重点题型针对训练---03概率及分布列-2025届高三数学三轮复习

重点题型针对训练---概率及分布列 1、 古典概型、相互独立事件概率及分布列 例1：（24-25高二下·江苏常州·期中）口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为，则 ，期望 ． 变式训练： 1.（23-24高二下·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ． 2.（2022·天津武清·模拟预测）某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是 ，记抽取的男生人数为，则随机变量的数学期望为 ． 3.（24-25高三上·天津滨海新·期中）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、烹武术类三个体育社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参加的社团各不相同的概率为 ，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则 . 例2：（24-25高三下·天津·开学考试）大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核．每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核．若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是，专业技能考核合格和补考合格的概率都是，每一次考试是否合格互不影响．则大学生甲不被淘汰的概率是 ；若大学生甲不放弃每次考试的机会，表示他参加补考的次数，则的数学期望是 ． 变式训练： 1.（24-25高三上·天津北辰·期末）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为 ；他在一年内参加考试次数的数学期望为 . 2.（24-25高三上·天津·阶段练习）甲、乙、丙三人射击的命中率分别为，，，现要求三人各射击一次，假设每人射击相互独立，则至少有一人命中的概率为 ；记三人命中总次数为，则 ． 3.（2025高三·全国·专题练习）一个质点在数轴上随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次.移动后，事件“质点位于原点0”的概率为 ，事件“质点位于的位置”的概率为 . 4.（24-25高三上·天津西青·阶段练习）已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球.若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则恰有次摸到红球的概率为 ；若有放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则摸到红球的次数的期望为 . 二、条件概率 例3：（2025·天津河东·二模）哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率 ；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为 . 变式训练： 1.（24-25高三上·天津西青·期末）袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是 ；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则 . 2.（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）二十四节气是中国古代用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的智慧结晶.春、夏、秋、冬每个季节各包含六个节气.李华同学计划从中随机选取2个节气开展知识讲座，则两个节气恰好在同一季节的概率为 ；若已知选取的2个节气均属于春季，则其中包含“立春”的概率为 .（“立春”是春季的六个节气之一.） 3.（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）某校高三班第一小组有男生人，女生人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取人参加学校开展的劳动技能学习，恰有名男生参加劳动学习的概率为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 4.（2025高三下·天津·专题练习）石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， . 5.（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 6.（2025·天津河北·二模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 . 7.（24-25高三上·天津·期末）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 ；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为 . 8.（2025·天津和平·一模）袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 9.（24-25高三下·天津和平·阶段练习）已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为X，则X的数学期望 ；若已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为 ． 三、全概率公式 例4：（24-25高二下·天津·阶段练习）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 . 变式训练： 1.（24-25三上·天津河西·期末）甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是 ；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是 . 2.（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 3.（24-25高三上·天津·期末）中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为．现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是 ，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ． 4.（24-25高三上·北京·开学考试）已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是 ；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是 ． 5.（2025·天津和平·二模）已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为 ；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 例5：（2026高三·全国·专题练习）为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩在117.5分以上（不含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为 ；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人． （若，则，） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点题型针对训练---概率及分布列 1、 古典概型、相互独立事件概率及分布列 例1：（24-25高二下·江苏常州·期中）口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为，则 ，期望 ． 【答案】 / 【知识点】其他组合计数模型、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】利用组合知识求出从口袋中任取5个小球，共有情况数，再求出编号的最小值为2的情况数，相除求出概率；再求出的可能取值和对应的概率，利用数学期望公式进行求解. 【详解】从口袋中任取5个小球，共有种情况， 其中编号的最小值为2，则不含有1，从剩余8个数中选择4个，共有种情况， 故； 的可能取值为1,2,3,4,5,6， 其中，，， ，，， 所以 故答案为：， 变式训练： 1.（23-24高二下·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ． 【答案】 0，1； . 【知识点】计算古典概型问题的概率、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】根据题意服从超几何分布，应用古典概型概率公式求出相应概率，再由期望公式即可得. 【详解】X的取值可能为0，1． 依题意可知服从超几何分布， 则，， 所以． 故答案为：0，1；. 2.（2022·天津武清·模拟预测）某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是 ，记抽取的男生人数为，则随机变量的数学期望为 ． 【答案】 /0.9 /1.8 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算古典概型问题的概率、超几何分布的均值 【分析】根据给定条件，利用古典概型计算概率；再利用超几何分布的期望公式计算作答. 【详解】由分层抽样知，抽取的5人中男生人数为，女生人数为2， 所以从5人中再抽3人，既有男生又有女生的概率是； 依题意，随机变量服从超几何分布，其期望为. 故答案为：； 3.（24-25高三上·天津滨海新·期中）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、烹武术类三个体育社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参加的社团各不相同的概率为 ，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则 . 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】求出单位同学选择社团的总数，再求得三位同学选择不相同的社团数，作比值即可；三位同学选择社团种类数可能取值为，分别求得概率，用数学期望的公式计算即可. 【详解】三位同学选择社团的总数为种，三位同学参加的社团各不相同的种类数是种， 所以三位同学参加的社团各不相同的概率为； 由题意可知，X的所有可能取值为，则 ；；， 则. 故答案为：； 例2：（24-25高三下·天津·开学考试）大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核．每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核．若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是，专业技能考核合格和补考合格的概率都是，每一次考试是否合格互不影响．则大学生甲不被淘汰的概率是 ；若大学生甲不放弃每次考试的机会，表示他参加补考的次数，则的数学期望是 ． 【答案】 / 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】首先分别求两个项目合格的概率，再求整体不被淘汰的概率；根据随机变量的意义，求概率，再求期望. 【详解】英语合格概率为，专业技能考核合格的概率为， 所以大学生甲不被淘汰的概率； 由题意可知，， ，, ， 所以. 故答案为：； 变式训练： 1.（24-25高三上·天津北辰·期末）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为 ；他在一年内参加考试次数的数学期望为 . 【答案】 0.94 1.7 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】利用概率的乘法与加法，根据数学期望的计算公式，可得答案. 【详解】， 设一年内参加考试次数为，则的可能取值为， ，， ， 所以数学期望. 故答案为：；. 2.（24-25高三上·天津·阶段练习）甲、乙、丙三人射击的命中率分别为，，，现要求三人各射击一次，假设每人射击相互独立，则至少有一人命中的概率为 ；记三人命中总次数为，则 ． 【答案】 / 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】根据相互对立事件概率及相互独立事件的概率公式可求至少有一人命中的概率； 先求出随机变量的取值情况及相应的概率，然后结合期望公式即可求解． 【详解】由题意得，至少有一人命中的概率， 由题意得的可能取值为 ， ， ， ， ． 故答案为：；． 3.（2025高三·全国·专题练习）一个质点在数轴上随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次.移动后，事件“质点位于原点0”的概率为 ，事件“质点位于的位置”的概率为 . 【答案】 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题 【分析】设质点向右移动的次数为，则，移动8次后，质点位于原点0的概率为，质点位于的位置的概率为，计算即可. 【详解】设质点向左移动的次数为，又质点每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度， 共移动8次，每次移动相互独立，则. 移动8次后，若质点位于原点0，则， 所以移动8次后，事件“质点位于原点0”的概率为. 移动8次后，质点位于的位置，则. 故答案为： 4.（24-25高三上·天津西青·阶段练习）已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球.若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则恰有次摸到红球的概率为 ；若有放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则摸到红球的次数的期望为 . 【答案】 / 【知识点】二项分布的均值、计数原理与概率综合 【分析】利用计算原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；分析可知，，由二项分布的期望公式可求得的值. 【详解】一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球. 若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次， 恰有次摸到红球的概率为； 若有放回地摸球，每次摸个球，每次摸到红球的概率为， 摸取次，则摸到红球的次数，由二项分布的期望公式可得. 故答案为：；. 二、条件概率 例3：（2025·天津河东·二模）哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率 ；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为 . 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】利用组合，求出从个人物手办中，随机购买个盲盒的买法和包含哪吒和至少一位龙王的买法，再利用古典概率公式，即可求解；利用条件概率公式，即可求解. 【详解】从个人物手办中，随机购买个盲盒，共有种买法， 又个盲盒中，包含哪吒和至少一位龙王有种买法， 所以小明随机购买个盲盒，其中包含哪吒和至少一位龙王的概率为， 记事件：随机购买个盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件：随机购买个盲盒，恰有哪吒父母中的一位， 则，，所以， 故答案为：，. 变式训练： 1.（24-25高三上·天津西青·期末）袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是 ；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则 . 【答案】 / / 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】分别利用古典概型的概率和条件概率求解. 【详解】根据题意从3个红球和2个白球任取3个球，由种取法， 其中恰有一个白球的取法有种，其中恰有一个白球的概率是； 由题可知，“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件， 则，，所以. 故答案为：；. 2.（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）二十四节气是中国古代用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的智慧结晶.春、夏、秋、冬每个季节各包含六个节气.李华同学计划从中随机选取2个节气开展知识讲座，则两个节气恰好在同一季节的概率为 ；若已知选取的2个节气均属于春季，则其中包含“立春”的概率为 .（“立春”是春季的六个节气之一.） 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据排列组合计算个数，即可结合古典概型的概率公式求解. 【详解】从24个节气中任选2个节气的所有情况有种， 则两个节气恰好在同一季节的情况有, 故两个节气恰好在同一季节的概率为， 若已知选取的2个节气均属于春季有种情况，则其中包含“立春”的概率为， 故答案为：， 3.（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）某校高三班第一小组有男生人，女生人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取人参加学校开展的劳动技能学习，恰有名男生参加劳动学习的概率为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 【答案】 / 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】根据古典概型概率公式，即可求解第一空，根据条件概率的计算公式，结合排列组合即可求解第二空. 【详解】从个人中任选人，全部情况有种， 恰好有两名男生的情况有， 故恰有名男生参加劳动学习的概率为， 有女生参加劳动学习的情况有种， 恰有一名女生参加劳动学习的情况有， 故在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率为 故答案为：， 4.（2025高三下·天津·专题练习）石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， . 【答案】 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率、排列数的计算 【分析】根据古典概型结合排列数计算，再应用条件概率公式计算求解即可. 【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，事件数有，总事件数为， 故， 又事件的总数为，所以， 事件和事件同时发生，即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，则事件的总数为， 所以，所以. 故答案为：. 5.（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 【答案】 30 【知识点】计算条件概率、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】利用排除法，总的方案数减去甲和乙选择的课程的方案数即可得到甲和乙选择的课程不同的方案数；分有一个人选择“九章算术”和两个人选择“九章算术”两种情况，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求得事件中包含的方案数，再利用条件概率公式求得 【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； 事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术” 先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案， 根据条件概率公式，； 故答案为：30；. 6.（2025·天津河北·二模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 . 【答案】 / 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率的计算公式求解. 【详解】由题意，某顾客两次抽奖都中奖的概率为， 设顾客第一次抽奖没有中奖为事件，第二次抽奖中奖为事件， 则，， ， 该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为. 故答案为：，. 7.（24-25高三上·天津·期末）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 ；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为 . 【答案】 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式求解第一空，利用条件概率公式求解第二空． 【详解】解：设事件A表示“茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格”，则事件表示“茶叶加工中三道工序都不合格”， 所以 设事件B表示“绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格”，事件C表示“杀青加工合格”， 则 所以 故答案为：； 8.（2025·天津和平·一模）袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 【答案】 【知识点】计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量 的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望. 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则. 表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 . 根据条件概率公式 ，可得 . 随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 根据期望公式 可得 . 故答案为：；. 9.（24-25高三下·天津和平·阶段练习）已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为X，则X的数学期望 ；若已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率、二项分布的均值 【分析】根据二项分布的期望公式可求第一空；利用条件概率可求第二空. 【详解】由题知，三次罚球命中的次数，所以； 记事件为“该运动员没有全部命中”， 记事件 “恰好命中两次”， 则，， 由条件概率知. 故答案为：； 三、全概率公式 例4：（24-25高二下·天津·阶段练习）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 . 【答案】 / 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】从甲乙丙三个盒子中各取一个球这三个事件相互独立，根据独立事件同时发生的概率公式求解即可；设甲乙丙三个盒子中球的总数分别为，，，分别求出三个盒中白球的个数，根据古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】由已知可得三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，， 从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为； 设甲乙丙三个盒子中球的总数分别为，，， 甲盒中白球的数量为， 乙盒中白球的数量为， 甲盒中白球的数量为， 三个盒子中球的总数为，白球总数为， 所以三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为. 故答案为：；. 变式训练： 1.（24-25三上·天津河西·期末）甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是 ；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是 . 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式、计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意可知应用古典概型及独立事件的概率乘积公式，利用全概率公式即可求解. 【详解】设从甲袋取出白球为事件A，再从乙袋取出白球为事件B， 若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球为事件 则，. ； 设“从甲袋中取出的一个球为白球”， “从甲袋中取出的一个球为黑球”， “从乙袋中取出的一个球为白球”， 根据全概率公式则有 . 故答案为：；. 2.（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 【答案】 0.82 0.398 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】依据题意，分析事件关系，利用全概率公式求解第一空，利用互斥事件与相互独立事件求解第二空即可. 【详解】第一空：由全概率公式可得：； 第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：， 故答案为：0.82；0.398. 3.（24-25高三上·天津·期末）中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为．现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是 ，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率，利用条件概率公式可求出取得零件是次品，则它是来自甲厂生产的概率. 【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且, ，，， 设任取一件产品，取到的是次品为事件， 则 ， 如果取得零件是次品，那么它是来自甲厂生产的概率为 , 故答案为：； 4.（24-25高三上·北京·开学考试）已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是 ；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是 ． 【答案】 / 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据古典概型的计算公式及全概率的计算公式直接得解. 【详解】根据题意，从这个8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是； 设“取出甲盒”为事件，“取出乙盒”为事件，“取到的球是白球”为事件， 则 . 所以从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是. 故答案为：；. 5.（2025·天津和平·二模）已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为 ；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】设出事件，利用条件概率公式计算出概率，再利用全概率公式计算出从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，取到一张红色卡片的概率. 【详解】设从甲盒中取出2张卡片中有一张是红色卡片为事件A， 从甲盒中取出2张卡片中有一张是白色卡片为事件B， 则，， 所以， 若从甲盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为， 若从乙盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为， 故从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 故答案为：， 例5：（2026高三·全国·专题练习）为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩在117.5分以上（不含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为 ；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人． （若，则，） 【答案】 0.16/ 10 【知识点】特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】利用正态分布的三段区间及对称性求、，进而估计数学考试成绩特别优秀的人数. 【详解】因为数学成绩服从正态分布， 则， 所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率． 又， 所以数学成绩特别优秀的概率． 又， 则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是人． 故答案为：， 学科网（北京）股份有限公司 $$