海南省三亚市第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（A）

答案第 1页，共 10页 《2024-2025 学年第二学期高二年级期中考试数学（A）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C C B D C ACD AC 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】由极值的定义得 ( )2 0f ¢ - = ，即可求解，注意检验. 【详解】解：因为 ( ) 3 21 3 f x x ax= - ， ( ) 2 2f x x ax¢ = - ， ( )f x 在 2x = - 处有极值， 所以 ( )2 0f ¢ - = ，所以 ( )22 4 0a- + = ，解得 1a = - . 经检验当 1a = - 时， ( ) ( )2 2 2f x x x x x¢ = + = + ， 当 < 2x - 或 0x > 时， ( ) 0f x¢ > ；当 2 0x- < < 时， ( ) 0f x¢ < ， 所以 ( )f x 在 ( ), 2-¥ - ， ( )0, ¥+ 上单调递增，在 ( )2,0- 上单调递减， 函数在 2x = - 处有极大值，满足题意. 故选：D 2．B 【分析】根据二项式展开式的通项公式求出 6 2 1x x æ ö-ç ÷ è ø 展开式的通项，再令通项中 x的次数为 0，进而求出常数项. 【详解】二项式 6 2 1x x æ ö-ç ÷ è ø ，可得： ( )621 6 1C r rr rT x x - + æ ö= -ç ÷ è ø ， 即 ( ) ( )12 2 12 31 6 6C 1 1 C rr r rr r r rT x x x- - -+ = - = - 令 x的次数12 3 0r- = ，解得 4r = . 可得常数项为 ( )4 46 6 5 4 31 C 15 4 3 2 1 ´ ´ ´ - = = ´ ´ ´ . 故选：B. 3．C 【分析】根据 3 6 3 3 S Sq S - = ，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】由题可知， 6 3 8S S- = - ，故 3 6 3 3 8 8 1 S Sq S - = = - = - ，故 2q = - . 答案第 2页，共 10页 故选：C. 4．C 【分析】根据排列数以及分步计数原理即可求解. 【详解】根据题意，将A， B看成一个整体，A， B的排列方法有 22A 种方法， 然后将这个整体与 E进行全排列，即不同的排列方式有 22A ， 最后将C，D插入到三个空中的两个中，有 23A 种方法， 根据分步计数原理可知排法种数为 2 2 2 2 2 3A A A 24= ， 故选：C. 5．C 【分析】由排列数计算，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】分三步完成：冠军有 1 3A 种可能，乙的名次有 1 3A 种可能，余下 3人有 3 3A 种可能， 所以 5人的名次排列有 1 1 33 3 3A A A 54= （种）不同情况， 故选：C. 6．B 【分析】过点 A作切线 Al ，过点 B作切线 Bl ，连接 AB，得到直线 ABl ，根据导数的几何意 义以及斜率的定义结合图象即可得出答案. 【详解】 如图过点 A作切线 Al ，斜率设为 1k ，过点 B作切线 Bl ，斜率设为 2k ，连接 AB，得到直线 ABl ， 斜率设为 3k ，由图可知， 1 2 3 0k k k> > > . 又根据导数的几何意义以及斜率的定义可知， ( )1 2k f= ¢ ， ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3 2 f f k f f - = = - - ， ( )3 3k f= ¢ 答案第 3页，共 10页 所以0 (3) (3) (2) (2)f f f f¢ ¢< < - < . 故选：B． 7．D 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有 i个红球”为事件 ( )0,1,2iA i = ， 根据题意可得 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 3 2 3 2 0 1 22 2 2 5 5 5 C C C C3 3 1, , C 10 C 5 C 10 P A P A P A= = = = = = ， ( ) ( ) ( )0 1 2 5 2 1, , 6 3 2 P B A P B A P B A= = =∣ ∣ ∣ ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2P B P A P B A P A P B A P A P B A= + +∣ ∣ ∣ 3 5 3 2 1 1 7 10 6 5 3 10 2 10 = ´ + ´ + ´ = . 故选：D. 8．C 【分析】根据导函数 ( ) ( )2 1 0 1 af x x x ¢ - ³ + = 在 1 ,1 2 æ ö ç ÷ è ø 上恒成立，即可结合基本不等式求解. 【详解】由于 ( ) ln 1 af x x x = + + 在 1 ,1 2 æ ö ç ÷ è ø 上单调递增，所以 ( ) ( )2 1 0 1 af x x x ¢ - ³ + = 在 1 ,1 2 æ ö ç ÷ è ø 上恒 成立，故 ( )21 1 2xa x x x + £ = + + 在 1 ,1 2 æ ö ç ÷ è ø 上恒成立， 由于 1 2 4x x + + ³ 当且仅当 1x = 时取等号，所以 4a £ ， 故选：C 9．ACD 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求 ( )E X ， ( )D X ，再根据 ( ) ( )2 1 2 1E X E X- = - ， ( ) ( )24 1 4D X D X+ = ，计算期望和方差. 【详解】对 A，因为随机变量服从两点分布，且 ( ) 11 4 P X = = ，所以 ( ) ( ) 30 1 1 4 P X P X= = - = = ， 所以 ( ) 3 1 10 1 4 4 4 E X = ´ + ´ = ，所以 ( ) ( )0 3P X E X= = ，故 A正确； 对 B， ( ) ( ) 1 12 1 2 1 2 1 4 2 E X E X- = - = ´ - = - ，故 B不正确； 答案第 4页，共 10页 对 C， ( ) 2 21 3 1 1 3(0 ) (1 ) 4 4 4 4 16 D X = - ´ + - ´ = ，故 C正确； 对 D， ( ) ( )2 34 1 4 16 3 16 D X D X+ = = ´ = ，故 D正确. 故选：ACD. 10．AC 【分析】根据二项式系数和为 2 32n = ，计算可得 5n = ，判断 A；根据 5n = ，即可判断 B； 令 1x = ，即可判断 C；求出展开式的通项，令 x的幂指数为整数，即可判断 D. 【详解】因为知二项式 (1 2 )nx+ 的二项式系数和为32，所以 2 32n = ，即 5n = ，故 A正确； 因为 5n = ，所以二项展开式有 6项，所以展开式的第三项和第四项的二项式系数均为最大 值，故 B错误； 令 1x = ， 5 5(1 2 ) (1 2) 243x+ = + = ，所以展开式各项系数之和是 243，故 C正确； 二项式 ( )51 2 x+ 展开式的通项为 ( ) 21 5 5C 2 2 C rr r r r rT x x+ = = ， { }0,1,2,3,4,5rÎ ， 所以 0r = 、 2r = 、 4r = 时， 2 52 C r r r x 为有理项，即展开式中的有理项只有3项，故 D错误. 故选：AC 11．BC 【分析】设等差数列{ }na 的公差为 d，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出 12 0a > ， 13 0a < ，即可对选项逐一判断. 【详解】设等差数列{ }na 的公差为 d， 由题意可得： 123 23 122 0 23 ( ) 3 2 a aS a= + = > ， 1 24 24 12 13 24( ) 12( ) 0 2 a aS a a+= = + < ， 即 12 0a > ， 13 0a < ，且 12 13| | | |a a< ，即 B、C正确； 因 13 12 0d a a= - < ，故数列{ }na 是递减数列，故 A错误； 因 12 0a > ， 13 0a < ，即当 nS 取得最大值时， 12n = ，故 D错误. 故选：BC. 12．50 【分析】利用 1n n na a+ - = 累加即可得到答案. 答案第 5页，共 10页 【详解】因为 1n na a n+ = + ，所以 1n n na a+ - = ， 所以 10 10 9 9 8 2 1 1a a a a a a a a= - + - + - + 9 8 7 1 5= + + + + + 9(9 1) 5 50 2 + = + = 故答案为：50 【点睛】本题考查了累加法求数列中的项的值，属于基础题. 13．14 【分析】先分组再分配，利用排列组合知识解决即可. 【详解】按照 1：3的比例，共有 14C 4= 种分组方案； 按照 2：2的比例，共有 2 4 2 2 C 3 A = 种分组方案； 则共有 ( ) 224 3 A 14+ = 种分配方案 故答案为：14 14．0 【分析】设 ( ) exf x x= + ，同构变形得到 lne e lnx axx ax+ = + ，即 ( ) ( )lnf x f ax= ，从而得到 0 0lnx ax= ，即 0 0ex ax= ，从而结果. 【详解】令 ( ) exf x x= + ，则 ( )f x 在 ( )0, ¥+ 上单调递增， e lnx x ax ax+ = + ，即 lne e lnx axx ax+ = + ，故 ( ) ( )lnf x f ax= ， ∵正实数 0x 是方程 e lnx x ax ax+ = + 的根， ( ) ( )0 0lnf x f ax\ = ，则 0 0lnx ax= ，得 0 0ex ax= ，即 0 0e 0x ax- = . 故答案为：0 15．(1) 1 0x y+ + = (2)最大值为 2ln 2 2- ，最小值为 1- 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数函数函数的单调性后，计算即可得其在区间[ ]0,1 上的最大值与最小值. 答案第 6页，共 10页 【详解】（1） ( ) 2 exf x x=¢ - ， ( ) 00 2 0 e 0 1 1f = ´ = -¢ - = - ， ( ) 2 10 0 e 1f = - = - ， 则有 ( ) ( )( )1 1 0y x- - = - - ，化简得 1 0x y+ + = ， 即 ( )f x 的图象在点 (0, (0))f 处的切线方程为 1 0x y+ + = ； （2） ( ) ( ) 2 exg x f x x= = -¢ ，则 ( ) ( ) 2 exg x f x =¢ -¢= ， 则当 ( )0, ln 2xÎ 时， ( ) 0g x¢ > ，当 ( )ln 2,1xÎ 时， ( ) 0g x¢ < ， 故 ( )g x 在 ( )0, ln 2 上单调递增，在 ( )ln 2,1 上单调递减， 则 ( )g x 有最大值 ( )ln 2 2ln 2 2g = - ， 又 ( ) 00 2 0 e 1g = ´ - = - ， ( ) 11 2 1 e 2 e 1g = ´ - = - > - ， 故 ( )g x 在区间[ ]0,1 上的最大值和最小值分别为 2ln 2 2- 、 1- . 16．(1) 7 6na n= - (2) 10m = (3) 7 1n nS n = + 【分析】（1）根据条件，求出公差，进而求出通项公式； （2）根据等比中项的概念列式运算求解； （3）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设数列{ }na 的公差为 d，由题意得 6 1 36 1 7 6 1 5 a ad - -= = = - ， 所以{ }na 的通项公式为 ( )1 1 7 7 6na n n= + - ´ = - . （2）依题意得 21 2ma a a= ，则 27 6 8m - = ，得 10m = . （3）由 7 6na n= - ，得 1 1 1 7 7 6 7 1n b n n æ ö= -ç ÷- +è ø ， 则 1 1 1 1 1 1 1 1 11 7 1 8 8 15 7 6 7 1 7 7 1 7 1n nS n n n n æ ö æ ö= - + - + ×××+ - = - =ç ÷ ç ÷- + + +è ø è ø . 17．(1) 1 3 (2)分布列见解析， ( ) 9 7 E X = 【分析】（1）设事件A表示“男生甲被选中”，事件 B表示“女生乙被选中”，即可求出 ( )P A ， 答案第 7页，共 10页 ( )P AB ，再利用条件概率的计算公式计算可得； （2）依题意 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，求出所对应的概率，即可得到 X 的分布列 与数学期望； 【详解】（1）解：设事件A表示“男生甲被选中”，事件 B表示“女生乙被选中” 则 ( ) 2 6 3 7 C 15 3 C 35 7 P A = = = ， ( ) 1 5 3 7 C 5 1 C 35 7 P AB = = = ， ∴ ( ) ( )( ) 1| 3 P AB P B A P A = = （2）解：依题意 X 的所有可能取值为 0，1，2，3 所以 ( ) 3 4 3 7 C 40 C 35 P X = = = ， ( ) 2 1 4 3 3 7 C C 181 C 35 P X = = = ， ( ) 1 2 4 3 3 7 C C 122 C 35 P X = = = ， ( ) 3 3 3 7 C 13 C 35 P X = = = ， ∴ X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 4 35 18 35 12 35 1 35 所以 ( ) 18 12 1 45 91 2 3 35 35 35 35 7 E X = ´ + ´ + ´ = = 18．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，分 1a ³ 与 1a < 两种情况，得到函数单调性和极值情况； （2）转化为证明 e ln 2x x> + ，构造 ( ) e lnxh x x= - ，二次求导，结合隐零点和基本不等式证 明出结论. 【详解】（1）函数 ( ) ( ) ( )ln 1 1f x x a x a a= + - + + ÎR ，定义域为 ( )0, ¥+ ， ( ) ( ) 1 11 1 a x f x a x x + - = + - =¢ ①当 1a ³ 时， ( ) 0f x¢ > ， ( )f x 单调递增，没有极值； ②当 1a < 时，由 ( ) 0f x¢ = ，得 1 1 x a = - ， 答案第 8页，共 10页 当 10, 1 x a æ öÎç ÷-è ø 时， ( ) 0f x¢ > ， ( )f x 单调递增； 当 1 , 1 x a æ öÎ +¥ç ÷-è ø 时， ( ) 0f x¢ < ， ( )f x 单调递减； ∴ ( ) ( )1 ln 1 1 f x f a a a æ ö= = - -ç ÷-è ø极小 ，无极大值 综上讨论得： ①当 1a ³ 时， ( )f x 无极值； ②当 1a < 时， ( )f x 有极小值 ( )ln 1a a- - ，无极大值． （2）当 1a £ 时，要证 ( )e 0x f x- > ，即证 ( )ex f x> ，只需证 e ln 2x x> + ； 令 ( ) e lnxh x x= - ，则 ( ) 1exh x x ¢ = - ， 令 ( ) 1exm x x = - ，则 ( ) 2 1e 0xm x x ¢ = + > ， ∴ ( )h x¢ 在 ( )0, ¥+ 单调递增， 而 1 e 2 0 2 h æ ö¢ = - <ç ÷ è ø ， ( )1 e 1 0h¢ = - > ， 故方程 1e 0x x - = 有唯一解 0x ，即 0 0 1e 0x x - = ， ∴ 0 0 1ex x = ， 则 0 0e x x- = ， ∴ 0 0ln x x- = ， 且 ( )00,x xÎ 时， ( ) 0h x¢ < ， ( )h x 在 ( )00, x 单调递减； ( )0 ,x xÎ +¥ 时， ( ) 0h x¢ > ， ( )h x 在 ( )0 ,x +¥ 单调递增； ∴ ( ) ( ) 00 0 0 0 1e ln 2xh x h x x x x ³ = - = + > ， ∴ e ln 2x x> + ，故当 1a £ 时， ( )e 0x f x- > . 【点睛】隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉 零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与 简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 答案第 9页，共 10页 19．(1) 22 ( ) 3 n na = - ´ (2) 1 23 ( ) 3 n nT n += - ´ (3) [ ]2,1- 【分析】（1）由 1 1 1 , 1 , 2n n n S a n a S S n- = =ì í = - ³î 可直接求得答案； （2）结合（1）得 ( ) 23 ( ) 3 n nb n= - ´ ，再利用错位相减法求和即可； （3）将原式化为 ( )2 3 0k n k+ - ³ 恒成立，结合一次函数的性质列不等式组即可求得 k的范 围. 【详解】（1）因为 2 4n nS a= - - ，① 令 1n = ，得 1 12 4a a= - - ，所以 1 4 3 a = - 当 2n ³ 时， 1 12 4n nS a- -= - - ，② ① - ②，得 12 2n n na a a -= - + ，整理得 1 2 3n n a a -= ． 所以{ }na 是以 4 3 - 为首项， 2 3 为公比的等比数列， 所以 14 2 2( ) 2 ( ) 3 3 3 n n na -= - ´ = - ´ ； 当 1n = 时也符合上式，故 22 ( ) 3 n na = - ´ . （2）由题意知 ( ) 23 ( ) 3 n nb n= - ´ ( )2 32 2 2 22 1 ( ) 0 ( ) 3 ( ) 3 3 3 3 n nT n= - ´ - ´ + ´ + + - ´ ， ( )2 3 4 12 2 2 2 22 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 3 ( ) 3 3 3 3 3 n nT n += - ´ - ´ + ´ + + - ´ ， 两式作差，得： ( )2 3 11 2 2 2 2 22 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 3 3 3 3 3 n n nT n += - ´ + + + + - - ´ ( ) 1 2 1 21 ( )4 2 23( ) 3 ( )23 3 31 3 n nn - + - - + ´ - - ´ - ( )1 1 14 4 2 2 23 ( ) 3 ( ) ( ) 3 3 3 3 3 n n nn n+ + += - + - ´ - - ´ = - ´ 答案第 10页，共 10页 所以 123 ( ) 3 n nT n += - ´ ； （3）由 n nT kb£ 恒成立，得 ( )1 2 23 ( ) 3 ( ) 3 3 n nn k n+- ´ £ - 恒成立，即 ( )2 3 0k n k+ - ³ 恒成立． 所以 ( ) 2 0 { 2 1 3 0 k k k + ³ + ´ - ³ ， ， 解得 2 1k- £ £ ， 所以 k的取值范围是 [ ]2,1- . 高二数学（A）第 1页，共 4页 2024-2025 学年第二学期高二年级期中考试 数 学（A） 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．若函数 ( ) 3 21 3 f x x ax= - 在 2x = - 处有极值，则实数a =（ ） A． 2- B．2 C．1 D． 1- 2． 6 2 1x x æ ö-ç ÷ è ø 的展开式中，常数项等于（ ） A． 15- B．15 C． 20- D．20 3．已知 nS 是等比数列{ }na 的前 n项和，且 3 1S = ， 6 7S = - ，则公比 q =（ ） A． 1 2 - B． 12 C． 2- D．2 4．现有 , , , ,A B C D E五人站成一排，则 ,A B相邻且 ,C D不相邻的排法种数共有（ ） A．6 B．12 C．24 D．48 5．甲､乙､丙､丁､戊 5名同学进行劳动技术比赛，决出第 1名到第 5名的名次.甲和乙去 向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不 会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列的情形有（ ） A．36种 B．48种 C．54种 D．64种 6．函数 ( )f x 的图象如图所示， ( )f x¢ 为函数 ( )f x 的导函数，下列数值排序正确的是（ ） A．0 (2) (3) (3) (2)f f f f¢ ¢< < < - B．0 (3) (3) (2) (2)f f f f¢ ¢< < - < C．0 (3) (2) (3) (2)f f f f¢ ¢< < < - D．0 (3) (2) (2) (3)f f f f¢ ¢< - < < 高二数学（A）第 2页，共 4页 7．已知甲箱中有 2个红球和 3个黑球，乙箱中有 1个红球和 3个黑球（所有球除颜色 外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出 2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出 1个 球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件 B，则 ( )P B =（ ） A． 1 14 B． 1 7 C． 5 18 D． 7 10 8．已知函数 ( ) ln 1 af x x x = + + 在 1 ,1 2 æ ö ç ÷ è ø 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ） A． 9 2 a ³ B． 9 2 a £ C． 4a £ D． 4a ³ 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得 2分或者 3 分，有选错的得 0分。 9．若随机变量 X 服从两点分布，其中 ( ) 11 4 P X = = ， ( )E X ， ( )D X 分别为随机变量 X 的 均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A． ( ) ( )0 3P X E X= = B． ( ) 12 1 2 E X - = C． ( ) 3 16 D X = D． ( )4 1 3D X + = 10．已知二项式 (1 2 )nx+ 的二项式系数和为32，则下列说法正确的是（ ） A． 5n = B．展开式中只有第三项的二项式系数最大 C．展开式各项系数之和是 243 D．展开式中的有理项有 4项 11．已知等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ，若 23 240, 0S S> < ，则下列结论正确的是（ ） A．数列{ }na 是递增数列 B． 12 0a > C． 13 12a a> D．当 nS 取得最大值时， 13n = 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。 12．数列{ }na 中，已知 1 5a = ，且 1n na a n+ = + ，则 10a 等于 . 13．某医疗队伍有 4名医生需分配到 2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志 愿队至少分配一名医生，则共有 种不同的方法.(用数字作答) 14．若正实数 0x 是关于 x的方程e lnx x ax ax+ = + 的根，则 0 0e x ax- = . 高二数学（A）第 3页，共 4页 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数 2( ) e xf x x= - ． (1)求 ( )f x 的图象在点 (0, (0))f 处的切线方程； (2)若 ( ) ( )g x f x¢= （ ( )f x¢ 为函数 ( )f x 的导函数），求 ( )g x 在区间[ ]0,1 上的最值． 16．（15分）在等差数列{ }na 中， 1 1a = ， 6 36a = . (1)求{ }na 的通项公式； (2)若 1a ， 2a ， ma 成等比数列，求m的值； (3)设 1 1 n n n b a a + = ，求数列{ }nb 的前n项和 nS . 17．（15分）某班有 7名班干部，其中男生 4人，女生 3人，从中任选 3人参加学校的 义务劳动. (1)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率； (2)设所选 3人中女生人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望. 高二数学（A）第 4页，共 4页 18．（17分）已知函数 ( ) ( ) ( )ln 1 1f x x a x a a= + - + + ÎR ． (1)讨论函数 ( )f x 的极值情况； (2)证明：当 1a £ 时， ( )e 0x f x- > ． 19．（17分）记数列{ }na 的前 n项和为 nS ，已知 2 4n nS a= - - ． (1)求{ }na 的通项公式； (2)设 3 2n n nb a-= ，求数列 �� 的前 n项和 nT (3)在（2）的条件下，若 n nT kb£ 对任意nÎN恒成立，求实数 k的取值范围．