第二章 圆锥曲线 章末小结课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线 第二章章末小结 1 知识导图 2 题型1 圆锥曲线的定义及应用 例1（1） [2023年北京卷] 已知抛物线的焦点为，点在上，若点 到 直线的距离为5，则 ( ) . D A.7 B.6 C.5 D.4 [解析] 因为抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，点 在C 上，所以点到准线的距离为 . 又点到直线的距离为5，所以，故 . 题型探究 3 （2） [2023年全国甲卷] 设为坐标原点，，为椭圆 的两个焦点， 点在上，，则 ( ) . B A. B. C. D. 题型探究 4 [解析] 依题意知,, .如图，不妨 令， . 设,, . 在中， , ① 由椭圆的定义可得 . ② 由①②，解得 . 因为在和中， ， 分别由余弦定理可得 , 即，所以 . 题型探究 5 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解 三角形的知识来解决；在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转 化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.运用定义解题时应注意圆锥 曲线定义中的限制条件.本题渗透了数学运算、逻辑推理的素养. 题型探究 6 题型2 圆锥曲线的方程 例2（1） [2023年天津卷] 双曲线的左、右焦点分别为 ， ，过点作其中一条渐近线的垂线，垂足为.已知，直线的斜率为 ， 则双曲线的方程为( ) . D A. B. C. D. 题型探究 7 [解析] 如图，因为，不妨设渐近线方程为 ，即 ，所以，所以 .又 ，所以.因为,所以.又点 在渐近线上，所以，所以点的坐标为 .因为 ，所以 ，所 以，解得，所以双曲线的方程为 ，故选D. 题型探究 8 （2） [2023年天津卷] 过原点的一条直线与圆 相切，交曲线 于点，若，则 的值为___. 6 [解析] 易知圆和曲线的图象都关于 轴对称，不妨设切 线方程为，所以，解得，由解得 或 所以点的坐标为，所以 ，解得 . 题型探究 9 求解已知曲线类型的曲线方程问题时，一般采用“先定形，后定式，再定量” 的步骤.（1）定形——明确二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.（2）定式——根据 “形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上 时，可设方程为 .（3）定量——由题设中的条件找到“式” 中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 题型探究 10 题型3 圆锥曲线的几何性质 例3 [2023年新高考全国Ⅰ卷] 已知双曲线 的左、右焦点分 别为,.点在上，点在轴上，,，则 的离心率为_ ___. 题型探究 11 [解析] 由题意可知，,,设,,所以 , . 因为,所以 即所以 ， 所以, . 题型探究 12 因为,所以 , 即，解得 . 因为点在双曲线上，所以,又 , 所以,即 , 化简得，所以,所以 . 题型探究 应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合、方程等思想结合运用.本题考 查了数学运算、直观想象以及逻辑推理的素养. 题型探究 14 题型4 直线与圆锥曲线的位置关系 例4 [2023年新高考全国Ⅱ卷] 已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为 ， 离心率为 . （1）求 的方程； （2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于， 两点， 点在第二象限，直线与交于点.证明:点 在定直线上. 题型探究 15 [解析] （1）设双曲线的方程为，为双曲线 的半焦距， 由题意得解得 所以双曲线的方程为 . 题型探究 16 （2）设，，直线的方程为 ， 则， . 联立得得 . 因为直线与双曲线的左支交于,两点，所以,且 . 由根与系数的关系得所以 . 因为,分别为双曲线 的左、右顶点， 所以， . 题型探究 17 直线的方程为，直线的方程为 , 联立直线与直线的方程可得,即 . 题型探究 18 因为 ， 所以，解得 ， 所以点在定直线 上. 题型探究 19 直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方 面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类 问题应注意数形结合，以形辅数的方法，还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关 系以及“点差法”等.本题渗透了数学运算、逻辑推理、直观想象的素养. 题型探究 20 题型5 与圆锥曲线有关的最值和范围问题 例5 [2023年全国甲卷] 已知直线与抛物线交于 ， 两点， ． （1）求 ； （2）设为的焦点，，为上两点，，求 面积的最小值． 题型探究 21 [解析] （1）设, , 把代入,得 ， 则,得 . 由根与系数的关系，可得, , 所以,解得 或 （舍去）, 故 . 题型探究 22 （2）设,，由（1）知抛物线,则点 . 因为,所以 ， 则 题型探究 23 ①当直线的斜率不存在时，点与点关于 轴对称, 因为 , 所以直线与直线的斜率一个是1，另一个是 . 不妨设直线的斜率为1，则 , 由得 , 得或 代入式计算易得，当时， 的面积取得最小值，最小值为 . 题型探究 24 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为 . 由得, , 则， , . 又 , 所以,化简得 . 所以 . 题型探究 25 令,则 , 因为 , 所以 , 即,得或 , 从而得 . 故面积的最小值为 . 题型探究 圆锥曲线中的最值问题通常有两类:一类是有关长度、面积的最值问题；一类 是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题.这两类问题的解决往往通过回归定义，结合所 学平面几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合，设 参，转化，代换等途径来解决.本题考查考生的数学运算、逻辑推理的素养. 题型探究 27 题型6 圆锥曲线中的定点、定值问题 例6 [2023年全国乙卷] 已知椭圆的离心率为，点 在 上． （1）求 的方程； （2）过点的直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为， ，证 明：线段 的中点为定点． 题型探究 28 [解析] （1）因为点在上，所以,得 . 因为椭圆的离心率,所以,又,所以 , ,故椭圆的方程为 . 题型探究 29 （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设, , . 由得 , 则,则 , 故, . 直线的方程为,令,解得,同理得 , 题型探究 30 则 . 所以的中点的纵坐标为,即的中点为定点 . 题型探究 31 对于圆锥曲线中的定点、定值问题，有以下两种求法:（1）从特殊情况入手， 先求含变量的定点（定值），再证明这个点（值）与变量的关系.（2）直接推理、计 算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）. 题型探究 32 圆锥曲线的光学性质及应用 圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过平面直角坐标系，它们又与一元 二次方程对应，所以圆锥曲线又叫作二次曲线.圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题 之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线. 拓展延伸 33 一、圆锥曲线的光学性质 1.椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个 焦点上，如图. 拓展延伸 34 椭圆的这种光学性质，常被用来设计一些照明设备或聚热装置，例如 处放置一 个热源，那么红外线也能聚焦于处，对 处的物体加热.电影放映机的反光镜也是这 个原理. 拓展延伸 35 2.双曲线的光学性质 从双曲线的一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇 聚到双曲线的另一个焦点上，如图. 双曲线的这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用. 拓展延伸 36 3.抛物线的光学性质 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称 轴，如图所示. 拓展延伸 37 抛物线的这种聚焦性质，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、 汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成 为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向.卫 星通信像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线对称轴旋转得到的，把接收器置 于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射 线最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，让对 称轴跟踪卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样 保证接收效果.最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点 处的储水器的. 拓展延伸 38 二、圆锥曲线光学的应用 例1 如图所示，椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦 点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一 个焦点，根据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线 的方程 为，其左、右焦点分别是，，直线 与椭圆 切于点，且，过点且与直线垂直的直线 与 椭圆长轴交于点，则 _____. [解析] 由椭圆的光学性质得到直线平分，所以 ， 由，得，故 . 拓展延伸 39 例2 双曲线的光学性质如下:如图①，从双 曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反 射，反射光线的反向延长线经过左焦点 . 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就 是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲 线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分， 如图②， 拓展延伸 40 其方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点 发出 的光线经双曲线上的点和点反射后，满足 ， ，则该双 曲线的离心率为( ) . C A. B. C. D. 拓展延伸 41 [解析] 易知，A，D共线， ，B，C共线，如图， 设，，则 ， 由得， ， 又 ， 所以，则 ， 所以 ， 所以 ， 拓展延伸 42 由得 ，整理得 , 因为，所以，则 ， 在中，，即 ， 所以 .故选C. 拓展延伸 例3 抛物线具有以下光学性质:从焦点出发的光线经抛物线反射 后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如 图，从抛物线的焦点发出的两条光线， 分别经抛物 线上的，两点反射，已知两条入射光线与 轴所成锐角均为 ，则两条反射光线和 之间的距离为( ) . C A. B. C. D. 拓展延伸 44 [解析] 由得， ，所以 ，即,由消去得 ， 所以，（舍去），即 . 同理，即，由消去 得 ，所以，（舍去），即 . 所以，即两条反射光线和之间的距离为 .故选C. 拓展延伸 45 三、总结 我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如 此，太阳则位于椭圆的一个焦点上.如果这些行星运行速度增大到某一程度，它们就会 沿抛物线或双曲线运行.人类发射人造地球卫星或人造行星就是遵照了这个原理. 由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫作旋转抛物面的曲面.它也有一条轴，即抛物 线的轴.在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射 出来以后，都成为平行于对称轴的直线.这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转 抛物面的道理. 拓展延伸 46 由双曲线的一支绕其虚轴旋转，可以得到双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组 母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交.人们在设计高大的 立塔时，就采用单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固.（比如教材当中的冷却塔） 由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高.圆锥曲线的光学性质 是奇妙的，奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系.我们只有善于观察，勤于钻研，及时总 结，才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游. 拓展延伸 47 （限时：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1.若抛物线的准线方程是，则 的值为( ) . D A.8 B. C. D. [解析] 将抛物线方程化为标准形式得，其准线方程为 ，所以 . 综合测试 48 2.加斯帕尔·蒙日（图①）是 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时 发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心， 这个圆被称为“蒙日圆”（图②）.那么椭圆 的“蒙日圆”的半径为( ) . A A.3 B.4 C.5 D.6 [解析] 由“蒙日圆”的定义可知，椭圆的两条切线， 的交点 在圆上，所以 . 综合测试 49 3.已知是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于点 ，与抛物线的 准线相交于点，若，则 ( ) . D A.1 B. C.2 D. [解析] 由题意，设点A的横坐标为，则由抛物线的定义，可得，则 ， 所以，，所以 . 综合测试 50 4.已知，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若 ，则 ( ) . C A.1或9 B.3或7 C.9 D.7 [解析] 由题知，，， ， 因为点在双曲线上，且 ， 所以，点在双曲线的左支上，由双曲线定义知，故 . 综合测试 51 5.三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解 决了这个问题.如图，在圆中，为其中一条弦， ，，是弦 的 两个三等分点，以为左焦点，，为顶点作双曲线，设双曲线与弧的交点为 ， 则 .若的方程为，则圆 的半径为( ) . C A. B.1 C.2 D. 综合测试 52 [解析] 由题意知， ， 又的方程为，所以，解得 . 设的中点为，则 ， 由，所以 ， 故圆D的半径为2. 综合测试 53 6.（改编）已知斜率为的直线与双曲线相交于， 两 点，为坐标原点，线段的中点为，若直线的斜率为，则双曲线 的渐近线 方程为( ) . A A. B. C. D. 综合测试 54 [解析] 设，，，则 两式相减得，所以 . 因为，，所以 . 因为，，所以，即 ，故双曲线C的渐 近线方程为 . 综合测试 55 7.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可 近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为 ，短 轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为( ) . B A.30 B.20 C.10 D. 综合测试 56 [解析] 由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同， 由大椭圆的长轴长为，短轴长为 ， 可得焦距为，所以大椭圆的离心率 ， 即小椭圆的离心率 ， 又小椭圆的短轴长为，即 ， 由，可得 ， 所以小椭圆的长轴长为 . 综合测试 57 8.如图，已知抛物线和圆 ， 过抛物线的焦点作直线 与上述两曲线自左而右依次交于点 ，，，，则 的最小值为( ) . D A. B.2 C.3 D. 综合测试 58 [解析] 由抛物线可知焦点为 . 当直线的斜率为0时，直线的方程为，代入抛物线方程解得, ，代 入圆的方程得, ， 所以, ； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为 ， 综合测试 59 由得 ， 设,，则，由抛物线的定义可知, , 所以,，所以 ， 当且仅当 时取等号. 因为，所以的最小值为 . 综合测试 60 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9.已知曲线 ，( ) . AD A.若，则是椭圆，其焦点在 轴上 B.若，则是椭圆，其焦点在 轴上 C.若，则是圆，其半径为 D.若，，则 是两条直线 综合测试 61 [解析] 若，则可化为，因为 ，所以 ，即曲线C表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确，故B错误； 若，则可化为 ，此时曲线C表示圆心在原点，半 径为 的圆，故C错误； 若，，则可化为，即 ，此时曲线C表示平行 于 轴的两条直线，故D正确. 综合测试 62 10.已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中点 在第一象限，点.若 ，则( ) . AC A.直线的斜率为 B. C. D.四边形的面积为 综合测试 63 [解析] 由题意得抛物线的焦点为，点 ， ， 则点A在线段 的垂直平分线上，则点A的横坐标为2.又点A在第一 象限，代入抛物线方程可得点A的纵坐标为，则 ，如 图， 所以直线的斜率 ，故A正确. 直线的方程为 ，与抛物线方程联立得 综合测试 64 解得或 即， ， 则 ，故B错误. ，，则，所以 ，故C正确. 四边形的面积 ，故D错误. 综合测试 65 11.已知双曲线的左、右焦点分别为， ，双曲线的一条渐近 线被圆所截得的弦长为4，且点在双曲线的左支上，在 中 内角分别表示为，， ，则下列表述正确的是( ) . BD A. B.渐近线方程为 C.离心率 D. 综合测试 66 [解析] 令一条渐近线方程为，被圆 截得的弦长为4，则 ， 又，所以，，离心率 ，渐近线方程为 ，故A，C错误，B正确. ，所以D正确. 综合测试 67 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一段，宽为，高为 .根据图中的 坐标系，则这条抛物线的方程为_________. [解析] 由题意，设抛物线方程为 ， 因为，所以，解得 ， 所以抛物线方程为 . 综合测试 68 13.[原创] 已知椭圆的焦距为，且过点 ，则椭圆的 方程为___________. [解析] 由已知可得解得所以椭圆的方程为 . 综合测试 69 14.写出一个同时满足下列条件①②的双曲线 的标准方程:_________________________. ①焦点到渐近线的距离为4；②直线与 的两支都相交. （答案不唯一） 综合测试 70 [解析] 设双曲线方程为 ， 则双曲线的渐近线方程为 ， 因为焦点到渐近线的距离为4， 所以 ， 则双曲线方程为 ， 由得 ， 所以,即 . 综合测试 71 设直线与的交点为， ， 又因为直线与 的两支都相交， 所以，又,解得 ， 所以双曲线的方程可以为 .（答案不唯一） 综合测试 四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16~17题每题15分，第18 ~19题每题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.给出下列条件:①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为1的点 到其 焦点的距离等于2；④抛物线的准线方程是 . （1）对于顶点在原点的抛物线 ，从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛 物线的方程是 ，并说明理由. （2）过点的任意一条直线与抛物线交于，两点,不重合 ，试探 究是否总有 ？请说明理由. 综合测试 73 [解析] （1）因为抛物线的焦点在 轴上，所以条件①适合，条件② 不适合. 又因为抛物线的准线方程为 ， 所以条件④不适合题意. 当选择条件③时, , 此时适合题意. 故选择条件①③时，可得抛物线的方程是 . 综合测试 74 （2）假设总有 ， 由题意得直线 的斜率不为0， 设直线的方程为 ， 由得 ， 设， ， 综合测试 75 所以恒成立,, , 则 ， 所以 ， 所以 ， 综上所述，无论如何变化，总有 . 综合测试 76 16.已知椭圆的离心率为，椭圆的长轴长为 . （1）求椭圆 的方程. （2）若直线与椭圆相交于，两点，点，求证: 为 定值. 综合测试 77 [解析] （1）依题意得解得，， ， 所以椭圆的方程为 . （2）由于直线过定点，该点在椭圆 内， 所以直线与椭圆 必有两个交点. 由消去并化简得 . 综合测试 78 设，，则， ， . 综合测试 17.已知双曲线 . （1）求与双曲线有共同的渐近线，且过点 的双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线交于,两点，且,的中点坐标为，求直线 的斜率. 综合测试 80 [解析] （1）因为所求双曲线与双曲线 有共同的渐近线， 所以设所求双曲线的方程为，将点代入方程，得 ， 所以所求双曲线的标准方程为 . 综合测试 81 （2）设，，因为,在双曲线 上， 所以 得 ， 因为,的中点坐标为，即， ， 所以直线的斜率 . 综合测试 82 18.已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为 ，点 为一个定点，过点作斜率分别为，的两条直线交于点， ， ，，且，分别是线段， 的中点. （1）求轨迹 的方程； （2）若，且过点的两条直线相互垂直，求 的面积的最小值. 综合测试 83 [解析] （1）设动圆圆心的坐标为 ， 由题意可以得到 ， 化简得 ， 所以动圆圆心的轨迹的方程为 . （2）当时，为抛物线 的焦点， 因为过点的两条直线相互垂直，所以，即 ， 设直线的方程为 ， 综合测试 84 设，，联立得 ， 则， ， 所以 . 因为，分别是线段， 的中点， 所以，即 ， 同理 ， 综合测试 85 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故 的面积的最小值为4. 综合测试 86 19.设椭圆过，两点， 为坐标原点. （1）求椭圆 的方程. （2）设的右顶点为，若直线与椭圆交于，两点， 不是左、 右顶点，且满足，证明:直线 过定点，并求该定点坐标. 综合测试 87 [解析] （1）因为椭圆过， 两点， 所以解得 所以椭圆的方程为 . （2）由（1）知，设， ， 则, , 由可知，所以 ， 综合测试 88 即 ， 又 , 所以， 联立消去得 ， 由，得，且， ， 代入方程可得，化简得 ， 综合测试 89 所以，解得或 ， 所以直线的方程为或 ， 所以直线过定点或，根据题意，直线 不过椭圆的左、右顶点，舍去 . 故直线过定点 . 综合测试 90 $$