2025年中考数学第一轮复习 讲义——圆的基本性质

第一讲 圆的基本性质 模块01 圆的基本概念 模块2 垂径定理 模块03 圆周角 2025届中考第一轮复习讲义 模块01 圆的基本概念 一 、圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径，该圆记作⊙O，读作“圆O” O A (1)圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上. (2)圆心和半径是确定一个圆的两个基本条件.其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小. 二 、同圆、等圆和同心圆。 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆。 等圆：圆心不同，半径相等的圆是等圆 等圆 同心圆 1.连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍. 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作 ,读作弧AB.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 三、弧、弦、弦心距。 3.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 4.大于半圆的弧（用三个点表示，如图中的弧ABC）叫做优弧．小于半圆的弧（如图中的 弧AC ）叫做劣弧． 5. 圆心到弦的距离叫做弦心距．(如图中的OD) 三、弧、弦、弦心距。 D 例1 .下列说法中，不正确的是( ) A.过圆心的弦是圆的直径 B.等弧的长度一定相等 C.周长相等的两个圆是等圆 D.同一条弦所对的两条弧一定是等弧 D 模块02 垂径定理 探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ 发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 已知：CD是⊙O 中任意一条直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E. 证明： 连接OA，OB.则OA＝OB． ∴△OAB是等腰三角形. 又∵CD⊥AB， ∴AE=BE. 即CD 是AB 的垂直平分线. 这就是说对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD 的对称点，即⊙O关于直线CD 对称. E 模块02 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧. 如图，CD是⊙O的直径，AB是圆的一条弦，若CD⊥AB,则CD平分AB及AB所对应的两条弧： 和 . A B C D O E 推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 推论2:平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”这五组关系，可以“知二推三”. A B C D O 例2. 下列说法中，不正确的是( ) A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴 D 例3. ⊙O 的半径为10cm,两平行弦AC、BD的长分别为12cm、16cm,则两弦间的距离是______________cm. 2或14 例4. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点O 是这段弧所在圆的圆心，点C 是 的中点，半径OC 与AB相交于点D，AB=120 m，CD=20 m，求这段弯路所在圆的半径. 解：连接OB，如图. ∵点C 是 的中点， ∴ OC ⊥ AB，AD=BD= AB=60 m. 设OB=OC=r m， 在Rt △ OBD 中，OB2=OD2+BD2, ∴ r2=(r－20)2+602. ∴ r=100，即这段弯路所在圆的半径为100 m. 探究：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 模块03 圆心角 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 1.顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 一、圆心角与圆周角。 O A B D C ∠ACB是圆周角，∠BOD是圆心角。 无圆周角 二、弧、弦、圆心角的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一 组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． O A B C D 如图，由定理可知： 若 ∠AOB = ∠COD，则 AB =CD， = 若 = ，则 ∠AOB = ∠COD，AB=CD 若AB=CD，则 ∠AOB = ∠COD， = ． 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 三、圆周角定理 B O A C C C B B O O A A ∠BAC= ∠BOC 推论 1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧和弦一定相等． B O C A D ∠BAC= ∠BOC, ∠BDC= ∠BOC, ∴ ∠BAC=∠BOC 结论：同弧所对的圆周角相等． O B A C D E 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径． 思考：半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？ A O B C D E 四、圆内接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补. 还可得到一个推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 . 例5. 下列说法中，不正确的是( ) A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴 D 例6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=36°,以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,则弧AD所对的圆心角的度数为______° A B C D E 72 例7. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于（ ） A.40° B.50° C.60° D.70° A 例8. 如图，在⊙O中，AB=2CD，那么 ( ) A B C D O B. ＜ 2 A. ＞ 2 C. = 2 D. 与 2 大小关系不能确定 A B A C D O 例9. 如图，⊙O的直径BD=4，∠A=60°，则BC的长度为 。 例10. 如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝________． 13° 例11. (2020张家界)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为(　　) A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° C 1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴 B 课后练习 2.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 O 为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O 中弦CD的中点，EM经过圆心 O 交⊙O 于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O 的半径. 解：连接OC. ∵OM平分CD, ∴OM⊥CD且CM=MD= CD=2m. 设半径为r，在Rt△OCM，OC=r，OM=EM-OE=6-r, 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2. 解得r= . 即⊙O的半径为 m. $$