06 立体几何中证明线线平行的六种策略-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■杜海洋1 彭 凤2 从近几年高考试题来看,涉及立体几何 的试题都会考查线线位置关系,线线位置关 系也是线面、面面位置关系的“桥梁”。证明 线线平行的三种常用方法:利用三角形中位 线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行 线分线段成比例。证明线面平行的三种常用 方法:定义法,证明直线与平面无公共点(不 易操作);判定定理法,a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥ α;排除法,证明直线与平面不相交,即直线不 在平面内。下面举例浅议线线平行证明的常 见策略,供同学们学习与参考。 策略一:利用平行线的传递性 例1 如图1,用平行于四面体 ABCD 的一组对棱AB,CD 的平面截此四面体。求 证:截面 MNPQ 是平行四边形。 图1 证明:因 为 AB∥平 面 MNPQ,平 面 ABC∩平面 MNPQ=MN,且 AB⊂平面 ABC,所以由线面平行的性质定理知 AB∥ MN。同理,AB∥PQ,所以 MN∥PQ。 同理可得,MQ∥NP。 所以截面 MNPQ 是平行四边形。 策略二:利用三角形的中位线 例2 如图2,底面是平行四边形的四棱 锥P-ABCD,在棱PD 上是否存在一点E,使 PB∥平面 ACE? 若存在,请找出点E 的位 置;若不存在,请说明理由。 图2 解:取PD 的中点为E。在△PBD 中, 由O 为BD 的中点,可得 OE∥PB。因为 OE⊂平面ACE,PB⊄平面ACE,所以PB∥ 平面ACE。此时E 为PD 的中点,所以当E 为PD 的中点时,能使PB∥平面ACE。 策略三:构造平行四边形 例3 如图3,在四棱锥P-ABCD 中,底 面ABCD 为平行四边形,E,F 分别为AD, PB 的中点,求证:EF∥平面PCD。 图3 证明:取PC 的中点为G。因为F,G 分 别为PB 和PC 的中点,所以 FG∥BC,且 FG= 1 2BC 。因为四边形 ABCD 为平行四 边形,且 E 为AD 的中点,所以 ED∥BC, DE= 1 2BC ,所以ED∥FG,且ED=FG,即 四边形EFGD 为平行四边形,则EF∥GD。 又因为EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,所 以EF∥平面PCD。 策略四:利用线面垂直的性质 例4 如图4,△BCD 与△MCD 都是边 长为2的正三角形,平面 MCD⊥平面BCD, AB⊥平面BCD,AB=2,证明:直线AB∥平 面 MCD。 图4 31 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月 证明:取CD 的中点为O。因为△MCD 是正三角形,所以 MO⊥CD。 因为 平 面 MCD ⊥ 平 面 BCD,所 以 MO⊥平面BCD。因为AB⊥平面BCD,所 以 MO∥AB。 又因为 MO⊂平 面 MCD,AB⊄平 面 MCD,所以AB∥平面 MCD。 策略五:利用三角形的相似比 例5 如图5,S 是平行四边形ABCD 所 在平面外一点,M,N 分别是SA,BD 上的 点,且AM MS= DN NB 。求证:MN∥平面SBC。 图5 证明:延长AN 交BC 于点P。 因为AD∥BC,所以 DN NB= AN NP 。 因为 AM MS= DN NB ,所以AM MS= AN NP ,所以 MN∥SP。 又因 为 MN ⊄平 面 SBC,SP⊂平 面 SBC,所以 MN∥平面SBC。 策略六:利用线面平行的性质 例6 如图6,在四棱锥P-ABCD 中,底 面ABCD 为平行四边形,M 是PC 的中点, 在DM 上取一点G,过点G 和AP 作平面交 平面BDM 于GH,点 H 在线段BD 上。求 证:AP∥GH。 图6 证明:设AC 交BD 于点O。 因为四边形ABCD 是平行四边形,所以 O 是AC 的中点。 因为 M 是PC 的中点,所以 MO∥AP。 因为 MO⊂平面BDM,AP⊄平面BDM,所 以AP∥平面BDM。 又因为AP⊂平面PAHG,平面PAHG ∩平面BDM=GH,所以AP∥GH。 如 图 7 所 示,在 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中,M、N、E、F 分别是棱A1B1、 A1D1、B1C1、C1D1 的 中 点。求 证:平 面 AMN∥平面EFDB。 图7 提示:证明两个平面平行,需要证明一个 平面内的两条相交直线平行于另一个平面。 由 M、F 是A1B1、C1D1 的中点,且四边 形A1B1C1D1 为正方形,可得MF∥A1D1,且 MF=A1D1。 因 为 AD∥A1D1,AD =A1D1,所 以 MF∥AD,且 MF=AD,所以四边形AMFD 是 平 行 四 边 形,所 以 AM ∥DF。又 因 为 DF⊂平面EFDB,AM⊄平面EFDB,所以 AM∥平面EFDB。 由 M、N 是A1B1、A1D1 的中点,可得 MN∥B1D1。同 理 可 得,EF∥B1D1,所 以 MN∥EF。 因为 EF⊂ 平 面 EFDB,MN ⊄ 平 面 EFDB,所以 MN∥平面EFDB。 又因为 AM、MN⊂平面 AMN,AM∩ MN=M,所以平面AMN∥平面EFDB。 作者单位:1.成都经济技术开发区实验 中学校 2.四川省甘孜藏族自治州康 北民族高级中学 (责任编辑 王琼霞) 41 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月