期中复习综合练习-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

期中复习综合练习 (满分:120分　时间:120分钟) 一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.小明用四个全等的含30°角的直角三角尺拼成如图所示的三个图案,其中是菱形的有 (　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.方程x2-x+3=0的根的情况是 (　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 3.(2025南京建邺区月考)用配方法解一元二次方程x2-4=2x时,此方程可变形为 (　　) A.(x-1)2=3 B.(x-2)2=2 C.(x-2)2=6x D.(x-1)2=5 4.下面几种说法错误的有 (　　) ①对角线互相垂直平分的四边形是菱形;②一组对边平行、一组邻边相等的四边形是菱形;③两条对角线相等的平行四边形是矩形;④对角线相等且垂直的四边形是正方形. A.①②③ B.①③ C.③④ D.②④ 5.在一个不透明的盒子中装有30颗黑、白两种颜色的棋子,除颜色外其他都相同.搅匀后从中随机摸出一颗棋子,记下颜色后放回盒子中,记为一次试验,通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在0.6,则盒子中黑色棋子可能有 (　　) A.5颗 B.10颗 C.18颗 D.26颗 6.如图,在菱形ABCD中,∠D=50°,E,F分别为边AB和CD上的两个动点.当四边形AECF为矩形时,∠BCE的度数为 (　　) A.40° B.45° C.50° D.55° 7.某企业2025年1月份的纯利润为500万元,3月份的纯利润达到了700万元,假设2,3月份的纯利润增长率都为x,则下列方程中正确的是 (　　) A.500(1+2x)=700 B.500(1+x)2=700 C.700(1-2x)=500 D.700(1-x)2=500 8.(2025西安月考)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCO的边AO在y轴上.若点C的坐标为(-12,-5),则点A的坐标为 (　　) A.(0,12) B.(13,0) C.(0,13) D.(0,15) 9.一个不透明纸箱中装有五张标有数字-4,-2,1,2,4的卡片,卡片除所标数字不同外无其他差别.现从中任取一张卡片,将其数字记为a,放回洗匀后,再从中任取一张卡片,将其数字记为b,则使关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0有实数根的概率为 (　　) A. B. C. D. 10.(2025咸阳秦都区月考)如图,在正方形ABCD中,若∠EAF=45°,点E在BC上,点F在CD上,则①EF=BE+DF;②C△CEF=2AB;③∠AFD=∠AFE;④∠AEF=∠AEB.其中一定成立的是 (　　) A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分) 11.一元二次方程(x+1)(x+3)=9的一般形式是　　　　.  12.若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,则实数a的取值范围是　　　　.   13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=110°,M是CD的中点,连接OM,则∠DOM的度数为　　　　°.  14.如图,BE,CF是△ABC的高,M是BC的中点,若不添加辅助线,则图中的三角形一定是等腰三角形的有　　　　个.  15.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E,F分别是AB,AD的中点,DE,BF相交于点G,连接BD,CG.有下列结论:①∠BGD=120°;②BG+DG=CG;③BD=CG;④S△ABD=AB2.其中正确的有　　　　.(将正确答案的序号填在横线上)  三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.(8分)(1)解方程:(2x+1)2-(x-6)2=0; (2)解方程:4x2-16x-3=0. 17.(7分)某种植物的主干长出若干个支干,每个支干又长出同样个数的小分支,主干、支干、小分支的总数是241,求每个支干长出小分支的个数. 18.(8分)第八届丝博会于2024年9月20日至24日在西安国际会展中心举办.本届丝博会以“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题.在丝博会举办之际,某机构计划向全市中小学生招募“丝博小记者”.某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选. (1)若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者,则选到男生的概率是　　　　;  (2)若从这四位竞选者中随机选出两位小记者,请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选的概率. 19.(9分)(2025榆林子洲县月考)如图,在△ABC中,D是AB上一点,AD=DC,DE平分∠ADC交AC于点E,DF平分∠BDC交BC于点F,∠DFC=90°,求证:四边形CEDF是矩形. 20.(10分)已知关于x的方程x2-2x+m=0的一个根为1+. (1)求m的值及方程的另一个根; (2)设方程的两个根为x1,x2,求式子+x1的值. 21.(10分)(2025青岛胶州月考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,E为OC的中点,过点C作CF∥BD交BE的延长线于点F,连接DF. (1)求证:△FCE≌△BOE; (2)当△ADC满足什么条件时,四边形OCFD为菱形?请说明理由. 22.(11分)中秋节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话: 根据他们的对话解决下面所给的问题: (1)该超市每天要获得销售利润3 640元,又要尽可能让顾客得到实惠,这种水果的销售价应为每千克多少元? (2)该超市每天获得的销售利润能否达到4 200元?若能,求出此时这种水果的销售价;若不能,请说明理由. 23.(12分)如图1,四边形ABCD为正方形,E为对角线AC上一点,连接DE,BE. (1)求证:BE=DE; (2)如图2,过点E作EF⊥DE,交边BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. ①求证:矩形DEFG是正方形; ②若正方形ABCD的边长为9,CG=3,求正方形DEFG的边长. 图1　 　图2 1.D　2.C　3.D　4.D　5.C　6.A　7.B 8.C　解析:如图,设BC与x轴交于点D.∵四边形ABCO是菱形,∴OA=OC,OA∥BC.∴BC⊥OD.∵点C的坐标为(-12,-5),∴OD=12,CD=5.∴OC==13.∴OA=OC=13.∴A(0,13).故选C. 9.D　解析:画树状图如下: 由树状图可知,共有25种等可能的结果,其中使关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0有实数根的结果有14种,∴使关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0有实数根的概率为.故选D. 10.A　解析:如图,延长CB至点G,使得BG=DF,连接AG,过点A作AH⊥EF于点H.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB=BC=CD,∠D=∠ABE=∠ABG=∠BAD=90°.∴△ADF≌△ABG(SAS).∴AG=AF,∠2=∠3.∵∠EAF=45°,∴∠1+∠2=∠BAD-∠EAF=45°.∴∠1+∠3=45°,即∠GAE=45°.∴∠GAE=∠FAE.∵AE=AE,∴△GAE≌△FAE(SAS).∴EF=GE.∵GE=BG+BE,BG=DF,∴EF=BE+DF.∴①正确.设正方形边长为x,即AB=BC=CD=x,∴C△CEF=CE+FC+EF=x-BE+x- DF+BE+DF=2x.∴C△CEF=2AB.∴②正确.∵△GAE≌△FAE,∴∠AEB=∠AEF.∴④正确.∵AH⊥EF,∴∠AHE=∠ABE=90°.∵AE=AE,∴△AEB≌△AEH(AAS).∴AB=AH.∵AD=AB,∴AH=AD.∵AF=AF,∴Rt△AHF≌Rt△ADF(HL).∴∠AFD=∠AFE.∴③正确.∴正确的有①②③④.故选A. 11.x2+4x-6=0 12.a≥-1 13.35　解析:∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OC.∵∠AOD=110°,∴∠DOC=70°.∵M是CD的中点,∴OM是等腰三角形OCD的顶角平分线.∴∠DOM=35°. 14.4　解析:∵BE是△ABC的高,∴BE⊥CE.又∵M是BC的中点,∴在Rt△BCE中,ME=BM=CM.∴△BME,△CME是等腰三角形.同理,△BMF,△CMF是等腰三角形.综上所述,△BME,△CME,△BMF,△CMF都是等腰三角形. 15.①②④　解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=BC=CD,∠A=∠BCD=60°.∴△ABD,△BCD都是等边三角形.∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=∠BCD=60°,BD=CD.∵E,F分别是AB,AD的中点,∴∠DEB=90°,∠ABF=∠DBF=∠ABD=×60°=30°,∠BDE=∠ADE=∠ADB=×60°=30°.∴∠DBF=∠BDE.∴DG=BG.∴∠BGD=∠DEB+∠ABF=90°+30°=120°.故①正确.在△CDG和△CBG中,∴△CDG≌△CBG(SSS).∴∠DCG=∠BCG=∠BCD=×60°=30°.∵∠CDG=∠CDB+∠BDE=60°+30°=90°,∴CG=2DG.∵DG=BG,∴BG+DG=CG.故②正确.∵△CDG为直角三角形,∴CG>CD.∵BD=CD,∴BD<CG.故③错误.∵BE=AB,BD=AB,∠DEB=90°,由勾股定理,得DE== AB.∴S△ABD=AB·DE=×AB×AB=AB2.故④正确.综上所述,正确的有①②④. 16.解:(1)(2x+1)2-(x-6)2=0, (2x+1+x-6)(2x+1-x+6)=0, 2x+1+x-6=0或2x+1-x+6=0, ∴x1=,x2=-7. (2)4x2-16x-3=0, x2-4x=, x2-4x+4=+4, (x-2)2=, x-2=±, ∴x1=2+,x2=2-. 17.解:设每个支干长出小分支的个数是x. 依题意,得1+x+x2=241. 整理,得x2+x-240=0. 解得x1=15,x2=-16(不符合题意,舍去). 答:每个支干长出小分支的个数是15. 18.解:(1) (2)画树状图如下: 由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中两位女生同时当选的结果有2种, ∴两位女生同时当选的概率是. 19.证明:∵DE平分∠ADC,DF平分∠BDC, ∴∠CDE=∠ADE=∠ADC, ∠CDF=∠BDF=∠BDC. ∴∠EDF=∠CDE+∠CDF=(∠ADC+ ∠BDC)=90°. 又∵AD=DC, ∴DE⊥AC.∴∠DEC=90°. ∵∠DFC=90°,∴四边形CEDF是矩形. 20.解:(1)设方程的另一个根为a, 则由根与系数的关系,得a+1+=2,(1+)a=m, 解得a=1-,m=-1. ∴m=-1,方程的另一个根为1-. (2)∵x1,x2是方程x2-2x-1=0的两个根, ∴x1+x2=2,x1x2=-1. ∴+x1=(x1x2)2 024x2+x1=x2+x1=2. 21.(1)证明:∵CF∥BD, ∴∠CFE=∠OBE. ∵E为OC的中点,∴OE=CE. 在△FCE和△BOE中, ∴△FCE≌△BOE(AAS). (2)解:当∠ADC=90°时,四边形OCFD为菱形. 理由如下: 由(1)可得,△FCE≌△BOE, ∴CF=OB. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OD=OB,OA=OC.∴CF=OD. ∵CF∥BD, ∴四边形OCFD为平行四边形. ∵∠ADC=90°,OA=OC, ∴OD=OC. ∴四边形OCFD为菱形. 22.解:(1)设这种水果的销售价应为每千克x元,则每千克的销售利润为(x-22)元,每天可售出160+×120=(1 680-40x)(kg). 根据题意,得(x-22)(1 680-40x)=3 640. 整理,得x2-64x+1 015=0. 解得x1=29,x2=35. 又∵要尽可能让顾客得到实惠, ∴x=29. 答:这种水果的销售价应为每千克29元. (2)该超市每天获得的销售利润不能达到4 200元.理由如下: 假设该超市每天获得的销售利润能达到4 200元,设这种水果的销售价应为每千克y元,则每千克的销售利润为(y-22)元,每天可售出160+×120=(1 680-40y)(kg). 根据题意,得(y-22)(1 680-40y)=4 200. 整理,得y2-64y+1 029=0. ∵Δ=(-64)2-4×1×1 029=-20<0, ∴原方程没有实数根. ∴假设不成立,即该超市每天获得的销售利润不能达到4 200元. 23.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAE=∠DAE=45°,AB=AD. 在△ABE和△ADE中, ∴△ABE≌△ADE(SAS). ∴BE=DE. (2)①证明:如图,过点E分别作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,得矩形EMCN,连接EG. ∴∠MEN=90°. ∵E是正方形ABCD对角线AC上一点, ∴EM=EN. ∵EF⊥DE, ∴∠DEF=90°. ∴∠DEN=∠FEM=90°-∠FEN. 在△DEN和△FEM中, ∴△DEN≌△FEM(ASA). ∴DE=FE. ∵四边形DEFG是矩形, ∴矩形DEFG是正方形. ②解:∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形, ∴DE=DG,AB=BC=AD=DC, ∠ACD=∠CAD=45°. ∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°, ∴∠CDG=∠ADE. 在△ADE和△CDG中, ∴△ADE≌△CDG(SAS). ∴AE=CG,∠DAE=∠DCG=45°. ∵∠ACD=45°, ∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=90°. ∴CE⊥CG. ∵AB=BC=9,∴AC==9. ∵CG=3,∴AE=3. ∴CE=AC-AE=9-3=6. ∴EG==3. ∵DE=DG,DE2+DG2=EG2, ∴DE=DG=EG=3. ∴正方形DEFG的边长为3. 学科网（北京）股份有限公司 $$