和的坐标代入即可确定解析式；（3）令解析式中求出的值，进而得到的长，而把分为两个三角形，底边都为，高为和到轴的距离，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：（1）由，设，则，又， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得或（舍去）， 所以，， 则的坐标为， 把的坐标代入反比例解析式得：， 则反比例函数的解析式为； （2）（2）把的横坐标代入反比例解析式得：， 所以的坐标为，又， 将和的坐标代入解析式得：， 解得：， 则一次函数解析式为：； （3）令，解得，即， 则 ． 5．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据已知条件把代入一次函数和反比例函数中，即可得出b和m 的值，再根据题意得出B点的横坐标代入反比例函数中即可得解； （2）根据反比例函数的值小于一次函数的值，得出反比例函数的图象应在一次函数的图象下方，观察图象即可得x的取值范围； （3）根据题意和（1）得出的长，设 ，求出和，再根据，得出关于t的方程，解出t的值，代入即可得出答案． 【详解】（1）解：一次函数 与反比例函数 的图象交于， 把代入一次函数和反比例函数中，得，， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， 过点 B 作 轴于点 D， ， 点B的横坐标，代入中，得：， ； （2）解：反比例函数的值小于一次函数的值， 反比例函数的图象应在一次函数的图象下方， 观察图象可得x的取值范围为； （3）解：轴于点C，轴于点 D，，， ，， ， P是线段上的一点， 设， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 7．(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先根据可求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法即可得一次函数的解析式； （2）根据（1）中的交点的横坐标即可得答案． （3）由函数与不等式的关系，根据一次函数图象在反比例图象下方，在轴的上方可得答案． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：， 则反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ， 将点，代入得：， 解得， 则一次函数的解析式为． （2）解：由（1）得方程的解为：或． （3）解：由图象可知：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ∵当时，， 解得：， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为； ∴时，． 8．(1) (2)4 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，明确函数图象上的点满足函数关系式是本题关键． （1）将点坐标，点坐标代入解析式可求的值； （2）用待定系数法可求一次函数解析式，根据可求的面积． （ 3 ）由图象直接可得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ， ， 故答案为：． （2）解：一次函数解析式，且过， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵一次函数图象与轴交点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，即， ∴一次函数图象在反比例函数图象下方， 或， 故答案为：或． 9．(1) (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入得到，求得，得到反比例函数的表达式为； （2）求出点的坐标，根据函数的图形即可得到结论； （3）设，得到，根据题意列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ， ， ， ∴反比例函数的表达式为， （2）解：联立， 解得：或， ， 观察图象得，时，的取值范围为或， 即时，的取值范围为或； （3）解：设， ∵轴， ∴， ， ， 解得：， ． 10．(1)，； (2)16； (3)点的坐标为或,或,． 【分析】（1）由题意直接运用用待定系数法即可求解； （2）证明△△，则，而，点坐标为，利用，即可求解； （3）根据题意分两种情况：为边和对角线时，根据两点的距离公式和中点坐标公式列方程可解答． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与坐标轴相交于点， ，解得， 一次函数为：， 一次函数的图象经过点． ， 点坐标为， 反比例函数经过点， ， 反比例函数为：； （2）作于，于， ， △△， ， ，点坐标为， ，， ， ， 点的纵坐标为2， 把代入求得， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ； （3）由（1）知，， ， ， 设，， 分三种情况： ①当为边时，对角线，且与互相平分， 有， 解得， 点的坐标为,； ②当为对角线时，对角线，且，互相平分， 有， 解得或， 点的坐标为,或； ③当为边时，对角线，且，互相平分， 有， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或,或,． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与一次函数图象的交点，矩形的性质，两点的距离公式等知识，利用数形结合的思想和方程的思想是解答本题的关键． 11．(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为：； (2)； (3)①；②存在， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）①设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可； ②按照①的解法求解即可． 【详解】（1）解：把代入线与反比例函数， 得， ∴， ∴一次函数表达式为，反比例函数表达式为； （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 联立， 解得：， 经检验解成立， ∴， ∴； （3）解：①设，连接并延长交y轴于点N，如图： ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， 把点分别代入得：， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴ ②存在，理由如下， 作出同样辅助线， ∵点M在第一象限，且点M在点A右侧， ∴， 同理可求：直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴． 12．(1)； (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）点在直线，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入反比例解析式即可求得反比例解析式； 点评 （2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式； （3）根据题意作出图形，由面积比可得，设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：点在直线， ， ， 点在第一象限，且点的纵坐标为， 将点代入直线， ， ； （2）解：根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图， ， ， ， 由旋转可知，， ， ，， ， 设直线的函数解析式为， ，即， 直线的函数解析式为； （3）解：如图， ，， ， ，即， ， 设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为：， ，，， ，， ，解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，（2）证得三角形全等是解题关键，（3）中面积转化为线段的比值是解题关键． 13．(1)， (2)当或时，一次函数的值小于反比例函数的值 (3)4 (4) 【分析】（1）首先可求得反比例函数解析式，即可求得点B坐标，再根据点A、B都在一次函数图象上，分别代入即可求得； （2）根据图象得出结论； （3） 记一次函数与轴的交点为，并求得点C的坐标，根据，即可求解． （4）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，得到，，根据三角形三边关系得到，当等号成立时，即、、三点共线时，值最大，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：直线的图象与双曲线的图象交于，两点． ， 即反比例函数解析式为， ， ， 将，代入直线中有， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值（即一次函数图象在反比例函数图象下方的部分）的x的取值范围未为或； （3）解：记一次函数与轴的交点为， 的坐标为， ； （4）解：点P的坐标为，理由如下： 作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接并延长，交轴于点，连接， 由对称的性质可知， ， ， 当等号成立时，即、、三点共线时，值最大， 设直线的解析式为， 有， 解得， 直线的解析式为， 当时，，解得， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点情况，三角形三边关系，轴对称性质，解题的关键在于利用数形结合的思想解答问题． 14．(1)， (2) (3)平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，点的坐标为或或或 【分析】此题属于反比例函数与一次函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，面积问题，平行四边形存在性问题，三角函数的性质，利用了分类讨论的思想，理解新定义是解本题第三问的关键． （1）把分别代入两个解析式计算即可； （2）设，表示出和的面积，再根据列方程计算即可； （3）设，分四种情况：当时，利用平移的性质可得；当时，运用平移的性质可得；当时，通过构造全等三角形建立方程即可得出；当时，利用平移的性质可得． 【详解】（1）解：（1）直线经过点， ， 解得：， ； 双曲线经过点， ， 解得：， ； （2）如图，设直线交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 上点的坐标为， ， 又， ，， 在中，令，得， 解得：， ， ， 设，且， ， ，即， ， ，即， 解得：， ； （3）平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形． ，，， ，， ， ，， ， 是直角三角形，， 设，当时，如图， 则，，． 解得：， ； 当时，如图， 则，，， 解得：， ； 当时，如图，设直线交轴于点，过点作轴于，作轴，过点作于， 则，， 由（2）知：， ，， ， ，， 是等腰直角三角形，， 轴， ， ， ，即， ，， ， ，， ，， ，， ； 当时，如图， 则，， ， 解得：， ； 综上所述，平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，点的坐标为或或或． 15．(1)， (2)点坐标为，或 (3)，或， 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，反比例函数中的几何意义，一次函数与反比例函数的图象交点坐标，三角形面积，两点间距离公式等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． （1）运用待定系数法即可求得的值，联立方程组可求得点的坐标； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，则，，分两种情况：当时，当时，分别利用三角形面积建立方程即可求得答案； （3）设直线的解析式为，与反比例函数解析式联立可得，则，，进而可得，根据，建立方程求解可得，即直线的解析式为，联立方程组即可求得答案． 【详解】（1）把代入，得， ， 代入，得， ， 反比例函数的解析式为， 联立方程组得：， 解得：，， ； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、， 则，， 当时，如图1，则， ，，， ， ，即， 解得：（舍去），， ，； 当时，如图2，则， ，，， ， ，即， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，点坐标为，或； （3）存在点使得，点坐标为，或，． ， 设直线的解析式为， 联立，得， 整理得：， 则，， 又，，则， ， ，， ， ， 、均在第一象限， ， ， 直线的解析式为， 联立得， 解得：，， ，或，． 16．(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 17．(1)，当时，随t的增大而减小 (2)不发生变化，理由见解析 (3)发生变化，， 【分析】（1）由于和的横坐标都是，则利用反比例函数图象上点的坐标特征可表示出它们的坐标，然后利用它们的纵坐标之差即可表示出的长度，然后根据反比例函数的性质讨论增减性； （2）根据三角形面积公式易得，于是可判断的面积不发生变化 （3）当时，易得，，则，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图，则点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，易得点坐标为；然后根据两点之间线段最短可判断此时的周长最小，接着根据勾股定理计算出，从而可得到的周长的最小值． 【详解】（1）解：把代入得，则； 把代入得，则， ∴，当时，RQ随t的增大而减小． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： ∵， ∴的面积不发生变化． （3）解：的周长发生变化．当时，，，则． 作点R关于y轴的对称点M，连接，与y轴的交点即为所求点P．如图， 则M点的坐标为．设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为，当时，． ∴点P的坐标为． ∵， ∴． ∴此时的周长最小． 在中，∵，， ∴． ∴． ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征和性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形的面积；运用两点之间线段最短解决三角形周长的最小值问题． 18．(1)， (2)点B在直线上，理由见解析 (3)点M的坐标为：或或 【分析】本题主要考查的是反比例函数综合运用、一次函数的性质、平行四边形的性质、函数的平移等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将A点的坐标代入反比例函数求得的值，然后将代入反比例函数解析式求得相应的的值，即得点的坐标； （2）确定平移后直线的表达式即可求解； （3）分为平行四边形的边、对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 故该反比例函数解析式为：． 点，轴， 把代入反比例函数，得：， ． 综上所述，的值是，点的坐标是； （2）解：设直线A、的表达式为 则，解得：， 故直线的表达式为：， 令，则，故点， 设直线向右平移个单位， 则平移后直线的表达式为：，则点， 点在反比例函数上， 将点坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 则平移后直线的表达式为：， 令，则，故点； 当时，，故点在直线上； （3）解：设点的坐标为，而点A、、的坐标分别为：、、； 当是边时，点A向右平移4个单位向下平移个单位得到， 同样点向右平移4个单位向下平移个单位得到， 故或，解得：或， 故点的坐标为：或； 当是对角线时， 由中点公式得：，解得：， 故点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 19．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出a值，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）分两种情况进行解答，①如图1当点C在A点下方时，②如图2当C在A点上方时解出点C坐标即可； （3）分两种情况进行解答，①当为平行四边形的边时，是平行四边形，②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形，分别求出点P坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意知，分两种情况求解， ①如图1，当点C在A点下方时，           图1 ∵，， ∴点C为中点， ∴点C纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴C； ②如图2，当C在A点上方时，作轴于，于， ∵，， ∴，即，解得， 当时，， 解得，， ∴C ， 综上所述，点C坐标为或． （3）解：当时，，即， 如图3， ①当为平行四边形的边时，是平行四边形， 则，即， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形， ∵，， Q点纵坐标为0， ∴对角线中点的纵坐标相同，即， 解得，， 当 时，， 解得， ∴． 综上所述，符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质是解题的关键． 20．(1) (2)点坐标为或 (3)存在，的横坐标为 【分析】（1）本题将点代入求得的值，得到直线的解析式，将代入直线的解析式，算出的值，得到的坐标，将的坐标代入反比例函数中求解，即可解题． （2）本题根据点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点作轴交直线于点，分以下两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据以上两种情况，结合“若的面积是面积的2倍”分析得到点纵坐标，将点纵坐标代入反比例函数解析式求解，即可解题． （3）本课过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，利用等腰直角三角形性质证明，根据全等三角形性质得到点坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点， ， ， ， 点在上， ，即， ， ； （2）解：①当点在下方时， ， ， 作轴，轴，   ， ， ， ， 把代入中， ； ②当点在上方时，   ， ， 为中点， ，， ， 把代入中， ； 综上所述：点坐标为或． （3）解：过点作垂直交延长线于点过点作轴，，， ，，   三角形为等腰直角三角形， 在和中， ， 所以，， ， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， ， 整理得，解得，（不合题意，舍去）， ， 的横坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的几何综合、用待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 21．(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可求出点到的距离为5，利用的面积等于15可求出，进而得到，于是可利用待定系数法求出直线的解析式； （3）分两种情况讨论：当为的边时，此时，，设，直线的解析式，将点代入求得直线的解析式为，进而得到，再由，利用两点间距离公式计算即可；当为的对角线时，此时，，，则点的纵坐标为，代入反比例函数解析式求得，再利用求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：； （2）解：轴，，， 点到的距离为5， 三角形面积为15， ， ， ， 将点，代入直线得，， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：当为的边时，如图，    则，， 设，直线的解析式， ， ， 直线的解析式为， 令中的得，， 解得：， ， 由（2）可知，，， ， ， ， 整理得：， 解得：， ， 或； 当为的对角线时，如图，    则，， ， 点的纵坐标为， 令中的得，， 解得：， ， ， ， ， ． 综上，或或． 【点睛】本题主要考用待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、平行四边形的判定与性质，解题关键是熟记平行四边的判定定理，并学会利用分类讨论思想解决问题． 22．（1）；4；2；（2）不能，见解析；（3），8；（4） 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题,利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解； （2）画出的图象，观察图象得到与函数图象没有交点即可求解； （3）由直线与反比例函数的图象有唯一交点，可知由唯一解，即：方程只有一个解，利用根的判别式求得（负值舍去），进而可求得交点坐标为； （4）和的长均不小于，可得，直线在、上面或之间移动，可得求的范围． 利用数形结合数学思想是解决问题的关键． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， 在中，当时，， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）不能围出面积为 的矩形； 理由如下： 的图象，如图中所示： ∵与函数 图象没有交点， ∴不能围出面积为 的矩形． 故答案为：与函数 图象没有交点； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴由唯一解，即：方程只有一个解， ∴，解得：（负值舍去）， 此时：，解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为； （4）∵和的长均不小于 ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，直线在、上面或之间移动， 把代入得， ∴． 23．(1)，（） (2)见解析 (3)时，矩形的周长取得最小值为4 【分析】（1）由题意可得，，求出点，即可得出，根据得到，求出，从而得到点的坐标，将点的坐标代入函数解析式计算即可； （2）设（），则，计算出和，进行比较即可得到答案； （3）设（），则，，从而得到，，再表示出矩形的周长进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 在中，当时，， ， ， ， ， ， ∴点， 将点代入函数（）得：， ， ∴（）； （2）解：设（），则， ∴， ， ∴； （3）解：存在满足题设条件的点， 设（），则，， ，， ∴矩形的周长 ∴当，即，时，矩形的周长取得最小值为4． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、求反比例函数解析式、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 24．(1)①，；② (2) 【分析】（1）①将点代入解析式，求得；     ②根据反比例函数解析式可得，分别过点、作轴的垂线交轴于点、，根据，，，可得； （2）直线，经过原点且与反比例函数分别交于点，，，，反比例函数的图像关于原点中心对称，则点，关于原点对称，点、关于原点对称，则四边形为平行四边形．点的坐标为，点的坐标为，根据，得出，根据在上，得出，，在上，得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：①点在上， ，； 点在上， ，     ②点的横坐标为， 当时，， ； 分别过点、作轴的垂线交轴于点、， ，， ；    （2）解：直线，经过原点且与反比例函数分别交于点，，，，反比例函数的图像关于原点中心对称， 点，关于原点对称，点、关于原点对称， ，， 四边形为平行四边形． 当时，四边形是矩形． 点，的横坐标分别为，， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， 又在上， ， ，在上， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 25．探究一：（1）8，，猜想：先变大后变小；（2）8，，先变小后变大；探究二： 【分析】探究一：（1）根据反比例函数k的几何意义，结合图形即可求解； （2）根据直线解析式的特点，结合图形即可求解； 探究二：设点G的坐标为，则，Q、A、B的坐标分别为、、，再由的面积求解即可． 【详解】解：探究一： （1）∵A点、B点在反比例函数上， ∴， 过P点作轴交反比例函数图像于点Q，过点Q作轴交于点D， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在时，的值先增大后减小， ∴． 故答案为：8，＜，先增大后减小． （2）∵，． ∴直线的解析式为， 设A点坐标为， ∴， ∴， 过P点作轴交反比例函数于点E，过E作轴交于点F， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴时，先减小后增大， ∴先减小后增大， ∴． 故答案为：8，＞，先减小后增大． 探究二： 设点G的坐标为，则． 由题意得点Q、A、B的坐标分别为、、． ∵的面积 ， ∴．    学科网（北京）股份有限公司 $$