山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题

山东省实验中学2025届高三第一次模拟考试 数学试题2025.05 说明：本试卷满分150分。试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规 定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.已知集合D-={本∈N,x≥2，A={xx=mn,m∈D,n∈D},B={x|x2≤64，则A∩B= A.{4,6,8} B.{2,4,6,8 C.{2,6,8 D.{6,8} 2.已知两个单位向量a,6满足a1(a-2),则-列= A.0 B C.1 D.2 3.已知曲线C:mx2+y2=1(mn≠0)，则命题“m<n”是命题“曲线的焦点在x轴”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.实数a,b满足a+b+1=0,则a2-2a+b2的最小值为 A.2 B.1 C.0 D.-1 5.等差数列的前n项和为Sn,若S2=5,S=10,则S8= A.8 B.10 C.12 D.15 数学试题第1页，共5页 6.已知函数f(x)=3sin(aox+p)(o>0,Mlπ的部分图 象如图所示， 则侣 11m 512 A.0 B、2 D.-3 2 7、已知半径为√的球O的球心到正四面体ABCD的四个面的距离都相等，若正四面体 ABCD的棱与球O的球面有公共点，则正四面体ABCD的棱长的取值范围为 A.[4,45] B.[4,12] c.[2512] D.[24W5 8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f()=-1,当x∈(1,2)时， f=08:x-+x,则方程[+引-0在区间2网上的根的个数为 A.9 B.10 C.11 D.12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.数据2,1,3,4,2,5,4,1的第45百分位数是4 B.若数据x,,…,的标准差为，则数据2x,2x2,2x,,2x,的标准差为4s C.随机变量x服从正态分布N(化，2，若P(x>0)-子，则P(0<x<2)= D.随机安量y服从三项分布Bp,若方差D)-子则P收=2到=品 数学试题第2页，共5页 10.已知定义在R上且不恒为0的函数f(x),对任意的xy∈R,都有f(y)=对(y)+f(x), 则 A.f(8)=12f(2) B.f(x)为周期函数 C.f(x)是奇函数 D.若f(2)=2,则2f(2)=(m+1)2°-2 11,已知曲线C:y2+si血x=5,则以下结论正确的是 A.y的范围是[-6，V6] B.若y>0,则曲线C具有周期性 C.曲线C既是轴对称图形又是中心对称图形 D.曲线C与圆D:x2+y2=5有公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若复数z满足z(1+)=2i,则z= 13.若数列{a}满足a=1,a1=(-1)an+1,则{a}的前2025项的和为 14.已知函数f(x)=2x-恤x-d.若存在实数a,使得集合 -}中的元素至少 有2个，则实数t的最小值为 数学试题第3页，共5页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且 $$a ^ { 2 } \cos B + a b \cos A = 2 c .$$ (1)求 $$a _ { 3 }$$ (2)若， $$A = \frac { 2 \pi } { 3 } ，$$ ，且 △ABC 的周长为 $$2 + \sqrt 5 ，$$ ，求 △ABC 的面积 16.(15分)在三棱锥 P-ABC 中， $$A B = 2 ， B C = 4 ， P A = 2 \sqrt 2 ， P B = P C ，$$ ^{∘}， $$P _ { A }$$ BC⊥AB，PA⊥AB. A B (1)求三棱锥 P-ABC 的体积； C (2) 求平面PAC与平面PBC 的夹角的余弦值. 17.(15分)已知函数 f(x)=cosx+xsinx，x∈(-π，π). (1)求 f(x) 的单调区间和极小值； (2)证明：当 x∈[0，π) 时， $$2 f \left( x \right) \le e ^ { x } + e ^ { - x }$$ 18.(7分)已知双曲线 $$C ： \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \left( b > a > 1 \right)$$ a>1)的渐近线方程为 $$y = \pm \sqrt 2 x ， C$$ 的半焦距为 $$C _ { 3 }$$ 且 $$a ^ { 4 } + b ^ { 4 } + 4 = 4 c ^ { 2 } .$$ (1)求C的标准方程； (2)若P为C上的一点，且P为圆 $$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$$ 外一点，过P作圆 $$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$$ 的两条切线 $$l _ { 1 } ， l _ { 2 }$$ (斜 率都存在) ， $$l _ { 1 }$$ 与C交于另一点 $$M ， l _ { 2 }$$ 与C交于另一点N，证明： $$\left( i \right) l _ { 1 } ， l _ { 2 }$$ 的斜率之积为定值； (ii)存在定点A，使得M，N关于点A对称. 数学试题第4页，共5页 19.(17分)已知数列{an}满足a=0,并且对任意的n∈N',am+1取an-1或a,+1的概率 均为} (1)求a=0的概率： (2)设aa的值为随机变量X. ()求X的分布列： (甜求随机变量X的数学期望EX): 数学试题第5页，共5页 山东省实验中学2025届高三第一次模拟考试 数学答案 2025.05 一、单项选择题.14ACDB5~8CBAC 二、多项选择题.9.CD 10.AC 11.BCD 三、填空题.12.1-i 13.1013 14.- e 四、解答题 15.(13分)解：(1)因为a2cosB+abcos A=2c,所以a(acos B+bcos A)=2c1分 由正弦定理得a((sin Acos B+sin Bcos A)-2sinC,.………….2分 所以asin(A+B)=2SinC.…….3分 因为A+B=元-C,所以sin(A+B)=sinC,故asin C=2sinC,.….…4分 又sinC>0,所以a=2.… …………6分 2)油(1)及已知，有cosA=2+c2-a2=b2+c2-41 7分 2bc 2bc 2 则b2+c2+bc=4. 8分 又a+b+c=2+√5，所以b+c=V5, …………9分 所以(b+c)2-bC=5-bC=4,得bC=1,…………11分 .13分 4 数学试题第1页，共6页 16.(15分)解：(1)：AB⊥BC,.以B为原点，以BA所在直线 为x轴，以BC所在直线为y轴，过点B且垂直于平面ABC的直 线为z轴，建立如图空间直角坐标系。2分 PB=PC=23,设P(x,y,z），A(2,0,0),B(0,0,0), C(0,4,0) PA=22 (x-2)2+y2+z2=8 x=2 PB=25,{x2+y2+z2=12,y=2,.P(2,2,2)5分 PC=213 x2+(y-42+z2=121z=2 14,7分 (2)设平面PAC的法向量m=(x,y,z),AP=(0,2,2),CP=(2,-2,2)， s620u=2-1=24-9分 AP.m=02y+2z=0 x=2 z=-1 设平面PBC的法向量n=(x,y,z),BC=(0,4,0), BC·n=04y=0 x=1 元02x-2y+220取r=y=0aa=0-0山交 z=-1 设平面PAC与平面PBC的夹角为8， cos0=os(， n 3 2 .14分 所以平面PAC与平面PBC的夹角的余弦值为- 2 15分 数学试题第2页，共6页 17.(15分)解：(1)f'(x)F-sinx+sinr+xcOSx=xcosx. 2分 当-<-时，f(w)P0)单调递增：当-<0时，了w0)弹调递减 当0<时，f(x少0x)单调递增，当<时，∫w0,w)单调递减 所以)的单调递增区间为(x引引 单调递减区间为(-0侣小 …………4分 fx)的极小值为0)=1. .5分 (2)i证明：当x∈[0，)时，令F(x)=e+et-2(cosr+xsinx),…6分 求导得F'(x)=e-ex-2 xcOS x之e-ex-2x. 9分 令p(x)=er-e-2x,求导得p'(x)=e+e-222 Vex.ex-2=0(当且仅当=0时取等号)， 12分 所以函数p(x)在[0，π)上单调递增，则p(x)2p(0)=0…13分 所以F'(x)≥0，则Fx)在[0，π)上单调递增， 14分 因此Fx)2F(O)=0, 所以2x)e+er.… ,+0,。。0+:+。0,5入 数学试题第3页，共6页 18.(17分)解：(1)因为C的渐近线方程为y=±2x,所以=2， 则b2=2a2, …分 所以2c=2Wa2+b2=2N5a. …2分 因为a4+b4+4=4c2,所以a4+4a4+4=12a2,得(a2-2)(5a2-2)=0. 因为1，所以>1，则a2-2,所以6P-2a2-4,故C的标准方程为号-上 =1. 24 4分 (2)证明：（①）设P(xoo),Mx1y),N(x2y2),如图所示， 设过点P的切线的斜率为k,则切线方程为y=(x-xo, 即kxyy0-kx0=0,…………5分 由圆心0,0)到切线的距离等于半径，得-怎=2， 7分 Vk2+1 E(4-xg)k2+2kxoyo+4-y=0, 因为，b的斜率，：是以上方程的两个根，则kk=4二兰 4-x网 …9分 又因为登季1所以站是-荟2， 24 所以1,2的斜率之积为定值，且定值为2 ，……10分 ()由 y-%=k(x-) 2x2-y2=4 消去y得(2-k3)r2-2k00-k1x0)x-k经x+2kx00-y-4-0.…11分 数学试题第4页，共6页 因为(4-x)k3+2k1xoo+4-y=0, -4(k+2) 所以2-k3x2-2k0o-kxox4k经+2)-0，则x,=2- ,…13分 同理可得x。= -4(k3+2) 2-k好 ……14分 所以五=-4+2.2-)=4-好好+2-经 x2(2-k)-4(好+2)4-k好-2(k好-经) 因为k2,所以4k好-0所以三=25-=-1，则t0…16分 五-2(k-好) 因为Mx1y),N(x2y2)都在C上，所以y1+2=0或y1y2(舍去)，所以存在定点A(0,0), 使得M,N关于点A(0,0)对称. 17分 1、11 19.(17分)解：(1)当a=0,a2=1,4=0时概率为。× 22-4 1.11 当a1=0,a2=-1,a3=0时概率为三×。=二 224 所以4，=0的概率为4+4立… 1,11 4分 (2)①设d,=a1-a,则对任意正整数md,取1或-1的概率均为2，且 .6分 设a2mH=k.显然，M≤2n, 并设此时d,d2,,dn中有x个1,2n-x个-1.则X-(2n-x=k. 数学试题第5页，共6页