第二章 §2.1　函数的概念及其表示（新高考通用）-2026年高考数学一轮备考·学霸专练

第二章函数 §2.1　函数的概念及其表示 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 直接求函数值 2024·全国新Ⅰ卷、2024·上海卷、 2023·北京卷2021·全国甲卷、2021·浙江卷 会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法，理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值 考点2 函数的定义域与值域 2022·北京卷 【知识梳理】 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2.同一个函数 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 【名师点拨】 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.注意以下几种特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f(x)＝＋是一个函数.(　　) (2)函数就是定义域到值域的对应关系.(　　) (3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.(　　) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.(　　) 2.以下图形中,不是函数图象的是(　　) 3.(多选)下列选项中,表示的不是同一个函数的是(　　) A.y＝与y＝ B.y＝x2与y＝(x－1)2 C.y＝与y＝x D.y＝1与y＝x0 4.已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝　　　　　　.  【易错提醒】防范四个易错点 (1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式进行变形,以免引起定义域的变化. (2)用换元法求值域或解析式时,一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围. (3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围. (4)分段求解是解决分段函数的基本原则,已知函数值求自变量值时,易因忽略自变量的取值范围而出错. 【必练核心题型】 题型一　函数的概念 例1.(多选)下列选项中正确的是(　　) A.函数f(x)＝的定义域为[0,＋∞) B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 C.函数y＝与函数y＝x－1表示同一个函数 D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同 【解题技巧】函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A,B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应. (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数. 【变式训练】 变式1.函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域为(　　) A.(1,＋∞) B.(1,2)∪(2,＋∞) C.(－∞,1) D.(0,2)∪(2,＋∞) 变式2.(多选)下列命题中是假命题的是(　　) A.函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线 B.f(x)＝是函数 C.若函数f(x)的定义域为(－1,2),则函数f(x＋1)的定义域为(0,3) D.f(x)＝x＋和g(t)＝t＋是同一个函数 题型二　函数的解析式 例2.已知f(1－sin x)＝cos2x,求f(x)的解析式； (2)已知f＝x4＋求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式； (4)若对任意实数x,均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2,求f(x)的解析式. 【变式训练】 变式1.(多选)下列命题中正确的有(　　) A.若一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋3,则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1 B.若f(3x)＝x2＋4x,则函数f(x)的定义域为(0,＋∞) C.若f＝x3－则函数f(x)的解析式为f(x)＝x3＋3x D.若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f ＝3x,则f(x)＝－x 题型三　分段函数 例1.(多选)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(－∞,4] C.若f(x)＝2,则x的值是－ D.f(x)<1的解集为(－1,1) 例2.定义max{a,b}＝设函数f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,记函数F(x)＝max{f(x),g(x)},且函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,1],则n－m的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 【变式训练】 变式1.已知函数f(x)＝ 则“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 变式2.(多选)(2024·朝阳模拟)函数D(x)＝称为狄利克雷函数,对于狄利克雷函数,下列结论正确的是(　　) A.D(D(2))＝D(D()) B.D(x)的值域与函数f(x)＝的值域相同 C.D(x)≠D(－x) D.对任意实数x,都有D(x＋1)＝D(x) 变式3.已知函数f(x)＝则f＝　　　　；若f(a)>a,则a的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章函数 §2.1　函数的概念及其表示 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 直接求函数值 2024·全国新Ⅰ卷、2024·上海卷、 2023·北京卷2021·全国甲卷、2021·浙江卷 会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法，理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值 考点2 函数的定义域与值域 2022·北京卷 【知识梳理】 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2.同一个函数 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 【名师点拨】 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.注意以下几种特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f(x)＝＋是一个函数.(　　) (2)函数就是定义域到值域的对应关系.(　　) (3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.(　　) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 【解析】(1)错误.无解，可知其说法错误. (2)错误.根据函数的概念可知其错误. (3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应. (4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 2.以下图形中,不是函数图象的是(　　) 【答案】A 【解析】根据函数的定义,对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应,A选项中存在一个自变量对应两个函数值,所以A不是函数图象. 3.(多选)下列选项中,表示的不是同一个函数的是(　　) A.y＝与y＝ B.y＝x2与y＝(x－1)2 C.y＝与y＝x D.y＝1与y＝x0 【答案】BCD 【解析】对于A选项,y＝的定义域是[－3,3),y＝的定义域是[－3,3),并且所以两个函数的定义域相同,对应关系相同,所以是同一个函数； 对于B选项,两个函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数； 对于C选项,y＝＝|x|,所以两函数的对应关系不同,所以不是同一个函数； 对于D选项,y＝1的定义域是R,y＝x0的定义域是{x|x≠0},两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数. 4.已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝　　　　　　.  【答案】1 【解析】因为f(－2)＝(－2)2＝4,所以f(f(－2))＝f(4)＝log44＝1. 【易错提醒】防范四个易错点 (1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式进行变形,以免引起定义域的变化. (2)用换元法求值域或解析式时,一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围. (3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围. (4)分段求解是解决分段函数的基本原则,已知函数值求自变量值时,易因忽略自变量的取值范围而出错. 【必练核心题型】 题型一　函数的概念 例1.(多选)下列选项中正确的是(　　) A.函数f(x)＝的定义域为[0,＋∞) B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 C.函数y＝与函数y＝x－1表示同一个函数 D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同 【答案】ABD 【解析】对于A,由题意解得x≥0,A正确； 对于B,由函数的定义知,函数图象至多与y轴有一个交点,B正确； 对于C,函数y＝的定义域为(－∞,－1)∪(－1,＋∞),函数y＝x－1的定义域为R,故这两个函数不是同一个函数,C错误； 对于D,函数中一个x值只能对应一个y值,如果y值不同,则x的值一定不同,D正确. 例2.若函数f(x)的定义域为(1,3),则函数f(2x)的定义域为　　　　　　.  【答案】 【解析】若函数f(x)的定义域为(1,3), 则在f(2x)中2x∈(1,3),解得x∈. 【解题技巧】函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A,B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应. (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数. 【变式训练】 变式1.函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域为(　　) A.(1,＋∞) B.(1,2)∪(2,＋∞) C.(－∞,1) D.(0,2)∪(2,＋∞) 【答案】B 【解析】因为f(x)＝＋ln(x－1), 所以要使函数有意义,则 解得x>1且x≠2, 所以f(x)的定义域为(1,2)∪(2,＋∞). 变式2.(多选)下列命题中是假命题的是(　　) A.函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线 B.f(x)＝是函数 C.若函数f(x)的定义域为(－1,2),则函数f(x＋1)的定义域为(0,3) D.f(x)＝x＋和g(t)＝t＋是同一个函数 【答案】ABC 【解析】对于A,因为函数y＝2x(x∈N)的定义域为N,所以其图象是由离散的点(整点,横坐标和纵坐标都是整数)组成的,A错误； 对于B,因为要使与有意义,则不等式组无解,所以由函数的定义可得f(x)＝不是函数,B错误； 对于C,由f(x)的定义域为(－1,2)可得－1<x＋1<2,即－2<x<1,故f(x＋1)的定义域为(－2,1),C错误； 对于D,两函数的定义域都是(－∞,0)∪(0,＋∞),且对应关系相同,故这两个函数是同一个函数,D正确. 题型二　函数的解析式 例2.已知f(1－sin x)＝cos2x,求f(x)的解析式； (2)已知f＝x4＋求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式； (4)若对任意实数x,均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2,求f(x)的解析式. 解析 (1)(换元法)设1－sin x＝t,t∈[0,2], 则sin x＝1－t, ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x, ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2,t∈[0,2]. 即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2). (2)(配凑法)f＝x4＋－2, 又x2＋≥2＝2, 当且仅当x2＝即x＝±1时等号成立. 设t＝x2＋则t≥2,∴f(t)＝t2－2(t≥2), ∴f(x)＝x2－2(x≥2). (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数, 可设f(x)＝ax＋b(a≠0), ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17, 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17, ∴解得 ∴f(x)＝2x＋7(x∈R). (4)(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2, ① ∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2, ② 由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6, ∴f(x)＝3x－2(x∈R). 【解题技巧】函数解析式的求法 (1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法. 【变式训练】 变式1.(多选)下列命题中正确的有(　　) A.若一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋3,则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1 B.若f(3x)＝x2＋4x,则函数f(x)的定义域为(0,＋∞) C.若f＝x3－则函数f(x)的解析式为f(x)＝x3＋3x D.若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f ＝3x,则f(x)＝－x 【答案】BCD 【解析】对于A,设f(x)＝kx＋b, 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b, 因为f(f(x))＝4x＋3, 所以 解得或 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3,A错误； 对于B,令t＝3x,则x＝log3t(t>0), 则f(t)＝＋4log3t,t>0, 故函数的定义域为(0,＋∞),B正确； 对于C,f＝x3－ 且x－的取值范围是R, 所以f(x)＝x(x2＋3)＝x3＋3x,C正确； 对于D,由f(x)＋2f＝3x, 得f＋2f(x)＝ 联立解得f(x)＝－x,D正确. 题型三　分段函数 例1.(多选)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(－∞,4] C.若f(x)＝2,则x的值是－ D.f(x)<1的解集为(－1,1) 【答案】BC 【解析】函数f(x)＝的定义域是[－2,＋∞),故A错误； 当－2≤x<1时,f(x)＝x2,值域为[0,4],当x≥1时,f(x)＝－x＋2,值域为(－∞,1],故f(x)的值域为(－∞,4],故B正确； 当x≥1时,令f(x)＝－x＋2＝2,无解,当－2≤x<1时,令f(x)＝x2＝2,解得x＝－故C正确； 当－2≤x<1时,令f(x)＝x2<1,解得x∈(－1,1),当x≥1时,令f(x)＝－x＋2<1,解得x∈(1,＋∞),故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1,＋∞),故D错误. 例2.定义max{a,b}＝设函数f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,记函数F(x)＝max{f(x),g(x)},且函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,1],则n－m的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 【答案】D 【解析】令f(x)≥g(x),即x＋1≥(x＋1)2,解得－1≤x≤0； 令f(x)<g(x),即x＋1<(x＋1)2,解得x<－1或x>0, 所以F(x)＝max{f(x),g(x)}＝ F(x)的图象如图所示, 又F(0)＝F(－2)＝1,F(－1)＝0, 要使函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,1], 当n＝0时,－2≤m≤－1； 当m＝－2时,－1≤n≤0, 则当n＝0,m＝－2时,n－m取得最大值2. 【解题技巧】分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 【变式训练】 变式1.已知函数f(x)＝ 则“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当f(x)＝2时,若x≤0,则有2－x＝2,解得x＝－1；若x>0,则有ln x＝2,解得x＝e2. 即由f(x)＝2可得x＝－1或x＝e2,不一定能推出x＝－1,故“f(x)＝2”不是“x＝－1”成立的充分条件； 反之,当x＝－1时,代入解析式可得f(－1)＝2,即“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要条件, 综上,“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要不充分条件. 变式2.(多选)(2024·朝阳模拟)函数D(x)＝称为狄利克雷函数,对于狄利克雷函数,下列结论正确的是(　　) A.D(D(2))＝D(D()) B.D(x)的值域与函数f(x)＝的值域相同 C.D(x)≠D(－x) D.对任意实数x,都有D(x＋1)＝D(x) 【答案】ABD 【解析】对于A,根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))＝D(1)＝1,D(D())＝D(0)＝1,所以A正确； 对于B,易知D(x)的值域为{0,1},函数f(x)＝的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞), 当x∈(－∞,0)时,f(x)＝＝0；当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝＝1,即函数f(x)＝的值域为{0,1},所以B正确； 对于C,若x∈Q,则－x∈Q,则D(x)＝D(－x)＝1,若x∈∁RQ,则－x∈∁RQ,则D(x)＝D(－x)＝0,综上可得D(x)＝D(－x),所以C错误； 对于D,当x∈Q时,x＋1∈Q,此时D(x＋1)＝D(x)＝1； 当x∈∁RQ时,x＋1∈∁RQ,此时D(x＋1)＝D(x)＝0,所以D正确. 变式3.已知函数f(x)＝则f＝　　　　；若f(a)>a,则a的取值范围是　　　　.  【答案】4　(－1,1)∪(1,＋∞) 【解析】因为f＝2×＋1＝2, 所以f＝f(2)＝22＝4. 当a≥1时,f(a)>a⇔a2>a,解得a>1； 当a<1时,f(a)>a⇔2a＋1>a,解得－1<a<1, 所以不等式的解集为(－1,1)∪(1,＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$