第一章　集合、常用逻辑用语、不等式（新高考通用）-2026年高考数学一轮备考

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 【必刷题】 【分值：73分】 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.已知集合A＝{x||x－1|≤4}，B＝，则A∩(∁RB)等于(　　) A.(0，4) B.[0，4) C.[－3，0]∪(4，5] D.[－3，0)∪(4，5] 【答案】C 【解析】由|x－1|≤4，得－4≤x－1≤4， ∴－3≤x≤5，则A＝[－3，5]， 由≥0，得 ∴0<x≤4，则B＝(0，4]，∁RB＝(－∞，0]∪(4，＋∞)， 故A∩(∁RB)＝[－3，0]∪(4，5]. 2.已知直线a，b和平面α，a⊄α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为b∥α，则存在c⊂α使得b∥c且b⊄α， 若a∥b且a⊄α，则a∥c， 又a⊄α且c⊂α，所以a∥α，充分性成立； 设β∥α，b⊂β，a⊂β，a∩b＝P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件. 3.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x≥1}，若(∁RB)∪A＝A，则实数a的取值范围为(　　) A.{a|a≥1} B.{a|a>1} C.{a|a≤1} D.{a|a<1} 【答案】A 【解析】因为B＝{x|x≥1}，∁RB＝{x|x<1}， 因为(∁RB)∪A＝A，所以(∁RB)⊆A， 所以a≥1. 4.已知a>b>0>c，n∈Z，则下列不等式一定成立的是(　　) A.ab<bc B.a－b>b－c C.an>bn D.b(b－c)<a(a－c) 【答案】D 【解析】对于A，由a>b>0>c，可得ab>0>bc，所以A错误； 对于B，例如，当a＝2，b＝1，c＝－3时，可得a－b<b－c，所以B错误； 对于C，例如，当a＝2，b＝1，n＝－1时，a－1<b－1，所以C错误； 对于D，由a>b>0>c，可得0<b－c<a－c，又由0<b<a，根据不等式的性质，可得b(b－c)<a(a－c)，所以D正确. 5.关于x的不等式ax2－2x＋1>0对∀x∈R恒成立的一个必要不充分条件是(　　) A.a>0 B.a>1 C.0<a< D.a>2 【答案】A 【解析】当a＝0时，则有－2x＋1>0，解得x<，不符合题意； 当a≠0时，有解得a>1. 综上所述，关于x的不等式ax2－2x＋1>0对∀x∈R恒成立的充要条件为a>1， 所以一个必要不充分条件是a>0. 6.已知a2＋b2＝ab＋4，则a＋b的最大值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.2 【答案】B 【解析】a2＋b2＝ab＋4，则有(a＋b)2＝3ab＋4≤＋4， 可得(a＋b)2≤16，即a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立. 所以a＋b的最大值为4. 7.已知关于x的一元二次不等式x2－(m＋1)x＋2m－1<0的解集为{x|x1<x<x2}，其中x1<x2，且实数x1，x2满足<1，则实数m的取值范围是(　　) A.(2，＋∞) B.(－∞，2) C.∪(2，＋∞) D.∪(5，＋∞) 【答案】D 【解析】由不等式的解集可得，方程x2－(m＋1)x＋2m－1＝0的根为x1，x2， 可得x1＋x2＝m＋1，x1x2＝2m－1， 由Δ＝(m＋1)2－4(2m－1)>0，得m>5或m<1， 由<1，得<0， 即(m－2)(2m－1)>0，解得m>2或m<， 综上，实数m的取值范围是∪(5，＋∞). 8.(2025·焦作模拟)已知正实数m，n满足(m－1)(m＋n)＝(1＋n)(1－n)，则m＋n的最大值为(　　) A.2 B.8 C.12 D.16 【答案】A 【解析】依题意得m2＋n2－(m＋n)＋mn＝1， 则1＝(m＋n)2－(m＋n)－mn≥(m＋n)2－(m＋n)－(m＋n)2， 即1≥(m＋n)2－(m＋n)，则3(m＋n)2－4(m＋n)－4≤0，且m＋n>0， 解得0<m＋n≤2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，则m＋n的最大值为2.故选A. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.对于实数a，b，c，d，下列命题是真命题的是(　　) A.若a>b，c<d，则a－c>b－d B.若ac2>bc2，则a>b C.若a>b>0，c<0，则> D.若a>b，则ac<bc 【答案】ABC 【解析】对于A选项，因为a>b，c<d，则－c>－d，由不等式的基本性质可得a－c>b－d，A对； 对于B选项，若ac2>bc2，则c2>0，由不等式的基本性质可得a>b，B对； 对于C选项，因为a>b>0，c<0，则>0，所以>，C对； 对于D选项，当c＝0时，ac＝bc，D错. 10.当一个非空数集G满足“如果a，b∈G，则a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0时，∈G”时，我们称G就是一个数域，则下列命题正确的是(　　) A.0是任何数域的元素 B.若数域G有非零元素，则2 025∈G C.集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域 D.有理数集是一个数域 【答案】ABD 【解析】对于A，根据当a∈G时，则a－a∈G，即0∈G，所以0是任何数域的元素，故A正确； 对于B，根据当b≠0时，b∈G，则∈G，即1∈G，进而1＋1＝2∈G，2＋1＝3∈G，…，2 024＋1＝2 025∈G，故B正确； 对于C，对2∈P，4∈P，但∉P，不满足题意，所以集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}不是一个数域，故C不正确； 对于D，若a，b是有理数，则a＋b，a－b，ab，(b≠0)都是有理数，故有理数集是一个数域，故D正确. 11.已知a>0，b>0且a＋b＝1，下列结论正确的是(　　) A.有最小值为4 B.有最小值为 C.有最大值为2 D.a2＋b2有最小值为 【答案】AD 【解析】对于A，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当，即a＝b＝时取等号，因此本选项正确； 对于B，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2⇒≤，当且仅当a＝b＝时取等号，即有最大值，因此本选项不正确； 对于C，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以≤⇒≤，当且仅当a＝b＝时取等号，因此本选项不正确； 对于D，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以≥⇒a2＋b2≥， 当且仅当a＝b＝时取等号，因此本选项正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.已知p：|x－1|<1，q：x2－(a＋1)x＋a≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【答案】(0，2) 【解析】由|x－1|<1，解得0<x<2，所以p：0<x<2， 对于q：x2－(a＋1)x＋a≤0，即(x－1)(x－a)≤0， 若a>1，解得1≤x≤a，要使p是q的必要不充分条件，则a<2，所以1<a<2； 若a<1，解得a≤x≤1，要使p是q的必要不充分条件，则a>0，所以0<a<1； 若a＝1，则q为{x|x＝1}，符合题意，所以实数a的取值范围是(0，2). 13.若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋<m2－m有解，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　.  【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞) 【解析】由两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy， 得＝2， 则x＋ ＝≥＝2， 当且仅当，即y＝4x＝4时取等号， 由不等式x＋<m2－m有解， 得m2－m>2，解得m<－1或m>2， 所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞). 14.在集合的运算中，一个集合与它在全集中的补集是一一对应的，形成了“集合对”，这种配对方式在解决集合问题时经常用到.现全集U中含有11个元素.对于集合U的k个互不相同的子集A1，A2，…，Ak，它们两两的交集都不是空集，且U的其他子集至少与A1，A2，…，Ak中的一个的交集为空集，那么k＝　　　　　　.  【答案】1 024 【解析】由全集U中含有11个元素，则有211个子集，其中按互补关系可配成210对， (1)根据题意，每对不能同时取，否则它们的交集为空集，不符合题意； (2)每对不能都不取，否则设集合A，B互补且都没有取， 若A不被取，因为已取的集合中有与集合A交集为空集的C，其中C一定是B的子集； 若B不被取，因为已取的集合中有与集合B交集为空集的D，其中D一定是A的子集， 而集合C与D的交集为空集，却都被取得了，此时与题意矛盾， 综上可得，实数k＝210＝1 024. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 【必刷题】 【分值：73分】 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.已知集合A＝{x||x－1|≤4}，B＝，则A∩(∁RB)等于(　　) A.(0，4) B.[0，4) C.[－3，0]∪(4，5] D.[－3，0)∪(4，5] 2.已知直线a，b和平面α，a⊄α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x≥1}，若(∁RB)∪A＝A，则实数a的取值范围为(　　) A.{a|a≥1} B.{a|a>1} C.{a|a≤1} D.{a|a<1} 4.已知a>b>0>c，n∈Z，则下列不等式一定成立的是(　　) A.ab<bc B.a－b>b－c C.an>bn D.b(b－c)<a(a－c) 5.关于x的不等式ax2－2x＋1>0对∀x∈R恒成立的一个必要不充分条件是(　　) A.a>0 B.a>1 C.0<a< D.a>2 6.已知a2＋b2＝ab＋4，则a＋b的最大值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.2 7.已知关于x的一元二次不等式x2－(m＋1)x＋2m－1<0的解集为{x|x1<x<x2}，其中x1<x2，且实数x1，x2满足<1，则实数m的取值范围是(　　) A.(2，＋∞) B.(－∞，2) C.∪(2，＋∞) D.∪(5，＋∞) 8.(2025·焦作模拟)已知正实数m，n满足(m－1)(m＋n)＝(1＋n)(1－n)，则m＋n的最大值为(　　) A.2 B.8 C.12 D.16 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.对于实数a，b，c，d，下列命题是真命题的是(　　) A.若a>b，c<d，则a－c>b－d B.若ac2>bc2，则a>b C.若a>b>0，c<0，则> D.若a>b，则ac<bc 10.当一个非空数集G满足“如果a，b∈G，则a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0时，∈G”时，我们称G就是一个数域，则下列命题正确的是(　　) A.0是任何数域的元素 B.若数域G有非零元素，则2 025∈G C.集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域 D.有理数集是一个数域 11.已知a>0，b>0且a＋b＝1，下列结论正确的是(　　) A.有最小值为4 B.有最小值为 C.有最大值为2 D.a2＋b2有最小值为 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.已知p：|x－1|<1，q：x2－(a＋1)x＋a≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  13.若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋<m2－m有解，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　.  14.在集合的运算中，一个集合与它在全集中的补集是一一对应的，形成了“集合对”，这种配对方式在解决集合问题时经常用到.现全集U中含有11个元素.对于集合U的k个互不相同的子集A1，A2，…，Ak，它们两两的交集都不是空集，且U的其他子集至少与A1，A2，…，Ak中的一个的交集为空集，那么k＝　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$