【三轮冲刺】专题04 几何选填题压轴（四川专用）-2025年四川数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

2025年四川数学中考预测专项突破 专题04 几何选填题压轴（四川专用） 2024年四川中考数学真题几何综合解答题压轴分析（主要针对成都、绵阳、眉山、南充） ❆成都卷：A卷选择题第8题：主要考查的是几何与尺规作图的综合应用，分值4分，难度中等；B卷填空题22题，主要考查是角平分线与直角三角形的综合，分值4分，难度中等偏上； ❆绵阳卷：选择题第12题：主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，分值4分，难度中等偏上； ❆眉山卷：填空题第18道：主要考查圆的综合应用，其中主要以直径所对的圆周角等于90°，圆的基本性质的综合，分值4分，难度中等偏上； ❆南充卷：选择题第10道：主要考查几何综合中多结论问题，分值4分，难度中等偏上；填空题第15题：主要考查的是正方形的性质与判定和折叠问题的综合，分值4分，难度中等； 题型一：几何综合之最值问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川宜宾·二模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连结，将沿折叠得，连结，点是线段的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形与翻折，三角形中位线定理，勾股定理，通过构造三角形中位线得到是解决问题的关键．结合矩形的性质，由折叠可知，，取中点，连接，，则，可得，，由三角形三边关系可知，，当在上时取等号，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠可知，， 取中点，连接，，则， ∴， 又∵点是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， 由三角形三边关系可知，，当在上时取等号， ∴的最小值为， 故选：D． 2．（2025·四川德阳·二模）如图，在中，，，，平分交于点，点为边上一点，当线段长度取最小值时，的周长为（   ）    A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得和，结合角平分线的性质得到和，当时，线段长度的最小，结合角平线的性质可得，则，，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，解得， ∵平分， ∴， ∴，解得， 当时，线段长度的最小， 此时∵平分， ∴，则， ，则， ∴当线段长度取最小值时，的周长为． 故选：C． 3．（2025·四川资阳·一模）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，首先求出，然后证明出，得到，证明出四边形是平行四边形，得到，当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N ∵正方形的边长为3， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴四边形是矩形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴． 故选：C． 4．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在菱形中，点为中点，点在上，，，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称最短路径问题，涉及菱形的性质，等边三角形的性质，三角函数定义，利用轴对称将转化为是解题的关键． 取的中点，连接，将转化为，从而确定其最小值为的长，再证明是直角三角形，利用三角函数即可求出，从而求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，，， 四边形是菱形， 对角线是其一条对称轴， 点为中点， ， ， 即的最小值为的长， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， 在中， ，， ， 的最小值等于， 故选：D． 5．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，矩形中，，交，于，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距距离问题等知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，求的长时也可以用三角形的中位线求解，难点是作辅助线，三点共线时两条线段的和最小. 过点作且连接，又因点在上是一动点，由边与边关系只有当点在直线上时的和最小, 由平行四边形可知时可求的最小值. 【详解】如图所示，过点作且连接, 当点三点共线时,的最值小, 设则 ， 且 ， ∴四边形是平行四边形； ， 又∵点三点共线, ， 又∵四边形是矩形， ， ∴四边形是平行四边形， ， 又，， 在中， 由勾股定理得： 又∵ 则 ， 解得：， ， 在 中， 由勾股定理得：， ， ， 又∵， ， ， ， 又∵ ， ， 故选: D. 6．（2025·四川成都·二模）如图，在等边△ABC中，，点是等边△ABC外一点，连接，，在线段上取一点，使得，连接，若，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理等知识点；取中点，中点，在左边作一个等腰三角形，使，，连接，，，，则，， ，，得到，，再由，得到、、、四点共圆，推出，，即可证明，得到，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，，当、、三点共线时最小． 【详解】解：取中点，中点，在左边作一个等腰三角形，使，，连接，，，， ∵在等边中，， ∴，， ∴， ∵，，中点， ∴，，，， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时最小， 故答案为：． 7．（2025·四川宜宾·一模）如图，在边长为4的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称在的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点．如图：过点M作于F，推出的最小值为的长，证明四边形为菱形，然后利用相似三角形的判定和性质求得的长即可． 【详解】解：作点P关于的对称点， 由折叠的性质知是的平分线， ∴点在上， 过点M作于F，交于点G， ∵， ∴的最小值为的长， 连接， 由折叠的性质知为线段的垂直平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 8．（2025·四川宜宾·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，把向右平移个单位长度，使点与点重合，得到，作点关于的对称点，连接，则有，当点、、三点共线时最短，利用勾股定理求出的长度，即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，把向右平移个单位长度，使点与点重合，得到，延长交于M，则四边形是矩形， ∴，； 四边形是正方形， ，， 则， 由平移的性质可知， ， 作点关于的对称点，连接， 则， ， ， 当点、、三点共线时最短， ∵，， ，， ， 在中，， 的最小值是． 故答案为： ． 9．（2025·四川达州·模拟预测）如图，在△ABC中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】当与点重合时，点与等边三角形的点重合，当点开始运动时，，故点在线段上运动，根据垂线段最短原理，当时，有最小值，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】当与点重合时，点与等边三角形的点重合， 绕点顺时针方向旋转得到， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形，点与点重合时，即为， ，， ， ，， 点在直线上运动， 根据垂线段最短，当时，有最小值，如图，当旋转到时，垂足为，过点作，垂足为， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2025·四川达州·一模）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点是的中点，点是边所在直线上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，推断出“点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行”是解题的关键． 过点作于点，点作于点，分①点在点下方，②点在点上方，③点与点重合三种情况讨论，都可以得到，重合得到点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行，再根据垂线段最短可知：当点与点重合时，最小，重合得解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 为等边三角形， ， ，为中点， ， 为等边三角形， ，， ①当点在点下方时，有两种情况，作图如下： ，， ， ， ， ，，， ； ， 此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行； ， 据上述原理，上图情况，可得， ， 此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行； ②当点在点上方时，作图如下： ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行； ③当点与点重合时，作图如下： 由图可知：， 此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行； 综上所述：点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行．根据垂线段最短可知：当点与点重合时，最小，即． 故答案为：． 11．（2025·四川广安·二模）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点分别作于点于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了矩形的性质、垂线段最短、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接， 先说明四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，由垂线段最短可得时，线段的值最小，即最小；再根据含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小，即最小， ∵， ∴，即的最小值为3． 故答案为：3． 12．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 连接，证明是等腰直角三角形，则有，，求出，然后证明点是外接圆的上的一个动点，故有当点共线时，的长最小，则的面积最小，过点作于点，则四边形是矩形，则有，再由面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴在中，， 连接，由题意可知是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴点是外接圆的上的一个动点， 作的外接圆，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作于点， 当点共线时，的长最小，则的面积最小， 当点共线时，， ∴， ∴是等边三角形，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小面积为， 故答案为：． 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在菱形中，对角线交于点O，，，点E、F分别在、上，且，，点P是上任意一点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，菱形的性质，相似三角形的判定与性质．如图，作点F关于对角线所在直线的对称点，连接、，结合，可得当点P、E、在一条直线上时，取到最大值，最大值即为的长度，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作点F关于对角线所在直线的对称点， 连接、， ∵， ∴当点P、E、在一条直线上时，取到最大值，最大值即为的长度， ∵四边形为菱形，，， ∴， ∴在中，， 由对称性可得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴的最大值为4． 故答案为：． 14．（2024·四川广元·一模）如图，在中，点 D 为边上一个动点，以为边在的上方作正方形，当取得最小值时，的长为 ．      【答案】 【分析】过点作于，由四边形是正方形，得，，可证明，即有，，从而，而，根据二次函数性质可得取得最小值时，，即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示：   四边形是正方形， ，， ，， ，且，， ， ，， ， ， ， 当时，最小，则也最小， 此时， 故答案为：． 15．（2023·四川达州·模拟预测）如图，△ABC中，，点是边上一动点，连接，过点作于点．则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由可得，即得，，设，可得，在中由三角函数可得，，得到，进而得到，即得，可知当时，取最大值，据此即可求解，熟练掌握三角函数的之间的运算关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴ ， 当时，取最大值， ∴的最大值， 故答案为：． 题型二：几何综合之尺规作图问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）如图，在△ABC中，是的中点．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图、平行线的判定和性质、三角形的中位线，理解题意并灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图过程可知，则，可得，再根据是的中点可推出是的中点，即可求解． 【详解】解：A：由作图过程可知，该选项正确，故该选项不符合题意； B：∵，∴，，该选项正确，故该选项不符合题意； C：∵是的中点，，∴，∴，该选项正确，故该选项不符合题意； D：根据已知条件不能得出，故该选项符合题意． 故选：D ． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在△ABC中，是边的中点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点；④连接并延长，交于点． 下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，由作图可得，即得，即可判定；由可判定；由题目条件中和未告知是否相等，可判定，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∴，故选项正确； ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴，故选项正确； ∵题目条件中和未告知是否相等， ∴无法确定与是否相等， 即无法确定与是否相等， ∴与不一定相等，故选项错误； 故选：． 3．（2024·四川泸州·二模）如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D和点E；②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；③以F为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点G；④过点G作射线交于点H．若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，证明，，推出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可知， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 4．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，在△ABC中，，．①分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，作直线，交于点D，连接；②以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线，交线段于点P．根据以上信息推断，下列结论错误的是（    ） A．∠ABP＝∠A B．AD＝CD C．∠PBC＝∠ACD D．∠BPC＝118° 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质．利用基本作图可得到点为的垂直平分线与的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则，接着利用得到，可对A、C选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出，则可对D选项进行判断． 【详解】解：，， ， 由作图痕迹得到平分，点为的垂直平分线与的交点， ，所以A选项不符合题意； ，所以B选项不符合题意； ， ， ， 所以C选项不符合题意； ，， ， ， 选项符合题意． 故选：D． 5．（2024·四川南充·三模）如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交边，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线分别交于点E，G，交的延长线于点F，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平行结合角平分线得到为等腰三角形，判断A和B，证明，判断C，过点作，证明，判断D． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴；故选项C正确，不符合题意； 过点作， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选D． 6．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线与交于点，作交于，于，，．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质可判断选项正误；根据勾股定理解三角形可得，根据两个对应角相等判断后即可根据相似三角形性质判断、；证得后根据相似三角形性质可得，利用勾股定理解三角形即可判断． 【详解】解：依题得：是的角平分线， 在射线上，且，， ， 选项的结论正确，不符合题意； ，， ，， ， 又中，， 且， ， ， ， ，， 选项的结论正确，不符合题意； 选项的结论错误，符合题意； ，， ， ， ， 中，， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：． 7．（2025·四川成都·二模）如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，先根据画图过程得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，设,，则，，在中，由勾股定理求解x值即可解答． 【详解】解：根据画图过程得垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设,，则，， 在中，由勾股定理得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 8．（2025·四川成都·一模）如图，在中，，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作图．熟练掌握勾股定理，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，三角形周长，是解题的关键． 根据勾股定理得，根据角平分线定义得，可得，得，得，，即得的周长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由作图知，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 9．（2025·四川·二模）如图，在△ABC中，，按以下步骤作图： ①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和F； ②作直线，分别交，于点D，M； ③连接，以点D为圆心，长为半径画弧，交于点G，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：由作图可知：是线段的垂直平分线， ，， ， ， 由作图可知：， ， ， 故答案为：． 10．（2025·四川成都·一模）如图，在△ABC中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和点；作直线分别交线段，于点，．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，连接，根据作图得到垂直平分，得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可． 【详解】解：连接， 根据作图得：垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（2025·四川成都·一模）如图，在△ABC中，是边上一点，按以下步骤作图；①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点，②以点为圆心，以BM长为半径作弧，交DA于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交上面的弧于点；④过点作射线交AC于点E．若，三角形的面积为25，则三角形的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，根据作图得到，证明，利用相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； 故答案为：16． 12．（2025·四川南充·一模）如图，在△ABC中，，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点M，N，再分别点M，N为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，过点D作，交于点E．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的三线合一、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题关键．先得出平分，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：由题意得：平分， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 13．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线交边于点D，若，，则的长为 ． 【答案】30 【分析】本题考查作图﹣基本作图以，解直角三角形，角平分线的性质，解答本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等及灵活解直角三角形．过点D作于E，根据角平分线的性质求得，在中，解直角三角形求得，，在中，解直角三角形即可求出． 【详解】解：过点D作于E， ∵平分，， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：30． 14．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查基础作图的方法，平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握基本作图作角平分线的方法，平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键； 根据题意可知，根据平行四边形的性质得到， ，利用勾股定理逆定理求得为直角三角形，证明，进而求解； 【详解】解：根据作法可知，平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，，， ， 为直角三角形， ， ， ， 在中，， 故答案为： 15．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，按下列步骤作图：①以点D为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E.若，，则的周长为 ．    【答案】28 【分析】本题主要考查了角平分线的做法、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握角平分线的作法成为解题的关键． 由尺规作图可得是的平分线，即；再根据平行四边形的性质及等于三角形的性质可得，进而得到，最后根据平行四边形的周长公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，是的平分线， ∴， ∵中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为28． 题型三：几何综合之多结论问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川南充·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与点A重合），过点D作交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，交于点H，连接，则下列结论：①；②当点恰好落在的延长线上时，；③当点在边上运动时，为定值；④当点在边上运动时，长度的最大值为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证出，根据相似三角形的性质即可判断①正确；先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可判断②正确；过点作于点，设，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则，然后根据正切的定义即可判断③正确；先求出，，再证出，根据相似三角形的性质可得，利用二次函数的性质即可判断④正确． 【详解】解：∵四边形和都是矩形，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，则结论①正确； 如图，点恰好落在的延长线上， ∵四边形和都是矩形， ∴， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴当点恰好落在的延长线上时，，则结论②正确； 如图，过点作于点， ∵四边形和都是矩形，， ∴，， 设， 由上已证：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即当点在边上运动时，为定值，则结论③正确； 设，则， 由上可知，，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为， 即当点在边上运动时，长度的最大值为，则结论④正确； 综上，正确结论的个数是4个， 故选：D． 2．（2024·四川南充·二模）如图，在等边△ABC中，，点，分别是，边上的动点．且，以为边向上作等边，与交于点，连接，．下列结论： ①若，则； ②； ③当点为中点时，； ④当点，分别在，边上的运动时，长度的最小值为．其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】对于①，根据等边三角形与直角三角形的性质即可解答；对于②，证明，可得到，再利用，即可得到答案；对于③，连结，以点F为圆心，长为半径作，根据圆周角定理，即可证明点C在上，从而可得结论；对于④，过点D作于点H，设，根据勾股定理可计算得出，当时，即可求出的最小值． 【详解】解：对于①， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 所以①正确； 对于②， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 所以②正确； 对于③， 如图，连结，以点F为圆心，长为半径作， 点为中点，是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 点C在上， ， 所以③正确；    对于④， 如图，过点D作于点H， 设，则， ， ， ，， ， ， 当时，取最小值， 所以④正确．    故选D． 3．（2024·四川达州·一模）如图，正方形的边长为6，点E，F分别在边上，且平分，连接DF，分别交于点G，M，P是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④的最小值为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点．根据正方形的性质和三角形全等即可证明，通过等量转化即可求证，利用角平分线的性质和公共边即可证明，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明推出，通过等量代换可推出③的结论；点在以为直径的上，当三点共线时，有最小值，最小值为，最后通过勾股定理即可求证④的结论正确；结合①中的结论和③的结论可求出的最小值，从而证明②正确． 【详解】解：为正方形， ，， ， ， ． , ， ， ， ． 平分， ． ， ． ， ， 垂直平分，故①正确； 由①可知，，， ， ， ， 由①可知， ．故③正确； ∵， ∴点在以为直径的上，当三点共线时，有最小值，最小值为， ∵为正方形，且边长为6，∴，，∴，∴的最小值为，故④正确； 由①可知，， ， 关于线段的对称点为，过点作，交于，交于， 最小即为，如图所示，    ∵，∴，即的最小会值为， 故②正确． 综上所述，正确的是①②③④． 故选：D． 4．（2024·四川南充·二模）如图，在等边△ABC中，，将绕点C逆时针旋转（），得线段，连接，作的平分线交射线于点E．下列三个结论：①；②当时，；③面积的最大值为．其中正确的结论是（      ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】①首先利用等边三角形的性质和性质的性质得到，然后利用的等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；②如图，过作于，利用等腰三角形的性质得到，然后利用已知条件得到，接着利用勾股定理和三角函数即可求解；③根据①，故点在的外接圆上，当点到的距离最大时，面积有最大值，由此即可求解． 【详解】解：①等边中，， 由旋转的性质可得：， ， ∴，故①正确； ②如图，过作于F， ∵平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 当时，， 在中，， 而， ， 在中，， ， ∴，故②错误； ③根据①，故点在的外接圆上， 当点到的距离最大时，面积有最大值， 此时点与重合， ∴面积的最大值为，故③正确， 故选：C． 5．（2024·四川眉山·一模）如图，在正方形中，E、F分别是上的点，且，分别交于M、N，连接，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①如图，证明和，即可判断； ②利用相似三角形的性质可得，则是等腰直角三角形可作判断； ③如图，将绕点A顺时针旋转得到，证明，则，可作判断； ④设正方形的边长为，则， ，利用平行线分线段成比例求出，利用勾股定理求出，，即可判断． 【详解】如图，∵四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故②正确， ③如图， ∴将绕点A顺时针旋转得到， 则，． ∵． ∵， ∴H、B、E三点共线， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确， 设正方形的边长为，则，， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 6．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连分别交，于点F，G，过点A作交BD于点H．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知是等腰三角形且顶角，据此可判断；②求出和度数，从而得出度数，据此可判断；③证明即可判断；④由、即可得证；⑤设，则、，设，由知，根据是等腰直角三角形，，据此得出，证得，从而得出与的关系即可判断． 【详解】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴、、、， ∴是等腰三角形，且顶角， ∴，故①正确； ∵，，即， ∴， ∴，， ∴， 由知，故②错误； 记与的交点为， 由且知， 则， 在和中， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 在中，设，则、， 设， ∵， ∴， 中，∵、， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 整理，得：， 由得，即，故⑤正确； 综上所述：正确的说法有①③④⑤， 故选：B． 7．（2024·四川达州·二模）如图，在正方形中，点E是边上一点，连接与对角线交于点P，过点P作交于点F，连接交于点G，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（    ）．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意易得，对于①：易知点A、B、F、P四点共圆，然后可得，则问题可判定；对于②：把绕点A顺时针旋转得到，则有，然后易得，则有，则可判定；对于③：连接，在上截取，连接，易得，然后易证，进而问题可求解；对于④，由③可得，进而可得，然后可得相似比为，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴点A、B、F、P四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ②把绕点A顺时针旋转得到，如图所示：    ∴，， ∴， ∵， ∴三点共线， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③连接交于O，在上截取，连接，如图所示：      ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由①可得点A、B、F、P四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④由③可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：以上结论正确的有①②③④； 故选：D． 8．（2025·四川宜宾·一模）如图，正方形中，，点E为中点，以为直径的半圆交线段于点F，连接交于点G．下列结论：①；②；③；④当点E在边上（不与B、C重合）运动时，有最大值．其中正确结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】取的中点O，连接，过点F作于H，取中点M．通过说明四边形为平行四边形，由直径所对的圆周角为直角，结合垂径定理得出．可判定①正确；利用，对应边成比例，解得和的长，从而判定②正确；通过，计算出的长，再利用三角形面积公式得出三角形的面积，从而判定③错误；根据当且仅当与相切时，取得最大值，利用勾股定理计算出的最大值，判定④正确． 【详解】解：取的中点O，连接，过点F作于H，取的中点M． ∵四边形为正方形， ∴． ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵是半圆的直径， ∴，即， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴． 故①正确； 在中，， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴， ∴， ∴，即．故②正确； 作， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴，故③错误； 当E点在上运动时，点F在上运动， 当且仅当与相切时，取得最大值． ∴当取得最大值时，，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得：． ∴的最大值为，故④正确． 综上，正确结论有：①②④． 9．（2024·四川南充·模拟预测）如图，正方形中，点为边上的一动点，点是延长线上一点，且，连接、、、，与、分别交于、，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③若，则；④当为的中点时，则．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是综合运用上述知识点． ①由题意可证，再由角之间的关系即可得出结果；②证明，再根据对应边成比例即可得出结论；③连接、，过点作于点，由三角形中位线和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明，所以，进而可得出结果；④证明即可得出结论． 【详解】四边形是正方形， ， 又， ， ， ， 即，故①正确； ， 是正方形的对角线， ，即， ， 又， ， ， ， 但，故②错误； 连接、，过点作于点，如图， ，是的中点， 是的中位线， ， 在和中，，， ， 在与中， ， ， ， ， ，故③错误； ， ，即， ，故④正确； 综上所述，正确的是①④． 故答案为：①④． 10．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在等边△ABC中，点是边AC上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长与直线交于点．下列四个结论：①；②；③；④当点在直线AC上运动时，若，则BE长度的最大值为．其中正确的结论是 ．（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆等知识点，延长至，使得，可证明，得到，，进而推出为等边三角形，即可判断①②；可证明，得到，等量代换后得到，即可判断③；连接，由折叠可得：，可得点在的外接圆上，当经过点时最长，由勾股定理求出即可判断④正确． 【详解】延长至，使得． 由翻折可得，， ∵等边， ∴，， ∴， ， ， ， ，， ， 即， 为等边三角形， ，故①正确 由（1）知，，故②错误． ，， ， ， ， ，故③正确． 连接，由折叠可得：，故点在的外接圆上， 当经过点时最长，此时，．故④正确． 综上可知：正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 题型四：几何综合之双空问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）如图，，直角△ABC的斜边的一端点在边上滑动，另一端点在边上滑动，点与点在直线的异侧，其中．当时，长为 ；若点从点处开始滑动，到点滑动到点处时结束，则在此过程中，点经过的路径长为 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查圆的相关以及锐角三角函数，熟练掌握圆的相关定理以及解直角三角形的应用是解题的关键．本题先得出四点共圆，可知，进一步求出；第二空主要分析出点经过的路径，才可能对症下药，进一步得出答案． 【详解】解：连接，过点作于，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴四点共圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ∵四点共圆， ∴, ∴,即为定值， 可知在直线上运动， 如图，经过的路径长为， , 在中，由勾股定理得： , 此时， , ∴经过的路径长为． 故答案为：，． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，，点D在边上，且，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，以为边，作平行四边形，连接，则点A到线段的距离是 ，的最大值与最小值分别是 ． 【答案】 ， 【分析】求点A到线段的距离即点A到的垂线段距离，等腰三角形三线合一构建直角三角形，易求，由，继而求得，根据勾股定理即可求得的长；作点A关于的对称点O，连接，则四边形是菱形，求出的长，进而求出的长，再证明四边形是平行四边形，得到，进而得到点E在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，则当A、O、E三点共线，且点E在下方时，有最大值，当A、O、E三点共线，且点E在上方时，有最小值． 【详解】解：过点A作的垂线，垂足为F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 根据勾股定理得：； ∴点A到线段的距离是， ∴， 如图所示，作点A关于的对称点O，连接， ∵点A与点O关于对称， ∴， ∴四边形是菱形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是菱形，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点E在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，则， ∴当A、O、E三点共线，且点E在下方时，有最大值， 如图，此时的交点与点F重合， 则最大值为； 当A、O、E三点共线，且点E在上方时，有最小值． 则最小值为； 故答案为：；，． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，为的直径，，D为弧上一动点，连结，作交于E，连结． （1）当D为弧的中点时， ； （2）当D在弧上运动时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）利用垂径定理结合勾股定理求出，证明，即可解答； （2）过B作垂线交延长于G，设以为直径的圆的圆心为H，连接，证明点四点共圆，则可得E在以为直径的一段圆弧上．当点三点共线时，有最小值，，求出，再利用三角形中位线求出即可求解． 【详解】解：（1）连接， ∵D为的中点， ∴， ∴F为中点． ∵为直径， ∴， ∴， ∴． ∵O为中点，F为中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）过B作垂线交延长于G，设以为直径的圆的圆心为H，连接， ， ∴， ， ，， ， 点四点共圆，则可得E在以为直径的一段圆弧上． 当点三点共线时，有最小值， ∵，， ， ， ， ， ∴． ， ∴． ∴， ∴． ∵点O，点H分别是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，于点，点是线段上一动点，以为直角边作，且，连接，则当时，的长为 ；点在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】由勾股定理得，，则，即，可求，，，如图1，连接，证明，则，，，，证明，则，，由，可知在与直线夹角为的直线上运动，当时，，则，如图1，过作于，则，，由，可得，计算求解即可；点在运动过程中，运动到使点满足时，的值最小，根据，计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴，即， 解得，， ∴， 如图1，连接，         图1 ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在与直线夹角为的直线上运动， 当时，， ∴， 如图1，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，； 点在运动过程中，运动到使点满足时，的值最小， ∴， 故答案为：，． 5．（2024·四川成都·一模）对于平面直角坐标系中的图形M和图形N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N间的“捷径距离”，记为d（图形M，图形N）．已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，，将三角形绕点逆时针旋转得到，若上任意点都在半径为4的内部或圆上，则△ABC与的“捷径距离”的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，新定义的运算，根据旋转可得中在直线上移动，点在直线上移动，然后画出图形进行计算即可． 【详解】解：由题可知，点在直线上移动，中在直线上移动，点在直线上移动， 如图，当点在点的下方时，距离最小，这时最小值为2； 如图，当点在上时，距离最小的是线段， 连接，过点作轴于点E，过点作轴交的延长线于点F， 则， ∴，， ∴， ∴与的“捷径距离”的最小值是，最大值是． 故答案为：，． 6．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，分别在边上取点M，N，将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，点A的对应点是，那么折痕的长为 ；连接，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、折叠问题等知识，过点M作于点H，则，证明四边形是矩形，求出 ，，证明，则，即可得到的长，作直线，作于点T，得到,根据垂线段最短，当点落在点T时，即于重合时，取得最小值，即为的长，延长交直线于点R，设与相交于点Q，证明四边形是平行四边形，则，于点Q，证明，得到，即可得到的长，得到答案． 【详解】解：过点M作于点H，则， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上， ∴，设垂足为点S， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得，, 作直线，作于点T， ∵，， ∴, 根据垂线段最短，当点落在点T时，即于重合时，取得最小值，即为的长，延长交直线于点R，设与相交于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ∴，于点Q， ∵， ∴, ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即线段的最小值为 故答案为：， 题型五：几何综合之动点问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为（    ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理等知识．由题意知，，如图1，在上取点，使，连接，，则，由，，可得，，即、、三点共线，如图2，则四边形是矩形，则，由勾股定理得，计算求解即可，明确时，点的位置是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 的平分线交于点， ， 如图1，在上取点，使，连接，， ， ，， 与的距离为6， ， ， 如图2，则四边形是矩形， ，， ，，， 四边形为正方形， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， ，， 由勾股定理得， 故选：D． 2．（2025·四川宜宾·二模）如图，△ABC中，，，点是△ABC内一动点，且，若，则的值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，过点作，交延长线于，连接，由题意可知，证明，可知为等腰直角三角形，易得，再证，则，，可证，易知为等腰直角三角形，得，，即可求解．添加辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，交延长线于，连接， ∵，， ∴， 设， 则，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 则，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故选：D． 3．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，根据，即可解． 【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小， ∵，， ∴，． ∵，D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，，， ， 故选：B． 4．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边上动点，，E、F分别在、边上．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形判定方法是解题的关键． 先证明，即可得出的长． 【详解】是等边三角形，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（2024·四川成都·三模）如图，△ABC中，，是△ABC中边上的中线，，点是线段上一动点，将沿折叠，点落在点处，线段与线段交于点，若是直角三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 分两种情形：如图中，当时，则，求解则．如图中，当时，求得，，由可求解． 【详解】解：，是中边上的中线， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， 又， ， ， ， 若是直角三角形，有两种情况： 如图中，当时． ， 过点D作于．则， ∵在中，， ∴ ， ∵在中，， ， 如图中，当时， ， ， ，此时点与点重合， ， ． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 6．（2024·四川绵阳·二模）正方形对角线、相交于点，点是边上一动点，连接交于点，过点作，垂足为，连接，当点运动到恰好使时，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】取的中点，连接、，过点作于点，设正方形的边长为， 正方形的性质得，，，，进而得，再证点、、、，四点共圆，得，从而得，又证（），得，，最后利用正切的意义即可得解． 【详解】解：取的中点，连接、，过点作于点， 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∵，，是的中点， ∴， ∴点、、、，四点共圆， ∵， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 7．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，，，动点E从点C开始沿边向点B以每秒a个单位长度的速度运动，运动到B时停止运动，动点F从点D开始沿边向点C以每秒个单位长度的速度运动，运动到C时停止运动，连接．点E，F分别从点C，D同时出发，在整个运动过程中，线段的中点所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】如图，以点C建立平面直角坐标系，则、、、，由题意得点F运动开始到结束共用时间为，点E运动开始到结束共用时间为，分阶段考虑：当点E、F共同运动阶段时，经过，则，，可得的中点M的坐标为，从而可得点M在此阶段始终在直线上，即从到，M点的运动距离为，过点作轴，利用勾股定理求得；当点E运动结束，点F继续运动时，利用中点坐标公式求得，即此阶段点M始终在直线上，即此阶段中点运动距离为，即可求解． 【详解】解：如图，以点C建立平面直角坐标系， 则、、、， ∵点F运动开始到结束共用时间为，点E运动开始到结束共用时间为， ∴点E运动结束之后点F继续运动， 当点E、F共同运动阶段时，经过，则，， ∴，， ∴的中点M的坐标为， ∴点M横坐标与纵坐标满足关系：，即点M在此阶段始终在直线上， 当点E、F未开始时，，则， 当点E运动到点B时，，，， ∴， ∴从到，M点的运动距离为， 过点作轴，则，， ∴， 当点E运动结束，点F继续运动时，，， ∴， ∴此阶段点M始终在直线上， 当点F运动结束时，， ∴此阶段中点运动距离为， 8综上所述，线段的中点所经过的路径长为， 故答案为：． 8．（2024·四川广安·模拟预测）如图，中，，是斜边上一个动点，把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，当平行于的直角边时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠问题、平行线的性质、等腰直角三角形的性质等，分“”和“”两种情况讨论求解即可，熟练掌握折叠的性质、分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴，， 如图，当时，设与交于点，， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，， ∵把沿直线折叠，点落在同一平面内的点处， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 9．（2024·四川达州·二模）如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的面积为 ． 【答案】/ 【分析】如图，将线段绕点逆时针旋转，点落在点，连接，设交于点，得到，证明，得，再由当时，有最小值，求出，得，继而得到，过点作于点，求出，最后根据三角形面积公式计算可得结论． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转，点落在点，连接，设交于点， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∵当时，有最小值， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴当线段的长度最小时，的面积为． 故答案为：． 10．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度． 【答案】75 【分析】将线段绕点B顺时针旋转后点A落在点E，连接，得到，再由当时，有最小值，可得与均为30°、60°、90°直角三角形，再证明为等腰直角三角形，是等边三角形，进而得到，最后当于H时，有最小值，由此可以求出． 【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转后点A落在点E，连接，设交于G点，如下图所示： 在矩形中，，， 根据折叠可知，，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在上， ∵垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴与均为、、直角三角形， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六：几何综合之解直角三角形问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川达州·模拟预测）如图，点都在正方形网格的格点上，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理与网格问题，正确作出辅助线是解答本题的关键．延长交格点，连接，证明是直角三角形，，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图：延长交格点，连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， 故选：B． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，平分交于点，交于点，过作于点，交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，利用一元二次方程解几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质，并灵活应用． 根据条件先证明出四边形是正方形，再根据给出边的数量关系假设出未知数，利用相似三角形的性质，找出对应边成比例，列出一元二次方程，然后求出的长度，最后求出所需边的长度，进而求出角的正弦值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， 平分， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 设，，则，， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， 解得， ， 整理得， 解得或（舍去）， ， 在中，由勾股定理得， 根据三角形等面积法可得， 在中，由勾股定理得， 故选：C． 3．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，E，F分别在边，，相交于点G，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，由正方形的性质得出 由求出的长，再利用证得和全等，得出 ，再证 即可求出的长. 【详解】如图, 延长交于点, ∵四边形是正方形， ∴, ∵, ∴, ∵, ， ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 在和中, ， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： B. 4．（2024·四川南充·三模）如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出，进而利用等边三角形的判定与性质得出，过点作于点，先求出的度数，即可求出的长，勾股定理可求出的长，于是得出的长，再证，即可求出的值． 【详解】解：由图得，，， ， 是等边三角形， ，， 设菱形的边长为1， 则， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ，， ， ，， ， ， 故选：B． 5．（2025·四川成都·二模）如图，在矩形中，，，，是边上两点，且，，连接，，和交于点，连接，则的值是 ． 【答案】 【分析】作交于点，交于点，作交于点，结合矩形的性质和判定推得、，由相似三角形的性质、勾股定理解得、、，证明四边形是矩形后可得，则． 【详解】解：作交于点，交于点，作交于点， 矩形中，，， ，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 中，， ， 中，， ，， ，，， 四边形是矩形， ， 中，． 故答案为：． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于 ． 【答案】 【分析】延长，交于G，过D作于H，则，，由折叠得，有，设，则，利用勾股定理求得和，根据等面积求得，即可得，，，根据解直角三角形得，结合平行线的判定和性质得即可． 【详解】解：延长，交于G，过D作于H，如图： ∵正方形的边长为2，M是的中点， ∴，， ∴， ∵将四边形沿翻折得到四边形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ； 7．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，将△ABC沿翻折得△AB'C，连接，， 分别与相交于点O，与相交于点E，与边相交于点F．若，则 ． 【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可证明是的中位线，然后证明，，设，，，根据相似三角形的性质可列方程，，求得，从而得到，设，利用相似三角形及勾股定理求得，，最后根据三角函数即可求的答案． 【详解】由翻折可知，垂直平分， ，， O是的中点， 是边上的中线， D是的中点， 是的中位线， ，， ，， ，， 设，，， ，， ，，，   ①，     ②， 由①得， 由②得， ， 解得， ，， ， ， 在和中，，， ， ， ， 设，则，， ， ， D是的中点， ， ． 故答案为：． 8．（2024·四川达州·模拟预测）如图，为半圆直径，，，，，，连接交半圆于D，连接，作交直径于E，则= ． 【答案】/0.05 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，连接，先证明，推出 ，进而求出的长，进一步求的长，再利用正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接， 为半圆直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ∴， ， ， 故答案为： 9．（2024·四川成都·一模）如图，中，，，点E，F分别在，上，将沿所在直线翻折，点C的对应点D恰好在边上，过点D作的垂线，交的延长线于点G，设，则的值为 ．（用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，翻折的性质，轴对称的性质，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键. 利用勾股定理，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质得到 利用直角三角形的边角关系定理得到；再利用相似三角形的边角关系定理求得线段则结论可求. 【详解】∵, ∴,， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴, ∴, ∴. ∵, ∴. ∴. ∵, ∴, ∴, ， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 10．（2024·四川成都·二模）定义：为△ABC内一点，连接，在、和中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称为△ABC的自相似点，根据定义求解问题：已知在中，，是边上的中线，如果△ABC的重心恰好是该三角形的自相似点，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】分为两种情形：，从而得出，设，则，从而得出，，进而计算出，进而求得，进一步得出结果；当时，作于，利用第一种情形的数据，同样的方法得出结果． 【详解】解：如图，    ∵， ∴不可能与相似， ∵，点是中点， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∵是的重心， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， 作于，   ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：的余弦值为：或， 故答案为：或． 11．（2024·四川达州·一模）如图，为半圆直径，，连接交半圆于D，连接，作交直径于E，则 ． 【答案】/0.05 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，连接，先证明，推出，再证明，进而求出的长，进一步求的长，再利用正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵为半圆直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵为半圆直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（2023·四川成都·三模）如图，在菱形中，，点为边中点，点在边上，将四边形沿直线翻折，使的对应边为，当时，的值为 ．    【答案】/ 【分析】过点D作于点K，设与的交点为E，延长交于点L，根据三角函数的意义，菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，勾股定理计算即可． 【详解】过点D作于点K，设与的交点为E，延长交于点L， ∵四边形沿直线翻折， ∴， ∵，， ∴， ∴设，则， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴设， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七：几何综合之圆综合问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2024·四川眉山·二模）个半径均为的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长的计算的应用等知识点，根据题意确定运动路径是由由4个孤1与8个孤2组成，然后利用弧长公式计算即可得解，熟练掌握弧长的计算是解决此题的关键． 【详解】如图， 该硬币圆心路径由4个孤1与8个孤2组成， ∴由圆半径相等得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴弧1的长，弧2的长， ∴总路径长， 故选：C． 2．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，△ABC中，，点O为△ABC的外心，，，是的内切圆．则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心．熟练掌握三角形内心性质，三角形外心性质，切线长定理，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 过点P作，，，根据三角形的内心性质得到，根据切线长定理得到，，，得到四边形是正方形，根据勾股定理求出，得到，求出，得到，得到，即得． 【详解】过点P作，，， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，，，， ∴四边形是正方形， ∵中，， ，， ∴， 设，，， 则， ，得， ∴， ∴， ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2024·四川德阳·二模）如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理，勾股定理，三角形的面积，设与相切于点，设正方形的边长为 ，由切线长定理得，，，设，，在中，由勾股定理得，即得，又由，得，即得，得到，即可求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：设与相切于点，设正方形的边长为 ， ∵是切线， ∴，，， 设，， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为， 故选：． 4．（2023·四川自贡·一模）如图，在△ABC中，，，，点D是边上一个动点，以为直径画圆分别交于点E、F，则弦的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形，推出是解题的关键．根据三角形内角和定理求得，连接、，作于，作于，如图，根据圆周角定理得到＝，再计算出，则最小时，的长度最小，此时圆的直径的长最小，利用垂线段最短得到的长度最小值为的长，接着计算出，从而得到的最小值，然后确定长度的最小值． 【详解】解：∵中，，， ∴ 连接、，作于，作于，如图，    ， 而，， ，， 在中，， 当最小时，的长度最小，此时圆的直径的长最小，即的长最小， 的长度最小值为的长， ∵， 的最小值为， 长度的最小值为； 故选：B． 5．（2025·四川宜宾·一模）如图，是△ABC的外接圆，弦交于点，，过点作于点，延长交于点，若，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】作于点M，由题意可得出，从而可得出为等边三角形，从而得到，再由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长． 【详解】解：作于点M， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 6．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点C为圆心作与直线相切，点是上一个东点，连接交于点，则的最大值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】此题主要考查了矩形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的性质．过点作的垂线，为定值；过点作的垂线，只要最大即可，进而求出最大，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于， 是矩形的对角线， ， ， ， ， 是的切线， 的半径为， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 要最大，则最大， 点是上的动点，是的切线， 最大为的直径，即：， 最大值为， 故选：D． 7．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，，，，为△ABC的内切圆，切点分别为、、，直线交、于、两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的切线，切线长定理，正方形的判定和性质，锐角三角函数的应用，解题的关键是连接，，分别过点、作、的垂线，分别交、的延长线于点、，根据正方形的判定和性质，则四边形是正方形，，根据勾股定理求出，根据切线长定理可得，求出，连接交于点，求出，根据等腰直角三角形的性质，则，，设，得到，推出，解出，得到，同理，求出，，即可． 【详解】如图，连接，，分别过点、作、的垂线，分别交、的延长线于点、， ∵为的内切圆，切点分别为、、， ∴，，， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，，，， ∴， 设， ∴，， 由切线长定理可得，即， 解得， ∴， 如图，连接交于点， ∴，， 由题意可得、都是等腰直角三角形， ∴，， 在中，设， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴， 解得，即， ∴， 同理，在中，得， ∴， ∴． 故选：B． 8．（2024·四川德阳·二模）如图所示，在正方形中，对角线交于点O，E在之间移动，连接，作交于点F，连接，若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，由正方形的性质得出，，再由，证得、、、四点共圆，得出为等腰直角三角形，求得，长，设，由勾股定理建立方程即可求长． 【详解】解：过点作于点，如图所示，      ∵四边形为正方形，， ∴， ∵四边形为正方形， ，， ， ， 、、、四点共圆， ， 为等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 设，在中，， ，解得或（不合题意，舍去），   ． 故选：C． 9．（2024·四川泸州·一模）如图，在矩形中（），对角线相交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接．为半径，与相切，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质可得，，根据四边形是矩形，得出，从而，从而得出，设与切于点，连接，并延长交于点，可证得，从而得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：点关于的对称点为， ，， 四边形是矩形， ， ， ； 设与切于点，连接，并延长交于点，如图所示， ，， 四边形是矩形， ，，，， ，，， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ∴， 故选：A． 10．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、旋转的性质、勾股定理等知识点，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积成为解题的关键． 连接，则阴影部分的面积为扇形的面积减去扇形的面积，据此计算即可． 【详解】解：连接， 根据勾股定理得：， ∴, ∴． 故选：C． 11．（2025·四川广安·二模）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算及旋转的性质．先用扇形的面积减去的面积，再用扇形的面积减去上面的计算结果即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴． 在中，，， ∴，， ∴， ∵， ， 故选：D． 12．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，是以为直径的圆，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查圆的综合问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，根据题意构造相似三角形是解题关键． 连接，取的中点H，确定一点G，连接，使得，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，再由三角形中位线确定，得出当点H、E、G三点共线时，取得最小值，即取得最小值，过点H作于点F，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，取的中点H，确定一点G，连接，使得，连接，如图所示： 根据题意得：， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∴， 当点H、E、G三点共线时，取得最小值，即取得最小值， 过点H作于点F，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴则的最小值是， 故答案为：． 13．（2024·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为 ；当最大时，线段的长是 ． 【答案】 /60度 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轨迹，切线等知识．证明，推出，推出．由，推出点的运动轨迹是，设圆心为，连接，，．求出是切线时的长即可． 【详解】解：如图， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是， 设圆心为，连接，，． ，， 垂直平分线段， ，，，， ， ， 当与相切时，的值最大，此时． 故答案为：，． 14．（2023·四川广元·一模）如图，是以点O为圆心，为直径的圆形纸片，点C在上，将该圆形纸片沿直线对折，点B落在上的点D处（不与点A重合），连接．设与直径交于点E．若，的值等于 ． 【答案】 【分析】由等腰三角形的性质得出，证出，由折叠的性质得出，设，证出，，证明，由相似三角形的性质得出，设，，得出，求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将该圆形纸片沿直线对折， ∴， 又∵， ∴， 设， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2023·四川成都·一模）如图，在矩形中，，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，直角所对的弦是直径．根据勾股定理可得，延长至点H，使，可得，设，则，可得，再证出A，B，E， F四点共圆，可得，过点A作于点M，根据三角形的面积公式可得，设，可得当时，取得最小值，即，当时，取得最小值，即可． 【详解】解：在矩形中，，，， ∴， 如图，延长至点H，使， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴A，B，E，F四点共圆， ∴， 过点A作于点M，如图， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 且当时，取得最小值，即， ∴当时，取得最小值， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16．（2023·四川成都·二模）如图，在边长为的等边△ABC中，动点在边上（与点，均不重合），点在边上，且，与相交于点，连接当点在边上运动时，的最小值为 ．    【答案】 【分析】作辅助线，建立全等三角形，证明和，证明，再作的外接圆，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，计算和的长，计算其差可得结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 是等边三角形， 四边形是菱形，，    ，，， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， 如图，作的外接圆，即点在以为圆心，为半径的圆上运动， ， ， ， 连接，交于，交于，此时最小，是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 第 1 页 共 129 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川数学中考预测专项突破 专题04 几何选填题压轴（四川专用） 2024年四川中考数学真题几何综合解答题压轴分析（主要针对成都、绵阳、眉山、南充） ❆成都卷：A卷选择题第8题：主要考查的是几何与尺规作图的综合应用，分值4分，难度中等；B卷填空题22题，主要考查是角平分线与直角三角形的综合，分值4分，难度中等偏上； ❆绵阳卷：选择题第12题：主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，分值4分，难度中等偏上； ❆眉山卷：填空题第18道：主要考查圆的综合应用，其中主要以直径所对的圆周角等于90°，圆的基本性质的综合，分值4分，难度中等偏上； ❆南充卷：选择题第10道：主要考查几何综合中多结论问题，分值4分，难度中等偏上；填空题第15题：主要考查的是正方形的性质与判定和折叠问题的综合，分值4分，难度中等； 题型一：几何综合之最值问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川宜宾·二模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连结，将沿折叠得，连结，点是线段的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 2．（2025·四川德阳·二模）如图，在中，，，，平分交于点，点为边上一点，当线段长度取最小值时，的周长为（   ）    A． B． C． D．6 3．（2025·四川资阳·一模）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在菱形中，点为中点，点在上，，，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，矩形中，，交，于，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025·四川成都·二模）如图，在等边△ABC中，，点是等边△ABC外一点，连接，，在线段上取一点，使得，连接，若，则长度的最小值为 ． 7．（2025·四川宜宾·一模）如图，在边长为4的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为 ． 8．（2025·四川宜宾·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为 ． 9．（2025·四川达州·模拟预测）如图，在△ABC中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为 ． 10．（2025·四川达州·一模）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点是的中点，点是边所在直线上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是 ． 11．（2025·四川广安·二模）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点分别作于点于点，连接，则的最小值为 ． 12．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为 ． 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在菱形中，对角线交于点O，，，点E、F分别在、上，且，，点P是上任意一点，则的最大值为 ． 14．（2024·四川广元·一模）如图，在中，点 D 为边上一个动点，以为边在的上方作正方形，当取得最小值时，的长为 ．      15．（2023·四川达州·模拟预测）如图，△ABC中，，点是边上一动点，连接，过点作于点．则的最大值是 ． 题型二：几何综合之尺规作图问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）如图，在△ABC中，是的中点．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在△ABC中，是边的中点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点；④连接并延长，交于点． 下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川泸州·二模）如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D和点E；②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；③以F为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点G；④过点G作射线交于点H．若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，在△ABC中，，．①分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，作直线，交于点D，连接；②以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线，交线段于点P．根据以上信息推断，下列结论错误的是（    ） A．∠ABP＝∠A B．AD＝CD C．∠PBC＝∠ACD D．∠BPC＝118° 5．（2024·四川南充·三模）如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交边，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线分别交于点E，G，交的延长线于点F，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线与交于点，作交于，于，，．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川成都·二模）如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为 ． 8．（2025·四川成都·一模）如图，在中，，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为 ． 9．（2025·四川·二模）如图，在△ABC中，，按以下步骤作图： ①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和F； ②作直线，分别交，于点D，M； ③连接，以点D为圆心，长为半径画弧，交于点G，连接，则的度数为 ． 10．（2025·四川成都·一模）如图，在△ABC中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和点；作直线分别交线段，于点，．若，，则的值为 ． 11．（2025·四川成都·一模）如图，在△ABC中，是边上一点，按以下步骤作图；①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点，②以点为圆心，以BM长为半径作弧，交DA于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交上面的弧于点；④过点作射线交AC于点E．若，三角形的面积为25，则三角形的面积为 ． 12．（2025·四川南充·一模）如图，在△ABC中，，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点M，N，再分别点M，N为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，过点D作，交于点E．若，则的长为 ． 13．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线交边于点D，若，，则的长为 ． 14．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为 ． 15．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，按下列步骤作图：①以点D为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E.若，，则的周长为 ．    题型三：几何综合之多结论问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川南充·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与点A重合），过点D作交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，交于点H，连接，则下列结论：①；②当点恰好落在的延长线上时，；③当点在边上运动时，为定值；④当点在边上运动时，长度的最大值为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·四川南充·二模）如图，在等边△ABC中，，点，分别是，边上的动点．且，以为边向上作等边，与交于点，连接，．下列结论： ①若，则； ②； ③当点为中点时，； ④当点，分别在，边上的运动时，长度的最小值为．其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·四川达州·一模）如图，正方形的边长为6，点E，F分别在边上，且平分，连接DF，分别交于点G，M，P是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④的最小值为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·四川南充·二模）如图，在等边△ABC中，，将绕点C逆时针旋转（），得线段，连接，作的平分线交射线于点E．下列三个结论：①；②当时，；③面积的最大值为．其中正确的结论是（      ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 5．（2024·四川眉山·一模）如图，在正方形中，E、F分别是上的点，且，分别交于M、N，连接，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连分别交，于点F，G，过点A作交BD于点H．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（2024·四川达州·二模）如图，在正方形中，点E是边上一点，连接与对角线交于点P，过点P作交于点F，连接交于点G，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（    ）．    A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·四川宜宾·一模）如图，正方形中，，点E为中点，以为直径的半圆交线段于点F，连接交于点G．下列结论：①；②；③；④当点E在边上（不与B、C重合）运动时，有最大值．其中正确结论有 ． 9．（2024·四川南充·模拟预测）如图，正方形中，点为边上的一动点，点是延长线上一点，且，连接、、、，与、分别交于、，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③若，则；④当为的中点时，则．其中正确的结论是 ．（填序号） 10．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在等边△ABC中，点是边AC上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长与直线交于点．下列四个结论：①；②；③；④当点在直线AC上运动时，若，则BE长度的最大值为．其中正确的结论是 ．（填序号）． 题型四：几何综合之双空问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）如图，，直角△ABC的斜边的一端点在边上滑动，另一端点在边上滑动，点与点在直线的异侧，其中．当时，长为 ；若点从点处开始滑动，到点滑动到点处时结束，则在此过程中，点经过的路径长为 ． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，，点D在边上，且，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，以为边，作平行四边形，连接，则点A到线段的距离是 ，的最大值与最小值分别是 ． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，为的直径，，D为弧上一动点，连结，作交于E，连结． （1）当D为弧的中点时， ； （2）当D在弧上运动时，的最小值为 ． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，于点，点是线段上一动点，以为直角边作，且，连接，则当时，的长为 ；点在运动过程中，的最小值为 ． 5．（2024·四川成都·一模）对于平面直角坐标系中的图形M和图形N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N间的“捷径距离”，记为d（图形M，图形N）．已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，，将三角形绕点逆时针旋转得到，若上任意点都在半径为4的内部或圆上，则△ABC与的“捷径距离”的最小值是 ，最大值是 ． 6．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，分别在边上取点M，N，将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，点A的对应点是，那么折痕的长为 ；连接，线段的最小值为 ． 题型五：几何综合之动点问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为（    ）． A．2 B． C．3 D． 2．（2025·四川宜宾·二模）如图，△ABC中，，，点是△ABC内一动点，且，若，则的值为（    ） A． B． C．7 D． 3．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边上动点，，E、F分别在、边上．若，，则 ． 5．（2024·四川成都·三模）如图，△ABC中，，是△ABC中边上的中线，，点是线段上一动点，将沿折叠，点落在点处，线段与线段交于点，若是直角三角形，则 ． 6．（2024·四川绵阳·二模）正方形对角线、相交于点，点是边上一动点，连接交于点，过点作，垂足为，连接，当点运动到恰好使时，则的值是 ． 7．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，，，动点E从点C开始沿边向点B以每秒a个单位长度的速度运动，运动到B时停止运动，动点F从点D开始沿边向点C以每秒个单位长度的速度运动，运动到C时停止运动，连接．点E，F分别从点C，D同时出发，在整个运动过程中，线段的中点所经过的路径长为 ． 8．（2024·四川广安·模拟预测）如图，中，，是斜边上一个动点，把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，当平行于的直角边时，的长为 ． 9．（2024·四川达州·二模）如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的面积为 ． 10．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度． 题型六：几何综合之解直角三角形问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川达州·模拟预测）如图，点都在正方形网格的格点上，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，平分交于点，交于点，过作于点，交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，E，F分别在边，，相交于点G，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川南充·三模）如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·二模）如图，在矩形中，，，，是边上两点，且，，连接，，和交于点，连接，则的值是 ． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于 ． 7．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，将△ABC沿翻折得△AB'C，连接，， 分别与相交于点O，与相交于点E，与边相交于点F．若，则 ． 8．（2024·四川达州·模拟预测）如图，为半圆直径，，，，，，连接交半圆于D，连接，作交直径于E，则= ． 9．（2024·四川成都·一模）如图，中，，，点E，F分别在，上，将沿所在直线翻折，点C的对应点D恰好在边上，过点D作的垂线，交的延长线于点G，设，则的值为 ．（用含x的代数式表示） 10．（2024·四川成都·二模）定义：为△ABC内一点，连接，在、和中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称为△ABC的自相似点，根据定义求解问题：已知在中，，是边上的中线，如果△ABC的重心恰好是该三角形的自相似点，那么的值为 ． 11．（2024·四川达州·一模）如图，为半圆直径，，连接交半圆于D，连接，作交直径于E，则 ． 12．（2023·四川成都·三模）如图，在菱形中，，点为边中点，点在边上，将四边形沿直线翻折，使的对应边为，当时，的值为 ．    题型七：几何综合之圆综合问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2024·四川眉山·二模）个半径均为的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，△ABC中，，点O为△ABC的外心，，，是的内切圆．则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 3．（2024·四川德阳·二模）如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川自贡·一模）如图，在△ABC中，，，，点D是边上一个动点，以为直径画圆分别交于点E、F，则弦的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川宜宾·一模）如图，是△ABC的外接圆，弦交于点，，过点作于点，延长交于点，若，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 6．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点C为圆心作与直线相切，点是上一个东点，连接交于点，则的最大值是（   ） A． B． C． D．3 7．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，，，，为△ABC的内切圆，切点分别为、、，直线交、于、两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·四川德阳·二模）如图所示，在正方形中，对角线交于点O，E在之间移动，连接，作交于点F，连接，若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 9．（2024·四川泸州·一模）如图，在矩形中（），对角线相交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接．为半径，与相切，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·四川广安·二模）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，是以为直径的圆，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，则的最小值是 ． 13．（2024·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为 ；当最大时，线段的长是 ． 14．（2023·四川广元·一模）如图，是以点O为圆心，为直径的圆形纸片，点C在上，将该圆形纸片沿直线对折，点B落在上的点D处（不与点A重合），连接．设与直径交于点E．若，的值等于 ． 15．（2023·四川成都·一模）如图，在矩形中，，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ． 16．（2023·四川成都·二模）如图，在边长为的等边△ABC中，动点在边上（与点，均不重合），点在边上，且，与相交于点，连接当点在边上运动时，的最小值为 ．    第 1 页 共 129 页 学科网（北京）股份有限公司 $$