专题练测5 二次函数综合题（练测本）（PPT课件）-【中考拐点】2025年中考数学复习讲练测（南充专用）

专题练测5　二次函数综合题 《中考拐点》 2025南充数学 1 1.(2024·宜宾)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，－4)，其顶点为D. (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； 解：把A(－1，0)，C(0，－4)代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4. ∵y＝x2－3x－4＝(x－)2－， ∴抛物线顶点D的坐标为(，－). 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (2)在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 解：在y轴上存在一点M，使得△BDM的周长最小. 作D(，－)关于y轴的对称点D'(－，－)，连接BD'交y轴于点M. 在y＝x2－3x－4中，令y＝0，得0＝x2－3x－4，解得x＝4或x＝－1.∴B(4，0). 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ∵△BDM的周长最小，∴只需DM＋BM最小. ∵DM＝D'M，∴DM＋BM＝D'M＋BM. ∴B，M，D'三点共线时，DM＋BM最小，最小 值为BD'的长，此时△BDM的周长最小. 由B(4，0)，D'(－，－)，得直线BD'的解析式 为y＝x－.令x＝0，得y＝－. ∴点M的坐标为(0，－). 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (3)若点E在以点P(3，0)为圆心，1为半径的☉P上，连接AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连接BF.求BF长的取值范围. 解：如图，以AP为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ. 由A(－1，0)，P(3，0)，△APQ是等边三角形，可得Q(1，－2). ∵△AEF，△APQ都是等边三角形， 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ∴AE＝AF，AP＝AQ，∠EAF＝∠PAQ＝60°. ∴∠EAP＝∠FAQ. ∴△EAP≌△FAQ(SAS).∴PE＝QF＝1. ∴点F的轨迹是以Q(1，－2)为圆心，1为半径的圆. ∵B(4，0)，∴BQ＝. 当点F在线段QB上时，BF最小， 此时BF＝BQ－QF＝－1； 当点Q在线段BF上时，BF最大，此时BF＝BQ＋QF＝＋1. ∴BF长的取值范围为－1≤BF≤＋1. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 2.(2024·雅安)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C. (1)求二次函数的表达式； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解：由题意，得y＝a(x－1)(x－3)＝a(x2－4x＋3)＝ax2＋bx＋3，∴3a＝3.∴a＝1. 则二次函数的表达式为y＝x2－4x＋3. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标； 解：由二次函数的表达式知，点C(0，3)， 由点B，C的坐标得直线CB的表达式为y＝－x＋3. 设点Q(x，x2－4x＋3)，则点P(x，－x＋3)， ∴PQ＝－x＋3－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x. ∵－1＜0，故PQ有最大值，此时x＝，则y＝x2－4x＋3＝－，即点Q(，－). 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (3)如图2，在(2)的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ.在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.点E的坐标为(0，8＋)或(0，8－)或(0，5)或(0，)或(0，－). 解析：设直线CQ的表达式为y＝mx＋n. 由点C，Q的坐标，得 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解得 ∴直线CQ的表达式为y＝－x＋3. 令y＝0，得x＝，故CQ与x轴的交点为 M(，0). 过点Q作TQ∥y轴交x轴于点T，则∠TQC＝∠OCQ.∵∠CQD＝2∠OCQ， 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ∴∠CQT＝∠DQT，即直线CQ和DQ关于直线QT对称，故QD与x轴的交点M'为(，0). 设直线DQ的表达式为y＝dx＋c， 代入Q(，－)，M'(，0)，得 解得 则直线DQ的表达式为y＝x－. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 联立直线DQ和抛物线的表达式，得 x2－4x＋3＝x－. 解得x＝(舍去)或x＝5，即点D(5，8). 设点E(0，y)，由B，D，E的坐标，得BD2＝68，DE2＝25＋(y－8)2，BE2＝9＋y2. 当DE＝BD时，25＋(y－8)2＝68. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解得y＝8±，即点E的坐标为(0，8＋)或(0，8－)； 当DE＝BE或BD＝BE时，同理可得25＋(y－8)2＝9＋y2或9＋y2＝68. 解得y＝5或y＝±，即点E的坐标为(0，5)或(0，)或(0，－). 综上所述，点E的坐标为(0，8＋)或(0， 8－)或(0，5)或(0，)或(0，－). 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 3.(2016·南充)如图，抛物线与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，5).有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F. (1)求抛物线的解析式； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解：∵抛物线与x轴交于点A(－5，0)，B(3，0)， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋5)(x－3). 把点(0，5)代入上式，得－15a＝5，即a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋5. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF＝，求点Q的坐标； 解：作FG⊥AC于点G. 设点F的坐标为(m，0)， 则AF＝m＋5，AE＝EM＝m＋6，FG＝(m＋5)，FM＝＝. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ∵sin∠AMF＝， ∴＝. ∴＝. 整理，得2m2＋19m＋44＝0. ∴(m＋4)(2m＋11)＝0. ∴m＝－4或－5.5(舍去). ∴点Q的坐标为(－4，). 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (3)在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标. 解：①当MN是对角线时，设点F(m，0). ∵直线AC解析式为y＝x＋5， ∴点N(m，m＋5)，点M(m＋1，m＋6). ∵QN＝PM， ∴－m2－m＋5－m－5＝m＋6－. 解得m＝－3±. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ∴点M的坐标为(－2＋，3＋)或(－2－，3－). ②当MN为边时.MN＝PQ＝. 设点Q(m，－m2－m＋5)， 则点P(m＋1，－m2－m＋6)， ∴－m2－m＋6＝－(m＋1)2－(m＋1)＋5. 解得m＝－3.∴点M的坐标为(－2，3). 综上所述，以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为(－2，3)或(－2＋，3＋)或(－2－，3－). 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 4.(2024·泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称. (1)求该抛物线的解析式； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，且关于直线x＝1对称， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为(－1，0). ∴y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2＋bx＋3. 解得a＝－1. ∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (2)当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，求t的值； 解：当－1≤x≤t时，在x＝－1处，y＝－x2＋2x＋3＝0，y取得最小值. ∵当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤t， ∴≤t≤3. 当≤t＜1时，在x＝t处，y取得最大值，则－t2＋2t＋3＝2t－1.解得t＝±2，均舍去； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 当1≤t≤3时，∵在抛物线的顶点处y取得最大值，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点坐标为(1，4)，∴2t－1＝4.解得t＝2.5. 综上所述，t的值为2.5. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (3)C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解：存在.由抛物线的解析式知，B(0，3). 由点A，B的坐标，得 直线AB的解析式为y＝－x＋3. 设C(m，－m2＋2m＋3)，则D(m，－m＋3). ∴CD＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，BD＝＝m，当BC是菱形的对角线时，对应为菱形BDCE'，则CD＝BD，即－m2＋3m＝m.解得m＝3－或m＝0(舍去).∴BD＝m＝3－2，即该菱形的边长为3－2； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 当BC是菱形的边时，BC＝CD，则BC2＝CD2，即m2＋(－m2＋2m)2＝(－m2＋3m)2. 解得m＝2或m＝0(舍去). ∴CD＝－22＋6＝2，即该菱形的边长为2. 综上所述，该菱形的边长为3－2或2. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 5.(2024·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2－2ax－3a(a＞0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点. (1)求线段AB的长； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解：令y＝ax2－2ax－3a＝0， 则a(x－3)(x＋1)＝0. ∵a＞0，∴x＝3或x＝－1. ∵点A在点B的左侧，∴A(－1，0)，B(3，0). ∴AB＝4. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (2)当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解：当a＝1时， y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.∴C(1，－4). 过点D作DM∥y轴交x轴于点M，DN∥x轴交AC点于点N. 由A(－1，0)，C(1，－4)，得直线AC的解析式为y＝－2x－2. 设D(n，n2－2n－3)，0＜n＜3. 在y＝－2x－2中，令y＝n2－2n－3，得 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 x＝. ∴N(，n2－2n－3). ∴DN＝n－＝. ∴S△ACD＝DN·｜yA－yC｜＝××4＝n2－1. ∵△ACD的面积与△ABD的面积相等， 而S△ABD＝AB·｜yD｜＝×4×(－n2＋ 2n＋3)＝－2n2＋4n＋6， ∴n2－1＝－2n2＋4n＋6. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解得n＝－1(舍去)或n＝.∴D(，－). ∴BM＝3－＝，DM＝. ∴tan∠ABD＝＝＝. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (3)延长CD交x轴于点E，当AD＝DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'.将抛物线L平移得到抛物线L'，使得点A'，B'都落在抛物线L'上.试判断抛物线L'与L是否交于某个定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解：抛物线L'与L交于定点. 备用图中，过点D作DM⊥x轴于点M. 设D(m，am2－2am－3a)，0＜m＜3， 则AM＝m＋1，DM＝－am2＋2am＋3a. ∵AD＝DE，∴EM＝AM＝m＋1. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'，相当于将△ADB向右平移(m＋1)个单位，再向上平移｜am2－2am－3a｜个单位. 又A(－1，0)，B(3，0)，∴A'(m，－am2＋2am＋3a)，B'(m＋4，－am2＋2am＋3a). 可设抛物线L'的解析式为y＝ax2＋bx＋c. ∵点A'，B'都落在抛物线L'上， 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ∴ 解得 ∴抛物线L'的解析式为 y＝ax2＋(－2am－4a)x＋6am＋3a. 由ax2－2ax－3a＝ax2＋(－2am－4a)x＋6am＋3a， 得(m＋1)x＝3m＋3.解得x＝3. ∴抛物线L'与L交于定点(3，0). 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 6.(2024·内江)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于 点E. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解：令y＝－2x＋6＝0，则x＝3； 令x＝0，则y＝－2x＋6＝6. ∴A(3，0)，B(0，6). 把A(3，0)，B(0，6)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋6. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解：存在点D，使得△BDE和△ACE相似， 设D(t，－t2＋t＋6)， 则E(t，－2t＋6)，C(t，0). ∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t，DE＝－t2＋3t. ∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC， ∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ①如图1，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°.∴BD∥A C.∴D点纵坐标为6. ∴－t2＋t＋6＝6.解得t＝0或t＝1. ∴D(1，6)； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ②如图2，当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE.过点B作BH⊥DC于点H，则H(t，6)，BH＝t，DH＝－t2＋t，∠BHD＝90°. ∴＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝. ∴＝＝2.∴－2t2＋2t＝t. 解得t＝0(舍去)或t＝.∴D(，). 综上所述，点D的坐标为(1，6)或(，). 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 (3)F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 解：∵四边形EGFD为菱形， ∴DE∥FG，DE＝FG，ED＝EG. 设D(m，－m2＋m＋6)，E(m，－2m＋6)，F(n，－n2＋n＋6)，G(n，－2n＋6). ①当点D在点F左侧时，如图3， DE＝－m2＋3m，FG＝－n2＋3n. ∴－m2＋3m＝－n2＋3n， 即(m－n)(m＋n－3)＝0. ∵m－n≠0，∴m＋n－3＝0， 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 即m＋n＝3或n＝3－m. ∵A(3，0)，B(0，6)，∴AO＝3，BO＝6. ∴AB＝＝3. 过点G作GK⊥DE于点K，则KG∥AC. ∴∠EGK＝∠BAC. ∴＝cos∠EGK＝cos∠BAC＝， 即＝. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ∴EG＝(n－m)＝(3－2m). ∵DE＝EG，∴－m2＋3m＝(3－2m). ∴m2－(3＋2)m＋3＝0. 解得m＝(舍去)或m＝； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 ②如图4，当D在F右侧时，同①方法可得 m＝. 综上所述，点D的横坐标为 或. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 本讲内容结束 $$