24.1.4圆周角 同步练习 2024—2025学年人教版九年级数学上册

第2课时　圆内接四边形 圆内接四边形的性质 1.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠C=110°,则∠A的度数为 (　　) A.35° B.45° C.60° D.70° 2.如图,四边形ABCD内接于☉O,点E,F分别在AB和DC的延长线上,且EF∥BC.若∠E=80°,则下列结论正确的是 (　　) A.∠F=110° B.∠D=100° C.∠BCD=110° D.∠A=80° 3.已知在圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠D的度数是 (　　) A.45° B.60° C.90° D.135° 4.如图,四边形ABCD内接于☉O,D是的中点,延长BC到点E,使CE=AB,连接BD,ED. (1)求证:BD=ED. (2)若∠ABC=60°,AD=5,则☉O的直径长为　　　　.  1.如图,∠DAE是☉O内接四边形ABCD的一个外角.若∠DAE=58°,则∠BOD的度数是 (　　) A.58° B.96° C.106° D.116° 2.(2024牡丹江中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB是☉O的直径.若∠BEC=20°,则∠ADC的度数为 (　　) A.100° B.110° C.120° D.130° 3.如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BH⊥AD于点H.若∠BCD=135°,AB=4,则BH的长度为 (　　) A. B.2 C.2 D.4 4.点A,B,C都在☉O上,如果∠AOB=100°,那么∠ACB的度数是　　　　.  5.(几何直观)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=90°,∠BCD=120°,AB=2,CD=1.求AD的长. 【详解答案】 基础达标 1.D　解析:∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠A+∠C=180°.∵∠C=110°,∴∠A=180°-∠C=180°-110°=70°.故选D. 2.B　解析:∵EF∥BC,∴∠ABC=∠E=80°.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ABC+∠D=180°.∴∠D=180°-∠ABC=100°.故B选项正确;∵DF与AE不确定是否平行,∴无法求出∠F,∠BCD的度数,故AC选项不正确;∵AD与BC不确定是否平行,∴无法求出∠A=80°.故D选项不正确.故选B. 3.C　解析:∵四边形ABCD为圆的内接四边形,∴∠A+∠C=180°.∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∴∠C=3∠A,即∠A+3∠A=180°.∴∠A=45°,∠B=2∠A=90°.∵∠B+∠D=180°,∴∠D=180°-90°=90°.故选C. 4.解:(1)证明:∵D是的中点, ∴=. ∴AD=CD. ∵四边形ABCD内接于☉O, ∴∠BAD+∠BCD=180°. ∵∠ECD+∠BCD=180°. ∴∠BAD=∠ECD. 在△ABD和△CED中, ∴△ABD≌△CED(SAS). ∴BD=ED. (2)10 解析:如图,连接OA,OD. ∵D是的中点,∴=. ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=×60°=30°. ∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°. ∵OA=OD, ∴△AOD是等边三角形. ∴OA=AD=5. ∴☉O的直径长为10. 能力提升 1.D　解析:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠C+∠BAD=180°.∵∠DAE+∠BAD=180°,∴∠C=∠DAE=58°.∴∠BOD=2∠C=116°.故选D. 2.B　解析:如图,连接AC. ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠BEC=20°,∴∠CAB=∠BEC=20°.∴∠ABC=90°-∠BAC=70°.∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ADC=180°-∠ABC=110°.故选B. 3.B　解析:∵四边形ABCD内接于☉O,∠BCD=135°,∴∠A=180°-135°=45°.∵BH⊥AD,AB=4,∴∠AHB=90°,AH=BH.在Rt△ABH中,由勾股定理,得AH2+BH2=AB2.∴2BH2=16.解得BH=2.故选B. 4.50°或130°　解析:当点C在上时, ∵∠AOB=100°, ∴∠ACB=∠AOB=50°. 当点C在上时, ∵四边形ACBC'是☉O的内接四边形, ∴∠AC'B+∠ACB=180°. ∴∠AC'B=180°-∠ACB=130°. 综上所述,∠ACB的度数为50°或130°. 5.解:如图,延长AD,BC交于点 E. ∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=90°,∠BCD=120°, ∴∠ADC=180°-∠B=90°,∠A=180°-∠BCD=60°.∴∠E=180°-∠B-∠A=30°. ∴在Rt△ABE中,AE=2AB=4, 在Rt△CDE中,CE=2CD=2. ∴DE==. ∴AD=AE-DE=4-. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.4　圆周角 第1课时　圆周角定理及其推论 圆周角的概念 1.下列图形中的角是圆周角的是 (　　) A. B. C. D. 2.如图,A,B,C,D,E是☉O上的五个点,则图中共有　　　　个圆周角,分别是　　 　　　　　　　. 圆周角定理 3.如图,将直角三角尺30°角的顶点放在圆心O上,一直角边和斜边分别与☉O相交于A,B两点,C是优弧AB上任意一点(与点A,B不重合),则∠ACB的度数是 (　　) A.30° B.15° C.22.5° D.20° 4.如图,☉O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点E.若DE=OB,∠AOC=60°,则∠E的度数为 (　　) A.20° B.30° C.15° D.45° 5.(2024陕西中考)如图,BC是☉O的弦,连接OB,OC,∠A是所对的圆周角,则∠A与∠OBC的和的度数是　　　　.  圆周角定理的推论 6.如图,△ABC内接于☉O,AD是☉O的直径,连接CD.若∠ABC=25°,则∠CAD的度数是 (　　) A.25° B.60° C.65° D.75° 7.一圆形玻璃镜面损坏了一部分,为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺作如图所示的测量,测得AB=12 cm,BC=5 cm,则圆形镜面的半径为　　　　.  8.如图,四边形ABCD的四个顶点均在☉O上,AC是☉O的直径,=,∠CAB=20°.求∠ACD的度数. 1.(2024西藏中考)如图,AC为☉O的直径,点B,D在☉O上,∠ABD=60°,CD=2,则AD的长为 (　　) A.2 B.2 C.2 D.4 2.如图,AB为☉O的直径,C为半圆的中点,D为☉O上的一点,且C,D两点分别在AB的异侧,连接AD,CD,则∠D的度数为(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 3.(2024赤峰中考)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB,连接CD,交OB于点E.若∠BOC=42°,则∠OED的度数是 (　　) A.61° B.63° C.65° D.67° 4.如图,已知△ABC,O为AC上一点,以OB为半径的圆经过点A,且与BC,OC交于点N,M.设∠C=α,∠A=β,下列说法正确的是(　　) A.若α-β=75°,则所对应的圆心角为15° B.若α-β=75°,则所对应的圆心角为30° C.若α+β=75°,则所对应的圆心角为15° D.若α+β=75°,则所对应的圆心角为30° 5.如图,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为对角线,BD经过圆心O.若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为　　　　.  6.如图,量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合,其中量角器0刻度线的端点N与点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,第35 s时,点E在量角器上对应的读数是　　　　.  7.如图,已知AB是☉O的直径,AB⊥CD于点E,∠COD=120°. (1)∠BAD的度数为　 　　.  (2)若CD=2,则AB的长为　　　　.  8.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,且AB⊥CD,垂足为E,连接BC,BD,AD. (1)求证:∠CDB=∠A. (2)若∠DBC=120°,☉O的直径AB=8,求BC,CD的长. 9.(几何直观)如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,C,D是上两点,过点D作DE∥OC交OB于点E,在OD上取点F,使OF=DE,连接CF并延长交OB于点G. (1)求证:△OCF≌△DOE. (2)若C,D是的三等分点,OA=2. ①求∠OGC的度数. ②请比较GE和BE的大小. 备用图　 【详解答案】 基础达标 1.C　解析:根据圆周角的定义可知,选项C中的角是圆周角.故选C. 2.6　∠ACB,∠ACE,∠BCE,∠BDE,∠DEC, ∠DBC　解析:由题图可知,A,B,C,D,E是☉O上的五个点,则图中共有6个圆周角,分别是∠ACB,∠ACE,∠BCE,∠BDE,∠DEC,∠DBC. 3.B　解析:根据题意,得∠AOB=30°.∴∠ACB=∠AOB=×30°=15°.故选B. 4.A　解析:如图,连接OD,BC,相交于点F. ∵OB=DE,∴OD=DE. 设∠E=∠DOE=x,则∠BCE=x.∵∠AOC=60°,∴∠CBO=∠AOC=30°.∵∠E+∠BCE=∠CBO,∴x+x=30°.解得x=20°.∴∠E=20°.故选A. 5.90°　解析:∵∠A是所对的圆周角,∴∠A=∠O.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.又∵∠O+∠OBC+∠OCB=180°,∴∠O+2∠OBC=180°.∴∠O+∠OBC=90°,即∠A+∠OBC=90°. 6.C　解析:∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°.∵∠D=∠ABC=25°,∴∠CAD=90°-∠D=65°.故选C. 7. cm　解析:如图,连接AC.∵∠ABC=90°,且∠ABC是圆周角,∴AC是圆形镜面的直径.由勾股定理,得AC===13(cm).∴圆形镜面的半径为 cm. 8.解:∵AC是☉O的直径, ∴∠ABC=90°. ∴∠ACB+∠CAB=90°. ∴∠ACB=90°-∠CAB=90°-20°=70°. ∴∠ADB=∠ACB=70°. ∵=,∴AD=BD. ∴∠DBA=∠DAB=×(180°-∠ADB)=×(180°-70°)=55°. ∴∠ACD=∠DBA=55°. 能力提升 1.C　解析:∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=90°.∵∠C=∠ABD=60°,∴∠CAD=90°-∠C=30°.∵CD=2,∴AC=2CD=4.∴AD===2.故选C. 2.B　解析:如图,连接BD.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵C为半圆的中点,∴=.∴∠ADC=∠BDC=∠ADB=45°.故选B. 3.B　解析:∵半径OC⊥AB,∴=.∴∠AOC=∠BOC=42°.∴∠D=∠AOC=21°.∵OC=OD,∴∠C=∠D=21°.∴∠OED=∠C+∠BOC=21°+42°=63°.故选B. 4.D　解析:如图,连接ON,BM.∴∠MON=2∠MBN.∵AM是☉O的直径,∴∠ABM=90°.∵∠A=β,∴∠AMB=90°-β.∵∠AMB=∠C+∠CBM,∠C=α,∴∠MBN=90°-β-α.∴∠MON=180°-2(α+β).当α-β=75°时,∠MON=30°-4β,故AB不符合题意;当α+β=75°时,∠MON=180°-75°×2=30°,故C不符合题意,D符合题意.故选D. 5.50°　解析:∵∠BAC=40°,∴∠BDC=40°.∵BD经过圆心O,∴∠BCD=90°.∴∠DBC=90°-∠BDC=50°. 6.140°　解析:如图,连接OE.∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上,即点C在☉O上.∴∠EOA=2∠ECA.∵∠ECA=2°×35=70°,∴∠AOE=2∠ECA=2×70°=140°.∵量角器0刻度线的端点N与点A重合,∴点E在量角器上对应的读数是140°. 7.(1)30°　(2)4　解析:(1)∵OC=OD,AB⊥CD,∠COD=120°,∴∠BOD=×∠COD=60°.由圆周角定理,得∠BAD=∠BOD=30°.(2)∵AB是☉O的直径,AB⊥CD,CD=2,∴DE=CD=.∵AB⊥CD,∠BOD=60°,∴∠ODE=90°-∠BOD=30°.∴OD=2OE.设OE=x,则OD=2x.在Rt△ODE中,OE2+DE2=OD2,即x2+()2=(2x)2.解得x=1或-1(不符合题意,舍去).∴OD=2.∵AB是☉O的直径,OD是☉O的半径,∴AB=2OD=4. 8.解:(1)证明:∵AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,且AB⊥CD, ∴=.∴∠CDB=∠BCD. ∵=,∴∠A=∠BCD. ∴∠CDB=∠A. (2)∵∠DBC=120°, ∴∠BCD=∠CDB=×(180°-120°)=30°.∴∠A=∠CDB=30°. ∵AB是☉O的直径,且AB=8, ∴∠ADB=90°. ∴在Rt△ADB中,BD=AB=4. 又∵=,∴BC=BD=4. ∵AB⊥CD,∠BCD=∠CDB=30°, ∴在Rt△BCE中,BE=BC=2. ∴CE===2. 又∵AB是☉O的直径,AB⊥CD, ∴CD=2CE=4. 9.解:(1)证明:∵DE∥OC, ∴∠ODE=∠COD. 在△OCF和△DOE中, ∴△OCF≌△DOE(SAS). (2)①∵C,D是的三等分点, ∠AOB=90°, ∴==. ∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°. ∵△OCF≌△DOE, ∴∠OCF=∠DOE=30°. ∵∠COG=∠COD+∠BOD=60°, ∴∠OGC=180°-∠COG-∠OCG=90°. ②在Rt△OGC中,∠OCG=30°,OC=OA=OB=2, ∴OG=OC=. 又∵∠DOE=30°, ∴FG=OF. 在Rt△OFG中,OG2+FG2=OF2, 即()2+OF2=OF2. 解得OF=2或-2(不符合题意,舍去). ∵∠OCF=∠COF=30°, ∴CF=OF=2. ∵△OCF≌△DOE, ∴OE=CF=2. ∴GE=OE-OG=2-, BE=OB-OE=2-2. ∵BE-GE=3-4>0, ∴BE>GE. 学科网（北京）股份有限公司 $$