专题06 简单几何体的表面积与体积7考点复习指南-【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题06 简单几何体的表面积与体积 7考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，简单几何体的表面积与体积是立体几何的重要内容。从知识体系来看，它与空间几何体的结构特征紧密相连，是对空间几何体认识的深化。这部分知识不仅考查学生对几何图形的观察、分析和理解能力，还能检验学生运用公式进行计算和逻辑推理的能力。在高考中，常以选择题、填空题的形式直接考查表面积和体积的计算，也会在解答题中结合空间位置关系等知识综合考查，是高考的重点考点之一 ，对于培养学生的空间想象能力和数学运算素养具有重要意义。 【处理角度】 1. 理解概念与公式：深入理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等几何体的表面积和体积的概念，熟练掌握相应的计算公式。明确公式中各个参数的含义，这是解决问题的基础。 2. 分析图形结构：仔细观察题目中所给几何体的结构特征，对于简单几何体，准确确定其底面、侧面的形状和相关尺寸；对于组合体，能将其合理分解为基本几何体，找出它们之间的连接关系和共同部分，以便分别计算各部分的表面积和体积。 3. 挖掘隐含条件：有些题目中条件不会直接给出，需要从已知信息中挖掘隐含条件。例如，通过几何体的特殊性质、图形的对称性等，获取计算所需的边长、高、半径等关键数据。 4. 建立数学模型：将实际问题或几何问题转化为数学模型，运用所学的表面积和体积公式进行求解。在计算过程中，要注意单位的统一和计算的准确性。 【解法策略】 1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积题型：求解棱柱表面积时，先确定棱柱的底面和侧面的形状，分别计算底面和侧面的面积，再求和。对于特殊棱柱，如正棱柱，可利用其特殊性质简化计算。计算棱锥表面积，关键在于求出侧面三角形的面积，通常需要先确定底面多边形的边长和棱锥的高、斜高，再根据三角形面积公式计算。求棱台表面积，要分别计算上、下底面和侧面的面积。可将棱台补成棱锥，利用相似三角形等知识求出相关边长，进而计算各面面积。 2. 棱柱、棱锥、棱台的体积题型：计算棱柱体积，确定底面面积和高，直接代入体积公式。对于直棱柱，高就是侧棱长；对于斜棱柱，需要找出对应的高。求棱锥体积，确定底面面积和高，代入公式计算。有时可通过转换底面的方法，使计算更简便。对于正棱锥，可利用其特殊性质求出高。计算棱台体积，可将棱台补成棱锥，利用大棱锥体积减去小棱锥体积来计算；也可直接使用棱台体积公式，此时需要准确确定上、下底面面积和高。 3. 圆柱、圆锥、圆台的表面积题型：计算圆柱表面积，明确底面半径和高，分别计算两个底面圆的面积和侧面矩形的面积，再求和。侧面矩形的一边是底面圆的周长，另一边是圆柱的高。求圆锥表面积，先确定底面半径和母线长，分别计算底面圆面积和侧面扇形的面积，再相加。侧面扇形的弧长等于底面圆的周长，半径为圆锥的母线长。计算圆台表面积，分别计算上、下底面圆的面积和侧面梯形的面积，侧面梯形的上、下底分别是上、下底面圆的周长，高可通过母线长和上、下底面半径的关系求出。 4. 圆柱、圆锥、圆台的体积题型：计算圆柱体积，确定底面半径和高，代入体积公式。对于特殊圆柱，如底面直径和高相等的圆柱，注意参数的转换。求圆锥体积，确定底面半径和高，代入公式计算。可通过轴截面等图形，利用相似三角形等知识求出高。计算圆台体积，可将圆台补成圆锥，利用大圆锥体积减去小圆锥体积来计算；也可直接使用圆台体积公式，准确确定上、下底面半径和高。 5. 球的表面积和体积题型：计算球的表面积和体积，关键是求出球的半径。若已知球的半径，直接代入相应公式计算。若题目中未直接给出半径，可通过已知条件，如球的截面圆的相关信息、球与其他几何体的关系等，利用勾股定理等知识求出半径。 6. 外接球题型：对于正方体的外接球问题，利用正方体的体对角线长等于外接球的直径这一性质，求出外接球半径，进而计算表面积和体积。对于圆锥的外接球问题，通过作出轴截面，利用圆锥的母线长、底面半径和外接球半径之间的关系，结合勾股定理列出方程，求解外接球半径。对于正三棱锥的外接球问题，先求出正三棱锥的高，找出外接球球心的位置，利用勾股定理建立关于外接球半径的方程，求解半径并计算表面积。对于直四棱柱的外接球问题，直四棱柱的体对角线就是外接球的直径，根据底面矩形的边长和侧棱长求出体对角线长，进而得到外接球半径和体积。 7. 内切球题型：计算圆台的内切球问题，画出圆台的轴截面，利用轴截面是等腰梯形且内切圆与各边相切的性质，结合切线长定理等知识，求出圆台的母线长和内切球的半径，进而计算球的体积或表面积。对于三棱锥的内切球问题，通常利用等体积法，将三棱锥分割成以各面为底面，内切球半径为高的小棱锥，根据三棱锥的体积等于这些小棱锥体积之和，求出内切球半径，再计算表面积。 考点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（    ） A．20 B．16 C．24 D．6 3．（24-25高一下·广东广州·期中）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则正三棱锥高为 ；正三棱锥的侧面积为 . 4．（24-25高一下·山西·期中）半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体．由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山西太原·期中）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正八面体（每个面都是棱长相等的正三角形）的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去六个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为 ．    考点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 6．（2025·贵州黔东南·一模）已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 8．（24-25高一下·山东·期中）正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（    ） A． B． C． D．19 9．（24-25高一下·河北沧州·期中）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑．位于河北省邯郸市的武灵丛台的主体建筑——据胜亭（图1）就是四角攒尖的代表，它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥，其中底面边长约为6米，顶点到底面的距离约为2米，则据胜亭屋顶部分的体积约为 立方米． 10．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 11．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内各装有某种溶液，，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1中溶液体积为456，则图2中溶液体积为（   ） A．342 B．351 C．456 D．608 12．（24-25高二下·上海·期中）在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为3，三棱柱的体积大小为 ． 考点3 圆柱、圆锥、圆台的表面积 13．（2025·黑龙江·一模）已知圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 14．（2024·安徽·模拟预测）已知圆柱和圆锥的底面半径及高均相等，且圆锥侧面展开图为一个半圆，则该圆柱和圆锥的侧面积的比值为（   ） A．2 B． C．3 D． 15．（2025·山东济南·一模）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 16．（24-25高一下·福建福州·期中）以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为 ． 18．（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，过圆锥的轴的截面是边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 考点4 圆柱、圆锥、圆台的体积 19．（24-25高一下·福建福州·期中）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了以汝窑为首的五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．如图1，汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是10厘米，且上、下两圆台的体积之比是，则上、下两圆台的高之比是（    ）    A． B． C． D． 20．（24-25高一下·广西南宁·期中）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高三上·辽宁大连·期中）圆台的上下底面半径分别为1和4，轴截面的两条对角线互相垂直，则这个圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高三上·云南保山·期中）已知某圆台上､下底面半径（单位：）分别为1和4，高（单位）为3，则该圆台的体积（单位：）是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为，则圆锥的高与底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·全国·模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥，被平行于底面的平面所截，截得的上、下两个几何体的表面积分别为，，体积分别为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点5 球的表面积和体积 25．（2025·天津·一模）已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（   ） A． B． C． D． 27．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知长方体的长、宽、高分别为1，1，2，并且其顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高三下·山西·阶段练习）已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 考点6 外接球 29．（2025·河南开封·二模）已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 31．（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）已知一个直四棱柱的底面是长宽分别为4和3的矩形，侧棱长为，则这个直四棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 考点7 内切球 33．（24-25高一下·山西太原·期中）已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 34．（2025·辽宁·一模）圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·安徽·阶段练习）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高一下·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二下·湖南常德·期中）在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·浙江杭州·期中）四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一下·广东·阶段练习）如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止他们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体.某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，母线长为3分米，若要在伊丽莎白圈与宠物接触的一面进行涂层，每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处，则制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 2．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）一个圆锥底面半径为1，高为，则这个圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北邯郸·期中）半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·北京·期中）已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知正三棱锥的棱长均为，则该正三棱锥的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽·期中）如图为元代天文学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台.现有一个这样的观星台模型，下底面边长为，一个表面积为16π的球与该模型的每个面都相切，则该观星台模型的侧棱长为（    ）    A． B．4 C． D．6 7．（2025·山东·模拟预测）如图，在三棱台中，底面，，与底面所成的角为，，，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）关于球的下列说法正确的有（    ） A．若球的体积为，则球表面积也为 B．若球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的4倍 C．若一平面截球截得一半径为2的圆面且到此截面的距离为1，则球的表面积为 D．若一正方体的八个顶点都在球的球面上，则球的体积与正方体的体积之比为 10．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（ ） A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为 C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为 11．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）荣昌折扇是国家级非物质文化遗产之一，其始于北宋年间，以楠竹和皮纸为原料，经青山、风骨、皂锅、棕风、坯子、纸口、头子、梳练、扇糊、折扇、捆扎、白扇页、角告、扇箱、书画、装运等传统工序手工精制而成，具有很高的艺术和收藏价值（图1）．图2是一个扇形面，其对应一个圆台的侧面展开图，若此扇形面的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（   ） A．高为 B．表面积为 C．体积为 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为 12．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥外接球体积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题 13．（24-25高一下·安徽·期中）如图，长方体 的体积为,分别是的中点，则四面体的体积为 . 14．（24-25高一下·北京顺义·期中）已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍．给出下列结论： ①设圆柱与圆锥的体积分别为、，则； ②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为、，则； ③设圆柱与圆锥的侧面积分别为、，则； ④设圆柱与圆锥表面积分别为、，则. 其中正确结论的是 15．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知直三棱柱中，，且.若三棱柱的外接球的表面积是，则此三棱柱的体积的最大值是 . 16．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知正六棱柱的各个顶点都在半径为的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为 ． 17．（24-25高一下·重庆江北·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2和8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的直径 ． 四、解答题 18．（24-25高一下·广西防城港·期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 19．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为 (1)求圆锥的侧面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求三棱锥的高． 20．（24-25高一下·浙江·期中）如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） (1)若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； (2)若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 21．（24-25高一下·广东广州·期中）已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆. (1)求其母线长； (2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体的体积； (3)求此圆锥外接球的表面积. 22．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知圆锥的底面半径，高. (1)求此圆锥的表面积； (2)若圆锥在球内，求球的表面积的最小值； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值. 23．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，在中，，为的边上的高所在的直线，延长与相交于点，且，将绕着旋转一周得到一个几何体． (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积． 24．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，长方体的长，宽，高分别为，，2，且．    (1)当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)记三棱锥外接球的表面积为，底面的面积为，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题06 简单几何体的表面积与体积 7考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，简单几何体的表面积与体积是立体几何的重要内容。从知识体系来看，它与空间几何体的结构特征紧密相连，是对空间几何体认识的深化。这部分知识不仅考查学生对几何图形的观察、分析和理解能力，还能检验学生运用公式进行计算和逻辑推理的能力。在高考中，常以选择题、填空题的形式直接考查表面积和体积的计算，也会在解答题中结合空间位置关系等知识综合考查，是高考的重点考点之一 ，对于培养学生的空间想象能力和数学运算素养具有重要意义。 【处理角度】 1. 理解概念与公式：深入理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等几何体的表面积和体积的概念，熟练掌握相应的计算公式。明确公式中各个参数的含义，这是解决问题的基础。 2. 分析图形结构：仔细观察题目中所给几何体的结构特征，对于简单几何体，准确确定其底面、侧面的形状和相关尺寸；对于组合体，能将其合理分解为基本几何体，找出它们之间的连接关系和共同部分，以便分别计算各部分的表面积和体积。 3. 挖掘隐含条件：有些题目中条件不会直接给出，需要从已知信息中挖掘隐含条件。例如，通过几何体的特殊性质、图形的对称性等，获取计算所需的边长、高、半径等关键数据。 4. 建立数学模型：将实际问题或几何问题转化为数学模型，运用所学的表面积和体积公式进行求解。在计算过程中，要注意单位的统一和计算的准确性。 【解法策略】 1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积题型：求解棱柱表面积时，先确定棱柱的底面和侧面的形状，分别计算底面和侧面的面积，再求和。对于特殊棱柱，如正棱柱，可利用其特殊性质简化计算。计算棱锥表面积，关键在于求出侧面三角形的面积，通常需要先确定底面多边形的边长和棱锥的高、斜高，再根据三角形面积公式计算。求棱台表面积，要分别计算上、下底面和侧面的面积。可将棱台补成棱锥，利用相似三角形等知识求出相关边长，进而计算各面面积。 2. 棱柱、棱锥、棱台的体积题型：计算棱柱体积，确定底面面积和高，直接代入体积公式。对于直棱柱，高就是侧棱长；对于斜棱柱，需要找出对应的高。求棱锥体积，确定底面面积和高，代入公式计算。有时可通过转换底面的方法，使计算更简便。对于正棱锥，可利用其特殊性质求出高。计算棱台体积，可将棱台补成棱锥，利用大棱锥体积减去小棱锥体积来计算；也可直接使用棱台体积公式，此时需要准确确定上、下底面面积和高。 3. 圆柱、圆锥、圆台的表面积题型：计算圆柱表面积，明确底面半径和高，分别计算两个底面圆的面积和侧面矩形的面积，再求和。侧面矩形的一边是底面圆的周长，另一边是圆柱的高。求圆锥表面积，先确定底面半径和母线长，分别计算底面圆面积和侧面扇形的面积，再相加。侧面扇形的弧长等于底面圆的周长，半径为圆锥的母线长。计算圆台表面积，分别计算上、下底面圆的面积和侧面梯形的面积，侧面梯形的上、下底分别是上、下底面圆的周长，高可通过母线长和上、下底面半径的关系求出。 4. 圆柱、圆锥、圆台的体积题型：计算圆柱体积，确定底面半径和高，代入体积公式。对于特殊圆柱，如底面直径和高相等的圆柱，注意参数的转换。求圆锥体积，确定底面半径和高，代入公式计算。可通过轴截面等图形，利用相似三角形等知识求出高。计算圆台体积，可将圆台补成圆锥，利用大圆锥体积减去小圆锥体积来计算；也可直接使用圆台体积公式，准确确定上、下底面半径和高。 5. 球的表面积和体积题型：计算球的表面积和体积，关键是求出球的半径。若已知球的半径，直接代入相应公式计算。若题目中未直接给出半径，可通过已知条件，如球的截面圆的相关信息、球与其他几何体的关系等，利用勾股定理等知识求出半径。 6. 外接球题型：对于正方体的外接球问题，利用正方体的体对角线长等于外接球的直径这一性质，求出外接球半径，进而计算表面积和体积。对于圆锥的外接球问题，通过作出轴截面，利用圆锥的母线长、底面半径和外接球半径之间的关系，结合勾股定理列出方程，求解外接球半径。对于正三棱锥的外接球问题，先求出正三棱锥的高，找出外接球球心的位置，利用勾股定理建立关于外接球半径的方程，求解半径并计算表面积。对于直四棱柱的外接球问题，直四棱柱的体对角线就是外接球的直径，根据底面矩形的边长和侧棱长求出体对角线长，进而得到外接球半径和体积。 7. 内切球题型：计算圆台的内切球问题，画出圆台的轴截面，利用轴截面是等腰梯形且内切圆与各边相切的性质，结合切线长定理等知识，求出圆台的母线长和内切球的半径，进而计算球的体积或表面积。对于三棱锥的内切球问题，通常利用等体积法，将三棱锥分割成以各面为底面，内切球半径为高的小棱锥，根据三棱锥的体积等于这些小棱锥体积之和，求出内切球半径，再计算表面积。 考点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 2．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（    ） A．20 B．16 C．24 D．6 【答案】C 【分析】利用正棱锥的性质，结合棱锥的侧面积公式计算即可. 【详解】 由正四棱锥底面边长为，可得底面对角线长为4， 则棱锥的高，斜高为， 侧面积为． 故选：C. 3．（24-25高一下·广东广州·期中）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则正三棱锥高为 ；正三棱锥的侧面积为 . 【答案】 3 【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，再计算出侧面积即可. 【详解】设为等边三角形的中心，为的中点，连接， 则为正三棱锥的高，为斜高， 又，，， ，故， 侧面积. 故选：3；. 4．（24-25高一下·山西·期中）半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体．由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析得出每个面的形状及相关边长，求出各面的面积即可得出答案. 【详解】    如图，正方体每个面中，剩余的图形为图中形状，截去的为4个边长为1的等腰直角三角形，面积为. 每个顶点切割完成后，剩余的为边长为的等边三角形，每个面的面积为. 所以，由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为. 故选：C. 5．（24-25高一下·山西太原·期中）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正八面体（每个面都是棱长相等的正三角形）的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去六个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为 ．    【答案】 【分析】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式可得答案. 【详解】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱， 正八面体的棱长为6，从各棱的三等分点处截得多面体， 则该多面体的棱长为2，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 故该多面体的表面积为， 故答案为：. 考点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 6．（2025·贵州黔东南·一模）已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱台性质求出第一个正四棱台的高，进而得到第二个正四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算求解即可. 【详解】由题意知第一个正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm， 如图：设第一个四棱台上下底面中心为，连接， 结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形， 且，故， 即棱台的高为，则第二个正四棱台的高为， 故第二个正四棱台的体积为. 故选：C. 7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用直观图和原图面积关系求出底面积，结合正三棱锥体积公式建立方程，求解高即可. 【详解】设底面三角形面积为，三棱锥的高为， 由直观图的性质得，解得， 因为正三棱锥的体积为，所以，解得，故A正确. 故选：A 8．（24-25高一下·山东·期中）正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（    ） A． B． C． D．19 【答案】B 【分析】正四棱台补成正四棱锥，根据长度比例关系结合锥体的体积运算求解即可. 【详解】将正四棱台补成正四棱锥，如图所示： 因为，可知为相应棱的中点， 则，可得， 所以该棱台的体积. 故选：B. 9．（24-25高一下·河北沧州·期中）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑．位于河北省邯郸市的武灵丛台的主体建筑——据胜亭（图1）就是四角攒尖的代表，它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥，其中底面边长约为6米，顶点到底面的距离约为2米，则据胜亭屋顶部分的体积约为 立方米． 【答案】24 【分析】根据四棱锥体积公式直接代入计算可得结果. 【详解】由题可知，据胜亭屋顶部分的体积约为立方米． 故答案为：24 10．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用柱体体积公式计算得解. 【详解】在直三棱柱中，， ，， 所以该棱柱的体积. 故选：C 11．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内各装有某种溶液，，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1中溶液体积为456，则图2中溶液体积为（   ） A．342 B．351 C．456 D．608 【答案】B 【分析】根据题意，设棱台的高为，结合棱台的体积公式即可得到的值，再由棱台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设四棱台的高度为，记图1、图2液体体积分别为、， 图1中间液面四边形的边长为8，图2中间液面四边形的边长为10， 则， 即，所以． 故选：B 12．（24-25高二下·上海·期中）在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为3，三棱柱的体积大小为 ． 【答案】9 【分析】设斜三棱柱的体积，易知，割补法求得，即可得出，从而得解. 【详解】设斜三棱柱的高为h，，斜三棱柱的体积为， 所以，易知， 所以， 又三棱锥的体积大小为3，所以， 所以，即三棱柱的体积大小为9， 故答案为：9 考点3 圆柱、圆锥、圆台的表面积 13．（2025·黑龙江·一模）已知圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由轴截面可得底面半径及母线长，再由表面积公式即可求解； 【详解】因为轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形， 所以圆锥的底面半径，母线， 所以圆锥的表面积. 故选：D. 14．（2024·安徽·模拟预测）已知圆柱和圆锥的底面半径及高均相等，且圆锥侧面展开图为一个半圆，则该圆柱和圆锥的侧面积的比值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据圆锥侧面展开图是半圆，结合圆周长和扇形的弧长公式，结合圆锥和圆柱的侧面积公式进行求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，得，即， 圆锥的高， 所以圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为， 故圆柱和圆锥的侧面积之比为． 故选：D 15．（2025·山东济南·一模）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 【答案】B 【分析】由侧面面积公式建立等式，然后分别写出上下底面面积，作差后代入即可得到结果. 【详解】如图： 设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即， 上底面半径，下底面半径， 圆台上下底面面积之差的绝对值为. 故选：B. 16．（24-25高一下·福建福州·期中）以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高求出即可. 【详解】以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱， 其底面半径，高，故其侧面积为. 故选:C. 17．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为 ． 【答案】/ 【分析】利用圆台的侧面积公式即可求解. 【详解】根据题意可知：圆台的侧面积为. 故答案为：. 18．（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，过圆锥的轴的截面是边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意求出圆锥母线长、底面圆半径和高以及圆柱的高和圆柱底面的半径，再根据剩余几何体的表面组成结合圆锥、圆柱侧面积公式即可计算求解. 【详解】由题可得圆锥母线长为，底面圆半径，高， 所以圆柱的高，圆柱底面的半径为， 由题意余下几何体的表面等价于由圆锥侧面和底面以及圆柱侧面三部分组成， 所以余下几何体的表面积为. 故选：C 考点4 圆柱、圆锥、圆台的体积 19．（24-25高一下·福建福州·期中）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了以汝窑为首的五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．如图1，汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是10厘米，且上、下两圆台的体积之比是，则上、下两圆台的高之比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用台体体积公式求出上下圆台高的比. 【详解】设上、下两圆台的高分别是， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐上、下两圆台的体积之比为，所以上、下两圆台的高之比是. 故选：B 20．（24-25高一下·广西南宁·期中）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆锥侧面积公式以及体积公式计算即可求得. 【详解】根据题意可知上、下两部分几何体分别为小圆锥和圆台， 设小圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为， 原来的大圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为， 因此小圆锥的侧面积为，大圆锥的侧面积为； 又上下两个几何体的侧面积之比为， 所以，由相似比可得， 即可得，即， 所以小圆锥和原圆锥的体积比为； 因此小圆锥和圆台的体积比为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用已知侧面积之比为得出小圆锥与大圆锥的表面积比值，进而计算出半径和高的比值，代入体积公式计算可得结果. 21．（24-25高三上·辽宁大连·期中）圆台的上下底面半径分别为1和4，轴截面的两条对角线互相垂直，则这个圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据圆台轴截面几何性质求出圆台的高，利用体积公式求解. 【详解】如图，圆台的轴截面为，上下底面圆的圆心分别为， 设与相交于点，因为为等腰梯形，且， ，，则圆台的高， 所以这个圆台的体积为. 故选：C. 22．（24-25高三上·云南保山·期中）已知某圆台上､下底面半径（单位：）分别为1和4，高（单位）为3，则该圆台的体积（单位：）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由台体体积公式可得答案. 【详解】根据题意，圆台上､下底面半径分别为1和4，高为3， 其体积. 故选：C. 23．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为，则圆锥的高与底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出圆柱和圆锥的体积与以及圆柱和圆锥的侧面积，然后依据题意比值求解； 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为，高分别为， 所以， 圆柱的侧面积， 圆锥的侧面积， 又因为，代入， 解得：，即 故选：C. 24．（2024·全国·模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥，被平行于底面的平面所截，截得的上、下两个几何体的表面积分别为，，体积分别为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出圆锥的轴截面，设出大小圆锥的底面圆半径，表示出母线长，利用代入化简得到，计算得到的值. 【详解】 如图，作出圆锥的轴截面，设截得的圆锥的底面圆半径为，原圆锥的底面圆半径为． 因为轴截面是正三角形，所以母线长为，原圆锥的母线长为， 则截得的圆台的母线长为．因为，即，解得， 于是， ，所以. 故选：A． 考点5 球的表面积和体积 25．（2025·天津·一模）已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的半径，再由正弦定理求出，设球的半径为，所以，最后由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为的面积为，设的半径为，则，解得， 又，所以为等边三角形，则，所以， 设球的半径为，所以， 所以球的表面积. 故选：C 26．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设球的半径为r，分别求出圆柱及球的表面积，即可求出表面积之比． 【详解】设球的半径为r， 则，， 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为， 故选：C. 27．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知长方体的长、宽、高分别为1，1，2，并且其顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球半径，从而得到体积. 【详解】长方体的体对角线即为外接球的直径， 故外接球的半径， 故外接球的体积为. 故选：B 28．（24-25高三下·山西·阶段练习）已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用弧长公式用圆锥底面圆半径表示其母线，再利用球与圆锥体积公式列式计算. 【详解】设球的半径和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为， 由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，得，则， 所以球的体积与圆锥的体积之比为. 故选：C 考点6 外接球 29．（2025·河南开封·二模）已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 30．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆锥及其外接球的轴截面可得关系，再结合和即可计算. 【详解】圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球表面积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：B 31．（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为正三棱锥的侧面积为，则，可得， 所以，，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 32．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）已知一个直四棱柱的底面是长宽分别为4和3的矩形，侧棱长为，则这个直四棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可知直四棱柱即为长方体，结合长方体的结构特征求外接球半径和体积. 【详解】由题意可知：直四棱柱即为长方体， 则外接球的半径， 所以外接球的体积为. 故选：D. 考点7 内切球 33．（24-25高一下·山西太原·期中）已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和内切球的半径即可计算判断． 【详解】画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为， 连接、和， 所以是直角三角形，且， 所以球的半径为， 球O的表面积为． 故选：A． 34．（2025·辽宁·一模）圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积. 【详解】如图，    则该几何体的轴截面如下：    所以，， ∵与圆相切，点为切点， ∴， 过点作与点， ∴，∴，则， 即球的半径，∴这个球的表面积， 故选：D. 35．（23-24高一下·安徽·阶段练习）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出液面下方的轴截面图形，求出圆锥的底面半径和高，再由圆锥和球的体积公式求出高脚杯内水的体积. 【详解】显然，冰球内切于高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形是球面大圆的外切三角形， 如图，作，垂足为D，则球的半径，， 此时，，， 水面半径， 设加入冰球后水面以下的体积为，原来饮料的体积为，冰球的体积为， 所以饮料的体积为. 故选：C. 36．（24-25高一下·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴截面图来研究两球关系，利用等体积法来求内切球的半径，再利用相似来求小内切球的半径即可. 【详解】解：如图所示： 依题意得， 底面的外接圆半径为， 点到平面的距离为， 所以， 所以， 设球的半径为，所以， 则，得， 设球的半径为，则， 又，得， 所以球的表面积为． 故选：A． 37．（23-24高二下·湖南常德·期中）在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正四面体的性质求出正四面体的高；再利用等体积法求出内切球的半径；最后根据球的表面积公式即可解答. 【详解】 正四面体底面的中心记为点，连接，. 由正四面体的性质可得：面. 因为正四面体棱长为2， 所以底面三角形的高为， 则， 所以正四面体的高. 设正四面体内切球的半径为，球心为. 由等体积法可得：， 即，解得：. 所以正四面体的内切球表面积为. 故选：B. 38．（24-25高二上·浙江杭州·期中）四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由外接球的定义结合勾股定理代入计算，即可得到外接球的半径，再由等体积法代入计算，即可得到内切球的半径，从而得到结果. 【详解】 由题意可知，底面为等边三角形，设点在底面的投影为， 则, 设外接球的球心为，则在上，设外接球的半径为， 在中，， 设，则，解得， 所以，所以， 又，则， 设内切球的半径为，四面体的表面积为， 且是全等的等腰三角形， 腰长为，底边长为，则高为， 所以， 则，即，解得， 则. 故选：B 一、单选题 1．（24-25高一下·广东·阶段练习）如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止他们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体.某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，母线长为3分米，若要在伊丽莎白圈与宠物接触的一面进行涂层，每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处，则制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】A 【分析】求出圆台的侧面积，计算得解. 【详解】将伊丽莎白圈看作上下均无底盖的圆台， 则制作该伊丽莎白圈需要涂层的面积等价于圆台的侧面积， 圆台的侧面积， 因为每平方分米需要消耗5克涂层材料， 所以制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料克． 故选：A． 2．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）一个圆锥底面半径为1，高为，则这个圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出母线的长，再根据圆锥表面积公式计算． 【详解】圆锥的底面半径为1，高为，则母线长l2 圆锥的表面积S＝S底面+S侧面＝. 故选：C． 3．（24-25高一下·河北邯郸·期中）半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二十四等边体边长为，其中有个面为正方形，个面为正三角形， 再求其表面积. 【详解】根据题意，正方体截得的二十四等边体边长为， 其中有个面为正方形，个面为正三角形， 其表面积为. 故选：B 4．（24-25高一下·北京·期中）已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体体对角线为外接球的直径，求出外接球半径，进而根据球的表面积公式求得答案. 【详解】因为正方体棱长为2，体对角线为外接球的直径， 所以外接球半径， 所以正方体外接球的表面积为， 故选：C. 5．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知正三棱锥的棱长均为，则该正三棱锥的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该正三棱锥的外接球即为棱长为的正方体的外接球，求得外接球的半径，根据球的体积公式即可求解． 【详解】该正三棱锥的外接球即为棱长为的正方体的外接球， 则外接球的半径为， 所以该正三棱锥的外接球体积为， 故选：D． 6．（24-25高一下·安徽·期中）如图为元代天文学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台.现有一个这样的观星台模型，下底面边长为，一个表面积为16π的球与该模型的每个面都相切，则该观星台模型的侧棱长为（    ）    A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】根据正四棱台的结构特征，取的中点分别为，确定截面的形状，根据已知求出相关线段长度及内切球半径，利用几何关系列方程求得，进而求侧棱长. 【详解】设正四棱台的下底面边长.，其内切球半径为r， 则，解得，取的中点分别为， 则四边形的内切圆是正四棱台内切球的截面圆中最大的， 且四边形是等腰梯形，， 所以，整理得， 又，所以，易知上、下底面的对角线长分别为4和8， 故侧棱长为 故选：C 7．（2025·山东·模拟预测）如图，在三棱台中，底面，，与底面所成的角为，，，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据棱台的性质求棱台的棱长，再结合锥体体积公式求解即可. 【详解】因为底面，平面，所以平面底面. 所以即为与底面所成的角，为. 因为，所以. 根据棱台的概念，可知：，且，所以. 因为，所以为直角三角形，所以. 所以. 故选：D 8．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件可得正三棱锥的侧棱两两垂直，再补形成正方体，进而求出外接球的体体积. 【详解】正三棱锥，，，则，即， 因此正三棱锥的侧棱两两垂直， 以线段为棱的正方体的外接球即为正三棱锥的外接球， 该球的直径为，半径， 所以该三棱锥的外接球的体积. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）关于球的下列说法正确的有（    ） A．若球的体积为，则球表面积也为 B．若球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的4倍 C．若一平面截球截得一半径为2的圆面且到此截面的距离为1，则球的表面积为 D．若一正方体的八个顶点都在球的球面上，则球的体积与正方体的体积之比为 【答案】ACD 【分析】利用球的体积公式、球的表面积公式、球的截面性质、正方体外接球特性逐项判断即可. 【详解】对于A，设球的半径为，则，解得，球表面积，A正确； 对于B，球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的8倍，B错误； 对于C，依题意，球的半径，球的表面积为，C正确； 对于D，令正方体的棱长为2，则球的半径为，则球的体积与正方体的体积之比： ，D正确. 故选：ACD 10．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（ ） A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为 C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】首先求圆锥的高，再代入圆锥的侧面积，体积公式，即可判断ABD，利用圆锥与外接球的几何关系，构造关于的方程，即可求解外接球的表面积，判断D. 【详解】对A，母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，A选项正确； 对B，圆锥SO的侧面积，B选项正确； 对C,圆锥的体积,C选项错误， 对D，设圆锥SO的外接球半径为，则，解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，D选项正确. 故选：ABD 11．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）荣昌折扇是国家级非物质文化遗产之一，其始于北宋年间，以楠竹和皮纸为原料，经青山、风骨、皂锅、棕风、坯子、纸口、头子、梳练、扇糊、折扇、捆扎、白扇页、角告、扇箱、书画、装运等传统工序手工精制而成，具有很高的艺术和收藏价值（图1）．图2是一个扇形面，其对应一个圆台的侧面展开图，若此扇形面的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（   ） A．高为 B．表面积为 C．体积为 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为 【答案】BCD 【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，可得A错误；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B，C正确；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比可知D正确. 【详解】对于A，设圆台的上底面半径为，下底面半径为， 则，，解得，， 所以圆台的母线长为，高为，选项A错误； 对于B，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为， 所以圆台的表面积为，选项B正确； 对于C，圆台的体积为，选项C正确； 对于D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为，选项D正确， 故选：BCD. 12．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥外接球体积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值. 【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确； D. 若，则是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面， 此时三点共线时，的最小值是， 中，， 由余弦定理可知，，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 13．（24-25高一下·安徽·期中）如图，长方体 的体积为,分别是的中点，则四面体的体积为 . 【答案】 【分析】逐步分割长方体，即可得四面体的体积. 【详解】如图，因为长方体的体积，即， 所以三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 所以四棱锥和四棱锥的体积， 所以四面体的体积 故答案为：. 14．（24-25高一下·北京顺义·期中）已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍．给出下列结论： ①设圆柱与圆锥的体积分别为、，则； ②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为、，则； ③设圆柱与圆锥的侧面积分别为、，则； ④设圆柱与圆锥表面积分别为、，则. 其中正确结论的是 【答案】①③④ 【分析】设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为，利用圆锥、圆柱的侧面积、表面积、体积公式以及三角形、矩形的面积公式判断可得出合适的选项. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为. 对于①，，，则，①对； 对于②，，，则，②错； 对于③，，，则，③对； 对于④，，，则，④对. 故答案为：①③④ 15．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知直三棱柱中，，且.若三棱柱的外接球的表面积是，则此三棱柱的体积的最大值是 . 【答案】 【分析】根据直棱柱的结构特征及已知确定球心的位置和半径长度，利用球体半径与相关线段的几何关系求得，再应用基本不等式、棱柱体积公式求体积最大值. 【详解】直三棱柱中，，则外接球的球心在中点的连线上， 如下图，分别为中点，为中点，则为棱柱外接球球心， 又，则，外接球的表面积是， 若外接球半径为，则，可得， 所以，则，故， 由，即，当且仅当时取等号， 所以此三棱柱的体积的最大值. 故答案为：    16．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知正六棱柱的各个顶点都在半径为的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为 ． 【答案】36 【分析】根据给定条件，求出正六棱柱底面正六边形的边心距，并设正六棱柱的高为，可得取中较小的，按，，结合球的截面小圆性质分类讨论求出最小时的，再利用柱体体积公式计算得解. 【详解】设正六边形的中心为点，则点与任意一条边均构成等边三角形， 因此点到各边的距离均为等边三角形的高，为． 不妨设该正六棱柱的高为，那么有且，取两者之中的较小者． 易得该正六棱柱的外接球半径为． 当时，，． 当，，， 所以时，取得最小值． 又因为一个等边三角形的面积为， 所以正六边形底面的面积为，则该正六棱柱的体积为． 故答案为：36． 17．（24-25高一下·重庆江北·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2和8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的直径 ． 【答案】/ 【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，即可得到结果. 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切， ，则，则， 过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切， 则， 则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切， 即该正四棱台内半径最大的球半径，直径为. 故答案为： 四、解答题 18．（24-25高一下·广西防城港·期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的体积公式列出方程求解. （2）由（1）的结论，求出圆的内接正三角形的边长，再利用柱体体积公式求解. 【详解】（1）设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得， 所以圆柱的底面半径为2. （2）由（1）知，正外接圆半径为2，则边长， 所以三棱柱的体积. 19．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为 (1)求圆锥的侧面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求三棱锥的高． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长及圆锥的侧面积. （2）由（1）中信息求出三棱锥的体积. （3）由（2），结合等体积法求出高. 【详解】（1）由圆锥的底面圆半径为2，体积为，得， 解得，圆锥的母线， 所以圆锥的侧面积为. （2）由（1）知，由母线的夹角为，得为正三角形， 则，等腰底边上的高， 的面积， 所以三棱锥的体积. （3）设三棱锥的高为，由（2）知， 由，得，即，解得. 所以三棱锥的高为. 20．（24-25高一下·浙江·期中）如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） (1)若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； (2)若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 【答案】(1)表面积为，容积为 (2)6 【分析】（1）根据棱柱的表面积和体积公式求解即可； （2）先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面水平放置时，液面高度. 【详解】（1）表面积， 体积； （2）设的面积为，底面水平放置时，液面高为， 则水的体积为， 当底面水平放置时，水的体积为，解得， 即液面高为. 21．（24-25高一下·广东广州·期中）已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆. (1)求其母线长； (2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体的体积； (3)求此圆锥外接球的表面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由圆锥的侧面展开图扇形的弧长即底面圆的周长，得，从而高为，由轴截面面积建立的方程求解即可. （2）由轴截面图形中的对应比例关系求解正四棱柱的高，由此可求其体积，再由间接法可得所求几何体体积. （3）画出图形，根据即可求得半径. 【详解】（1）设圆锥底面圆的半径为r，母线长为，高为， 由题意知，侧面展开图的弧长，则， 则圆锥高， 由其轴截面的面积为，解得，则， 则其母线长为. （2）设正四棱柱的高为，棱长为， 则，则正四棱柱的底面对角线的长为，底面对角线的一半长为， 由图可得，所以， 故正四棱柱的体积为， 因圆锥体积为. 所以该几何体的体积为. （3）设底面圆周上一点为，底面圆心为，球心为，球的半径为， 则在中有，， 即，得， 则圆锥外接球的表面积为 22．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知圆锥的底面半径，高. (1)求此圆锥的表面积； (2)若圆锥在球内，求球的表面积的最小值； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出母线长，再根据圆锥的表面积公式求解即可； （2）当球的表面积最小时，作出其轴截面，利用勾股定理求出球的半径，再根据球的表面积公式即可得解； （3）正方体的外接球在圆锥内，且与圆锥相切时最大，利用相似三角形求出正方体外接球的半径，即可得解. 【详解】（1）因为，所以母线长， 圆锥的底面圆面积为， 圆锥的侧面面积为， 则圆锥的表面积为； （2）当球的表面积最小时，其轴截面如图：    设球的半径为，在中，由勾股定理得，解得， 所以球表面积的最小值为； （3）正方体的外接球在圆锥内，且与圆锥相切时最大，      设球心为，球心在上，作于， 设球半径为，， 由得，，解得， 又，解得，即的最大值为. 23．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，在中，，为的边上的高所在的直线，延长与相交于点，且，将绕着旋转一周得到一个几何体． (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意，该几何体是由一个底面半径为3，高为的圆锥体内挖去一个底面半径为1，高为的圆锥后所得的，利用圆锥的体积公式计算即可； （2）该几何体的表面积为两个圆锥的侧面积加一个圆环面积，计算即可. 【详解】（1）由，可得， 则， 则该几何体是由一个底面半径为3，高为的圆锥体内挖去一个底面半径为1，高为的圆锥后所得的． 所以，该几何体的体积为． （2）由题及（1）可得，， 则该几何体的表面积为． 24．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，长方体的长，宽，高分别为，，2，且．    (1)当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)记三棱锥外接球的表面积为，底面的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)表面积为10，体积为2 (2)． (3)． 【分析】（1）根据棱柱的表面积和体积公式求解即可； （2）用长方体的体积减去4个三棱锥的体积可得三棱锥的体积，再利用基本不等式即可求解； （3）三棱锥的外接球即长方体的外接球，求出长方体外接球的半径，根据球的表面积公式及基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 则长方体的表面积为， 体积为． （2）由图可知 ， 当且仅当时，等号成立， 故三棱锥体积的最大值为． （3）由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为，则， 所以， 则． 令，则． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$