精品解析：2025年湖南省株洲市中考一模数学试题

株洲市2025年初中学业水平调研考试 数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列所示气温最低的是（ ） A. B. C. D. 2. 据悉，国家将在2035年前建成以北斗系统为核心的综合时空体系，以提供安全、便捷、高效的定位导航授时服务．截止目前，北斗产品应用总量已超过1550万台／套．数据15500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯是将两个木制单元凹凸接合的方式，是数千年以来中华古建筑的灵魂所在．下列四种榫，以箭头为主视方向，则其主视图是如图所示的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某兰花爱好者随机抽取了5种蝴蝶兰，想从单枝上花朵的数量来描述其观赏性，每种兰花单枝上的花朵数标记在图中，问这组数据的中位数和众数是（ ） A. 4，4 B. 4，9 C. 5，9 D. 9，9 6. 如图是一块含角的三角板，内外两个三角形中，如果它们的斜边的比为，则它们的面积比值为（ ） A. B. C. D. 4 7. 已知点是直线上一点，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 8. 如图，是的切线，是切点，是上一点，连接并延长交切线于点，已知，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 对于二次函数的图像性质，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 过定点 C. 有最小值 D. 与轴一定有交点 10. 定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（ ） A. 81是最小的雷公数 B. 当是正整数时，一定是雷公数 C. 若是雷公数，则 D. 除100外，三位数中，不存在其他的雷公数 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 化简：________． 12. 分解因式：x2-5x=___． 13. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是_____________． 14. 已知点在轴上方，则取值范围是________． 15. 如图，有四张质地材料和背面图案都相同的四张扑克牌，现将它们背面朝上放置在桌面上，从中任意抽取一张扑克牌，抽到数字为4的扑克牌的概率是________． 16. 如图，是凸透镜成像规律中的一种情形，，，则________°． 17. 如图，在中，，，对角线．分别以、为圆心，以大于长为半径画四条弧，交于点、，过点、画直线交于点，交于点，交于点，则线段的长为________． 18. “赵爽弦图”是由汉代数学家赵爽提出的．图形由大小两个正方形和四个全等的直角三角形构成，如图1，赵爽用它给出了勾股定理的详细证明．如图2，点E是正方形内任意一点，且，把（其中）绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，可以构造出“赵爽弦图”，连接、，若是等腰三角形，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校为调查学生对人工智能技术的了解程度，随机抽取部分学生进行问卷调査，并将结果整理成加下不完整的统计图．其中，为“非常了解”，为“了解较多”，为“基本了解”，为“不了解”．请根据图表中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图（类别对应人数要标出），并求出扇形统计图中“不了解”对应的圆心角度数； （3）若全校共有1500名学生，请估计全校“非常了解”人工智能技术的学生人数． 22. 某数学兴趣小组测量神农广场炎帝雕像的高度（含底座），测量方案与数据如表： 项目名称 测量神农广场炎帝雕像的高度 方案 方案①“测角仪” 方案②“直臂尺法” 方案示意图 测量过程 ①选取与雕像底部位于同一水平地面的处； ②站在处，用测角仪测量从眼睛处看雕像顶部的仰角； ③测量，两点间距离； ④测量眼睛到地面的高度． ①人站在与雕像底部位于同一水平地面的处；手臂水平伸直，拇指竖起； ②调整人与雕像的距离，利用视线使眼睛、拇指顶端与雕像顶部在同一直线上； ③测量，两点间的距离； ④测量眼睛到地面的高度； ⑤测量手臂长，拇指长． 测量数据 米；；米． 米；米； 米；米． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③参考数据：，， ①图上所有点均同一平面内； ②，，，均与地面垂直； ③手臂与地面平行； 请你从以上两种方案中任选一种，求炎帝雕像的高度是多少米？（结果精确到米） 23. 某商场准备采购智能手表和蓝牙耳机进行促销，智能手表的单价是蓝牙耳机的4倍，用2400元单独购买智能手表比单独购买蓝牙耳机少12个． （1）求智能手表和蓝牙耳机的单价； （2）若计划采购两种产品共60个，且智能手表数量不少于蓝牙耳机的，如何采购可使总成本最低？最低成本是多少元？ 24. 如图，在以为直径的上有一点，以为对角线作正方形，恰好点在直径上，连接并延长交于点，连接． （1）求的值； （2）若半径为2，求弦的长． 25. 【问题背景】如图1，正方形边长为8，是正方形内一点，是直角三角形，，把绕点逆时针旋转到，连接交于点，连接． 【初步感知】（1）求证：； 【研究感悟】（2）求线段长度的最小值； 【深度探索】（3）在线段上截取，连接，如图2所示，若，求线段的长． 26. 二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． （1）求此二次函数的解析式和点的坐标； （2）如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市2025年初中学业水平调研考试 数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列所示气温最低的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，负数的绝对值越大的数反而越小，据此进行作答即可． 【详解】解：∵且， ∴， 故选：A． 2. 据悉，国家将在2035年前建成以北斗系统为核心的综合时空体系，以提供安全、便捷、高效的定位导航授时服务．截止目前，北斗产品应用总量已超过1550万台／套．数据15500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：D． 3. 榫卯是将两个木制单元凹凸接合的方式，是数千年以来中华古建筑的灵魂所在．下列四种榫，以箭头为主视方向，则其主视图是如图所示的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可．利用三视图的定义是解题关键． 【详解】解：的主视图是， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，负整数指数幂及合并同类项，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意， 故选：B． 5. 如图是某兰花爱好者随机抽取了5种蝴蝶兰，想从单枝上花朵的数量来描述其观赏性，每种兰花单枝上的花朵数标记在图中，问这组数据的中位数和众数是（ ） A. 4，4 B. 4，9 C. 5，9 D. 9，9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】解：每种兰花单枝上的花朵数从小到大排列为， 则这组数据的中位数为， 这组数据的众数为， 故答案为：D． 6. 如图是一块含角的三角板，内外两个三角形中，如果它们的斜边的比为，则它们的面积比值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形对应边成比例；相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方．利用相似三角形的性质得到两个三角形的面积比等于边长比的平方求解即可． 【详解】解：∵两个三角形是含角的三角板， ∴这两个三角形相似， ∵它们的斜边之比为， ∴它们的面积之比为， 故选：C． 7. 已知点是直线上一点，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】解：把点代入直线， 可得， 解得， 故选：A． 8. 如图，是的切线，是切点，是上一点，连接并延长交切线于点，已知，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，根据，可得，则，即可求得，熟练利用相关性质是解题的关键． 【详解】解：是的切线，是切点， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 对于二次函数的图像性质，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 过定点 C. 有最小值 D. 与轴一定有交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.， ∴抛物线开口向上，故该选项正确，不符合题意； B.当时，函数值， ∴抛物线过定点，该选项正确，不符合题意； C.抛物线爱你开口向上，有最小值，该选项正确，不符合题意； D.，当时，，抛物线与轴无交点，该选项错误，符合题意； 故选：D． 10. 定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（ ） A. 81是最小的雷公数 B. 当正整数时，一定是雷公数 C. 若是雷公数，则 D. 除100外，三位数中，不存在其他的雷公数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义“雷公数”，理解和应用新定义是解题的关键． 利用“雷公数”的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，所以81是雷公数，且16，25,36,49,64都不是雷公数，所以81是最小的雷公数，该选项正确，故不符合题意； B. ，可以看作和两部分，当是正整数时，两部分都是正整数， ∴一定是雷公数，该选项正确，故不符合题意； C.当时，，， ∴该选项错误，故符合题意； D.通过计算剩余三位数121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676, 729,784,841,900,961，都不是雷公数，该选项正确，故不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，计算即可解答，熟知计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分解因式：x2-5x=___． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式x分解因式即可． 【详解】解：x2﹣5x=x（x﹣5）． 故答案为x（x﹣5）． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 13. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数图象上点坐标特征是解题的关键． 将图象上点的坐标代入函数表达式即可求出k的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 故答案为：6． 14. 已知点在轴上方，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中点的坐标符号特点和一元一次不等式的解法，熟练掌握坐标轴上的点的坐标特点和各象限内的点的坐标特点是解题的关键． 根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式求解即可． 【详解】解：∵点在轴上方， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，有四张质地材料和背面图案都相同的四张扑克牌，现将它们背面朝上放置在桌面上，从中任意抽取一张扑克牌，抽到数字为4的扑克牌的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，根据概率公式计算即可.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：共有4张扑克牌，数字为4的扑克牌共有2张，则抽到数字为4的扑克牌的概率是， 故答案为：． 16. 如图，是凸透镜成像规律中的一种情形，，，则________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 先根据平行线的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 17. 如图，在中，，，对角线．分别以、为圆心，以大于长为半径画四条弧，交于点、，过点、画直线交于点，交于点，交于点，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图-作垂直平分线，解直角三角形，勾股定理，求得和，即可解答，熟练利用三角函数求解是解题的关键． 【详解】解：由作图可得为的垂直平分线， 点是的中点， 对角线， ， ， ， 故答案为：． 18. “赵爽弦图”是由汉代数学家赵爽提出的．图形由大小两个正方形和四个全等的直角三角形构成，如图1，赵爽用它给出了勾股定理的详细证明．如图2，点E是正方形内任意一点，且，把（其中）绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，可以构造出“赵爽弦图”，连接、，若是等腰三角形，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，设，则可得，，分类讨论，即三种情况，列方程即可解答，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解：设， 把绕正方形的中心旋转三次，每次旋转， ，， ，， 当时， 可得， 解得或（舍去）， ， 当时， 可得， 解得或（舍去）， ， 故也不成立， 当时， 可得， 解得或（舍去）， ， 综上所述，值为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的运算，先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，再加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：原式． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2026 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式=． 21. 某校为调查学生对人工智能技术的了解程度，随机抽取部分学生进行问卷调査，并将结果整理成加下不完整的统计图．其中，为“非常了解”，为“了解较多”，为“基本了解”，为“不了解”．请根据图表中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图（类别对应人数要标出），并求出扇形统计图中“不了解”对应的圆心角度数； （3）若全校共有1500名学生，请估计全校“非常了解”人工智能技术的学生人数． 【答案】（1）200 （2）见解析， （3）300名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总量，正确利用图中数据解题是关键． （1）结合条形统计图和扇形图即可解答； （2）计算出类别对应人数，补全条形统计图，再计算扇形统计图对应的圆心角即可； （3）利用样本估计总量即可解答． 【小问1详解】 解：三类总人数为人，占总人数的90%， 故总人数为， 答：本次调查共抽取了名学生； 【小问2详解】 解：补全D的条形为人，如图所示， “不了解”圆心角为：； 【小问3详解】 解：全校“非常了解”AI技术的人数：名． 22. 某数学兴趣小组测量神农广场炎帝雕像的高度（含底座），测量方案与数据如表： 项目名称 测量神农广场炎帝雕像的高度 方案 方案①“测角仪” 方案②“直臂尺法” 方案示意图 测量过程 ①选取与雕像底部位于同一水平地面的处； ②站在处，用测角仪测量从眼睛处看雕像顶部的仰角； ③测量，两点间的距离； ④测量眼睛到地面的高度． ①人站在与雕像底部位于同一水平地面的处；手臂水平伸直，拇指竖起； ②调整人与雕像的距离，利用视线使眼睛、拇指顶端与雕像顶部在同一直线上； ③测量，两点间的距离； ④测量眼睛到地面的高度； ⑤测量手臂长，拇指长． 测量数据 米；；米． 米；米； 米；米． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③参考数据：，， ①图上所有点均在同一平面内； ②，，，均与地面垂直； ③手臂与地面平行； 请你从以上两种方案中任选一种，求炎帝雕像的高度是多少米？（结果精确到米） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，方案①根据锐角三角函数的定义求出即可求解；方案②利用相似三角形的判定和性质求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：选方案①： 由题意得，四边形是矩形， 米，米，， 米， ∴米， 答：雕像高约为米； 选方案②： 由题意得，，四边形是矩形， ∴米，米，， ∴， 即， ∴米， ∴米， 答：雕像高约为米． 23. 某商场准备采购智能手表和蓝牙耳机进行促销，智能手表的单价是蓝牙耳机的4倍，用2400元单独购买智能手表比单独购买蓝牙耳机少12个． （1）求智能手表和蓝牙耳机的单价； （2）若计划采购两种产品共60个，且智能手表数量不少于蓝牙耳机的，如何采购可使总成本最低？最低成本是多少元？ 【答案】（1）耳机单价150元，手表单价600元 （2）采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用等，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键． （1）设蓝牙耳机单价为元，智能手表单价为元．依据“元单独买智能手表比单独买蓝牙耳机少个”这一条件列方程，求解并检验得出蓝牙耳机单价，进而求出智能手表单价． （2）设采购智能手表个，则蓝牙耳机个．先根据“智能手表数量不少于蓝牙耳机”列不等式确定的取值范围，再根据单价列出总成本关于的函数表达式，利用一次函数性质求出最小值及对应的采购数量． 【小问1详解】 解：设蓝牙耳机单价为x元，则智能手表的单价为元，根据题意得 解得： 经检验：是所列方程的解． 元， 答：蓝牙耳机单价为150元，智能手表单价为600元． 【小问2详解】 设采购智能手表m个，则蓝牙耳机采购个，根据题意得 ∵蓝牙耳机单价150元，智能手表单价600元； 设采购总成本为W元，则 ，， （元） 采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元． 24. 如图，在以为直径的上有一点，以为对角线作正方形，恰好点在直径上，连接并延长交于点，连接． （1）求的值； （2）若的半径为2，求弦的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，正方形的性质，解直角三角形，熟知直角三角形中各边之间与三角函数对应的关系是解题的关键． （1）设正方形的边长为a，利用正方形的性质即可解答； （2）设，利用勾股定理列方程求得，即可解答． 【小问1详解】 解：设正方形的边长为a， 则圆O的半径， ， ； 【小问2详解】 解：为的直径， ， 半径， ， ， 设， 则， ， ． 25. 【问题背景】如图1，正方形的边长为8，是正方形内一点，是直角三角形，，把绕点逆时针旋转到，连接交于点，连接． 【初步感知】（1）求证：； 【研究感悟】（2）求线段长度的最小值； 【深度探索】（3）在线段上截取，连接，如图2所示，若，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，点到圆的距离，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，即可解答； （2）利用定弦定角可得在以为直径的圆M上运动，圆心为的中点，利用颠倒圆的距离即可解答； （3）证明，求得，，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：（1），由逆时针旋转知， ，， ， ； （2） 在以为直径的圆M上运动，圆心为的中点，如图， ，， 在正方形中，，，连接 根据勾股定理可得， 当点E在线段上时（即D、E、M三点共线），取得最小值． 此时； （3）由题意知，在中，，， ，， 由旋转知，，， 由（1）知， ， ， 设，则， ， ， ， ，， 在中， ． 26. 二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． （1）求此二次函数的解析式和点的坐标； （2）如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）存在点 （3）或 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，直线与圆位置关系等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据点在函数图象上，对称轴直线，运用待定系数法求解即可． （2）分为①当时，②当时，结合图象和全等三角形判定求解即可． （3）先算出①当与线段相切时，②当经过点时，③当经过点时，对应的临界值，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得：， 二次函数解析式为：， ， 令，解得：或4， 令，则， ，， 故此抛物线的解析式为：，． 【小问2详解】 解：如图，对称轴是直线， ①当时，P在第一象限，， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， ． ②当时，P在第四象限，显然与不全等； （或者， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， 与不全等） 综上所述，存在点，使与全等． 【小问3详解】 解：依题意知：的半径， ①当与线段相切时，如图所示， 设切点为H，连接，则，，， ，， ， ， ， ； ②当经过点时，M为中点，． ③当经过点时，如图， ，，， ， ， ， ， 当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $