精品解析：北京市十一学校2024--2025学年七年级下学期期中考试数学试卷

北京市十一学校2024~2025学年第3学段 常规初一年级 初中数学II课程 教与学诊断（2025．04） 总分：100分时间：90分钟 注意：请在答题纸的指定区域上作答，1-一点C的答案一律不计入成绩． 一、选择题（每小题2分，本题共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列方程是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各图中，∠1和∠2是同位角的是（ ） A B. C. D. 3. 下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 两钉子固定木条 D. 弯曲河道改直 4. 若实数满足，那么的值是（　　） A. B. C. D. 5. 观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用表示，“炮”所在的位置用表示，那么“帅”所在的位置可表示为（　　） A. B. C. D. 6. 下列不等式变形正确的是（　　） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 7. 在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点E在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥．一定能判定的条件是（ ） A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ①③⑤⑥ 8. 三名技工某天工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名技工上午加工产品所用的时间和件数；点的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名技工下午加工产品所用的时间和件数．则结论正确的是（　　） A. 上午加工产品所用时间最长的是甲 B. 下午加工产品数最少的是丙 C. 在这一天中加工产品总件数最多的是乙 D. 在这一天中加工产品总件数最多的是丙 二、填空题（本题共30分，每小题3分） 9. 9的算术平方根是_____． 10. 若点在轴上，则点的坐标为___________． 11. 是关于的二元一次方程的解，则的值为___________． 12. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 13. 已知，用含的代数式表示，则___________． 14. 是连续的两个整数，若，则的值为___________． 15. 若，则___________；若，则___________． 16. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，则的度数为___________°． 17. 已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为__． 18. 如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝__________时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直． 三、解答题（本题共54分，第19题8分，第20题6分，第21题6分，第22-24题5分，第25-26题每题6分，第27题7分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解下列方程组或不等式． （1） （2），并把解集数轴上表示出来． 21. 如图，点C，A，F在一条直线上，于点D，于点E，交于点G，若与相等，则平分吗？为什么？请把下面的解题过程补充完整并在括号内填写依据． 解：相等． 于点D，于点E， （ ） （ ） （两直线平行，同位角相等） 平分 22. 如图，，和相交于点，是上一点，是上一点，且． （1）求证：； （2）若比大，求的度数． 23. 已知关于的方程组满足，求的取值范围． 24. 列二元一次方程组解决下列实际问题： 每年的5月8日是国际红十字日，这一日某校组织献爱心捐款，其中初一（1）有36名同学参加，共捐得1200元，捐款情况如下表： 捐款（元） 100 50 20 10 人数 2 4 表格中捐款50元和20元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你根据表格提供的信息计算分别有多少同学捐50元和20元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，各个顶点均在坐标系的格点上，是的边上一点，经平移后点的对应点为， （1）请画出上述平移后的，并直接写出点、的坐标及以、、、为顶点的四边形的面积． （2）在（1）条件下，为坐标系中的一点，且满足．，直接写出点的坐标． 26. 阅读材料：关于的二元一次方程有一组整数解则方程的全部整数解可表示为（t为整数）． 问题：求方程所有正整数解．小明参考阅读材料，解决该问题如下： 解：该方程一组整数解为则全部整数解可表示为（为整数）． 因为解得．因为为整数，所以或． 所以该方程的正整数解为和． 请你参考小明的解题方法，完成下面的问题： （1）方程的全部整数解表示为：（为整数）．则的值是___________． （2）请你参照小明的方法，求的全部正整数解； （3）方程的正整数解有___________组． 27. 如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图1中补全图形，并证明：； （2）过点作直线．在直线上取点．使 ①当时，画出图形，并求出与之间的数量关系； ②直线上有一点，使得，则在点运动的过程中，请你直接写出面积的最大值和此时的度数（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市十一学校2024~2025学年第3学段 常规初一年级 初中数学II课程 教与学诊断（2025．04） 总分：100分时间：90分钟 注意：请在答题纸的指定区域上作答，1-一点C的答案一律不计入成绩． 一、选择题（每小题2分，本题共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列方程是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的方程即为二元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，未知数最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B、符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意； C、有三个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D、是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列各图中，∠1和∠2是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 【详解】解：A. 不是同位角，不符合题意； B. 是内错角，不符合题意； C. 是同位角，符合题意； D. 不是同位角，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形． 3. 下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 两钉子固定木条 D. 弯曲河道改直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短、两点确定一条直线和两点之间，线段最短，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据垂线段最短、两点确定一条直线和两点之间，线段最短逐项判断即得答案． 【详解】解：A、测量跳远成绩可以用“垂线段最短”来解释，故A选项符合题意； B、木板上弹墨线可以用“两点确定一条直线”来解释，故B选项不符合题意； C、两钉子固定木条可以用“两点确定一条直线”来解释，故C选项不符合题意； D、弯曲河道改直可以用“两点之间，线段最短”来解释，故D选项不符合题意， 故选：A． 4. 若实数满足，那么的值是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，根据算术平方根和绝对值的非负性，据此列等式解出a与b的值．即，即可解答． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 故选：D． 5. 观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用表示，“炮”所在的位置用表示，那么“帅”所在的位置可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置．根据题意，确定原点的位置，建立直角坐标，确定“帅”所在的位置即可． 【详解】解：由题意，建立如图所示的坐标系： 由图可知：“帅”所在位置可表示为； 故选：D． 6. 下列不等式变形正确的是（　　） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由，得，原式变形错误，不符合题意； B、由，得，原式变形错误，不符合题意； C、由，得，原式变形错误，不符合题意； D、由，得，进而得，原式变形正确，符合题意； 故选：D． 7. 在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点E在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥．一定能判定的条件是（ ） A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ①③⑤⑥ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理直接作出判断即可，熟知平行线判定的条件：同位角相同，两直线平行；内错角相同，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，是解题的关键． 【详解】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得； ②根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证明； ③根据同位角相等，两直线平行即可证得； ④根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证明； ⑤根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得； ⑥根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得不能证明； 故一定能判定的条件是①③⑤， 故选：A． 8. 三名技工某天的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名技工上午加工产品所用的时间和件数；点的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名技工下午加工产品所用的时间和件数．则结论正确的是（　　） A. 上午加工产品所用时间最长的是甲 B. 下午加工产品数最少的是丙 C. 在这一天中加工产品总件数最多的是乙 D. 在这一天中加工产品总件数最多的是丙 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与点的意义．从图中根据各选项的信息依次统计，即可求解． 【详解】解：从图可知以下信息： 上午加工产品所用时间最长的是乙，选项A不符合题意； 下午加工产品数最少的是甲，选项B不符合题意； 一天中甲加工产品件， 乙加工产品件， 丙加工产品件， ∴在这一天中加工产品总件数最多的是乙，选项C符合题意，选项D不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本题共30分，每小题3分） 9. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根概念是解题的关键． 10. 若点在轴上，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点．根据点在坐标轴上的特点可求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 11. 是关于的二元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程等知识，把代入，得到关于m的方程，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用作差法比较实数的大小；，可判断，即可求解；能根据“若，则．”进行比较大小是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ； 故答案：． 13. 已知，用含的代数式表示，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了二元一次方程的解，先移项，然后两边同时乘以3，即可求解． 【点睛】解： ∴ ∴ 故答案为：． 14. 是连续的两个整数，若，则的值为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小．根据算术平方根的定义估算无理的大小，确定m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，而， ∴， 而m，n是两个连续整数，若， ∴，， ∴， 故答案为：9． 15 若，则___________；若，则___________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了平方根与立方根，根据平方根与立方根的定义，解方程，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得：； ∴ ∴ 解得：或 故答案为：；或． 16. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，则的度数为___________°． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、角的和差等知识点．根据，点G在射线EF上，可求出，根据，然后求解即可． 【详解】解：∵，点G在射线上，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：35． 17. 已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3， 点的横坐标是， 纵坐标是2， 点的坐标为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 18. 如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝__________时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直． 【答案】105°或75° 【解析】 【分析】分两种情况：①AB⊥CD，交DC延长线于E，OB交DC延长线于F，②AB⊥CD于G，OA交DC于H求出答案． 【详解】解：①如图1，AB⊥CD，交DC延长线于E，OB交DC延长线于F， ∵∠B=45°，∠BEF=90°， ∴∠CFO=∠BFE=45°， ∵∠DCO=60°， ∴∠COF=15° ∴∠AOC=90°+15°=105°； ②如图2，AB⊥CD于G，OA交DC于H， ∵∠A=45°，∠AGH=90°， ∴∠CHO=∠AHG=45°， ∵∠DCO=60°， ∴∠AOC=180°-60°-45°=75°； 故答案为：105°或75°． 【点睛】此题考查了三角形的角度计算，正确掌握三角板的度数及各角度的关系是解题的关键． 三、解答题（本题共54分，第19题8分，第20题6分，第21题6分，第22-24题5分，第25-26题每题6分，第27题7分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根、立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别化简立方根、算术平方根、化简绝对值，再运算加减，即可作答． （2）先分别运算乘法，以及化简绝对值，再运算加减，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列方程组或不等式． （1） （2），并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2），在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集； （1）原方程组化简为：，进而根据加减消元法解方程组，即可求解； （2）按照去分母，取括号，移项合并同类项的步骤解一元一次不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【小问1详解】 解： 原方程组化简为： 得，，即 解得： 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为： 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴ 解得： 在数轴上表示为： 21. 如图，点C，A，F在一条直线上，于点D，于点E，交于点G，若与相等，则平分吗？为什么？请把下面的解题过程补充完整并在括号内填写依据． 解：相等． 于点D，于点E， （ ） （ ） （两直线平行，同位角相等） 平分 【答案】；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；3；4 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 先证明，则，，再证明，即可得出结论． 【详解】解：于点D，于点E， （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） AD平分 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；3；4． 22. 如图，，和相交于点，是上一点，是上一点，且． （1）求证：； （2）若比大，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的性质，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键． （1）先证明，结合，可得，从而可得结论； （2）先证明，可得，结合邻补角互补的性质从而可得答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵比大，即， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 23. 已知关于的方程组满足，求的取值范围． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次不等式组；由得到，结合，解不等式组即可． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 列二元一次方程组解决下列实际问题： 每年的5月8日是国际红十字日，这一日某校组织献爱心捐款，其中初一（1）有36名同学参加，共捐得1200元，捐款情况如下表： 捐款（元） 100 50 20 10 人数 2 4 表格中捐款50元和20元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你根据表格提供的信息计算分别有多少同学捐50元和20元． 【答案】捐50元有12人，捐20元有18人． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用．设捐50元有人，捐20元有人，根据总人数为36人，总捐款为1200元，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设捐50元有人，捐20元有人， 由题意得：， 解得， 答：捐50元有12人，捐20元有18人． 25. 如图，在平面直角坐标系中，各个顶点均在坐标系的格点上，是的边上一点，经平移后点的对应点为， （1）请画出上述平移后的，并直接写出点、的坐标及以、、、为顶点的四边形的面积． （2）在（1）的条件下，为坐标系中的一点，且满足．，直接写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析，，，以、、、为顶点的四边形的面积为12； （2）． 【解析】 【分析】本题点的平移，左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加；求四边形的面积通常整理为求几个三角形的面积的和． （1）横坐标加5，纵坐标加2，说明向右移动了5个单位，向上平移了2个单位；以、、、为顶点的四边形的面积可分割为以为底的2个三角形的面积； （2）根据题意画出图形，由点的位置，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， ∴，， ∴以、、、为顶点的四边形的面积为； 【小问2详解】 解：如图，即为所作， ∴． 26. 阅读材料：关于的二元一次方程有一组整数解则方程的全部整数解可表示为（t为整数）． 问题：求方程的所有正整数解．小明参考阅读材料，解决该问题如下： 解：该方程一组整数解为则全部整数解可表示为（为整数）． 因为解得．因为为整数，所以或． 所以该方程的正整数解为和． 请你参考小明的解题方法，完成下面的问题： （1）方程的全部整数解表示为：（为整数）．则的值是___________． （2）请你参照小明的方法，求的全部正整数解； （3）方程的正整数解有___________组． 【答案】（1）3 （2）该方程的正整数解为或或； （3）21 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，理解题意、掌握解题方法是本题的关键． （1）把代入方程得，求得y的值，即可求得θ的值； （2）参考小明的解题方法求解即可； （3）参考小明的解题方法求解后，即可得到结论． 【小问1详解】 解：把代入方程得，， 解得， ∵方程的全部整数解表示为：（t为整数），则， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为，解得． 因为t为整数， 所以或1或2； 所以该方程的正整数解为或或； 【小问3详解】 解：方程一组整数解为， 则全部整数解可表示为（t为整数）． ∵，解得． 因为t为整数， 所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20， ∴方程的正整数解有21组． 故答案为：21． 27. 如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图1中补全图形，并证明：； （2）过点作直线．在直线上取点．使 ①当时，画出图形，并求出与之间的数量关系； ②直线上有一点，使得，则在点运动的过程中，请你直接写出面积的最大值和此时的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②面积的最大值为，此时的度数为 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键． （1）作，根据平行线的性质证明即可； （2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可； ②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：补全图形如图所示， 作， ∵将线段沿平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 【小问2详解】 解：①分两种情况： 点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得； 点在直线的下方时，如图所示： ， ∴， 整理，得； ②作，如图所示： ∵， ∴点到直线的距离就是线段的长， ∵， ∴点到直线的最大距离就是，如图所示： ∴面积的最大值为 由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$